[PTMH TOAN 2021] DẠNG-07-KHẢO-SÁT-ĐỒ-THỊ-HÀM-SỐ-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

PHƯƠNG PHÁP

Để nhận dạng hàm số khi biết đồ thị, BBT ta thực hiện các bước giải như sau:

Tùy theo số hệ số cần tìm, lập hệ tương ứng các phương trình: Dựa vào các điểm đồ thị hàm số đi qua, các điểm cực trị (nếu có), phương trình các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số.

Giải hệ vừa lập, từ đó suy ra hàm số cần tìm.

Để lập được hệ phương trình nêu trên, ta cần nhớ các kiến thức cơ bản như sau:

 Điểm M x y



0; 0



là điểm cực trị của đồ thị hàm số^{y f x}

 

khi và chỉ khi

 

 

0 0

0 0

y f x f x

 

  

 .

 Hàm số bậc ba:y ax ³bx² cx d a( 0).

 Tập xác định: D .  Đạo hàm: y 3ax²2bx c .

 Các dạng đồ thị:

 Hàm số bậc bốn:y ax ⁴bx²c a( 0).

 Tập xác định: D .  Đạo hàm: y 4ax³2bx.

 Các dạng đồ thị:

DẠNG TOÁN 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ

 Hàm số phân thức: ^{(c 0, 0)}

y ax b ad bc

cx d

    

 .

 Tập xác định: \ d

D c

 

  

 

 .  Đạo hàm:

 

²

ad bc y cx d

  

 .

 Phương trình các đường tiệm cận: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y a

c

và đường tiệm cận đứng

x d

 c .

 Các dạng đồ thị:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Nhận biết hàm số thông qua đồ thị

 Nhận biết hàm số thông qua bảng biến thiên

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình trên?

A. y  x⁴ 2x²1. B. y x ⁴2x²1. C. y x ³ 3x²1. D. y  x³ 3x²1.

Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số cơ bản 2. HƯỚNG GIẢI:

Dựa vào những kiến thức đã học về đồ thị hàm số, đặc biệt là đồ thị hàm số hàm trùng phương ta thấy được đáp án.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

Đây chính là dạng của đồ thị hàm trùng phương có hệ số cao nhất dương, có ba điểm cực trị và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khi đó chỉ có y x ⁴2x²1là thỏa mãn.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào ?

A.^{y x 33x2}. B. ^{y  x3 3x2}

C.^{y x 33x2} D.

1 3 7 3 3 2 y x  x Lời giải

Chọn C

Cách 1 : Từ đồ thị hàm số, ta thấy đây là đồ thị hàm số đa thức bậc 3 : ^{y=ax3+bx2+ +cx d} +) Trên



^1;



, đồ thị có hướng đi lên từ trái sáng phải ^{xlimy }, do đó a>0

+) Đồ thị cắt trục ^Oytại ^M

(

^{0; 2-}

)

_{, do đó d  2}

+) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là ^A

(

- ^{1;0 ;}

)

^B

( )

^1;4 , do đó phương trình

0 3 2 2 0

y¢= Û ax + bx c+ = phải có hai nghiệm là ^{x=1;x=- 1} và ^y

( )

^{1 =- 4;y}

( )

^{- 1 =0}_.

Ta có hệ phương trình

3 2 0 0 1

3 2 0 3 0 0

4 2 3

0 2 2

a b c b a

a b c a c b

a b c d d c

a b c d a c d

ì + + = ì = ì =

ï ï ï

ï ï ï

ï ï ï

ï - + = ï + = ï =

ï Û ï Û ï

í í í

ï + + + =- ï =- ï =-

ï ï ï

ï ï ï

ï- + - + = ï + =- ï =-

ï ï ï

î î î

Cách 2 : Nhìn đồ thị và các đáp án đề bài cho, ta thấy : đây là đồ thị hàm số đa thức bậc ba, có dạng ^{y=ax3+ +cx d}

+) Đồ thị là đường cong kết thúc bằng việc đi lên theo hướng từ trái sang phải nên

xlim y

  

. Do đó, hệ số a>0. Loại phương án B.

+) Đồ thị cắt trục ^Oy tại ^M

(

^{0; 2-}

)

_{, do đó d}    Loại phương án A.₂

+) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là ^A

(

^{- 1;0 ;}

)

^B

(

^{1; 4-}

)

, do đó phương trình y¢=0 phải có hai nghiệm là ^{x=1;x=- 1} Loại phương án D (vì phương án D có

2

7

7 3

, 0

3 7

3 x

y x y

x éê = êê

¢= - ¢= Û ê ê =-ê

ë )

Vậy, đáp án đúng là C.

Câu 2. Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây?

A.

3 2

1 1

y3x x 

. B.

3 2

1 1

y 3x x  .

C. ^{y x 4x21}. D.

1 3

3 1

y  x  x Lời giải

Chọn B

Quan sát đồ thị ta thấy:

+) Đây không phải dáng đồ thị hàm số trùng phương  Loại phương án C.

+) Đồ thị là đường cong kết thúc bằng việc đi xuống theo hướng từ trái sang phải 

xlim y

®+¥ =- ¥

 hệ số của luỹ thừa cao nhất của x mang dấu âm  Loại phương án A.

+) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  Đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt  Loại phương án D (vì phương án D có ^{y¢=- x2- Þ1 y¢}< " Î ¡^{0 x} )

Kiểm tra phương án B: hàm số bậc 3, hệ số a<0,

2 0

2 0

2

y x x y x

x é =ê

¢=- + Þ ¢= Û

ê =ë , thoả mãn. Vậy đáp án đúng là B.

Câu 3. Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?

A.^{y x 42x23} B.^{y  x4 x23}

C.^{y x 22} D.

4 2

1 3

y4x x  Lời giải

Chọn D

Quan sát đồ thị, ta thấy:

+) Đồ thị hàm số cắt trục ^Oy tại ^M

(

^{0; 3-}

)

 Loại phương án C.

+) Đồ thị hàm số là đường cong kết thúc bằng việc đi lên theo hướng từ trái sang phải 

xlim y

  

 Hệ số của luỹ thừa cao nhất mang dấu dương  Loại phương án B.

+) Đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị y¢chỉ đổi dấu 1 lần  phương trình y¢=0chỉ có một nghiệm đơn (hoặc một nghiệm bội lẻ)  Loại phương án A (vì phương án A có

3

1

4 4 ; 0 0

1 x

y x x y x

x é =-ê

¢= - ¢= Û êê= ê =ë )

Kiểm tra phương án D: hàm số bậc 4 trùng phương, hệ số a>0, cắt trục tung tại ^M

(

^{0; 3-}

)

_,

( )

3 2 2 2

y¢= +x x=x x +

chỉ có một nghiệm x=0, thoả mãn.

Vậy, đáp án đúng là phương án D.

Câu 4. Cho hàm số ^y= ^{f x}

( )

có đồ thị hàm số như hình sau.

( )

f x là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. ^{f x}

( )

=- ^x4+ -^{x2 1} B. ^{f x}

( )

=- ^2x4+^x2+¹

C. ^{f x}

( )

^{=2x4- x2+1} _D. ^{f x}

( )

^{=- 2x3+x2+1}_.

Lời giải Chọn B

Quan sát đồ thị, ta thấy:

+) Đây không phải dáng đồ thị hàm số đa thức bậc ba, do đó loại phương án D.

+) Đồ thị là đường cong kết thúc bằng việc đi xuống theo hướng từ trái sang phải, do đó hệ số của luỹ thừa cao nhất của x mang dấu âm  Loại phương ánC.

+) Đồ thị cắt trục ^Oy tại ^M

( )

^0;1  Loại phương án A.

Kiểm tra phương án B: Hàm số trùng phương, hệ số a<0, cắt trục tung tại ^M

( )

^0;1 , thoả mãn.

Vậy, đáp án đúng là phương án B.

Câu 5. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

A.

2 1 2 y x

x

 

 . B.

2 1 1 y x

x

 

 C.

1 2 y x

x

 

 D.

2 1

2 y x

x

 

 .

x y

2

1 2

Lời giải Chọn D

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang theo thứ tự là ^{x=2; y=2}. Như vậy, chỉ có hai hàm số ở phương án A và D thoả mãn điều kiện này.

Mặt khác, theo hình vẽ, đồ thị hàm số cần tìm cắt trục ^Oy tại 0;1

Mæ öçççè ø2÷÷÷

( )

^{0 1}

y =2

Chỉ có hàm số cho ở phương án D thoả mãn.

Câu 6. Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

A.

1 1 y x

x

 

 . B.

1 1 y x

x

 

 . C.

2 1 y x

x

 

 . D.

1 1 y x

x

 

 .

x y

-1 1

-1 O 1

Lời giải

Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy:

+) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang theo thứ tự là ^{x=- 1; y=1}. Như vậy, chỉ có hai hàm số ở phương án B và C thoả mãn điều kiện này.

+) Mặt khác, theo hình vẽ, đồ thị hàm số cần tìm cắt trục ^Oy tại ^M

(

^{0; 1-}

)

_^y

( )

^{0 =- 1}_

Hàm số cho ở phương án B thoả mãn, hàm số ở phương án C không thoả mãn.

Cách 2: Từ hình vẽ nhận thấy cả hai nhánh của đồ thị hàm số có hướng đi lên từ trái sang phải

 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y¢> " Î0 x TXD. Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số cho ở phương án B thoả mãn điều kiện này.

Vậy, B là phương án trả lời đúng.

Câu 7. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

A. ^y=x2+2x+1 . B.^y=x4+x2+2. C.^{y=x3+x2+2x- 5}. D.

1 2 y x

x

= + + . Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên, ta thấy

+) hàm số cần tìm có TXĐ: D . Do đó, phương án D bị loại.

+) hàm số cần tìm đồng biến trên ¡ . Hàm số bậc 2 và hàm số bậc 4 trùng phương đã học không thể đơn điệu trên toàn tập xác định ¡ . Do đó, phương án A và B bị loại.

Kiểm tra phương án A C thấy ^{y¢=3x2+2x+2, y¢}> " Î ¡^{0 x} . Vậy, đáp án là C.

Câu 8. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào có bảng biến thiên như hình vẽ sau?

A. y   x² x 1. B.y x ⁴ x² 1. C.y   x⁴ x² 1. D.y   x⁴ x² 1 Lời giải

Chọn D

Căn cứ bảng biến thiên, ta có:

+) ^{x®±¥lim y=- ¥}  chỉ có các hàm số cho ở phương án A, C, D thoả mãn. Loại B.

+) hàm số chỉ có một điểm cực trị y¢ chỉ đổi dấu một lần. Do vậy, phương án C bị loại vì

hàm số cho ở PA này có

3

0

4 2 ; 0 1

2 1 2 x

y x x y x

x éê= êê êê

¢=- + ¢= Û ê= êê ê =-ê

ë y¢ đổi dấu 3 lần.

+) Điểm cực trị của hàm số là ^x=^{0, ' 0y}

( )

=⁰. Phương án A bị loại vì hàm số cho ở phương án này có ^{y¢=- 2x+1, y¢}

( )

^{0 =1}

Kiểm tra phương án D: ^{y¢=- 4x3- 2x=- 2 2x x}

(

^{2+1 ;}

)

^{y¢= Û0 x=0;}

0 0; 0 0

y¢< Û >x y¢> Û <x (thoả mãn).

Vậy, đáp án đúng là D.

Câu 9. Hãy chọn hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

A. y  x⁴ 2x². B.y x ⁴2x². C.y x ³ 2x². D. y x ⁴2x². Lời giải

Chọn B

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

+) ^{x®±¥lim y= +¥}  luỹ thừa cao nhất của xphải là bậc chẵn và có hệ số dương  Phương án A, C bị loại.

+) Hai hàm số còn lại là các hàm số bậc 4 trùng phương dạng ^y=ax4+bx2+c. Hàm số cần tìm có ba điểm cực trị ^yđổi dấu 3 lần y¢=0có ba nghiệm phân biệt ab<0. Chỉ có phương án B thoả mãn điều kiện này.

Vậy, đáp án đúng là B.

Câu 10. Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào?

A.

2 3

1 y x

x

 

 . B.

1 2 1 y x

x

 

 . C.

2 1 y x

 x

 . D.

2 1 y x

x

 

 . Lời giải

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta xác định được:

+) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là ^{x=- 1; y=- 2} Như vậy, có hai hàm số thoả mãn điều kiện này là các hàm số cho ở phương án A và B.

+) Hàm số cần tìm nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó y¢< " Î0, x TXD.

Xét hàm số cho ở phương án A:

( )

²

1 0,

y 1 y x

¢= x Þ ¢> " Î

+ TXĐ  Phương án A bị loại.

Kiểm tra phương án B:

 

²

3 0,

y 1 y x

x

     

 TXĐ, thoả mãn.

Vậy, đáp án đúng là phương án B.

 Mức độ 2

Câu 1. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị

 

^C như hình vẽ. Hỏi

 

^C là đồ thị của hàm số nào ?

O x

y

1 1

A.y x ³1. B.^y



^x1



³_{. C.}^y



^x1



³_{. D.}y x ³1. Lời giải

Chọn B

Quan sát đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số ^{y ax 3bx2 cx d a}



^0



_.

0

a ; x   0 y 1; y  0 x 1 suy ra đáp án B hoặc D.

1 2

1 01



Mặt khác ^y



^x1



^{3 y3}



^x1



^{2 0}_{ x 1}; nên tiếp tuyến tại ^M

 

^1;0 trùng với trục Ox.

Câu 2. Hàm số

2 1 y x

x

 

 có đồ thị là hình vẽ nào dưới đây ?

A.

O x

y

1 1 3

. B.

O x

y

1 1

2

2

. C.

O x

y 1

2 1 2

. D.

O x

y

1 2

2 . Lời giải

Chọn B

Ta có

 

²

3 0

y 1

   x 

 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Vậy loại phương án A và phương án D.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm



^{0; 2}



nên loại phương án C.

Câu 3. Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình bên.

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

^1_?.

 

^I

 

^II

 

^III

 

^IV

A.

 

^III _{. B.}

 

^II _{. C.}

 

^IV _{. D.}

 

^I _.

Lời giải Chọn B

Gọi ^{M x f x}



^;

  

thuộc đồ thị hàm số ^{y f x}

 

_{. Khi đó} ^{M x f x}



^;

 

^1



_{là ảnh của}



^;

  

M x f x qua phép tịnh tiến theo vectơ ^{ v MM }

 

^0;1 _.

Vậy đồ thị của hàm số ^{f x}

 

_{là hình}

 

^II . Do đó đáp án đúng là B.

Chú ý: Hình vẽ có sự sắp xếp lại cho hợp lý so với đề gốc nhưng vẫn đảm bảo nội dung bài toán.

Câu 4. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên?

A.^y



^x22



^21_{. B.}^y



^x22



^21_{. C.}y  x⁴ 2x²3. D.y  x⁴ 4x²3.

Lời giải Chọn A

Ta có ^y



^{x 2}



^{ 1 x 4x 3}_.

Nhìn vào hình vẽ, ta có đồ thị ứng với hàm bậc bốn trùng phương có a0 và ^a, b trái dấu.

Chọn đáp án A.

Câu 5. Cho hàm số y x a

bx c

 

 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tính giá trị của biểu thức P a b c   .

A.P 3. B.P1. C.P5. D.P2.

Lời giải Chọn A

Ta có: Tiệm cận đứng: x2 ² c

  b

2b c 0

  

 

¹ _.

Tiệm cận ngang: ^y1

1 1

 b

1

 b

 

² _.

Thế

 

² _vào

 

¹ _{suy ra c 2}. Suy ra hàm số có dạng ² y x a

x

 

 . Đồ thị hàm số đi qua điểm



^2;0



nên ta có:

0 2

2 2

 a

     a 2. Vậy P   2 1 2 3.

Câu 6. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ax4bx2c} _{với a0} có đồ thị như hình vẽ:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A.a0; b0; c0. B.a0; b0; c0. C.a0; b0; c0. D.a0; b0; c0.

Lời giải Chọn A

Ta có nhánh bên phải đồ thị đi xuống, suy ra a0.

Mặt khác do đồ thị có ba cực trị suy ra ab0 mà a  0 b 0. Mà giao điểm của đồ thị với trục ^Oy tại điểm có tung độ ^{y c 0}.

y

O x

Vậy chọn đáp án A.

Câu 7. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ Å

2 Å

2

∞ +∞

Å ∞ 2 +∞

Å

y Å

y' Å x

A.

2 1 2 y x

x

 

 . B.

2 3

2 y x

x

 

 . C.

3 2 y x

x

 

 . D.

2 5

2 y x

x

 

 . Lời giải

Chọn A

Ta có : Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là :^x2 và tiệm cận ngang y2. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{;2 , 2;}

 

^



_nên ^{y    0, x}



^{; 2}

 

^{ 2;}



_.

Nên chọn đáp án A :

 

²

2 1 3

0, 2

2 2

y x y x

x x

  

     

 

. Câu 8. Cho hàm số

y ax b cx d

 

 có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.ab0, cd 0. B.bc0, ad 0. C.ac0, bd 0. D.bd 0, ad 0. Lời giải

Chọn B

Vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên ad bc 0, với mọi x d

  c

nên ad bc .

Mặt khác

 

^{C Ox A b}a^;0

 

   và ⁰ b

 a

nên ab0

 

¹ _Loại đáp án A.

Và

 

^{C Oy B 0;}d^b

 

  

  và ⁰ b d 

nên bd 0

 

² _Loại đáp án C.

Từ

 

¹ _và

 

² _{ta có ad  0} Loại đáp án D.

Mặt khác, phương trình đường tiệm cận đứng ⁰ x d

  c

nên cd 0. Suy ra bc0. Câu 9. Hàm số y ax ⁴bx²c,



^a0



có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.a0,b0,c0. B.a0,b0,c0. C.a0,b0,c0. D.a0,b0,c0. Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có 0

. 0

0 a a b c

 

 

 



0 0 0 a b c

 

 

  .

Câu 10. Cho hàm số y 2x³bx² cx d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

O x

y

1 2 4

A.bcd  144. B.^{c2 b2d2}. C.b c d  1. D.b d c  . Lời giải

Chọn C

Ta có y  6x²2bx c ,^{y  12x2b}

Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra hàm số có hai điểm cực trị là x1 và x2, do đó

 

 

 

 

1 0

2 0

1 0

2 0

y y y y

 



 

  

  



6 2 0

24 4 0

12 2 0

24 2 0

b c b c b b

   

   

   

  



6 2 0

24 4 0

6 12

b c b c b

   



    

  



9 12 b c

 

    . Đồ thị hàm số đi qua điểm

 

^{0; 4} _{nên d4. Do đó b c d  1.}

 Mức độ 3

Câu 1. Cho hàm số ^{y ax} ³^bx2 cx d a b c d R



^{, , ,} 



có đồ thị trong hình dưới đây. Tính tổng

2 2 2 2

S a b c d

A.16 . B.25 . C.10 . D.26 . Lời giải

Chọn D

Ta có:y 3ax²2bx c .

Từ đồ thị ta có

 

 

 

 

 

1 0 0

0 0

2 0 8 4 2 0

4 4

0 4 4

4 1

12 4 0

' 2 0 8 4 4 3

' 0 0 0

y a b c d

c c

y a b c d

d d

y d

a b a

a b c

y a b b

y c



     

           

       

       

      

        

       

  

 Vậy S26.

Câu 2. Cho hàm số ^{f x}

 

^ax3^bx2 cx d a b c d R



^{, , ,} 



có bảng biến thiên sau

Xác định dấu của ^{a b d, ,} .

A. ^{a0,b0,d 0}. B. ^{a0,b0,d 0}. C. ^{a0,b0,d 0}. D. ^{a0,b0,d 0}.

Lời giải Chọn D

Từ bảng biến thiên ta có d0.

 

lim 0

x f x a

    

 

² .

' 3. . 2. .

f x  a x  b x c

Ta có hàm số nhận ^x0,x2 là điểm cực trịnên

 

 

' 0 0 ' 2 0 f

f

 

 



2

0 0

3 .2 2 .2 0 3

c c

b a

a b

 

 

      Nên b0. Vậy ^{a0,b0,d0}.

Câu 3. Cho hàm sốy ax ⁴bx²c có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^{M a2b2c2}.

A.M 18. B.M 6. C.M 20. D.M 24.

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số ta có ^{a0,b0,c0}.

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm

  

^{1;2 ; 0; 1}



_và ^y_CD ^3 do đó ta có hệ phương trình:

2 2

.1 .1 2 1 1 1 9

.0 .0 1 3 3 4 12

1 1

16 0

. . 3

3 2 2

2

a b c c c a a

a b c a b a b b b

c c

b a

b b

b a b c

y a a a

 

               

 

              

    

                

          

       



Suy ra M 18 hoặc M 226. Vậy giá trị nhỏ nhất của M 18. Câu 4. Cho hàm số

1 y a x

b x c

 

 có bảng biến thiên sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.^{a0,b0,c0}. B.^{a0,b0,c0}. C.^{a0,b0,c0}. D.^{a0,b0,c0}. Lời giải

Chọn C

Dựa vào BBT, ta có:

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang a 2

y b ^{ a 2 1 .b}

 

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ¹ x c

  b ^{  c b}

 

^{2 .}

+) Lại có ^y0

 

0 3 .

ac b 

Thay

   

^{1 , 2} _vào

 

³ _được ^{2 .b}

 

^{  b b 0}_2b²_{ b 0} ^{   1}₂ ^{b 0.}

Từ

 

¹ _{suy ra a0. Từ}

 

² _{suy ra c0.Vậy} a0,b0,c0 chọn C.

Câu 5. Cho hàm số

a x b y x c

 

 có bảng biến thiên sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.^{a0,b0,c0}. B.^{a0,b0,c0}. C.^{a0,b0,c0}. D.^{a0,b0,c0}. Lời giải

Chọn B

Dựa vào BBT, ta có:

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ^{y a   1 0.}

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ^{x  c 1   c 1 0.}

+) Lại có

y0 ac b 0  b ac ^{  b}

   

^{1 . 1  1 0 .}

Vậy ^{a0,b0,c0} chọn B.

Câu 6. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ax 3}



^{a b c, ,}



bx c

  

 

có bảng biến thiên như sau:

Trong các số ^{a b,} và c có bao nhiêu số âm?

A.3. B.2 . C.1. D.0 .

Lời giải Chọn A

Hàm số ^{f x}

 

^{ax 3}

bx c

 

 có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x c

 b

và đường tiệm cận ngang là đường thẳng ^.

y a

b

Từ bảng biến thiên ta có

2 2 (1)

3 (2) 3

c

c b b

a a b

b

  

  

 

  

 

Vì hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng



^{ ; 2}



_và



^{ 2;}



_nên

   

²

3 0 3 0 (3)

ac b

f x ac b

bx c

      



Thay

   

^{1 , 2} _vào

 

³ _{ta được} ^{6b23b    0 1}₂ ^{b 0.}

Vậyb là số âm nên a và c cũng là số âm. Do đó trong các số ^{a b,} và c có 3 số âm.

Câu 7. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số ^{y f x}



^2018



^2019 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5 . B. 4 . C. 2 . D.3 .

Lời giải Chọn D

Đồ thị hàm số ^{u x}

 

^{ f x}



^2018



^2019 có được từ đồ thị hàm số ^{f x}

 

bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số ^{f x}

 

sang phải 2018 đơn vị và lên trên 2019 đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của ^{u x}

 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số ^{g x}

 

^{ u x}

 

có 3 điểm cực trị.

Câu 8. Cho hàm số ^{y f x( )} xác định trên . Biết đồ thị ^{( )C} của hàm số ^{y f x}

 

như hình vẽ.

Tìm hàm số ^{y f x( )}trong các hàm số số sau:

A.

3 2

( ) 3 1.

f x x  x  B. f x( )x⁴8x²1.

C.

4 2

( ) 1 4 1.

f x 2x  x 

D. f x( )x³2x²1.

Lời giải Chọn A

Xét trên khoảng^(0;), có ^{y f x}

 

^{ f x( )}_.

Dựa vào đồ thị hàm số ^{y f x}

 

có điểm cực tiểu ^{A(2; 5)} . + Xét hàm số

3 2

( ) 3 1

f x x  x  (0) 1

f   ;

Có f x( ) 3 x²6x

( ) 0 2

f x   x ( ) 6 6 f x  x

(2) 6 0

f   nên hàm số đạt cực tiểu tại x2 (2) 5

f   nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là ^{A(2; 5)} . + Xét hàm số

4 2

( ) 8 1

f x x  x  (2) 17

f   (loại)

+ Xét hàm số

4 2

( ) 1 4 1

f x 2x  x  (2) 9

f   (loại)

+ Xét hàm số

( ) 2 1

f x x  x  (2) 1

f   (loại) Câu 9. Cho hàm số

y ax b x c

 

 có đồ thị như hình vẽ a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức

3 2

T a  b c bằng:

A. T 12. B. T 10. C. T  7. D.T  9. Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm số trên hình vẽ có tiệm cận ngang là đường thẳng ^{y 1} mà lim

x y a

 

, lim

x y a

  nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng y a suy ra a 1

Suy ra y x b

x c

  



Đồ thị hàm số đi qua các điểm ^A



^{0; 2 ,}

 

^{B 2;0}



_{suy ra}

2 0 2

2 b c

b c

  

  

  



2 1 b c

 

   

3 2 1 6 2 9

T a  b c      . Câu 10. Cho hàm số ^{y f x( )}

ax b cx d

 

 có đồ thị hàm số ^{f x}

 

như trong hình vẽ dưới đây:

Biết rằng đồ thị hàm số ^{f x( )} đi qua điểm ^A

 

^0;4 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ^f

 

^{1 2}_{. B.} ^f

 

^{2 11}_{2 . C.} ^f

 

^{1  7}_{2. D.} ^f

 

^{2 6}_.

Lờigiải ChọnD

Đồ thị hàm số ^{f x( )} đi qua ^A



^0;4



_{nên b4d}

 

¹ _.

Ta có:

   

²

ad bc f x cx d

  

 .

Căn cứ theo đồ thị hàm số ^{f x}

 

_{ta có} ^{  d}_c ¹_{ c d}

 

² _.

Đồ thị hàm số ^{f x}

 

_{đi qua} (0;3) nên ^{2 3} ad bc

d

  ₂

3 ad bc d

  

 

³ _.

Thay

 

¹ _,

 

² _vào

 

³ _{ta được ad4d}² _3d² _{ a 7d}



^{d 0}



_{vì nếu d 0 thì a b c}

d 0 (vô lí ).

Do đó ^{f x}

 

^{7dx 4d}

dx d

 



7 4

1 x x

 

 . Vậy ^f

 

^{2 6}_.

 Mức độ 4

Câu 1. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ.

Phương trình ^f



^{1 3 x}



^{ 1 3} có bao nhiêu nghiệm?

A.4 . B. 3 . C. 6 . D. 5 .

Lời giải Chọn A

Dựa vào BBT ta có:

   

 

1 1 5

0 3 3 3

x f

f x x f

    

   

   



Xét hàm số ^{g x}

 

^{ f}



^{1 3 x}



^1_{.Ta có:}

 

³



^{1 3}



g x   f  x . Suy ra ^{g x}

 

^{0  f}



^{1 3 x}



^{0 1 3}1 3 3¹ x x

  

   

2 3 2 3 x x

 

   

 . 2

 

1 1 6

g       3 f ; ²

 

^{3 1 2}

g3 f    .

Mặt khác ^{f x}

 

^{    0 1 x 3}_{. Do đó} ^{f }



^{1 3x}



^0

2 2

1 1 3 3 2 3 2

3 3

x x x

             

Suy ra: ^{g x}

 

^{ 3f}



^{1 3 x}



^{0    2}₃ ^{x 2}₃ nên ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình ^f



^{1 3 x}



^{ 1 3} có 4 nghiệm.

Câu 2. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

y = f(x)

-4 y

O x

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình



²



3sin cos 1

4 4

2cos sin 4

x x

f f m m

x x

   

  

   

 

 

¹ _{có nghiệm?}

A.3 . B. 4 . C. 5 . D. Vô số.

Lời giải Chọn A

Đặt

3sin cos 1

2cos sin 4

x x

t x x

 

   ^



^{2 1 cost}



^{x }



^{t 3 sin}



^{x  1 4t}

 

^* _.

Phương trình

 

^* có nghiệm 



^2t1

 

^{2 t 3}

 

^{2 4t1}



^{2  }₁₁^{9  t 1}_.

Suy ra 0 t 1.

Từ đồ thị ^{y f x}

 

_{ta có}

* ^{y f x}

 

đồng biến trên



^0;



*^{m24m 4}



^m2



^2



^0;



_.

*^{t }



^0;



_.

Nên ^{f } _2cos^3sinx_x^^cos_sinx^x^{ 1}₄ ^{ f m}



^{2 4m4}



 ^{f t}

 

^{ f m}



^24m4



^{ t m24m4}

Phương trình

 

¹ có nghiệm  0m²4m 4 1m²4m 4 1    3 m 1. Do ^m      ^m



^{3; 2; 1}



.

Câu 3. Cho hàm số bậc ba ^{y f x}

 

có đồ thị

 

^C như hình vẽ, đường thẳng d có phương trình 1.

y x  Biết phương trình ^{f x}

 

^0 có ba nghiệm x¹x² x³. Giá trị của x x^{1 3} bằng

A. 3. B.

7

3

. C.2. D.

5

2 . Lời giải

Chọn C

Giả sử ^{f x}

 

^{ax3bx2  cx d a,}



^{0 .}



Dựa vào đồ thị ta thấy

 

^C _{và d}cắt nhau tại 3 điểm: A



^1;yA

   

^, B ^{1;0 ,}C ^3;yC



và đồ thị

 

^C cắt trục tung tại điểm ^D

 

^0;2 nên ta có hệ phương trình:

     

     

           

3 2

3 2

3 2 2

3 2

. 1 1 1 1 1 1

. 1 1 1 0 3

3 2 1 2 2 .

. 3 3 3 3 1 0

2 2

a b c d a

a b c d b

f x x x x x x

a b c d c

d d

           

 

      

         

  

      

   



Vì x² 1 nên x x¹, ³là nghiệm của phương trình ^{x22x 2 0.}

Do đó x x^{1 3} 2.

Câu 4. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình ²

2 1

f f x m

x

   

   

  có nghiệm là

A.



^{1; 2}



_{. B.}

 

^0;2 _{. C.}



^1;1



_{. D.}



^2;2



_.

Lời giải Chọn D

Vì  x  ta có:

2

2 2

2 2

1 2 1 1 1

1 1

x x

x x

x x

       

 

Từ đồ thị thấy

   

   

1;1 ( ) 2;2

2;2 ( ) 2;2

x f x

x f x

    

    

Xét phương trình ² 2

1

f f x m

x

   

   

  .

Đặt ² 2

1 t x

 x

 ; ² 2

1 u f x

x

 

   .

Vì ^{t }



^1;1



^{  u}



^2;2



^{ f u( ) }



^2;2



Vậy để phương trình ban đầu có nghiệm thì ^{f u}

 

^m có nghiệm thuộc đoạn



^2;2



nên ^{m }



^2;2



_.

Câu 5. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ bên:

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình ^f



^{2sinx 1}



^{f m}

 

có nghiệm thực?

A. 2. B. 5. C. 4. D. 3.

Lời giải Chọn D

Ta có  x  : 1 2sin  x 1 3.

Căn cứ vào đồ thị ta có ^{ 2 f x( ) 2   x}



^1;3



^{  2 f(2sinx   1) 2 x}  .

Từ đó suy ra phương trình ^f



^{2sinx 1}



^{f m}

 

có nghiệm thực khi và chỉ khi 2 f m( ) 2 1 m 3

       , mà m nguyên dương nên ^m



^{1; 2;3}



_.

Vậy có 3 số nguyên dương m thỏa mãn đề bài.

Câu 6. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu số nguyên mđể phương trình ^{f f x}

  

^m



^0 có tất cả 9 nghiệm thực phân biệt?

A.1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .

Lời giải Chọn A

* Ta có đồ thị hàm số ^{y f x}

 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là a, b, c với 2   a 1, 1  b 0, 1 c 2.

Ta có

       

 

0

f x m a

f f x m f x m b

f x m c

 



    

  



   

   

   

1 2 3 f x m a f x m b f x m c

 



  

  

 .

Nhận thấy phương trình ^{f x}

 

^k có nhiều nhất 3 nghiệm thực phân biệt với 3  k 1.

* Để phương trình ^{f f x}

  

^m



^0 có 9 nghiệm thực phân biệt thì các phương trình

 

¹ _,

 

²

và

 

³ đều có 3 nghiệm thực phân biệt.

Khi đó

3 1

3 1

3 1

m a m b m c

   

   

   



 

 

 

3 1 4

3 1 5

3 1 6

a m a

b m b

c m c

    



     

    

 .

Với 2   a 1 nên 3   a 2 suy ra m 2. Với 1 c 2 nên 1 c 0 suy ra m0.

Do m nên m 1.

* Với m 1

+ Ta có 3      b 2 1 m và 1    b 1 1 m nên m 1 thỏa mãn điều kiện

 

⁵ _.

+ Có 2                a 1 1 a 2 3 a 1 m 2 1 a nên điều kiện (4) thỏa mãn.

+ Có 1                 c 2 2 c 1 3 c 4 m 1 1 c nên điều kiện (6) thỏa mãn.

Câu 7. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

x y

2 14

-1 2

3

-13

O

1

Tổng các giá trị nguyên của mđể phương trình ^{f f x}

  

^{ 1}



^m có 3 nghiệm phân biệt bằng

A. 15 . B. 1. C. 13 . D.11.

Lời giải Chọn D

Phương trình ^{f x}

 

^kcó ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ^{ 1 f x}

 

^{ k 2} _hay

 

0 f x    1 k 1 3. Với mọi ^x



^{0; 3}



_{ta có} ^{f x}

  

^{ 13;14}



_.

Đặt ^{u f x}

 

^1, ta có phương trình ^{f u}

 

^m_.

- Nếu 1  m 2 thì phương trình ^{f u}

 

^mcó đúng ba nghiệm phân biệt u u u¹, ,^{2 3} thỏa mãn điều kiện 0  u¹ 1 u²  2 u³ 3, và khi đó mỗi phương trình f x

 

 1 u1, f x

 

 1 u2,

 

1 3

f x  u đều có ba nghiệm phân biệt. Do đó phương trình ^{f f x}

  

^{ 1}



^m có 9 nghiệm phân biệt.

- Nếu m2 thì phương trình ^{f u}

 

^mcó đúng hai nghiệm phân biệt u11,u2

 

2; 3 và khi đó mỗi phương trình f x

 

 1 u1, f x

 

 1 u2 đều có ba nghiệm phân biệt. Do đó phương trình ^{f f x}

  

^{ 1}



^m có 6 nghiệm phân biệt.

- Tương tự khi m 1, phương trình ^{f f x}

  

^{ 1}



^m có 6 nghiệm phân biệt.

- Nếu m2 hoặc m 1 thì phương trình ^{f u}

 

^mcó một nghiệm duy nhất u⁰. Khi đó phương trình f x

 

 1 u0  f x

 

 u0 1 có ba nghiệm phân biệt khi

1 u0 1 2

     0 u₀ 3  13 f u

 

0 14

13 1

2 14

m m

   

    .

Vậy m 



12; 11; ...; 2; 3; 4; ...;13 



. Tổng cần tìm là S    2 13 11.

Câu 8. Cho hàm số ^{f x}

 

^ax3^bx2 cx d a b c d



^{, , ,} 



có đồ thị như hình vẽ bên.

Phương trình ^{f f f f x}

       

^0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 12. B. 40. C. 41. D. 16.

Lời giải Chọn C

Đặt ( )f x_k  f(...( ( )));(f x k hàm