Bài giảng đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TOANMATH.com Trang 1 Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận

+ Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số

 Kĩ năng

+ Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng biến thiên.

+ Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số.

+ Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn.

+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan.

TOANMATH.com Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Đường thẳng y y₀ được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

 



y f x nếu lim

 

0

 

x f x y hoặc lim ₀



x y

Đường thẳng x x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

 



y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

   

0 0

lim_ ; lim_

     

x x f x x x f x ;

   

0 0

lim_ ; lim_

     

x x f x x x f x .

TOANMATH.com Trang 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Tiệm cận đứng

Đường thẳng x x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 



y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

   

0 0

lim_ ; lim_

     

x x f x x x f x

   

0 0

lim_ ; lim_

     

x x f x x x f x

Tiệm cận ngang

Đường thẳng y y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 



y f x nếu lim

 

0

 

x f x y

hoặc lim ₀



x y

TIỆM CẬN

TOANMATH.com Trang 4 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị Bài toán 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận Tiệm cận ngang

Đường thẳng y  y₀ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^nếu lim

 

0

 

x f x y hoặc

 

0

lim 

x f x y

Tiệm cận đứng

Đường thẳng x x₀ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{y  f x}

 

nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

   

0 0

lim_ ; lim_

     

x x f x x x f x

   

0 0

lim_ ; lim_

     

x x f x x x f x

Ví dụ: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{có lim}_

 

^1

x f x và

lim 1

 

x

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^{là y1 và y 1.}

Ví dụ: Cho hàm số ^{y f x}

 

^có _x^lim_2 ^{f x}

 

^{ }

và ^lim_x2 ^{f x}

 

^{ .}

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^{là x 2 và x2}

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x

 

có ^lim

 

³

  

x f x và ^lim

 

³

 

x f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y3 và y 3 B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x3 và x 3 C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải

Vì _x^lim_ ^{f x}

 

^{ 3 nên y  3} là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì _x^lim_ ^{f x}

 

^{3 nên y3} là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị là đường cong

 

^C và các giới hạn:

       

2 2

lim 1; lim 1; lim 2; lim 2

x x

x _ f x x _ f x f x f x

 

      . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng x2 là tiệm cận đứng của

 

^C

TOANMATH.com Trang 5 B. Đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của

 

^C

C. Đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của

 

^C

D. Đường thẳng x2 là tiệm cận ngang của

 

^C

Hướng dẫn giải

Ta có

 

 

lim 2

lim 2





  

 



x

x

f x

f x đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của

 

^C

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hàm số ^{y  f x}

 

xác định trên khoảng



^{ 2; 1}



^{và có}

 

lim2_ 2

 

x f x ,

 

lim1_

  

x f x .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số ^{y  f x}

 

có đúng hai tiệm cận đứng là x 2 và x 1 B. Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

có đúng một tiệm cận ngang là y 2

C. Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

có đúng một tiệm cận đứng là x 1

D. Đồ thị hàm số ^{y  f x}

 

có đúng hai tiệm cận ngang là y2 và y 1 Hướng dẫn giải

Do lim ( )1

x _ f x

   nên đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là x 1 Chọn C

Bài toán 2. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ^{y f x}

 

^xác

định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

Chú ý:

- Ứng với điểm x x₀ trong bảng biến thiên thì ở dòng y phải ghi các kí hiệu -∞ hoặc +∞ (không phải các giá trị cụ thể) thì đường thẳng x x₀ mới là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

- Ứng với điểm -∞ hoặc +∞ trong bảng biến thiên thì ở dòng y phải ghi các giá trị cụ thể y₀ (không phải là -∞ hoặc +∞) thì đường thẳng y y₀ mới là đường tiệm cận ngang của đồ thị.

Ví dụ: Cho hàm số ^{y  f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x x₀ là tiệm cận đứng và đường thẳng y y₀ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

TOANMATH.com Trang 6 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định và có đạo hàm trên ^\

 

^1 . Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có

 

lim 3 3

     

x f x y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

lim 3 3

   

x f x y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1

 

lim_ 1

     

x f x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

   

1 1

lim_ , lim_ 1

       

x f x x f x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là x 1, hai tiệm cận ngang là y 3 Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định và có đạo hàm trên _^\



^{2; 1}



và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. x 2 và x1 B. không có tiệm cận đứng

C. x 2 D. x1

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên, ta có

 2

lim_

   

x y nên x  2 là đường tiệm cận đứng;

1 1

lim_ lim_ 2

   

x y x y nên x1 không là đường tiệm cận đứng.

TOANMATH.com Trang 7 Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới.

Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^là

A. x1 và y 2 B. x1 và y2 C. x 1 và y  2 D. x 1 và y2 Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng

1, 2

  

x y .

Chọn D

Bài toán 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị khi biết hàm số Phương pháp giải

Tiệm cận của đồ thị hàm số

, 0, 0

    



y ax b c ad bc cx d

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tập xác định  \ 

 

 d

D c .

Bước 2. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị.

- lim

 

x

y a

c nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số 2 3

1

 

 y x

x

Hướng dẫn giải

Tập xác định D^^{\ 1}

 

.

Khi đó lim lim 2

   

x y x y nên đồ thị có đường tiệm cận ngang là y2

1 1

lim_ ; lim_

     

x y x y nên đồ thị có đường tiệm cận đứng là x 1

TOANMATH.com Trang 8 ngang là  a

y c - lim_



d  

x c

y nên đồ thị hàm số có đường tiệm

cận đứng là x d c

Bước 3. Kết luận Đồ thị hàm số  

 y ax b

cx d có hai đường tiệm cận:

Tiệm cận đứng  a

x c và tiệm cận ngang  d y c .

Chú ý:

- Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm

số  

 y ax b

cx d là điểm  ;  I d a

c c là tâm đối xứng của đồ thị.

- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số  

 y ax b

cx d cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có chu vi là 2  

a d

c c và diện tích là ad₂ c

Tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỷ

 

 f x

 

y g x

Điều kiện xác định ^{g x}

 

^0.

Tính các giới hạn

0

lim ; lim_

 

x y x x y nếu thỏa mãn định

X—>±0O X->Xg

nghĩa của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì kết luận.

Chú ý:

- Đối với hàm số phân thức hữu tỷ

 

 f x

 

y g x với

 

 _n ⁿ  _n1 ^n1 ... 1  0



_n 0



f x a x a x a x a a và

 

 _m ^m _m1 ^m1 ... 1  0



_m 0



g x b x b x b x b b Khi đó:

+ Nếu n m thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+ Nếu n m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

Vậy đồ thị hàm số 2 3 1

 

 y x

x

nhận đường thẳng y2 là tiệm cận ngang và nhận đường thẳng x1 là tiệm cận đứng.

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số ₂ 1

2 3

 

  y x

x x

Hướng dẫn giải

Tập xác định là D^^{\ 1; 3}



^



Ta có

1 3

lim 0; lim_ ; lim_

       

x y x y x

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là

1; 3

  

x x và một tiệm cận ngang y 0

TOANMATH.com Trang 9

 ⁿ

m

y a b

+ Nếu n m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

0 y

- Nếu đường thẳng x x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì xx₀ là nghiệm của phương trình

 

^0

g x (ngược lại nghiệm của ^{g x}

 

^{0 chưa}

chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị). Hay nói cách khác x x₀ là các điểm gián đoạn của hàm số.

Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ.

Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là tìm tập xác định của hàm số.

Bước

Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1 2

2

 

 y x

x Hướng dẫn giải

Tập xác định ^{D }



^{1; 1}



Không tồn tại các giới hạn lim ; lim

 

x y x nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng



^{1; 1}



và

   

1 1

lim_ 1 ; lim_ 1

    

x y f x y f nên hàm số liên tục

trên đoạn



^{1; 1}



^Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1 2 y x

x

 

 là

A. x 2 y 1 B. x1; y2

C. x2; y1 D. x2; y  1

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D^{\ 2}

 

Ta có

2 2

1 1

lim ; lim

2 2

x x

x x

x x

 

 

     

  nên x2 là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1 1

lim lim 1

2 2

x x

x x

x x

 

   

  nên y 1 là phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Chọn C

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x2 là tiệm cận đứng?

A. 2

2 y x

 x

 B. y2 C. 2

2 y x

 x

 D. 2

2 y x

   x

TOANMATH.com Trang 10 Hướng dẫn giải

Ta thấy hàm số 2 2 y x

 x

 có tập xác định ^D^{\ 2}

 

và

2 2

2 2

lim ; lim

2 2

x x

x x

x x

 

     

  nên đồ thị

hàm số có tiệm cận đứng là x2 Chọn A

Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số 3 1 1 y x

x

 

 là

A.



^{1; 3}



^B.



^{1; 1}



^C.

 

^{3; 1 D.}

 

^{1; 3}

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D_^{\ 1}

 

Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x1 và tiệm cận ngang của đồ thị là y 3, tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là giao của hai đường tiệm cận ^I

 

^{1; 3 .}

Chọn D

Ví dụ 4: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 1 y x

x

 

 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A. 2 (đvdt) B. 3 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 4 (đvdt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D^{\ 1}

 

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x1 và tiệm cận ngang là y 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S 1.2 2 (đvdt) Chọn A

Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2 y x

x

 

 là

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D^{\ 2}

 

.

2 2

lim lim 2 2

x x

y x

x

 

 

    

 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 2

lim lim 2 1

2

x x

y x

x

 

   

 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 1

lim lim 2 1

2

x x

y x

x

 

    

 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1 Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.

TOANMATH.com Trang 11 Chọn B

Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số ₂ 1

2 3

y x

x x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D_^{\ 1; 3}



^



Ta có lim ₂ 1 0

2 3

x

x

x x



 

  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y0. + lim1 ; lim1

x _y x _y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1; + lim3 ; lim3

x _y x _y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 3. Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận.

Chọn A

Ví dụ 7: Đồ thị hàm số 1 1 y x

x

 

 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D_^\

 

^1

Ta có lim lim 1

x y x y

     Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y1

1 1

lim ; lim

x _y x _ y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x1

1 1

lim ; lim

x _y x _ y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1 Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận

Chọn D

Ví dụ 8: Đồ thị hàm số



²



3

3 2 sin 4

x x x

y x x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D^{\ 0; 2}



^



Ta có

2 2

2 2

0 0

3 2 sin 0 3.0 2 1

lim lim .1

4 0 4 2

x x

x x x

y x x

 

      

         nên x0 không phải là đường tiệm cận đứng.

TOANMATH.com Trang 12

   

 

2

2 2 3 2

3 2 sin 1 sin sin 2

lim lim lim

2 8

4

x x x

x x x x x

y x x x x

  

  

  



 nên đường thẳng x 2 không là đường tiệm cận

đứng.



²



2 2 3

3 2 sin

lim lim

4

x x

x x x

y x x

 

 

 

  

 nên đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị.

Vậy hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là x 2. Chọn A

Ví dụ 9: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số x₂ 9 3

y x x

  

 ^là

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^{D   }



^9;

 

^{\ 0; 1}



^.

Khi đó, ta có

2 2

1 1

9 3 9 3

lim , lim 1

x x

x x x

x x x x

 

 

          

  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

   

0 2 0

9 3 1 1

lim lim

1 9 3 6

x x

x

x x x x

 

 

   

    và ₂

0

9 3 1

lim 6

x

x x x



  

 0

 x không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2

lim 9 3 0 0

x

x y

x x



    

 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Chú ý: Không tồn tại lim

x y

 vì trong tập xác định không có x tiến tới -∞

Ví dụ 10: Đồ thị hàm số

 

16 2

16 y x

x x

 

 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 B. 2 C. 0 D. 1

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^{D }



^{4; 4 \ 0}

  

Do lim0 ; lim0

x _y x _y

      nên đường thẳng x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

Chọn D.

Ví dụ 11: Đồ thị hàm số 1 1 y x

x

 

 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

TOANMATH.com Trang 13 Hướng dẫn giải

Tập xác định ^{D   }



^1;

  

^{\ 1}

Ta có :

lim lim 1 0

1

x x

y y x x

 

   

 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y0

1 1 1

lim lim 1 ; lim

1

x x x

y x y

x

  

  

     



=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x1

1 1 1

1 1

lim lim lim

1 1

x x x

y x

x x

  

  

     

 

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1 Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Chọn D

Ví dụ 12: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 ² 1 3

x x

y x

  

  là

A. y1 B. y 3 và y 1

C. y2 D. y3

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D^{\ 3}

 

Ta có

2 2

1 1

2 1

2 1 1

lim lim lim 3

3 1 3

x x x

x x x x

y x

x

  

  

  

  

 

3

 y là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2 2

1 1

2 1

2 1 1

lim lim lim 1

3 1 3

x x x

x x x x

x

x

  

  

  

  

 

1

 y là đường tiệm cận ngang.

Chọn B

Ví dụ 13: Biết các đường tiệm cận của đường cong

 

^{: 6 1 2 2}

5

x x

C y

x

  

  và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác

 

^H . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

 

^H là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 B.

 

^H là một hình vuông có diện tích bằng 4

TOANMATH.com Trang 14 C.

 

^H là một hình vuông có diện tích bằng 25

D.

 

^H là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10 Hướng dẫn giải

Tập xác định



^{ ; 2 }_{ }^{ 2;  }



^{\ 5}

^{ }

Ta có 6 1 ² 2

lim lim 5 5

5

x x

x x

y y

x

 

  

   

 là tiệm cận ngang của

 

^C

6 1 2 2

lim lim 7 7

5

x x

x x

y y

x

 

  

   

 là tiệm cận ngang của

 

^C

5 5

lim ; lim 5

x _y x _ x

        là tiệm cận đứng của

 

^C

Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y 5; y 7; x5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có kích thước 2 5 nên có diện tích bằng 10.

Chọn D

Ví dụ 14 : Cho hàm số y x x² 2x3. Khi đó, đồ thị hàm số A. có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

B. có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng C. có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

D. không có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Hướng dẫn giải

Tập xác định D

Do hàm số liên tục trên  nên đồ thị không có tiệm cận đứng

Ta có



²



2

2 3

lim lim 2 3 lim 1

2 3

x x x

y x x x x

x x x

  

       

   1

  y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số



²



lim lim 2 3

x y x x x x

       

Vậy đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y 1 Chọn B

Ví dụ 15: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1

y x

 x

 là

A. y1 và y  1 B. y 1

C. y 1 D. Không có tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

Tập xác định



^{  ; 1}

 

^{1; }



TOANMATH.com Trang 15 Ta có

lim lim 2 1

x x 1

y x

   x 

 và

lim lim 2 1

x x 1

y x

  x

  

 1

 y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{có lim}

 

²

x f x

  và ^lim

 

²

x f x

   . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y2 và y 2 B. Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x2 và x 2 Câu 2: Hàm số ^{y f x}

 

xác định với mọi x 1, có

 

 

 

1 1

lim , lim , lim

x _ f x x _ x f x

         ,

 

xlim f x

  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Câu 3: Cho hàm số ^{y f x}

 

^có

 

lim3

x _ f x

   và

 

lim3 2

x _ f x

  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

B. Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

không có tiệm cận đứng

C. Đường thẳng x3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{y  f x}

 

D. Đường thẳng x3 không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

Câu 4: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định và liên tục trên ^\

 

^1 có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang B. Hàm số không có đạo hàm tại x 1 C. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x1 D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

TOANMATH.com Trang 16 Câu 5: Cho hàm số ^{y  f x}

 

xác định trên _^{\ 1}

 

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 6: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên ^{R\ 0}

 

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 7: Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

Câu 8: Cho hàm số ^{y  f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

TOANMATH.com Trang 17

A. 4 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 9: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như sau

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 10: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 y x

x

 

 là

A. y 1 B. x 1 C. x1 D. y 1

Câu 11: Đồ thị của hàm số 2 3 y x

x

 

 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Câu 12: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1 1 y x

x

 

 là

A. y 2 B. x1 C. y2 D. x 1

Câu 13: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận đường thẳng x 2 là đường tiệm cận?

A. 5

2 y x

 x

 B. 2 1

y x 1

   x

 C. 2

y 2

 x

 D. 1

y 1

 x

 Câu 14: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 5

2 3

y x x

 

 là A. 3 5

5 2;

 

 

  B. 5 3

2; 2

  

 

  C. 3 5

2; 2

  

 

  D. 3 5

2; 2

  

 

 

Câu 15: Tổng khoảng cách từ điểm ^M



^{1; 2}



đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 1 y x

x

 

 là

A. 4 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 16: Đồ thị hàm số ₂2 1 y x

 x

 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

TOANMATH.com Trang 18

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Câu 17: Đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây?

A. 1 1 y x

x

 

 B.

2 2 3 2

2

x x

y x

 

  C. 2 2

2 y x

x

 

 D.

1 2

1 y x

x

 

 Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ² 2 3

2 4

x x

y x

 

  là

A. x2 B. x 1 C. y1 D. x1

Câu 19: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 3

1 2 1

x x

y  x  x

  là

A. y2 B. 1

x 2 C. 1

y 2 D. 3

y  2 Câu 20: Đồ thị hàm số

2 2

5 6

3 2

x x

y x x

 

   có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1 B. 3 C. 0 D. 2

Câu 21: Cho hàm số 2 ₂² 3 2

2 3

x x

y x x

 

   . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x  1 và x3 C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1

y 2 D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y2

Câu 22: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2017 1 y x

x

 

 là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 23: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị tham số

3

2 2

x x y x x

 

  là

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Câu 24: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

1 4

2 3

y x

x x

 

   là

A. 0 B. 2 C. 3 D. 1

Câu 25: Đồ thị hàm số

2 2 3

2

x x

y x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 26: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4 1 1 y x

x

  

 là

A. x1; y2 B. x1 C. x0; y 1 D. x1; y 1 Câu 27: Đồ thị hàm số

2

1 4 y x

x

 

 có bao nhiêu đường tiệm cận?

TOANMATH.com Trang 19

A. 2 B. 0 C. 1 D. 4

Câu 28: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai đường tiệm cận ngang?

A.

2

2 x x

y x

 

 B. 2

2 y x

x

 

 C. 2

1 y x

x

 

 D.

4 2

1 y x

x

 



Câu 29: Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số



¹1



y x

x x

 

 . Giá trị của n, d là

A. n1;d 2 B. n0;d 1 C. n0;d 2 D. n d 1 Câu 30: Đồ thị hàm số 3 ² 2

2 1

y x

x x

 

  có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 31: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2

2 1

4 3

y x x

 

 là

A. y1 B. y1 và y  1 C. y2 D. y 2 và y 2 Câu 32: Đồ thị hàm số y2x 1 4x² 4 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 1 B. 0 C. 3 D. 2

Câu 33: Đồ thị hàm số

2

2 1 y x

x x

   có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 34: Đồ thị hàm số y 4x²4x 3 4x²1 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

Câu 35: Đồ thị hàm số

2 2

4

2 5 2

y x

x x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

ĐÁP ÁN

1-A 2-A 3-C 4-D 5-A 6-B 7-A 8-C 9-C 10-A

11-A 12-D 13-A 14-C 15-A 16-B 17-A 18-A 19-C 20-A

21-C 22-B 23-B 24-D 25-C 26-B 27-A 28-C 29-C 30-D

31-B 32-A 33-B 34-A 35-A

TOANMATH.com Trang 20 Dạng 2: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số y ax b cx d

 

 Phương pháp giải

Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y ax b

cx d

 

 thì c0 và ad bc 0 Khi đó phương trình các đường tiệm cận là + Tiệm cận đứng x d

 c + Tiệm cận ngang a

y  c

Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 2x 4

x m

 

 có tiệm cận đứng là A. m 2

B. m 2 C. m 2 D. m 2 Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

2m 4 0 m 2

      Chọn B

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số



^{2m 1}



^{x 1}

y x m

 

  có đường tiệm cận ngang y3 là

A. m1 B. m0 C. m2 D. m3

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là



^{2 1}



^{1 0 2 2 1 0}

m m m m m

          

Phương trình đường tiệm cận ngang là y 2m1 nên có 2m  1 3 m2. Chọn C

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 1 y x

mx

 

 có tiệm cận đứng là

A.  B. ^{\ 0}

 

C. ^{\ 1}

 

D. ^{\ 0; 1}

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 0 0

1 0 1

m m

m m

 

 

    

 

Chọn D

Ví dụ 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 1 y x

mx

 

 không có tiệm cận đứng là

TOANMATH.com Trang 21

A.  B. 1

0; 3

 

 

  C. 1

3

  

  D.

 

⁰

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là 0 0

1 3 0 1

3 m m

m m

 

  

    

 

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hàm số

1 y ax b

x

 

 . Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điềm ^A



^{0; 1}



và có đường tiệm cận ngang là y1. Giá trị a b bằng

A. 1 B. 0 C. 3 D. 2

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a b 0 Do đồ thị hàm số đi qua điểm ^A



^{0; 1}



^{nên b 1}

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y  a a 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy a b 0

Chọn B

Ví dụ 5: Biết rằng đồ thị của hàm số

 

 

3 2019

3

a x a

y x b

  

   nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a b bằng

A. 3 B. -3 C. 6 D. 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ^



^a3



^{b 3}

 

^a2019



^0

Phương trình các đường tiệm cận là

3 3 0 3

3 3 0 3

x b b b

y a a a

     

  

       

   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy a b 0 Chọn D

Ví dụ 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 2 y x

x m

 

 đi qua điểm

 

^{1; 2}

A là

A. m4 B. m 2 C. m 4 D. m2

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m  2 0 m2

TOANMATH.com Trang 22

Đường tiệm cận đứng là 1 2

2 2

m m

x       m (thỏa mãn) Chọn B

Ví dụ 7: Cho hàm số 1 2 y mx

x m

 

 với tham số m0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A. x2y 0 B. 2x y 0 C. x2y 0 D. y 2x Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là 2m²    1 0 m .

Phương trình các đường tiệm cận là x2 ;m ym nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là



^{2 ;}



I m m thuộc đường thẳng x2y Chọn C

Ví dụ 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4x 5 y x m

 

 có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung là

A. m0 và 5

m 4 B. m0

C. m0 và 3

m 4 D. m0

Hướng dẫn giải

Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 5

4 5 0

m m 4

    

Phương trình đường tiệm cận đứng là x m Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m0 Vậy điều kiện cần tìm là

0 5 4 m m

 

 



Chọn A.

Bài toán 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp giải

- Tiệm cận của đồ thị hàm số

 

A

y f x với A là số thực khác 0 và ^{f x}

 

là đa thức bậc n0.

- Đồ thị hàm số

 

A

y f x luôn có tiệm cận ngang

Ví dụ: Cho hàm số ₂ 2

2 3 1

y x mx m

   . Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x2 là tiệm cận đứng là

A. m3 B. m2

TOANMATH.com Trang 23 0

y .

- Đường thẳng x x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

A

y f x khi và chỉ khi x₀ là nghiệm của

 

f x hay f x

 

0 0

- Tiệm cận của đồ thị hàm số

 

 

y f x

 g x với

   

^,

f x g x là các đa thức bậc khác 0.

- Điều kiện để đồ thị hàm số

 

 

y f x

 g x có tiệm cận ngang là bậc ^{f x}

 

^{ bậc g x}

 

^.

- Điều kiện để đường thẳng x x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

 

y f x

 g x là x₀là nghiệm của ^{g x}

 

nhưng không là nghiệm của ^{f x}

 

^hoặc

x0 là nghiệm bội n của ^{g x}

 

, đồng thời là nghiệm bội m của ^{f x}

 

^{và m n}

C. m3 D. m2

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x²2mx3m 1 0 Đặt ^{g x}

 

^{x22mx3m1}

Để đường thẳng x2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho thì

 

^{2 0 4 4 3 1 0 3}

g    m m  m Chọn A

Ví dụ: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2x2 3x m

y x m

 

  không có tiệm cận đứng là A. m0

B. m1 C. m0;m1 D. m0;m 1 Hướng dẫn giải Điều kiện xm

Đặt ^{f x}

 

^{2x23x m}

Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng thì

 

^{0 2 2 3 0 0}

1

f m m m m m

m

 

        Chọn C.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ² 2 1

2 1

mx x

y x

 

  có tiệm cận đứng là

A. m8 B. m0 C. m4 D. m 8

Hướng dẫn giải

Tập xác định 1

\ 2

D  

 

 . Đặt ^{g x}

 

^{mx22x1}

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì 1

x 2 không là nghiệm của ^{g x}

 

TOANMATH.com Trang 24

1 0 2 0 8

2 4

g  m m

         Chọn D

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số ₂ 1

2 6

y x

x mx n

 

   (m, n là tham số) nhận đường thẳng x1 là tiệm cận đứng, giá trị của m n bằng

A. 6 B. 10 C. -4 D. -7

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x²2mx n  6 0. Đặt ^{g x}

 

^{ x2 2mx n 6}

Do x1 là nghiệm của ^{f x}

 

 ^{x 1} nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x1 là tiệm cận đứng thì x 1 phải là nghiệm kép của phương trình

   

2 2

1 2 7 0 2 7 1

0 6 0 2 1 0 5

g m n n m m

g x m n m m n

          

            

Vậy m n  4. Chọn C

Ví dụ 3: Biết đồ thị hàm số

 

²

2

2 1

6 m n x mx

y x mx n

  

    nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m n bằng

A. 8 B. 9 C. 6 D. -6

Hướng dẫn giải

Điều kiện x² mx n  6 0

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y2m n 2m n 0

   (1)

Đặt ^{f x}

 

^{(2m n x ) 2mx1 và g x}

 

^{x2 mx n 6}

Nhận thấy ^f

 

⁰ ⁰ với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x0 là tiệm cận đứng thì

 

^{0 0 6 0 6}

g      n n . Kết hợp với (1) suy ra m3. Vậy m n 9

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hàm số

2 2

1

4 9

ax x y x bx

  

  có đồ thị

 

^C (a, b là các số thực dương và ab4). Biết rằng

 

^C có tiệm cận ngang y c và có đúng một tiệm cận đứng.

Giá trị của tổng T 3a b 24c bằng

A. 8 B. 9 C. 6 D. 11

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 25 Điều kiện 4x²bx 9 0

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

4 4

a a

y   c Đồ thị

 

^C có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình 4x²bx 9 0 có nghiệm kép xx₀ và không là nghiệm của

2 1 0

ax bx 

2 144 0 12

b b

      . Vì b0 nên 1 1

12 3 12

b    a c

Thử lại ta có hàm số

2

2

1 1

3

4 12 9

x x

y x x

  

  (thỏa mãn) Vậy 3.1 12 24.1 11

3 12

T    

Trường hợp 2: 4x² bx 9 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn

2 1 0

ax   x . Điều này không xảy ra vì ab4. Chọn D

Chú ý: a; b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.

Bài toán 3 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ Cho hàm số vô tỷ ^{y f x}

 

- Tìm tập xác định D của hàm số.

- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

y f x thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn lim

x y

 hoặc

xlim y

 hữu hạn.

Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 

²

4

2 1 3

1

m x

y x

 

  có đường tiệm cận ngang đi qua điểm ^A



^{1; 3}



^là

A. m0 B. m 1 C. m 2 D. m2

Hướng dẫn giải Tập xác định D Ta có lim 2 1

x y m

   nên đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y 2m1

Để tiệm cận ngang đi qua điểm ^A



^{1; 3}



^thì

2m   1 3 m 2 Chọn C

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y2x ax² bx4 có tiệm cận ngang y  1

TOANMATH.com Trang 26 Giá trị 2a b ³ bằng

A. 56 B. -56 C. -72 D. 72

Hướng dẫn giải

Điều kiện ax²bx 4 0

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a0 Khi đó, ta có



²



lim lim 2 4

x y x x ax bx

       



²

 ^

2

^

²

4 4

lim lim 2 4 lim 1

x x x 4 2

a x bx

y x ax bx

ax bx x

  

  

      

  

4 0 4

1 4

2

a a

b b

a

    

     

. Vậy 2a b ³  56 Chọn B.

Chú ý: Để lim 1

x y

   thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a 4 0. Khi đó lim

2

x

y b a

 

 

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2 2 3

2 1

mx x x

y x

  

  có một đường tiệm

cận ngang là y2?

A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2

Hướng dẫn giải

Tập xác định 1

\ 2 D   

  

Ta có 1 1

lim ; lim

2 2

x x

m m

y y

 

 

 

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là

1 2 3

2 2

1 2 5

2 m y m

m m

  

  

     



Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Biết rằng đồ thị hàm số ax 1 y x b

 

 có tiệm cận đứng là x2, tiệm cận ngang là y 3. Khi đó a b bằng

A. -1 B. 2 C. 1 D. -2

Câu 2: Các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số



¹



^{2 1}

1

m x m

y x

  

  không có tiệm cận đứng là

TOANMATH.com Trang 27

A. m2 B. 1

m 2 C. m1 D. m 1

Câu 3: Cho hàm số 1 2 y ax

bx

 

 . Giá trị của tham số a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x1 làm tiệm cận đứng và đường thẳng 1

y 2 làm tiệm cận ngang là

A. a2;b2 B. a 2;b 2 C. a 1;b2 D. a 1;b 2 Câu 4: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1

2 y mx

x m

 

 đi qua điểm ^A

 

^{1; 2}

là

A. m 2 B. m 4 C. m 5 D. m2

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

1 y x m

mx

 

 không có đường tiệm cận đứng?

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 6: Biết đồ thị hàm số 1 2 y ax

bx

 

 có đường tiệm cận đứng là x2 và đường tiệm cận ngang là 3

y , giá trị của a b bằng

A. 4 B. 0 C. 1 D. 5

Câu 7: Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 1 y mx

x

 

 có tiệm cận đứng là

A. m2 B. m 2 C. m 2 D. m2

Câu 8: Cho hàm số 2mx 1

y x m

 

 với tham số m0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A. 2x y 0 B. y2x C. x2y 0 D. x2y 0 Câu 9: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3

1 y x

x m

 

  đi qua điểm



^{5; 2}



A là

A. m 1 B. m6 C. m4 D. m 4

Câu 10: Cho hàm số 1

3 1

y mx x n

 

  . Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Khi đó tổng m n bằng

A. 0 B. 1

3 C. 1

3 D. 2

3

Câu 11: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 5 1 y mx

x

 

 đi qua điểm ^M



^{10; 3}



^là

A. m5 B. m 3 C. m3 D. 1

m 2