LƯỢNG GIÁC
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
TP. HỒ CHÍ MINH
LƯỢNG GIÁC
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Ở cuốn sách này, ngoài việc đưa ra những khái niệm và dạng bài tập cơ bản, chúng tôi sẽ thêm vào đó lịch sử và ứng dụng của môn học này để các bạn hiểu rõ hơn “Nó xuất phát từ đâu và tại sao chúng ta lại phải học nó?”.
Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần :
minh.9a1.dt@gmail.com
CÁC TÁC GIẢ
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.
- Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót.
- Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này.
- Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm.
Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.
Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành cuốn sách này :
- Tô Nguyễn Nhật Minh (ĐH Quốc Tế Tp.HCM) - Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)
- Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)
- Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) - Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) - Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh) - Phan Đức Minh (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội)
và một số thành viên diễn đàn MathScope.
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ ... 1
CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ... 4
2.1 CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC ... 7
2.2 2.3 2.4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 77
3.2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ... 81
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 133
3.3 NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC... 143
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 191
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 15
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ... 21
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 33
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC ... 36
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 45
CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN SỐ ... 46
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... 51
CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ... 52
3.1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ... 55
TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC
CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC ... 199 TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 205
CHƯƠNG 1
SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ
I. KHÁI NIỆM
Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Sâu xa hơn, ở khía cạnh hiện đại hơn, định nghĩa hàm lượng giác là chuỗi vô hạn hoặc là nghiệm của phương trình vi phân, điều này cho phép
phép hàm hàm llưượợnngg ggiiáácc cócó tthhểể cócó đđốốii ssốố llàà mmộộtt ssốố thực hay một số phức bất kỳ.
( Dạng đồ thị hàm sin )
Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được cho là thực hiện đầu tiên bởi Hipparchus(1) (180-125 TCN), người đã lập bảng tính độ dài các cung tròn và chiều dài của dây cung tương ứng. Sau đó, Ptomely(2) tiếp tục phát triển công trình, tìm ra công thức cộng và trừ cho ሺ ሻ và ሺ ሻ, Ptomely cũng đã suy diễn ra được công thức hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với bất kỳ độ chính xác cần thiết nào. Tuy nhiên, những bảng tính trên đều đã bị thất truyền.
Các phát triển tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, công trình của Surya Siddhanta(3) (thế kỷ 4-5) định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân.
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác cơ bản đều được phát triển nhằm phục vụ trong các công trình thiên văn học, cụ thể là dùng để tính toán các đồng hồ mặt trời.
II.
II. LLỊỊCCH H SSỬỬ
ͳ
ʹሺͳͶǡͺ െ ͻǡʹሻ ൌ ʹǡͺ
Hệ số nào mà chúng ta cần để kéo căng đồ thị hình sin theo chiều ngang nếu
chúng ta đo thời gian ݐ trong ngày? Bởi có 365 ngày/ năm, chu kỳ của mô hình nên là 365.
Nhưng mà giai đoạn của ݕ ൌ ݐ là ʹߨ, nên hệ số kéo căng theo chiều ngang là :
Ngày nay, chúng được dùng để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, giữa các mốc giới hạn hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Rộng hơn nữa, chúng được áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác : quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, dược khoa, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học, khí tượng học, hải dương học…
Ta lấy ví dụ từ một bài toán sau trích từ Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time :
Việc mô hình hóa về số giờ chiếu sáng của mặt trời là hàm thời gian trong năm tại nhiều vĩ độ khác nhau. Cho biết Philadelphia nằm ở vĩ độ ͶͲ୭ Bắc, tìm hàm biểu thị số giờ chiếu sáng của mặt trời tại Philadelphia.
Chú ý rằng mỗi đường cong tương tự với một hàm số sin mà bị di chuyển và kéo căng ra. Tại độ cao của Philadelphia, thời gian chiếu sáng kéo dài 14,8 giờ vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 giờ vào ngày 21 tháng 12, vậy nên biên độ của đường cong (hệ số kéo căng theo chiều dọc) là :
ܿ ൌ ʹߨ
͵ͷ
Chúng ta cũng để ý rằng đường cong bắt đầu một chu trình của nó vào ngày 21 tháng 3, ngày thứ 80 của năm nên chúng ta phải phải dịch chuyển đường cong về bên phải 80 đơn vị. Ngoài ra, chúng ta phải đưa nó lên trên 12 đơn vị. Do đó chúng ta mô hình hóa số giờ chiếu sáng của của mặt trời trong năm ở Philadelphia vào ngày thứ ݐ của năm bằng hàm số :
ܮሺݐሻ ൌ ͳʹ ʹǡͺ ʹߨ
͵ͷሺݐ െ ͺͲሻ൨
CHƯƠNG 2
CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với cung ߙ là các cung :
- Đối với ߙ : െߙ - Bù với ߙ : ߨ െ ߙ - Hiệu ߨ với ߙ : ߨ ߙ - Hơn kém గ
ଶ với ߙ : గ
േ ߙ
െߙ ߨ െ ߙ ߨ
ʹെ ߙ ߨ
ʹ ߙ
cos ߙ ߙ െ ߙ
sin െ ߙ െ ߙ ߙ ߙ
tan െ ߙ ߙ ߙ െ ߙ
cot െ ߙ ߙ ߙ െ ߙ
െ ߙ ൌ ͳ
െ ߙ ൌ ͳ
1. CÔNG THỨC CƠ BẢN
ଶݔ ଶݔ ൌ ͳ ݔ ݔ ൌ ͳ ቀݔ ് ݇ߨ
ʹǡ ݇ א Ժቁ
ݔ ൌ ݔ
ݔ ͳ ଶݔ ൌ ͳ
ଶݔቀݔ ്ߨ
ʹ ݇ߨǡ ݇ א Ժቁ ݔ ൌ ݔ
ݔͳ ଶݔ ൌ ͳ
ଶݔሺݔ ് ݇ߨǡ ݇ א Ժሻ ߨ ߙ
െ ߙ െ ߙ
ߙ
െ ߙ
െ ߙ Ngoài ra, có một số hàm lượng giác khác :
ߙ ߙ
െߙ ൌ ͳ െ ߙ െ ߙ ൌ ߙ െ ͳ II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Từ hình vẽ thực tiễn trên, ta rút ra được một số công thức cơ bản về hàm lượng giác :
2. CÔNG THỨC CỘNG
ሺܽ േ ܾሻ ൌ ܽ ܾ േ ܾ ܽ ሺܽ ܾሻ ൌ ܽ ܾ ט ܽ ܾ
ሺܽ േ ܾሻ ൌ ܽ േ ܾ ͳ ט ܽ ܾ
ߨ
ሺܽ േ ܾሻ ൌ
ʹݔ ൌ ൝
ʹݔ ൌ
ͳ െ ଶݔቀݔǡ ʹݔ ് ߨ
ʹ ݇ߨǡ ݇ א Ժቁ
b. CÔNG THỨC NHÂN 3
͵ݔ ൌ ͵ ݔ െ Ͷ ଷݔ ൌ Ͷ ݔ ቀߨ
͵െ ݔቁ ቀߨ
͵ ݔቁ ͵ݔ ൌ Ͷ ଷݔ െ ͵ ݔ ൌ Ͷ ݔ ቀߨ
͵െ ݔቁ ቀߨ
͵ ݔቁ
͵ݔ ൌ͵ ݔ െ ଷݔ
ͳ െ ͵ ଶݔ ൌ ݔ ቀߨ
͵െ ݔቁ ቀߨ
͵ ݔቁ Công thức tổng quát đối với hàm tan :
ሺܽ ܾ ܿሻ ൌ ܽ ܾ ܿ െ ܽ ܾ ܿ ͳ െ ܽ ܾ െ ܾ ܿ െ ܿ ܽ
ቀܽǡ ܾǡ ܽ േ ܾ ്
ʹ ݇ߨǡ ݇ א Ժቁ ܽ ܾ ט ͳ
ܽ േ ܾ ሺܽǡ ܾǡ ܽ േ ܾ ് ݇ߨǡ ݇ א Ժሻ
3. CÔNG THỨC NHÂN
a. CÔNG THỨC NHÂN 2
ʹݔ ൌ ʹ ݔ ݔ ଶݔ െ ଶݔ
ʹ ଶݔ െ ͳ ͳ െ ʹ ଶݔ ʹ ݔ
c. CÔNG THỨC TÍNH THEO ݐ ൌ ݔ
ʹݔ ൌ ʹݐ ͳ ݐଶ ʹݔ ൌͳ െ ݐଶ
ͳ ݐଶቀݔ ് ߨ
ʹ ݇ߨǡ ݇ א Ժቁ
ʹݔ ൌ ʹݐ ͳ െ ݐଶ
d. CÔNG THỨC HẠ BẬC
ଶݔ ൌͳ െ ʹݔ
ʹ ଶݔ ൌͳ ʹݔ
ʹ ଶݔ ൌͳ െ ʹݔ ͳ ʹݔ
ଷݔ ൌെ ͵ݔ ͵ ݔ
Ͷ ଷݔ ൌ ͵ݔ ͵ ݔ Ͷ
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
a. TÍCH THÀNH TỔNG
ܽ ܾ ൌͳ
ʹሾ ሺܽ ܾሻ ሺܽ െ ܾሻሿ
ܽ ܾ ൌ െͳ
ሾ ሺܽ ܾሻ െ ሺܽ െ ܾሻሿ
ܽ ܾ ൌͳ ʹ ܽ ܾ ൌͳ ʹ
b. TỔNG THÀNH TÍCH
ܽ െ ܾ
ܽ ܾ ʹ
ʹ ܽ െ ܾ
ܽ ܾ ʹ
ʹ ܽ െ ܾ
ܽ ܾ ʹ
ʹ ܽ െ ܾ ʹ
ܽ േ ܾ ൌሺܽ േ ܾሻ
ܽ ܾቀܽǡ ܾ ് ߨ
ʹ ݇ߨǡ ݇ א Ժቁ ܽ േ ܾ ൌሺܾ േ ܽሻ
ܽ ܾሺܽǡ ܾ ് ݇ߨǡ ݇ א Ժሻ
ܽ ܾ ൌ ሺܽ െ ܾሻ
ܽ ܾቀܽ ് ߨ
ʹ ݇ߨǡ ܾ ് ݈ߨǡ ݇ǡ ݈ א Ժቁ ܽ െ ܾ ൌ ሺܽ ܾሻ
ܽ ܾቀܽ ് ݇ߨǡ ܾ ് ߨ
ʹ ݈ߨǡ ݇ǡ ݈ א Ժቁ ʹ
ሾሺܽ ܾሻ ሺܽ െ ܾሻሿ ሾሺܽ ܾሻ െ ሺܽ െ ܾሻሿ
ܽ ܾ ܽ ܾ ൌ ʹ ʹ ܽ െ ܾ ൌ െʹ
ܽ ܾ ൌ ʹ
ܽ െ ܾ ൌ ʹ
c. CÔNG THỨC BỔ SUNG
ܽ േ ܽ ൌ ξʹ ቀܽ േߨ Ͷቁ ܽ േ ܽ ൌ ξʹ ቀܽ טߨ
Ͷቁ ξ͵ ܽ േ ܽ ൌ ʹ ቀܽ േߨ
ቁ ൌ ʹ ቀܽ טߨ
͵ቁ
ܽ േ ξ͵ ܽ ൌ ʹ ቀܽ േߨ
͵ቁ ൌ ʹ ቀܽ טߨ
ቁ
݉ ܽ ݊ ܽ ൌ ඥ݉ଶ ݊ଶሺܽ ܾሻ Trong đó
൝ ݉ଶ ݊ଶ Ͳ ܾ ൌ ݉
ξ݉ଶ ݊ଶǢ ܾ ൌ III. CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giải:
a. Ta có :
ൌ ܽ
ܽ െ ܽ
ܽ ൌ ଶܽ െ ଶܽ
ܽ ܽ ൌʹ ʹܽ
ʹܽ ൌ b. Ta có :
ൌ ʹ ܽ ൬ ܽ
ܽ ܽ
ܽ൰ ൌ ʹሺଶܽ ଶܽሻ ൌ ʹ
݊ ξ݉ଶ ݊ଶ
1. CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
- Ta thường sử dụng các phương pháp : biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng thành vế đơn giản; biến đổi tương đương; xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.
- Trong khi biến đổi ta sử dụng các công thức thích hợp hướng đến kết quả phải đạt được.
- Lưu ý một số công thức trên phải chứng minh trước khi sử dụng.
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau : a. ܽ െ ܽ ൌ ʹ ʹܽ
b. ʹܽ ሺ ܽ ܽሻ ൌ ʹ
Giải:
a. Ta có :
ቀ ݔ ݔ ͳቁ
ଶݔ
ൌ ݔ ݔ
ଷ ൌ
Ͷ
ଶʹݔെ ʹ ൌ Ͷ ͳ െ Ͷݔ
ʹ
െ ʹ ൌ ʹ Ͷݔ
ͳ െ Ͷݔ ൌ d. Ta có :
ൌ ݔ ቀ ͳ
ݔ െ ͳቁ
ଷݔ ൌ ͳ െ ݔ
ݔ ሺͳ െ ݔሻሺͳ ݔሻൌ ͳ
ݔ ሺͳ ݔሻൌ
Ǥ ଷݔ ଶݔ ݔ ͳ ൌ ݔ ݔ ଷݔ
Ǥͳ ݔ
ͳ െ ݔ ൌ ݔ ͳ
ݔ െ ͳ Ǥ ʹ Ͷݔ
ͳ െ Ͷݔ ൌ ଶݔ ଶݔ
Ǥ ݔ െ ݔ
ଷݔ ൌ ͳ
ݔ ሺͳ ݔሻ Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau :
ൌ ଶݔ ሺ ݔ ͳሻ ݔ ͳ ൌ ሺ ݔ ͳሻሺଶݔ ͳሻ ൌ ݔ
b. Ta có điều cần chứng minh tương đương với
ሺͳ ݔሻሺ ݔ െ ͳሻ ൌ ሺ ݔ ͳሻሺͳ െ ݔሻ
ݔ െ ͳ ݔ ݔ െ ݔ ൌ ݔ െ ݔ ݔ ͳ െ ݔ Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
c. Ta có :
ൌ ሺ ݔ ݔሻଶെ ʹ ൌ
Giải:
a. Ta có :
ݔ ݔ ൌ ሺଶݔ ଶݔሻሺସݔ െ ଶݔ ଶݔ ସݔሻ
ൌ ሺଶݔ ଶݔሻଶെ ͵ ଶݔ ଶݔ ൌ ͳ െ͵
Ͷଶʹݔ ൌ ͳ െ͵
ͺሺͳ െ Ͷݔሻ
ൌͷ ͵ ସݔ ͺ
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b. Ta có :
ͳ െ ʹݔ
ʹݔ ൌ ൌ ݔ Nên
ߨ
ͳʹൌͳ െ ߨ
ߨ
ൌ ͳ െ ξ͵ ͳ ʹ ʹ
͵ߨ
ͳʹ ൌͳ െ ͵ߨ
͵ߨ
ͷߨ
ͳʹ ൌ
ͷߨ
ൌ ʹ ξ͵
Vậy ൌ ൫ʹ െ ξ͵൯ଶ ͳ ൫ʹ ξ͵൯ଶ ൌ ͳͷ
ସݔ ൌ͵ ͺെͳ
ʹ ʹݔ ͳ
ͺ Ͷݔ ൌ ସ ߨ
ͳ ସ͵ߨ
ͳ ସͷߨ
ͳ ସߨ ͳ
Bài 4: Chứng minh
Áp dụng tính tổng sau :
ൌ ଶ ߨ
ͳʹ ଶ͵ߨ
ͳʹ ଶͷߨ ͳʹ Bài 3: Chứng minh :
a. ͷ ͵ Ͷݔ ൌ ͺሺݔ ݔሻ b. ʹݔ ݔ ൌ ͳ െ ʹݔ
Suy ra giá trị :
ʹ ଶݔ ʹ ݔ ݔ
ൌ ʹ െ ξ͵
ൌ ͳ ͳ െ ͷߨ
Giải:
Ta có :
ସݔ ൌ ൬ͳ െ ʹݔ
ʹ ൰
ଶ
ൌͳ ଶʹݔ െ ʹ ʹݔ
Ͷ ൌͳ ͳ Ͷݔ
ʹ െ ʹ ʹݔ Ͷ
ൌ͵
ͺ Ͷݔ ͺ െͳ
ʹ ʹݔ Suy ra
ସ ߨ ͳൌ͵
ͺെͳ ʹ ߨ
ͺͳ ͺ ߨ
Ͷ
ସ͵ߨ ͳ ൌ͵
ͺെͳ
ʹ ͵ߨ ͺ ͳ
ͺ ͵ߨ Ͷ
ସͷߨ ͳ ൌ͵
ͺെͳ
ʹ ͷߨ ͺ ͳ
ͺ ͷߨ Ͷ
ସߨ ͳ ൌ͵
ͺെͳ
ʹ ߨ ͺ ͳ
ͺ ߨ Ͷ Vì
͵ߨ
ͺ ͷߨ
ͺ ൌ ߨ
ͺ ߨ
ͺ ൌ ߨ
Ͷ ͵ߨ
Ͷ ൌ ͷߨ
Ͷ ߨ Ͷ ൌ Ͳ Nên
ൌ ͵ ʹ
Giải:
Ta có :
ଶݔ ଶݕ ൌ ͳ ʹݔ
ʹ ͳ ʹݕ
ʹ ൌ ͳ ሺݔ ݕሻ ሺݔ െ ݕሻ ଶݖ ൌ ଶ൫݊ߨ െ ሺݔ ݕሻ൯ ൌ ଶሺݔ ݕሻ
ଶݔ ଶݕ ଶݖ ൌ ͳ ʹǤ ሺെͳሻ ݔ ݕ ݖ Bài 5: Cho ݔǡ ݕǡ ݖ với ݔ ݕ ݖ ൌ ݊ߨ ሺ݊ א Գሻ
Chứng minh
Nên
ൌ ͳ ሺݔ ݕሻ ሾ ሺݔ ݕሻ ሺݔ െ ݕሻሿ ൌ ͳ ʹ ሺݔ ݕሻ ݔ ݕ
ൌ ͳ ʹ ሺ݊ߨ െ ݖሻ ݔ ݕ Khi
- ݊ ൌ ʹ݉ thì ሺ݊ߨ െ ݖሻ ൌ ݖ
- ݊ ൌ ʹ݉ ͳ thì ሺ݊ߨ െ ݖሻ ൌ െ ݖ Vậy ta có điều phải chứng minh.
Giải: Đặt
ൌ ߨ
െ ʹߨ
͵ߨ
Ta có :
ʹ ߨ
ൌ ʹߨ
െ ʹ ߨ
ʹߨ
ʹ ߨ
͵ߨ
ൌ ʹߨ
െ ͵ߨ
ቀെߨ
ቁ൨ Ͷߨ
൬െʹߨ
൰൨
ൌ ʹߨ
െ ͵ߨ
ߨ
Ͷߨ
െ ʹߨ
ൌ ߨ
൬Ͷߨ
ൌ ͵ߨ
൰ Do đó
ൌͳ ʹ
ݔ ଶݔ ଶݔ ݔ ൌ ͳ
ͺሺͳ െ ସʹݔሻ Bài 7: Chứng minh
ߨ
െ ʹߨ
͵ߨ
ൌͳ ʹ Bài 6: Chứng minh
(ĐH Đà Nẵng 1998)
Giải: Ta có điều cần chứng minh tương đương với
ଶݔ ଶݔ ሺସݔ ସݔሻ ൌͳ
ͺሺͳ െ ଶʹݔሻሺͳ ଶʹݔሻ
ͺ ଶݔ ଶݔ െ ͳ ସݔ ସݔ ൌ ଶʹݔ ሺͳ ଶʹݔሻ
ʹ ଶʹݔ െ ସʹݔ ൌ ଶʹݔ ଶʹݔ ଶʹݔ
ଶʹݔ ൌ ଶʹݔ ሺଶʹݔ ଶʹݔሻ
Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Giải: Ta có :
ൌ ቌ ܽ ܽ ͳ ܽ ͳ ቍ
൰
ൌ ܽ
ൌ ܽ ܽ
ܽ ܽൌ ܽ
Giải:
Ta có :
ൌ ଶܽ ଶܽ ʹ ଶܽ ሺͳ െ ଶܽሻ
ൌ ͳ
ͳ ܽሺଶܽ ܽ ଶܽሻ ܽ ܽ ʹ ଶܽ ଶܽ
ଶܽ െ ʹ ସܽ ͵ ଶܽ ൌ ଶܽ
ͳ ܽͳ െ ଶܽ
ͳ ܽ ܽ ܽ ʹ ଶܽ ଶܽ Bài 9: Chứng minh
൬ ܽ ܽ ͳ ܽ ܽ൰
ൌ Bài 8: Chứng minh
ൌ ൬ ܽ ܽ ܽ
ܽ ܽ ܽ
ܽ ܽ
ͳ ܽ ͳ ൌ ܽ ܽ
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
ܽ ܽ
ͳ ܽ ܽǡ ݊ א Գ
ൌ ܽ
ܽ ܽቆଷܽ ଷܽ
ܽ ቇ ܽ ܽ ʹ ଶܽ ଶܽ
ൌ ͳ െ ܽ ܽ ܽ ܽ ʹ ଶܽ ଶܽ ൌ ͳ ʹ ଶܽ ଶܽ Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Giải: Đặt
Ͷ ൌ ୭ ͷͶ୭ ୭
Ͷ ൌͳ
Ͷ ୭ሺͲ୭ ୭ሻ ሺ୭ െ ୭ሻ ൌͳ
Ͷ ͳͺ୭ ൌെͳ ξͷ ͳ
Vậy
ൌ ξͷ െ ͳ ͳͲʹͶ
ʹ୭ ͳͺ୭ ʹʹ୭ ͵ͺ୭ Ͷʹ୭ ͷͺ୭ ʹ୭ ͺ୭ ͺʹ୭ ൌξͷ െ ͳ ͳͲʹͶ Bài 10: Chứng minh
(ĐHSP Hải Phòng 2001)
ൌ ʹ୭ ͳͺ୭ ʹʹ୭ ͵ͺ୭ Ͷʹ୭ ͷͺ୭ ʹ୭ ͺ୭ ͺʹ୭ Ta có :
͵ܽ ൌ Ͷ ܽ ሺͲ୭ ܽሻ ሺͲ୭െ ܽሻ Áp dụng công thức trên, ta được :
Ͷ ʹ୭ሺͲ୭ ʹ୭ሻ ሺͲ୭െ ʹ୭ሻ ൌ ୭ Ͷ ͳͺ୭ሺͲ୭ ͳͺ୭ሻ ሺͲ୭ െ ͳͺ୭ሻ ൌ ͷͶ୭ Ͷ ʹʹ୭ሺͲ୭ ʹʹ୭ሻ ሺͲ୭ െ ʹʹ୭ሻ ൌ ୭ Nhân lại, ta được :
Giải:
x Ta có : ݔ ൌ ݔ െ ʹ ʹݔ Sử dụng công thức này, ta được :
ܽ ൌ ܽ െ ʹ ʹܽ
ͳ ʹܽ
ʹൌͳ ʹ ܽ
ʹെ ʹ ܽ ͳ
Ͷܽ Ͷൌ ͳ
ʹଶ ܽ Ͷെͳ
ʹ ܽ ʹ
………..
ͳ
ʹ ܽ ʹ ൌ ͳ
ʹ ܽ
ʹെ ͳ
ʹିଵ ܽ ʹିଵ
ܽ ͳ ʹܽ
ʹǥ ͳ
ʹ ܽ ʹ ൌ ͳ
ʹ ܽ
ʹെ ʹ ʹܽ
ܽ ͵ܽ ǥ ሺʹ݊ െ ͳሻܽ ൌ ʹ݊ܽ
ʹ ܽǡ ܽ א ቀͲǢߨ
ʹቁ ǡ ݊ א Գ
ܽ ͵ܽ ǥ ሺʹ݊ െ ͳሻܽ ൌ ଶ݊ܽ
ܽ ǡ ܽ א ቀͲǢߨ
ʹቁ ǡ ݊ א Գ Bài 11: Chứng minh rằng
Cộng lại, ta có được điều phải chứng minh.
x Ta sử dụng công thức ʹ ݔ ݕ ൌ ሺݔ ݕሻ ሺݔ െ ݕሻ Ta có : ʹ ܽ ൌ ʹܽ ሺ Ͷܽ െ ʹܽሻ ሺ ܽ െ Ͷܽሻ ǥ ሾ ʹ݊ܽ െ ሺʹ݊ െ ʹሻܽሿ ൌ ʹ݊ܽ
Vậy ta có điều phải chứng minh.
x Ta sử dụng công thức ʹ ݔ ݕ ൌ ሺݔ െ ݕሻ െ ሺݔ ݕሻ
Ta có : ʹ ܽ ൌ ሺͳ െ ʹܽሻ ሺ ʹܽ െ Ͷܽሻ ሺ Ͷܽ െ ܽሻ ǥ ሾ ሺʹ݊ െ ʹሻܽ െ ʹ݊ܽሿ ൌ ͳ െ ʹ݊ܽ ൌ ʹ ଶ݊ܽ
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1.1. Chứng minh các đẳng thức sau
a. ͵ݔ ଷݔ ͵ݔ ଷݔ ൌ ଷʹݔ b. Ͷ ଷݔ ͵ݔ Ͷ ଷݔ ͵ݔ ൌ ͵ Ͷݔ c. ݔ ʹ ʹݔ ൌ ݔ
2.1.2. Chứng minh
ሺଶݔ ଶݔ ͳሻሺ ଶݔ െ ଶݔ ͳሻ ሺ ଶݔ ଶݔ ͳሻሺଶݔ ଶݔ െ ͳሻ ൌ ͳ 2.1.3. Chứng minh
ଶݔ ଶቀߨ
͵െ ݔቁ ଶቀߨ
͵ Áp dụng tính tổng :
2.1.4. Chứng minh
ሻሺ݊ െ ͳሻܽ ܽ ൌ
ሻͳ ͳ ʹܽൌ
ሻ ͳ
Ͷ ଶ ܽ ʹ
ൌ ͳ
ଶ ܽ ʹെ ͳ
െ ͳ
Ͷ ଶ ܽ ʹ
2.1.5. Chứng minh ଶʹͲ୭,ଶͶͲ୭,ଶͺͲ୭ là nghiệm của phương trình ݔଷെ
͵͵ݔଶ ʹݔ െ ͵ ൌ Ͳ Từ đó suy ra giá trị của
ൌ ଶʹͲ୭ ଶͶͲ୭ ଶͺͲ୭
ൌ ଶʹͲ୭ଶͶͲ୭ ଶͶͲ୭ଶͺͲ୭ ଶͺͲ୭ଶʹͲ୭ ൌ ଶʹͲ୭ଶͶͲ୭ଶͺͲ୭
ݔቁ ൌ ͻ ଶ͵ݔ
ൌ ଶͷ୭ ଶͳͲ୭ ڮ ଶͺͷ୭
ܽ
ሺ݊ െ ͳሻܽ െ ݊ܽ
ሻሺ݊ െ ͳሻܽ ݊ܽ ൌ ܽ ሾ ݊ܽ െ ሺ݊ െ ͳሻܽሿ െ ͳ
ʹܽ
ʹିଵܽ ͳ
Ͷିଵ
2.1.6. Cho 3 góc ǡ ǡ thỏa ൌ Ͷͷ୭ Chứng minh
െ ൌ ͳ െ െ െ
2.1.7. Chứng minh
ݔ ݔ ൌ ͷ ͺ͵
ͺ Ͷݔ 2.1.8. Chứng minh
ସܽ ସܽ െ ͳ
ܽ ܽ െ ͳ ൌʹ
͵
2.1.9. Chứng minh ͳ ܽ
ʹ ܽ ቈͳ െሺͳ െ ܽሻଶ
ଶܽ െ ଶܾ ଶܿ ൌ ܽ െ ͳ 2.1.10. Chứng minh
ͳ
ͳ
ͳݔ ൌ ݔ െ ͳݔ
݇ߨ
ʹ ሺ݇ א Ժǡ ݈ א Գሻ
ǥ ͳ
ʹݔ ൌ ݔ െ ʹݔ
଼ݔ ଼ݔ ൌ͵ͷ
Ͷ
ͳ Ͷݔ ͳ
Ͷ ͺݔ 2.1.12. Chứng minh
ͳʹ୭ ͳͺ୭െ Ͷ ͳͷ୭ ʹͳ୭ ʹͶ୭ ൌ െξ͵ ͳ ʹ
(ĐHQG Hà Nội 2001) (ĐHQG Hà Nội 1996)
ଶܾ െ ଶܿ
ଶܾ ଶܿ
ͳ ͳ
ʹݔ Ͷݔ
ͺݔ ừ¯×ǡ ứ ớọ݊ א Գǡ ݔ ്
ͳ ͳ
Ͷݔ
ʹݔ 2.1.11. Chứng minh
2.1.13. Chứng minh Ͷ ͳͺ୭ ͷͶ୭ ൌ ͳ
(ĐH Phòng Cháy Chữa Cháy 2001) 2.1.14. Chứng minh
͵Ͳ୭ ͶͲ୭ ͷͲ୭ Ͳ୭ ൌ ͺ
ξ͵ ʹͲ୭
(ĐHQG Hà Nội 1995) 2.1.15. Chứng minh
ሻͳ ͳͲ୭ ͵Ͳ୭ ͷͲ୭ Ͳ୭ ൌ ͳ
ሻͺ Ͷ ߨ
ͺ ʹ ߨ
ͳ ߨ
͵ʹൌ ߨ
͵ʹ 2.1.16. Chứng minh
Ǥ ߨ
ͳͷ ʹߨ
ͳͷ ͵ߨ
ͳͷ Ͷߨ
ͳͷ ͷߨ
ͳͷ ͳ
ሺܾ െ ܿሻ
ܾ ܿ ሺܿ െ ܽሻ ܿ ܽ ൌ Ͳ 2.1.19. Chứng minh
ͳ െ ʹ ଶܽ ʹ ቀߨ
Ͷ ܽቁ ଶቀߨ Ͷ െ ܽቁ
ൌ ͳ 2.1.20. Chứng minh
ͳ ܽ ʹܽ ͵ܽ
ʹ ଶܽ ܽ െ ͳ ൌ ʹ ܽ
ߨ
ͳͷ ߨ ͳͷ ൌ
ʹ
Ǥ ͷ୭ ͷͷ୭ ͷ୭ ͷ୭ ൌ ͳ 2.1.17. Chứng minh
ͳͲ୭ ʹͲ୭ ͵Ͳǥ Ͳ୭ ͺͲ୭ ൌ ͳ 2.1.18. Chứng minh
ሺܽ െ ܾሻ ܽ ܾ
2.1.21. Chứng minh
ܽ െ ܽ െ ʹ ʹܽ െ Ͷ Ͷܽ െǥെ ʹ ʹܽ ൌ ʹାଵ ʹାଵܽ 2.1.22. Chứng minh
଼ܽ െ ଼ܽ െ Ͷ ܽ ସܽ െ Ͷ ଶܽ ൌ ͳ - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1.1. ǡ – Sử dụng công thức hạ bậc.
2.1.3. Đặt
ݐ ൌ ݔ Khi đó
ൌ ݐଶ ቆξ͵ െ ݐ ͳ ξ͵ݐቇ
ଶ
ቆξ͵ ݐ Áp dụng tính tổng, viết lại thành
ൌ ሺଶͷ୭ ଶͷͷ୭ ଶͷ୭ሻ ሺଶͳͲ୭ ଶͷͲ୭ ଶͲ୭ሻ
ൌ
ൌ
ͳʹ ሾ ܽ െ ሺʹ݊ െ ͳሻܽሿ ݊ܽ ሺ݊ െ ͳሻܽ
c) Ta có :
ൌ ͳ ʹܽ
ʹܽ ൌʹ ଶʹିଵܽ ʹିଵܽ
ʹܽ ʹିଵܽ ൌ ʹܽ ʹିଵܽ
ʹܽ ʹିଵܽ ൌ d) Ta có điều cần chứng minh tương đương với :
ͳ ܽ ͳ
ܽ ൌ ͳ ͳ
ܽ ͳ െ ξ͵ݐቇ
ଶ
ሺଶͳͷ୭ ଶͶͷ୭ ଶͷ୭ሻ ሺଶʹͲ୭ ଶͶͲ୭ ଶͺͲ୭ሻ
ሺଶʹͷ୭ ଶ͵ͷ୭ ଶͺͷ୭ሻ ଶ͵Ͳ୭ ଶͲ୭ Rồi sử dụng công thức đã chứng minh ở trên.
2.1.4.
a) Để ý
ൌ ܽ
ሺ݊ܽ െ ݊ܽ ܽሻ
ሺ݊ െ ͳሻܽ ݊ܽ
b) Để ý
ൌ ܽ െ ݊ܽ ሺ݊ െ ͳሻܽ
݊ܽ ሺ݊ െ ͳሻܽ
2.1.5. Sử dụng công thức
͵ܽ ൌ ͵ ܽ െ ଷܽ ͳ െ ͵ ଶܽ Cho ܽ ൌ ʹͲ୭, ta có :
͵ ʹͲ୭െ ଷʹͲ୭
ͳ െ ͵ ଶʹͲ୭ ൌ ξ͵
Suy ra
ሺ͵ ʹͲ୭െ ଷʹͲ୭ሻଶ ൌ ͵ሺͳ െ ͵ ଶʹͲ୭ሻଶ 2.1.6. Áp dụng công thức :
ሺܽ ܾ ܿሻ ൌ 2.1.9. Cần chứng minh
ͳ ܽ
ʹ ܽ ቈͳ െ ൌ ܽ
െ ଶܾ ଶܿ ൌ െͳ 2.1.10. Để ý
ݔ െ ʹݔ ൌ Ǣ ʹݔ െ Ͷݔ ൌ ͳ
Ͷݔ Ǣ ͺݔ െ ͳݔ ൌ ͳ
ͳݔ
ൌ ʹ ͳͷ୭ ͵୭ െ ʹ ͳͷ୭ሺ Ͷͷ୭ ͵୭ሻ ൌ ͵Ͳ୭ െ Ͳ୭ 2.1.13. Nhân 2 vế cho ͳͺ୭.
2.1.14. Áp dụng công thức
ܽ ܾ ൌ ሺܽ ܾሻ ܽ ܾ
ܽ ܾ ܿ െ ܽ ܾ ܿ ͳ െ ܽ ܾ െ ܾ ܿ െ ܿ ܽ
ሺͳ െ ܽሻଶ
ଶܽ ଶܾ െ ଶܿ
ଶܾ ଶܿ
ͳ
ʹݔ ͳ
ͺݔ Ͷݔ െ ͺݔ ൌ
2.1.12. Ta có :
Viết lại thành ሺ ͷͲ୭ ͶͲ୭ሻ ሺ ͵Ͳ୭ Ͳ୭ሻ 2.1.15.
a) Để ý
ͳͲ୭ ൌ ͺ ʹͲ୭ͳ
ʹ ͶͲ୭ ʹͲ୭ b) Sử dụng công thức
ܽ െ ܽ ൌ ʹ ʹܽ
Ta có điều phải chứng minh tương đương với ቂ ߨ
͵ʹെ ߨ
͵ʹቃ െ ʹ ߨ
ͳെ Ͷ ߨ ͺ ൌ ͺ 2.1.16.
a. Cần chứng minh
ʹ ߨ
ͳͷ ൌ ʹଷ ߨ
ͳͷ ͵ߨ
ͳͷ ͷߨ
ͳͷ ߨ ͳͷ Suy ra
ʹ͵ߨ
ͳͷ ൌ ʹଶߨ
ͳͷ ߨ
ͳͷ ͷߨ ͳͷ
ݔ െ ݕ ൌ ሺݔ െ ݕሻ ݔ ݕ 2.1.19. Ta chỉ cần chứng minh
ߨ ߨ ߨ ߨ
b. Ta có điều cần chứng minh tương đương với
ሺ ͷ୭ ͷ୭ሻሺ ͷͷ୭ ͷ୭ሻ ൌ ሺ ͷ୭ ͷ୭ሻሺ ͷͷ୭ ͷ୭ሻ 2.1.17.
Để ý rằng ଶ ൌ ሺ ͳͲ୭ ͳͲ୭ሻሺ ʹͲ୭ ʹͲ୭ሻ ǥ ሺ ͺͲ୭ ͺͲ୭ሻ ൌ ͳ 2.1.18. Áp dụng công thức
2.1.21. Sử dụng công thức sau :
ܽ െ ܽ ൌ ʹ ʹܽ
2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
- Ở loại bài tập này, ngoài các công thức biến đổi cơ bản, ta cần chú ý thêm các công thức sau :
ܽ ൌ ቀߨ
ʹെ ܽቁ Ǣ ܽ ൌ ቀߨ
ʹെ ܽቁ Ǣ ܽ ൌ ቀߨ ʹെ ܽቁ
- Nhờ cung liên kết ta có thể đưa các cung lớn hơn ͻͲ୭ hay cung âm về cung trong khoảng ሺͲ୭ǡ ͻͲ୭ሻ.
- Khi cần rút gọn biểu thức
ൌ ܽ ʹܽ Ͷܽ ǥ ʹܽ Ta dùng công thức
ܽ ൌ ʹܽ
ʹ ܽ - Khi cần rút gọn biểu thức
ൌ ܽ ʹܽ Ͷܽ ڮ ʹ݊ܽ
Ta viết
ൌ ʹ ܽ ʹ ʹ ܽ
- Ngoài ra, để tính giá trị một biểu thức ta chứng tỏ các số hạng trong biểu thức là nghiệm của một phương trình, từ đó ta dùng công thức Viète(4) để tính tổng hoặc tích của lượng phải tìm.
- Cần nhớ lại công thức Viète bậc 3 sau:
Gọi ݔଵǡ ݔଶǡ ݔଷ là 3 nghiệm của phương trình ܽݔଷ ܾݔଶ ܿݔ ݀ ൌ Ͳ thì ʹ
Và dùng công thức biến đổi tích thành tổng để rút gọn.
ەۖ
۔
ۖۓ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൌ െܾ
ܽ ݔଵݔଶ ݔଶݔଷ ݔଷݔଵ ൌ ܿ
ܽ ݔଵݔଶݔଷ ൌ െ݀
ܽ Từ đó có thể suy ra
ݔଵଶ ݔଶଶ ݔଷଶ ൌ ሺݔଵ ݔଶ ݔଷሻଶെ ʹሺݔଵݔଶ ݔଶݔଷ ݔଷݔଵሻ ൌܾଶ
ܽଶ െʹܿ
ͳ ܽ ݔଵ ͳ
ݔଶ ͳ
ݔଷ ൌݔଵݔଶ ݔଶݔଷ ݔଷݔଵ
ݔଵݔଶݔଷ ൌ െܿ
݀
Giải: Ta có :
ൌͳ
ʹሺͳ െ ͳͲͲ୭ሻ ͳ
ʹሺ ͳʹͲ୭ ʹͲ୭ሻ ͳ
ʹ൬െͳ
ʹ ʹͲ୭൰ ͳ
Ͷെͳ
ʹ ʹͲ୭ ൌͷ Ͷ
ʹ ሺെ͵Ͳ୭ሻ ͺ୭
ʹ ͺ୭െ ͺ୭ ൌ ͺ୭െ ͺ୭
ͺ୭ ൌ Ͳ
ൌ ͳ ݔ
ݔ ቈͳ ሺͳ െ ݔሻଶ
ଶݔ
ݔ ൌ െͳ
ʹǡ ݔ א ቀߨ ʹǡ ߨቁ Bài 2: Rút gọn biểu thức
Tính giá trị của nếu
ൌ ͳ
͵ͺ୭ Bài 1: Tính
ͳ
ʹሺͳ െ ͳͶͲ୭ሻ െ
ൌ ͳ െͳ
ʹሺ ͳͲͲ୭ ͳͶͲ୭ሻ െ
ൌ ͳ െ ሺ ͳʹͲ୭ ʹͲ୭ሻ ൌ ͳ
ͺ୭
ൌ ଶͷͲ୭ ଶͲ୭ െ ͷͲ୭ Ͳ୭ ʹ ʹͷͷͲ୭ ሺെͳͺͺ୭ሻ
ʹ ͵ͺ୭ ͻͺ୭
Giải:
Ta có :
ൌͳ ݔ
ݔ Ǥʹሺͳ െ ݔሻ
ଶݔ ൌʹሺͳ െ ଶݔሻ
ଷݔ ൌʹ ଶݔ
ଷݔ ൌ ʹ
ݔ Mặt khác
ଶݔ ൌ ͳ െ ଶݔ ൌ ͳ െͳ Ͷൌ͵
Ͷฺ ݔ ൌ ξ͵
ʹ ฺ ൌ ʹ
ݔ ൌ Ͷ ξ͵
ൌ ሺʹ Ͳ୭ ͳͺ୭ሻଶെͳ
ʹሺ ͳʹͲ୭ ͵୭ሻ
ൌ ଶͳͺ୭െͳ ʹ൬െͳ
ʹ ͵୭൰ ൌͳ ͵୭
ʹ ͳ
Ͷെͳ
ʹ ͵୭ ൌ͵ Ͷ ൌ ୭ Ͷʹ୭ ୭ ͺ୭ ൌ ୭ Ͷͺ୭ ʹͶ୭ ͳʹ୭
ൌ ͳʹ୭
ʹ ୭Ǥ ʹͶ୭
ʹ ͳʹ୭Ǥ Ͷͺ୭
ʹ ʹͶ୭Ǥ ͻ୭
ʹ Ͷͺ୭ ൌ ͻ୭
ͳ ୭ ൌሺͻͲ୭ ୭ሻ ͳ ୭
ൌ ͳ ͳ
ൌ ଶ͵୭ ଶͶ୭ ͵୭ Ͷ୭ ൌ ୭ Ͷʹ୭ ୭ ͺ୭
ൌ ߨ
Ͷߨ
ͷߨ
ൌ ʹߨ
Ͷߨ
ߨ
ൌ ͳ
ͳͲ୭െ Ͷ Ͳ୭
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau
Giải: Ta có :
ൌ ሺ ͵୭ Ͷ୭ሻଶെ ͵୭ Ͷ୭
ൌ ߨ
Ͷߨ
ͷߨ
ൌ െ ߨ
Ͷߨ
ʹߨ
ൌ െʹߨ
ʹ ߨ
Ǥ Ͷߨ
ʹ ʹߨ
Ǥ ͺߨ
ʹ Ͷߨ
ൌ െͺߨ
ͺ ߨ
ൌ െ ቀߨ ߨ
ቁ ͺ ߨ
ൌͳ ͺ
ൌʹ ߨ
ቀ ʹߨ
Ͷߨ
ߨ
ቁ ʹ ߨ
ൌʹ ߨ
ʹߨ
ʹ ߨ
Ͷߨ
ʹ ߨ
ߨ
ʹ ߨ
ൌ͵ߨ
ቁ
ൌെ ߨ
ʹ ߨ
ൌ െͳ
ൌ ͳ െ Ͷ Ͳ୭ ͳͲ୭
ͳͲ୭ ൌ ൌ ʹ
Giải: Ta có :
ൌ
ͳ ξܽ ݔ ටͳ ܾ െ ܽܽ ଶݔ
ඨܽ ܾ ଶݔ
ଶݔ ൌ ݔ
ξܾ ଶݔ ܽ ଶݔඨܽ ଶݔ ܾ ଶݔ ଶݔ
ൌ ݔ ȁ ݔȁൌ ൞
ݔǡ ݔ א ቀെߨ ʹǡߨ
ʹቁ
െ ݔ ǡ ݔ א ൬ߨ ǡ͵ߨ
൰
ൌ ͳ
ξܾ െ ܽ
ටܾ െ ܽ
ܽ ݔ ටͳ ܾ െ ܽܽ ଶݔ
ඥܽ ܾ ଶݔ Bài 4: Rút gọn biểu thức sau với ܾ ܽ Ͳ
ቀെ ߨ
ቁ ͷߨ
ቀെ ͵ߨ
ቁ ߨ ቀെ ͷߨ ʹ ߨ
ʹ
ͳ ʹሺ ͺͲ୭െ Ͳ୭ሻ
ͳͲ୭
Giải: Ta có :
ͻͲ୭ ൌ ͵Ǥͳͺ୭ ʹǤͳͺ୭ Nên ʹǤͳͺ୭ ൌ ͵Ǥͳͺ୭
Suy ra ͳ െ ʹ ଶͳͺ୭ ൌ ͵ ͳͺ୭െ Ͷ ଷͳͺ୭ Đặt ൌ ͳͺ୭ Ͳ ; ݐ là nghiệm của phương trình
Ͷݐଷെ ʹݐଶെ ͵ݐ ͳ ൌ Ͳ Hay
ሺݐ െ ͳሻሺͶݐଶ ʹݐ െ ͳሻ ൌ Ͳ Vì ͳͺ୭ ് ͳ nên
ݐ ൌ െͳ േ ξͷ Ͷ Vì ݐ Ͳ nên
ͳͺ୭ ൌെͳ ξͷ Ͷ
ͳͺ୭ ൌെͳ ξͷ Ͷ Nên ξͷ là số hữu tỷ. (vô lý)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 5: Tính ͳͺ୭. Từ đó chứng minh ͳ୭ là số vô tỷ.
Giả sử ͳ୭ là số hữu tỷ, suy ra ͵୭ ൌ ͵ ͳ୭െ Ͷ ଷͳ୭ cũng là số hữu tỷ.
Như vậy lần lượt ta có ͻ୭ ൌ ͵ ͵୭െ Ͷ ଷ͵୭ ; ʹ୭ ൌ ͵ ͻ୭െ Ͷ ଷͻ୭ ;
ͺͳ୭ ൌ ͵ ʹ୭െ Ͷ ଷʹ୭ cũng là những số hữu tỷ.
Do đó, ͳͺ୭ ൌ ʹ ͻ୭ ͻ୭ ൌ ʹ ͻ୭ ͺͳ୭ cũng là số hữu tỷ.
Mà
Giải: Ta xét 2 trường hợp sau
* Nếu ሺݑ ݒሻ ൌ Ͳ thì ൌ ܽ.
* Nếu ሺݑ ݒሻ ് Ͳ thì
ൌ ଶሺݑ ݒሻ ሾܽ ଶሺݑ ݒሻ ܾ ሺݑ ݒሻ ܿሿ
ൌ ͳ
ͳ ଶሺݑ ݒሻሾܽ ଶሺݑ ݒሻ ܾ ሺݑ ݒሻ ܿሿ Mà
ሺݑ ݒሻ ൌ ݑ ݒ
ͳ െ ݑ ݒ ൌ ݔଵ ݔଶ
ͳ െ ݔଵݔଶ ൌ െܽ
ܾ ͳ െܿ
ܽ
ൌ ܾ
ܿ െ ܽ Vậy
ൌ ͳ
ͳ ቀ ܾ
ܿ െ ܽቁ
ଶቈܽ ൬ ܾ
ܿ െ ܽ൰
ଶ
ܾଶ
ܿ െ ܽ ܿ ൌ ܿ
Giải: Nếu ta có
൝
ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൌ ܽ ݔଵݔଶ ݔଶݔଷ ݔଷݔଵ ൌ ܾ
ݔଵݔଶݔଷ ൌ ܿ ݔଵ ൌ ߨ
ǡ ݔଶ ൌ ͵ߨ
ǡ ݔଷ ൌ ͷߨ
ൌ ͳ ߨ
ͳ
͵ߨ
ͳ
ͷߨ
Bài 7: Tìm 1 phương trình bậc 3 có các nghiệm là
Từ đó, tính tổng
ൌ ܽଶሺݑ ݒሻ ܾ ሺݑ ݒሻ ሺݑ ݒሻ ܿ ଶሺݑ ݒሻ
Bài 6: Cho phương trình ܽݔଶ ܾݔ ܿ ൌ Ͳ có 2 nghiệm ݔଵ ൌ ݑ ǡ ݔଶ ൌ ݒ. Hãy tính biểu thức sau đây theo ܽǡ ܾǡ ܿ.
Thì ݔଵǡ ݔଶǡ ݔଷ là 3 nghiệm của phương trình bậc 3
ݔଷെ ܽݔଶ ܾݔ െ ܿ ൌ Ͳ Ta có :
ݔଵ ݔଶ ݔଷ ൌ ߨ
͵ߨ
ͷߨ
ൌʹ ߨ
ߨ
ʹ ߨ
͵ߨ
ʹ ߨ
ͷߨ
ʹ ߨ
ൌ ߨ
ʹ ߨ
ൌ ͳ ʹ ݔଵݔଶ ݔଶݔଷ ݔଷݔଵ ൌ ߨ
͵ߨ
͵ߨ
ͷߨ
ͷߨ
ߨ
ൌ ʹߨ
Ͷߨ
ߨ
ൌ െͳ ʹ ݔଵݔଶݔଷ ൌ ߨ
͵ߨ
ͷߨ
ൌͳ
ʹ൬ ͺߨ
ʹߨ
൰ ߨ
ൌͳ
Ͷ൬ ͻߨ
ߨ ͵ߨ
ߨ
൰
ൌͳ
Ͷ൬ ߨ
͵ߨ
ͷߨ
െ ͳ൰ ൌ ͳ Ͷ൬ͳ
ʹെ ͳ൰ ൌ െͳ ͺ Vậy phương trình cần tìm là
ݔଷͳ
ʹݔଶെͳ ʹݔ ͳ
ͺൌ Ͳ Suy ra ൌ Ͷ.
Giải:
0ểýằʹߨ
ǢͶߨ
Ǣͺߨ
ệ ủươ¿ݔ ൌ ʹߨ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ ඨ ʹߨ
య ඨ Ͷߨ
య ඨ ͺߨ
య ൌ ඨͷ െ ͵ξయ ʹ
య
Bài 8: Chứng minh rằng
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)
Hay ͵ݔ ൌ Ͷݔሺכሻ
Từ ሺכሻ ta có ݔ ൌ ͳ ݔ ൌ ݇ʹߨ (loại vì không thỏa 3 nghiệm trên) Như vậy
ʹߨ
ǢͶߨ
Ǣͺߨ
ệ ủươ¿ݐଷ ݐଶെ ʹݐ െ ͳ ൌ Ͳሺݐ ൌ ʹ ݔሻ
¯ịnh lý Viète, ta có
൝
ݐଵ ݐଶ ݐଷ ൌ െͳ ݐଵݐଶ ݐଶݐଷ ݐଷݐଵ ൌ െʹ
ݐଵݐଶݐଷ ൌ ͳ Đặt
ቊ ൌ ඥݐయ ଵ ඥݐయ ଶ ඥݐయ ଷ
ൌ ඥݐయ ଵݐଶ ඥݐయ ଶݐଷ ඥݐయ ଷݐଵ Khi đó
ቊ ଷൌ ሺݐଵ ݐଶ ݐଷሻ ͵ െ ͵ඥݐయ ଵݐଶݐଷ ൌ ͵ െ Ͷ ଷ ൌ ሺݐଵݐଶ ݐଶݐଷ ݐଷݐଵሻ ͵ െ ͵ඥሺݐయ ଵݐଶݐଷሻଶ ൌ ͵ െ ͷ Suy ra
ሺሻଷ ൌ ሺ͵ െ Ͷሻሺ͵ െ ͷሻ ሺ െ ͵ሻଷ ൌ െ
Do đó ൌ ͵ െ ξయ Nên ൌ ඥͷ െ ͵ξయ య Vậy
ඨ ʹߨ
య ඨ Ͷߨ
య ඨ ͺߨ
య ൌ
యξʹൌ ඨͷ െ ͵ξయ ʹ
య
Giải: Từ hệ ta có :
൜ ଶ ଵ ൌ ݊
ଶെ ଵ ൌ ʹܽ Ͷܽ ǥ ʹ݊ܽ
Suy ra
Do đó
൝ଶെ ଵൌ
ฺ ൞
ʹ ܽ
Giải: Từ giả thuyết, ta có :
ʹ ܽ ܾ
ʹ ܽ െ ܾ
ʹ ൌ Ͷ ܽ ܾ
ʹ ܽ ܾ ʹ Vì ܽ ܾ ് ʹ݇ߨ nên
൜ଵ ൌ ଶܽ ଶʹܽ ǥ ଶ݊ܽ
ଶ ൌ ଶܽ ଶʹܽ ǥ ଶ݊ܽ
Bài 9: Tính tổng
Với ݊ א Գǡ ܽ ് ݇ߨǡ ݇ א Ժ.
ൌ ܽ ʹܾ
ʹ
Bài 10: Cho ܽ ܾ ൌ ʹ ሺܽ ܾሻ Ǣ ܽ ܾ ് ʹ݇ߨǡ ݇ א Ժ Hãy tìm
ʹ ܽ ሺଶെ ଵሻ ൌ ʹ ܽ ʹܽ ʹ ܽ Ͷܽ ǥ ʹ ܽ ʹ݊ܽ
ൌ ͵ܽ െ ܽ ͷܽ െ ͵ܽ ǥ ሺʹ݊ ͳሻܽ െ ሺʹ݊ െ ͳሻܽ
ൌ ሺʹ݊ ͳሻܽ െ ܽ ൌ ʹ ሺ݊ ͳሻܽ ݊ܽ
ଶ ଵ ൌ ݊
ܽ
ሺ݊ ͳሻܽ ݊ܽ
ଶ ൌ ሺ݊ ͳሻܽ ݊ܽ ݊ ܽ ଵ ൌ
ʹ ܽ
݊ ܽ െ ሺ݊ ͳሻܽ ݊ܽ
ܽ ܾ
ʹ ് ݇ߨ ֜ ܽ ܾ ʹ ് Ͳ
ǡ ܽ െ ܾ
ʹ ൌ ʹ ܽ ܾ ʹ
ฺ ܽ ʹ ܾ
ʹ ܽ ʹܾ
ʹൌ ʹ ൬ ܽ ʹ ܾ
ʹെ ܽ ʹܾ
ʹ൰
ฺ ͵ ܽ ʹܾ
ʹ ൌ ܽ ʹ ܾ
ʹ
ฺ ൌͳ
͵
Giải: Ta có :
Giải: Ta có :
ቀߨ
Ͷെ ߙቁ ൌ ߨ
Ͷ െ ߙ ͳ ߨ
Ͷ ߙ
ൌͳ െ ߙ ͳ ߙ
ߙ ൌ͵ ͷàπ
ʹ൏ ߙ ൏ ߨǤí ቀߨ
Ͷ െ ߙቁǤ Bài 12:
(ĐH Huế 1996) Bài 11: Rút gọn biểu thức sau
ൌ ඥͳ Ͷ ଶܽ ଶܽ Ͷ ܽ ܽ ሺଶܽ ଶܽሻ
ඥ ସܽ െ ͷሺͳ െ ଶܽሻଶെ Ͷ ܽ ܽ ሺଶܽ ଶܽሻ ଶܽ
ൌ ඥସܽ ସܽ ଶܽ ଶܽ Ͷ ଷܽ ܽ Ͷ ܽ ଷܽ
ඥ ସܽ ସܽ ଶܽ ଶܽ െ Ͷ ଷܽ ܽ െ Ͷ ܽ ଷܽ
ൌ ඥሺ ܽ ܽሻସ ඥሺ ܽ െ ܽሻସ
ൌ ሺ ܽ ܽሻଶ ሺ ܽ െ ܽሻଶ
ൌ ଶܽ ଶܽ ʹ ܽ ܽ ଶܽ ଶܽ െ ʹ ܽ ܽ ൌ ʹ ൌ ඥͳ Ͷ ଶܽ ଶܽ Ͷ ܽ ܽ
ඥ ସܽ െ ͷ ସܽ െ Ͷ ܽ ܽ ଶܽ
