Hình Học Oxy Elip Và Các Bài Toán Liên Quan – Nguyễn Thanh Tùng

(1)

Tham gia các khóa học môn Toán của Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

I. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Để giải quyết tốt các lớp bài toán liên quan tới Elip (tìm điểm và viết phương trình tắc của elip) trước tiên chúng ta cần nắm được các kiến thức cơ bản qua sơ đồ sau:

Dựa trên các kiến thức cơ bản này, kết hợp với các bài toán trước các bạn đã được tìm hiểu, sẽ giúp ta giải quyết dễ dàng các lớp bài toán liên quan tới elip. Cụ thể:

+) Khi gặp bài toán “Tìm điểm thuộc thỏa mãn điều kiện (*) cho trước ” thì về cơ bản ta cần thiết lập được hai dấu “=” mà ở đó dữ kiện điểm thuộc luôn cho ta được một dấu “=” đầu tiên. Các dữ kiện còn lại sẽ giúp ta tìm ra dấu “=” thứ hai. Nếu cần, trong một số bài toán ta có thể tham số hóa điểm thuộc

theo một ẩn. Ví như: .

+) Khi gặp bài toán “Viết phương trình chính tắc của elip (E)” cần cắt nghĩa chính xác dữ kiện của bài toán dựa trên các kiến thức cơ bản liên quan tới elip và tính đối xứng của elip (elip nhận hai trục tọa độ làm hai trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng).

II. CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip biết rằng có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của có chu vi bằng .

( )E

2 2

( ) :x y 1

M E

a b

   M a( sin ; cos )t b t

Oxy ( )E ( )E

5

3 ( )E 20

ELIP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

(2)

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

Ta có và (với )

Khi đó ta có: hoặc (loại)

Với . Vậy phương trình chính tắc của elip là:

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho elip có phương trình . Tìm điểm M nằm trên elip sao cho , trong đó lần lượt là các tiêu điểm trái, phải của elip.

Giải:

Từ phương trình Elip :

Cách 1: Gọi M x y( ;₀ ₀), suy ra

1 0 0

2 0 0

5 3 5 5 3

5

MF a c x x

a

MF a c x x

a

    





    



Khi đó ₁ 4 ₂ 5 ³ ₀ 4 5 ³ ₀ ₀ 5

5 5

MF MF x  x  x

       

 

Do đó

2 2

0

0 0

(5; ) ( ) 5 1 0

25 16

M y  E   y   y  Vậy M(5; 0)

Cách 2:

Gọi , khi đó

Thay (2) vào (1) ta được : .

Vậy

Ví dụ 3. Trongmặt phẳng tọa độ , cho elip điểm . Viết phương trình đường thẳng qua cắt tại hai điểm sao cho .

( )E

2 2

2 2 1

x y a b 

5 5

3 3

e c c a

 a    2.(2a2 )b 20ab5b 5 a 0a5

2

2 2 2 2 2 5 2

(5 ) 18 45 0 3

a b c a a  3 a a a a

            

 

15 a

3 2

a  b ( )E

2 2

9 4 1 x y

 

Oxy

2 2

25 16 1

x y

 

1 4 2

MF  MF F F₁, ₂

( )E

2 2

25 16 1 x y

  5 ² ²

4 3

a c a b

b

 

    

 

1 2

( 3; 0) (3; 0) F F

 

 

0 0

( ; ) M x y

2 2 2 2

0 0 0 0

2

2 2 2 2

2

0 0 0 0 0

( ) 1 1 (1)

25 16 25 16

4 ( 3) 4 6 5 (2)

x y x y

M E

MF x y y x x

 

       

 

  

          

2 2

0 0 6 0 5

25 16 1 x x  x 

 

0 0

2

0 0 2

0 0

5 0

3 50 175 0 35 640

3 9 0

x y

x x

x y

  



    

     



(5; 0) M

Oxy

2

( ) : 2 1 4

E x y  2 2

3 3; M 

 

 

 M E A B, MA2MB

(3)

Giải:

+) Gọi (1)

+) Do nằm trong nên từ

+) Mà (2)

+) Từ (1) và (2) ta được hệ:

Với ; Với

Vậy hoặc .

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip . Đường thẳng cắt tại hai điểm . Tìm tọa độ điểm trên sao cho tam giác có diện tích lớn nhất

Giải:

+) Do nên cố định hay độ dài không đổi

Suy ra diện tích lớn nhất khi khoảng cách lớn nhất +) Phương trình tham số của : nên gọi

Khi đó

Dấu“ =” xảy ra khi: ( )

+) Với +) Với

Vậy hoặc .

Nhận xét : Ngoài cách để dưới dạng chính tắc , trong nhiều bài toán các bạn có thể chuyển nó về dạng tham số sau : để việc tham số hóa điểm thuộc elip được dễ dàng hơn.

2

2 2 2

0

0 0 0 0 0

( ; ) ( ) 1 4 4 0

4

B x y  E  x  y   x  y  

M ( )E MA2MB

0

0 0

2 2

2 2 2

3 3

2 (2 2 ; 2 2 )

2 2 2 2

3 2 3

A

A A A

x x

MA MB A x y

y y

  

     

   

  

       

    

      

  



 

2

2 2 2

0

0 0 0 0 0

(2 2 )

( ) (2 2 ) 1 4 2 8 4 0

4

A E  x y x y x y

          

2 2 0 0

0 0

2 2

0 0

0 0 0 0

(0;1)

0; 1

4 4 0

8 3 8 3

; ;

4 2 8 4 0

5 5 5 5 x y B

x y

x y B

x y x y



 

    

  

           

  

    

(0;1) : 2 2 0

B   x y  8 3

; : 14 10 0

B5 5 x y

    

 

 

2 2 0

x y  x14y100

Oxy

2 2

( ) : 1

8 4

x y

E   :x 2y0 ( )E

,

B C A ( )E ABC

 

( )E B C;

  B C, BC

ABC hd A( , )

( )E 2 2 sin 2 cos

x t

y t

 

 

 A



2 2 sin ; 2 cost t



 

^4sin

2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin cos 4 4

( , )

3 3 3 3

t t t t t

h d A

  

  

   

     

sin 1 3 2

4 4

sin 1

4 sin 1 2

4 4

t t k

t

t k

t

 

  

      

   

      

 

          

k

 

3 2 2; 2

t 4 k A



    ^t^{ }^₄^^k²^ ^^A



^^{2; 2}





^2; ²



A  ^A



^^{2; 2}



( )E

2 2

2 2 1

x y a b  sin

cos x a t

y b t

 

 



(4)

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng .

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

với

Tâm sai .

Độ dài đường chéo hình chữ nhật

+) Khi đó

Vậy trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình và . Một đường thẳng d đi qua cắt tại sao cho lớn nhất. Tìm tọa độ .

Giải:

+) thuộc miền trong của nên luôn cắt tại

Gọi phương trình đường thẳng có dạng: với .

+) Gọi . Trong đó là nghiệm của phương trình:

Theo hệ thức Vi – et ta có:

+) Khi đó

Mặt khác , do đó lớn nhất khi và chỉ khi

Khi đó đường thẳng có dạng : , suy ra tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ:

hoặc .

Vậy hoặc .

Oxy ( )E 3

3 2 5

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  a b 0

2

3 2

3 3

c a

e c

a   

2 2 2 2 2 2

(2 )a (2 )b 2 5a b 5b  5 a

2

2 2 2 2 2 2

5 3

3

a b c a  a a a  b² 2

( )E

2 2

3 2 1

x y

 

Oxy ( )E

2 2

8 4 1

x y

  M(1; 1)

M ( )E A B, MA MB. A B,

(1; 1)

M  ( )E d ( )E A B,

d 1

1

x mt

y nt

  

   



2 2

, 0

t m n 

1 1 2 2

(1 ; 1 ), (1 ; 1 )

A mt  nt B mt  nt t t₁, ₂

 

2 2

2 2 2

(1 ) ( 1 )

1 2 2( 2 ) 5 0

8 4

mt nt

m n t m n t

  

       

1 2 2 2

5 t t 2

a b

  



¹



²



¹



²



²



²



²



²



² ²



^{1 2} 2² ²2 2

2 2

5( ) 5

. .

2 2

m n

MA MB mt nt mt nt m n t t

m

m n

       

 



2

2 2

0 m 1

m n

 

 MA MB.

2

2m 2 1 0

m n  n



d y 1 A B, d ( )E

 

2 2

2 6 6; 1

1 6

8 4

1 1 6; 1

1

x y x x A

y y B

y

         

  

  

   

    

   

   



 

6; 1 6; 1 A

B

  



 



 

6; 1 6; 1 A

B

 



 



 

6; 1 6; 1 A

B

  



 



(5)

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ . Lập phương trình chính tắc của elip trong mặt phẳng Oxy biết điểm thuộc elíp và tam giác vuông tại , trong đó là hai tiêu điểm của elíp.

Giải:

với và

Khi đó (1)

+) Với , khi đó tam giác vuông tại nên ta suy ra:

(2)

+) Thay (2) vào (1) ta được:

Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ . Viết phương trình chính tắc của elip biết rằng elip có hai tiêu điểm và với và có một điểm thuộc sao cho tam giác vuông tại và có diện tích bằng .

Giải:

với

Với , suy ra hay (1)

+) Gọi Khi đó Ta có

+) Mặt khác (2)

Thay (1) vào (2) ta được: (do )

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ . Viết phương trình chính tắc của elíp đi qua điểm và tiêu điểm của elip nhìn trục nhỏ với một góc .

Oxy 8 1

3; 3

M 

 

 

1 2

F MF M F F₁, ₂

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  ab0 a² b²c²

2 2 2 2

2 2

8 1 8 1

; ( ) 1 8 3

3 3 3 3

M E a b a b

a b

 

      

 

 

1( ; 0), 2( ;0)

F c F c F MF₁ ₂ M

2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2

8 1 8 1

4 3

3 3 3 3

MF MF F F c  c  c c

            

   

2 2 2 2

3

a b c b

    

 

2 2 2 2 4 2 2

3 8 3 3 1 1 4

b   b  b  b b  b  a  ( )E

2

2 1

4

x y 

Oxy ( )E ( )E

F1 F₂ ^F¹



^ ^{3; 0}



^M ^{( )}^E ^{F MF}¹ ² ^M

1

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  a b 0

 

1 3; 0

F  c 3 a²b² c² 3 a² b² 3

0 0

( ; )

M x y

 

1 0 0

2 0 0

3 ;

MF x y

    

 

  





 ⁰ ² ² ² ²

1 2 90 1. 2 0 0 3 0 0 0 0 3

F MF  MF MF   x  y  x y 

1 2

2 2

1 2 0 0 0 0

1 1 1 8

( , ). .2 3 3 1

2 2 3 3

SF MF  d M Ox F F  y  y   y   x 

0 0

( ; ) ( )

M x y  E

2 2

0 0

2 2 2 2

8 1

1 1

3 3

x y

a b a b

     

4

2 2

8 1

1 3 3 1

3( 3) 3 b b

b  b     

 b0 a² 4

( )E

2

2 1

4

x y 

Oxy 3

1; 2 M 

 

 

600

(6)

Giải:

với

Gọi là tiêu điểm của và là hai đỉnh thuộc trục nhỏ của

+) Do cân tại và , suy ra đều

Khi đó (1)

+) Với (2)

Thay (1) vào (2) ta được :

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình . Giả sử là hai tiêu điểm của elip, trong đó có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm trên sao cho .

Giải:

+) có phương trình

+) Gọi

+) Khi đó

+) Với

Vậy hoặc .

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình . Tìm điểm thuộc elip sao cho góc với là hai tiêu điểm của elip.

Giải:

+) Elip :

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  a b 0

1( ; 0)

F c ( )E B₁(0;b B), ₂(0; )b ( )E

1 1 2

F B B

 F₁  ⁰

1 1 2 60

B F B  F B B₁ ₁ ₂

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 1 1 2 (2 ) 3

F B B B  F B B B c b  b c  b a² b²c² 4b²

2 2

3 1 3

1; ( ) 1

2 4

M E

a b

 

   

 

 

2 2

1 3

1 1 4

4 4 b a

b  b      ( )E

2

2 1

4

x y 

Oxy ( )E

2 2

8 4 1

x y

  F F₁, ₂

F1 M ( )E MF₁MF₂ 2

( )E

2 2

8 4 1

x y

 

2 2

2 2 2

2 a

b

c a b

 

 

   



0 0

1

0 0 1 2 0

0 0

2

2 2 2

( ; ) ( ) 2 2 2

2 2 2 2 2

cx x

MF a

M x y E a MF MF x

cx x

MF a a

    



    

    



1 2 2 2 0 2 0 2

MF MF   x  x 

2

2 0 0

0 0

0

2 3

2 4 1 4 1 3

8 8 3

x y

y

 

   

          

    

  



^{2; 3}



M ^M



^2;^ ³



Oxy

2 2

25 9 1 x y

  M

1 2

F MF 90⁰ F F₁, ₂

( )E

2 2

25 9 1

x y

 

2 2

5; 3

4

a b

c a b

 



   





(7)

+) Gọi với

Do nên suy ra :

+) Thay vào (*) ta được:

Vậy , , .

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ . Viết phương trình chính tắc của elip, biết hai tiêu điểm cùng với hai đỉnh trên trục bé xác định một hình vuông và phương trình hai đường chuẩn là .

Giải:

+) Ta có hai tiêu điểm và hai đỉnh thuộc trục nhỏ xác định một hình vuông nên ta có . Elip có phương trình đường chuẩn

+) Khi đó:

+) Suy ra phương trình chính tắc của elip là: .

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có hai tiêu điểm . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng .

Giải:

+) Từ

+) Suy ra diện tích tam giác là:

+) Mặt khác ta có:

+) Vì

Vậy hoặc .

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ . Viết phương trình chính tắc của elip biết rằng khi điểm thay đổi trên thì độ dài nhỏ nhất của bằng và độ dài lớn nhất của bằng , với là tiêu điểm có

1 0 0 2 0 0

0 0 2 2

0 0

4 4

5 ; 5

5 5

( ; ) ( )

1 (*)

25 9

c c

MF a x x MF a x x

a a

M x y E

x y

        



  

  



0 0

x 

 ⁰

1 2 90

F MF 

2 2

2 2 2 2

1 2 1 2 0 0 0 0

4 4 5 14

5 5 64 8 175

5 5 4

MF MF F F  x   x  x x

             

   

0

5 14 x   4

2 0 2

0 0

7 9 3 2

8 9 1 8 4

y y y

       5 14 3 2

4 ; 4

M 

 

 

5 14 3 2

4 ; 4

M 

  

 

 

5 14 3 2 5 14 3 2

; , ;

4 4 4 4

M  M 

  

   

   

Oxy

8 x 

1( ; 0), 2( ;0)

F c F c B₁(0;b B), ₂(0; )b bc

2 2

8 2 8

a a a

x a c

e c c

       

2

2 2 2 2 2 32

8 4 0

4

a b c c c c c a

b

 

         

 

2 2

32 16 1 x y

 

Oxy

2 2

( ) : 1

25 9 x y

E   F F₁, ₂ M

( )E MF F₁ ₂ ⁴

3

2 2

5

( ) : 1 3

25 9

4 a

x y

E b

c a b

 

   

   



1 2

1 2 1 2 2 2

2 2 9

MF F

MF MF F F a c

p    a c

     

1 2

MF F 1 2

9.4 12

MF F 3

S  pr 

1 2

1 2 1 2

1 1 12

. ( , ). . .2 4 3

2 2 4 4

MF F

MF F M M M

S  d M Ox F F  y c y  y S  

2 9 (0;3)

( ; ) ( ) 1 0

(0; 3)

25 9

M

M M M

x M

M x y E x

M

        

(0;3)

M M(0; 3)

Oxy ( )E M

( )E OM 4 MF₁ 8 F₁

(8)

hoành độ âm.

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip cần lập là: với

Gọi

Suy ra độ dài lớn nhất bằng : (1)

+) Lại có:

Suy ra độ dài nhỏ nhất của bằng (2) Từ (1) và (2) ta được:

Vậy phương trình elip cần lập là: .

Bài 11. Trongmặt phẳng tọa độ , cho elip . Viết phương trình đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt có tọa độ là các số nguyên.

Giải:

Gọi (*) (vì )

+) Với thay vào (*) ta được: (thỏa mãn) +) Với thay vào (*) ta được: (loại) Suy ra 4 điểm có tọa độ nguyên trên là:

Khi đó ta sẽ lập được 6 phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

.

Nhận xét: Ở ví dụ trên nếu ta tiếp cận theo cách thông thường là giả sử dạng phương trình của rồi tìm giao điểm, sau đó sử dụng điều kiện tọa độ nguyên thì chúng ta sẽ gặp khó khăn. Song nếu ta làm theo chiều nghịch thì bài toán sẽ trở nên “nhẹ nhàng” hơn rất nhiều. Bởi ở những bài toán liên quan tới elip (hay cả đường tròn) ta hoàn toàn có thể chặn điều kiện cho khá đơn giản. Vì vậy việc yêu cầu tọa độ nguyên của bài toán, giúp ta nghĩ tới ngay giải pháp trên.

Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip . Tìm tọa độ điểm trên sao cho bán kính qua tiêu của tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu của tiêu điểm kia.

Giải:

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  a b 0

0

0 0 0 1

1

( ; ) ( )

a x a

M x y E cx a c MF a c

MF a a

  



      

 



MF1 a c 8

2 2

0 0

2 2 2 2 2 2 2

2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2

( ; ) ( ) 1

1

x x

a b

x y x y x y OM

a b

M x y E OM b

a b b b b b

x y

a b

   

 

          

  



OM b4

8 2 16 8 5

4 4 4

a c a a a

b b b

   

     

 

  

  

  

( )E

2 2

25 16 1 x y

 

Oxy

2 2

( ) : 1

8 2

x y

E   d ( )E

2 2

0 0

( ; ) ( ) 1

8 2

x y

M x y  E     y0²  2 y0 



1; 0;1



y₀

0 1

y   x₀  2

0 0

y  x₀  2 2

( )E M₁(2;1),M₂(2; 1), M₃( 2;1), M₄( 2; 1)  d

2; 2; 1; 1; 2 0; 2 0

x x  y y  x y x y

d

, x y

Oxy

2

( ) : 2 1

9

E x y  M ( )E

(9)

+) Từ

+) Gọi

Từ giả thiết ta có:

+) Mặt khác

Vậy hoặc hoặc hoặc

Nhận xét: Trong giải toán ta biết , và ta thường chỉ quen với chiều biến đổi thuận. Nhưng trong nhiều trường hợp, việc biến đổi theo chiều ngược lại sẽ giúp giải bài toán ngắn gọn hơn rất nhiều, mà ví dụ trên là một điển hình.

Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , đường elip đi qua điểm và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của là 6. Lập phương trình chính tắc của .

Giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của elip là: với +) Elip có hai phương trình đường chuẩn là và Do đó khoảng cách giữa hai đường chuẩn là:

(1)

+) Mặt khác (2)

Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được:

Vậy phương trình cần lập là:

2 2

3

( ) : 1 1 2 2

9 3

2 2 a

x c

E y b e

a

c a b

 

      

   



1 0

0 0

2 0

( ; ) ( ) MF a ex

M x y E

MF a ex

 

  

  

  

1 2 1 2

1 2 2 1

2 1 2 1

3 3 0

MF MF MF MF

  

 

    

    

 



² ²

  

²

1 2 1 2 1 2 1 2

10MF MF. 3 MF MF 0 16MF MF. 3 MF MF 0

       



0

 

0

  

² ² ² 0² ²

16 a ex . a ex 3. 2a 0 16(a e x ) 12a

       

2 2

2

0 2 2 0

3 81 9 2

4 2 2 32 8

4. 3

x a x

  e     

 

 

 

2

2 0

0 0

23 46

( ) 1

9 32 8

M E y   x   y  

9 2 46 8 ; 8

M 

 

 

9 2 46

8 ; 8

M 

  

 

 

9 2 46 8 ; 8

M 

 

 

 

9 2 46

8 ; 8

M 

 

 

 

. 0 0

0 A B A

B

 

   

Oxy ^M



^ ^3;1



^{( )}^E ^M

( )E ( )E

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  a b 0

( )E a

x e a

x e

2 2 4

2 4 2 2 2 2

2 9

2 6 3 9 9( )

9

a a a a

a c a c a b b

e c

          



^3;1



^{( )} ³² ¹² ¹

M E

a b

    

4 2 2 2

12 36 0 6 2

a  a   a  b  ( )E

2 2

6 2 1

x y

 

(10)

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ . Lập phương trình chính tắc của elip biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của là .

Giải:

với

Ta có chu vi hình chữ nhật cơ sở: (1)

+) Không mất tính tổng quát giả sử đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành tam giác đều Do luôn cân tại , nên đều khi

+) Khi đó (2) (do )

Thay (2) vào (1) ta được :

+) Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có hai tiêu điểm và đi qua điểm . Lập phương trình chính tắc của và với mọi điểm thuộc , hãy tính giá trị biểu thức

Giải:

với

có hai tiêu điểm , suy ra

+) Khi đó

+) Với

Vậy phương trình chính tắc của là : .

+) Gọi

Khi đó

Oxy ( )E

( )E ( )E ^{12 2}



^ ³



( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  ab0

   

4(a b )12 2 3 a b 3 2 3 (0; )

B b F₁(c; 0),F c₂( ;0)

1 2

BF F B BF F₁ ₂

2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 4

3 BF F F BF F F c b  c c b

2 2 2 2 4 2 2 3

3 3

a b c a  b a b a b, 0

     

2 3 3 2 3 3 2 3 9 2 3 3 3 6

3 b b    b    b a

( )E

2 2

36 27 1

x y

 

Oxy ( )E ^F¹



^ ^{3;0 ,}

 

^F² ^{3; 0}



3;1 A 2

 

  ( )E M ( )E

2 2 2

1 2 3 1. 2

PMF MF  OM MF MF

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  a b 0

( )E ^F¹



^ ^{3;0 ,}

 

^F² ^{3; 0}



^c^ ³

2 2 2 2 2

3 3

a b c  a b 

2 2

( ) : 1

3

x y

E b b

  



4 2 2 2 2 2

2 2

1 3 1

3; ( ) 1 4 3 0 (4 3)( 1) 0 1 4

2 3 4

A E b b b b b a

b b

 

               

 

  

( )E

2

2 1

4

x y 

1 0 2 0

0 0 2

2 2 2 0 2

0 0 0

;

( ; ) ( )

; 1

4

c c

MF a x MF a x

a a

M x y E

OM x y x y

    



  

    



 

2 2

0 0 3 0 0 0 0

c c c c

P a x a x x y a x a x

a a a a

       

             

       

(11)

Vậy .

Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có phương trình với hai tiêu điểm (hoành độ của âm). Tìm tọa độ điểm thuộc elip sao cho =

Giải:

+) có phương trình , suy ra

+)

Ta có

+) Thay vào (*) ta được: . Vậy hoặc .

Bài 17 (A – 2012). Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn . Viết phương trình chính tắc elip , biết rằng có độ dài trục lớn bằng và cắt tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

+) (E) có độ dài trục lớn bằng 8

+) (E) cắt tại bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông nên 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai .

Ta giả sử là một giao điểm của (E) và thuộc đường phân giác .

+) Gọi ( ). Ta có: (vì )

+) Mà .

   

2 2

2 2 2 2 2 2 2 0 2

0 0 0 0 0 0 0

2

3 9

3 4 3 4 3 4 3 1

4 4

c x

a x x y x x y y

a

 

              

 

1 P

Oxy ( )E

2 2

9 5 1 x y

  F F₁, ₂

F1 M MF F₁ ₂ 60⁰

( )E

2 2

9 5 1

x y

 

2

2 2

2

9 2

5

a c a b

b

 

    

 



1 2

( 2;0) (2;0) F F

 

 

1 0 0 2 0 0

0 0 2 2

0 0

2 2

3 ; 3

3 3

( ; ) ( )

1 (*)

9 5

c c

MF a x x MF a x x

a a

M x y E

x y

        



  

  





2 2 2

2 1 1 2 2 1. 1 2.cos 1 2

MF MF F F  MF F F MF F

2 2

2 0

0 0 0

2 2 2

3 3 4 2. 3 .4.cos 60

3x 3x 3x

     

          

      ⁰ ⁰

4 3 3

x x 4

     

0

3

x  4 ₀² 75 ₀ 5 5

16 4

y   y   3 5 5

4; 4

M 

 

 

 

3 5 5 4; 4

M 

 

 

 

Oxy ( ) :C x²y² 8

( )E ( )E 8 ( )E ( )C

( )E

2 2

2 2 1

x y a b 

2a 8 a 4

   

( )C

A ( )C : yx

( ; )

A t t   t0 A( )C t² t²   8 t 2 t0 A(2; 2) ( )

A E

2 2

2

2 2

2 2 16

4 1 b 3

 b   

(12)

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:

Bài 18 (B – 2012). Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình thoi có và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình . Viết phương trình chính tắc của elip đi qua các đỉnh của hình thoi. Biết thuộc trục .

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip :

( với )

Vì (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D và nên không mất tính tổng quát giả sử: và .

Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD

(vì ) hay và Gọi là hình chiếu của lên

( vì đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi)

Xét tam giác ta có: hay

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ . Lập phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng , biết diện tích của tứ giác tạo bởi các tiêu điểm và các đỉnh trên trục bé của bằng 24.

Giải:

với và

Ta có tâm sai

2 2

16 1 16

3

x y

 

Oxy ABCD AC2BD

2 2

4

x y  ( )E

, , ,

A B C D A Ox

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  ab0

A Ox A a( ; 0) B(0; )b

2OA 4OB OA 2OB

   

2

a b

  ab0 A b(2 ; 0) B(0; )b

H O AB

2

OH R

   x²y² 4

OAB ¹ ₂ ¹₂ ¹₂

OH OA OB 1 1₂ 1₂ ²

4 4 b 5

b b

    a² 4b² 20

( )E

2 2

20 5 1

x y

 

Oxy ( )E 3

5 ( )E

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  a b 0 a² b²c²

3 5

5 3

e c a c

a   

(13)

+) Gọi là các tiêu điểm và là các đỉnh trên trục bé.

Suy ra là hình thoi , khi đó:

Khi đó (do )

Suy ra . Vậy phương trình chính tắc của elip cần lập là:

Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có tâm sai , đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của elip có phương trình . Viết phương trình chính tắc của elip và tìm tọa độ điểm thuộc

sao cho nhìn hai tiêu điểm của dưới một góc vuông và có hoành độ dương.

Giải:

với

Ta có tâm sai

Vì đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có bán kính

Khi đó .

Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có hai tiêu điểm và với có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Giải:

+) Ta có , suy ra

1( ; 0), 2( ;0)

F c F c B₁(0;b B), ₂(0; )b

1 2 2 1

F B F B

1 2 2 1 1 2 1 2

1 1 12

. .2 .2 2 24 12

2 2

F B F B

S F F B B c b bc bc b

        c

2 2

2 2 2 5 12 2 4 4 4

25 1296 9 81 3

a b c 3c c c c c c

c

   

             

   

0 c 5; 4

a b ( )E

2 2

25 16 1 x y

 

Oxy ( )E 4

e5

2 2

34

x y  M

( )E M ( )E M

( )E

2 2

2 2 1

x y

a b  ab0

4 4

5 5

e c c a

a   

34

R  a²b²  34 b² 34a²

2

2 2 2 2 2 4 2

34 25 5; 3; 4

a b c a a 5a a a b c

            

  ( )E

2 2

25 9 1 x y

 

Oxy ( ) : 4E x²9y² 36 F₁ F₂ F₁

M ( )E MF₁²2MF₂²

2 2

( ) : 4 9 36 1

9 4

x y

E x  y    

2 2

3; 2 5

5 3

a b c

e a

c a b

 



  

   



(14)

+) Gọi với

Khi đó

+) Xét hàm với

Ta có ;

Từ bảng biến thiên suy ra khi

+) Thay vào (*) ta được:

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi hoặc .

Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip và điểm . Lập phương trình đường thẳng đi qua , cắt tại hai điểm phân biệt sao cho là trung điểm của .

Giải:

+) thuộc miền trong của nên luôn cắt tại

Gọi phương trình đường thẳng có dạng: với .

+) Gọi . Trong đó là nghiệm của phương trình:

Theo hệ thức Vi – et ta có:

+) là trung điểm của khi

1 0 2 0

2 2

0 0 0 0

;

( ; ) ( )

1 (*)

9 4

MF a ex MF a ex

M x y E x y

   



  

 



3 x0 3

  

 

²

 

²

2 2 2 2 2 2

1 2 0 0 0 0 0 0

5 6 81

2 2 3 2 3

3 5 5

P MF MF a ex a ex a aex e x x x 

             

 

2

0 0 0

6 81

( )

5 5

f x x  x  x0 



3;3



0 0

'( ) 2 6

5

f x  x  0 0

 

'( ) 0 3 3;3

5 f x  x   

0

0 0

[ 3;3]

108 5

min ( ) min ( ) 36

5 3

x

f x P f x

 

    ₀ 3

5 x 

0

3

x  5 ₀² 16 ₀ 4

5 5

y   y  

2 2

1 2 2

MF  MF 3 4

5; 5

M 

 

 

3 4

5; 5

M 

  

 

Oxy

2 2

( ) : 1

16 9

x y

E   I(1; 2)

d I ( )E A B, I AB

(1; 2)

I ( )E d ( )E A B,

d 1

2

x mt

y nt

  

  



2 2

, 0

t m n 

1 1 2 2

(1 ; 2 ), (1 ; 2 )

A mt nt B mt nt t t₁, ₂

 

2 2

2 2 2

(1 ) (2 )

1 9 16 2(9 32 ) 71 0

16 9

mt nt

m n t m n t

 

       

1 2 2 2

2(9 32 )

9 16

m n

t t

m n

   



I AB ¹ ²

1 2

2 2 ( ) 2

2 4 ( ) 4

A B I

x x x m t t

y y y n t t

    

 

 

    

 

(15)

(do )

Với , ta chọn

Suy ra phương trình hay

Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và elip . Tìm tọa độ các điểm thuộc sao cho tam giác vuông cân tại .

Giải:

+) Ta có thuộc và tam giác vuông cân tại . Mặt khác và elip nhận làm các trục đối xứng nên sẽ đối xứng nhau qua trục . Do đó gọi với

+) Suy ra , khi đó

Suy ra

+) Với (loại)

+) Với , suy ra hoặc

Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và elip . Tìm tọa độ các điểm thuộc sao cho tam giác vuông cân tại , biết điểm có tung độ dương.

Giải:

+) Do ; và cân tại nên đối xứng nhau qua trục hoành

2 2

1 2

2 2

2 (9 32 )

( ) 0 9 16 0

9 32 0

( ) 0 2 (9 32 )

9 16 0

m m n

m t t m n

m n

n t t n m n

m n

 

 

  

  

    

  

  

 



2 2

0 m n 

9m32n09m 32n 32

9 m n

 

  

 : 1 32

2 9

x t

d y t

  

  



9x32y730

Oxy A(3; 0)

2

( ) : 2 1

9

E x y  B C,

( )E ABC A

,

B C ( )E ABC A A(3; 0)Ox ( )E Ox Oy,

,

B C Ox ( ; )

( ; ) B m n C m n



 

0 n ( 3; )

( 3; )

AB m n

AC m n

  



  





2 2

2 2 2 2

, ( ) 1 1

9 9

. 0

( 3) 0 ( 3)

m m

B C E n n

AB AC