Tuyển Chọn Các Bài Toán đặc Sắc Về Hệ Phương Trình Và Hình Phẳng Oxy – Đặng Việt Hùng

CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM

TUYỂN CHỌN

CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC

HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HÌNH PHẲNG OXY

(Sách quý, chỉ bán chứ không tặng)

Câu 1. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )( )

( )

2 2

2

3 2 1

2 1 1

x y xy x y xy

x x y y

 + + = + + −



+ + = + −



Lời giải ĐK:

2 0

1 x y y

 + ≥

 ≤

 ^{. Ta có: PT}

( ) (

^{1 ⇔ x+y}

)

^{2+xy= +}

(

^{x y xy}

)

⁺²

(

^x+y

)

⁻¹

(

^{x y}

)

^{2 2}

(

^{x y}

)

^{1 xy x}

(

^{y 1}

) (

^{x y 1}

)

^{2 xy x}

(

^{y 1}

)

⇔ + − + + = + − ⇔ + − = + −

(

^{x y 1}

)(

^{x y 1 xy}

)

⁰

(

^{x y 1}

)(

^{x 1}

)(

^{y 1}

)

⁰

⇔ + − + − − = ⇔ + − − − =

• Với 1

1 2 2 1

x= ⇒ + y = − ⇔ = −y y 3

• Với ² ₂ 1

1 2 2 1 1

2 1 0

y x x x x

x x

≤

= ⇒ + + = ⇔ ⇔ = − + + =



• Với ^{x+ =y 1⇒x+ 2}

(

^{x2− + =x 1}

)

^{x+ ⇔1 2}

(

^{x2− + = − +x 1}

) (

^{1 x}

)

^x

Đặt a= −1 x b; = x ta có: ²

(

^a2+b2

)

^{= + ⇔a b }

(

^{a b}_{a b}^{+ ≥}₋

)

²⁰₌₀^{⇔ = ≥a b 0}

 .

Khi đó ₂ 1 3 5

1 3 1 0 2

x x x x

x x

≤

 −

− = ⇔ ⇔ =

− + =



Vậy HPT có 3 nghiệm

( ) (

^{; 1;1 ; 1;}

)

^{1 ; 3 5; 1 5}

3 2 2

x y

  − − + 

   

= −  −    

Câu 2. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )( )

2

3 3 1

2

9 16

6 7 4 2

8

x x y y

y x x

+

 = + −



 +

 − + − =



Lời giải:

ĐK:

7; 2 6

3 0

y x

x y

 ≥ ≤



 + ≥



. Khi đó: ^PT

( )

^{1 ⇔ +x 3y−3}

(

^{y− =1}

)

²

(

^x+3y

)(

^y−1

)

^.

Đặt ^{u= x+3 ;y v= y−1}

(

^{u v; ≥0}

)

Ta có: ^{u2−2uv−3v2 = ⇔0}

(

^{u+v u}

)(

^−3v

)

^{=0⇒u=3v⇔ +x 3y=9y− ⇔ =9 x 6y−9}

Thay vào (2) ta có: ^{2 2x+ +4 4 2− =x 9x2+16 ⇔4 2}

(

^{x+ + −4}

)

^{16 16x+16 2 4}

(

^−x2

)

^=9x2+16

(

²

) (

²

)

²

8 4 x 16 2 4 x x 8x

⇔ − + − = + . Đặt ^{t= 2 4}

(

^−x2

)

^{≥0 ta có: 4t2+16t=x2+8x}

( )( ) ( )

2 2 8 0 2

2 8

t x t x t x

t x loai

=

⇔ − + + = ⇔

= − −



TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Với ^{2t =x⇒ 2 4}

(

^−x2

)

^{= ⇔}₂^{x }₉^x_x^≥20₌₃₂^{⇔ =x 4 2}₃ ^{⇒ y= 4 2}₁₈⁺²⁷



Câu 3. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )

2

2 2

2

2 2

2 3

2 3

x x x y y

x x y y

 − + + =



 + =



Lời giải:

ĐK: x≥0. Thế PT(2) vào PT(1) ta có: 2 2

(

^{2 2}

)

2 2

x x y

x x x y +

− + + =

(

²

)

²2 ²

(

²

)

⁰

(

^{2 2}

) (

^{2 2}

)

⁰ 4 ^{4 2 2}

x y x

x x x x x x y

x x y

= + 

⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔

= +



Với ^x=4⇒

(

^16+y2

)

^{= y}₃^{2 ⇔9 16}

(

^+y2

)

^{= y4 ⇔ y4−9y2−144= ⇔ = ±0 y 9+} ₂⁶⁵⁷

Với

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

4 4

0; 0

3 3

4 2

1; 3

2 3

3 3

y y

x x y x y x x y

x x y y

x y

y y

x x x

 

 = +  + =  =  = =

  

= + ⇒ ⇔ ⇔ ⇔

= = ±

= 

  =  =

  

Kết luận: Vậy HPT có nghiệm

( ) ( )

^{x y; =} ^{0; 0 ; 1;}

(

^{± 3 ; 4;}

)

^ ^{± 9+} ₂^{657 }^

Câu 4. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( ) ( )

(

^{3 1 2}

) (

^{2 3 2 4} 3 (1)

)

3 2 2 3 2 4 4 (2)

 + + + = + +



+ − − − + + + − =



x y xy y y x y

x y x x x y

Lời giải:

ĐK:

2

1 1

2 4 0

x y

x x y

 ≥ −

 ≥



 + + − ≥



(*). Khi đó ^(1)⇔

(

^x+3y+1

)

^{y. 2}

(

^{x+ =1}

)

^y

(

^3x+4y+3

)

Đặt ²

(

¹

)

^;

(

^{, 0}

)

^{2 3 2 2 3 2 4 2}

2 2

a a

x a y b a b  b ab b  b 

+ = = ≥ ⇒ +  =  + 

   

(

^{2 6 2}

) (

^{2 3 2 8 2}

) (

^{3 6 2 3 2 8 3}

)

⁰

ab a b b a b b a ab a b b

⇔ + = + ⇔ + − − =

(

²

) (

^{2 4 2}

)

⁰

b a b a ab b

⇔ − − + = (3)

Vì y≥1⇒b= y >0 ^và

2 2

2 2 15

4 0.

2 4

b b

a ab b a 

− + = −  + >

 

Do đó ^{(3)⇔ −a 2b= ⇔ =0 a 2b⇒ 2}

(

^{x+ =1}

)

^{2 y ⇒x+ =1 2 .y}

Thế 2y= +x 1 vào (2) ta được

(

^{x+ −3 x+ −1 2}

) (

^{x− +3 x2+ + + −x x 1 4}

)

⁼⁴

(

^{x 3 x 1}

) (

^{x 3 x2 2x 3}

)

⁴

⇔ + − − − + + − = (4)

Do x≥1⇒ x+ +3 x− >1 0 nên ^(4)⇔

(

^{x+ − +3 x 1}

) (

^{x− +3 x2+2x− =3}

)

⁴

(

^{x+ +3 x−1}

)

3 2 2 4 3 1

x x x x x

⇔ − + + − = + + − ⁽⁵⁾

Đặt ^{x+ +3 x− =1 t t}

(

^≥0

)

^{⇒t2 =2x+ +2 2 x+3. x− =1 2x+ +2 2 x2+2x−3}

2

2 2

2 3 .

2

x x x t −

⇒ + + − = Khi đó (5) trở thành

2

2 2

2 3 2 8 0

4 2

t t

t t t

t

= −

− − = ⇔ − − = ⇔ =

Do t≥0 nên chỉ có t=4 thỏa mãn ⇒ x+ +3 x− = ⇔1 4 x+ = −3 4 x−1

( )

1 17

1 17

4 1 0 1 4 13

4 1 9 13 4

3 15 8 1 2 1 3

4 x x

x x

x x x

x x x x

≤ ≤

 − − ≥  − ≤  ≤ ≤ 

   

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =

− = =

+ = + − − − = 

   

  

13 17 17

2 1 .

4 4 8

y y

⇒ = + = ⇒ = Thử lại

( )

^{; 13 17;}

4 8

x y  

= 

  thỏa mãn hệ đã cho.

Đ/s:

( )

^{; 13 17; .}

4 8

x y  

= 

 

Câu 5. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1 4 1 3

1 (1)

2 1

2 2

2 3 2 1 1 5 3 (2)

 + − +

= +

 − + − +



+ + + − + = − + + +



x y

x y x y

x x y y x y x

Lời giải:

ĐK: x− + >y 2 0; x+ + ≥y 3 0; y+ ≥1 0; x²+y²+5x+ ≥3 0 (*).

Đặt ²

(

^{x− +y 2}

)

^{= ≥t 0.} Khi đó (1) trở thành

(

²

)

^{2 2}

(

²

)

^{3 2 3}

(

²

) ( )

1 2 3

1 2 2 2

2

t t t t t f t f t

t t

+ −

= + ⇔ − + − = + ⇔ − =

− (3)

Xét hàm số ^{g u}

( )

^{= +u3 u với u∈ℝ có g u'}

( )

^{=3u2+ >1 0, ∀ ∈u ℝ}

( )

⇒g u đồng biến trên .ℝ Do đó ² 1

(3) 2

2 t t t

t

= −

⇔ − = ⇔ =

Kết hợp với t≥0⇒chỉ có t=2 thỏa mãn ^{⇒ 2}

(

^{x− +y 2}

)

^{= ⇔2 2}

(

^{x− + = ⇔ =y 2}

)

^{4 x y.}

Thế y=x vào (2) ta được

(

^x+2

) (

^{2x+ −3 2 x+ = −1}

)

^{1 2x2+5x+3}

(

^{x 2}

) (

^{2x 3 2 x 1}

)

¹

(

^{x 1 2}

)(

^{x 3}

)

⇔ + + − + = − + + (4)

Đặt ^{2x+ =3 a; x+ =1 b a b}

(

^{, ≥0 .}

)

Khi đó (4) trở thành

(

^a2−b2

) (

^a−2b

)

^{=a2−2b2−ab⇔}

(

^{a b+}

)(

^{a b−}

)(

^a−2b

) (

^{− +a b}

)(

^a−2b

)

⁼⁰

(

^{a b}

)(

^{a 2b a b}

)(

¹

)

⁰

⇔ + − − − = (5)

Với x≥ −1⇒a b+ = 2x+ +3 x+ >1 0. Do đó 2

(5) 1

a b

a b

=

⇔ = +

•

( )

1 0 1 0 1

2 2 3 2 1 1

2 3 4 1 2

2 x x

a b x x x

x x x

+ ≥ + ≥ 

 

= ⇒ + = + ⇔ ⇔ ⇔ = −

+ = + = −

 

1. y 2

⇒ = − Thử lại 1

x= = −y 2 thỏa mãn hệ đã cho.

• 1 1

1 2 3 1 1

2 3 2 2 1 2 1 1

x x

a b x x

x x x x x

≥ − ≥ −

 

 

= + ⇒ + = + + ⇔ ⇔

+ = + + + + = +

 

 

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1 ; 1; 1

1 0 1

3 3 ; 3;3

1 2 3

x x

x y x y

x x

x y x y

x x

≥ −

  ≥ −

= − ⇒ = − ⇒ = − −

  

⇔ + = ⇔ = − ⇔

= ⇒ = ⇒ =

 + =  = 



Thử lại

( ) (

x y^; = − −

{

1; 1 , 3;3

) ( ) }

thỏa mãn hệ đã cho.

Đ/s:

( ) (

^; 1; 1 , 3;3 ,

) ( )

¹; ¹ .

2 2

x y   

= − − − − 

 

 

Câu 6. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

2 2 2 2

(1)

( , ).

2 3

3 6 1 5 8 2 1 4 2 1 (2)

x y x xy y

x y

x y

xy x y x x y

 + + + + = +

 ∈



 − − = − + − + + +



ℝ

Lời giải:

ĐK: 2x− ≥1 0; x+2y+ ≥1 0; 6xy− − ≥x 1 0 (*). Khi đó có

(

^{2 2}

) ( )

^{2 2 2}

( )

²

(

^{2 2}

) ( )

²

2 x +y − +x y =x +y −2xy= −x y ≥0⇒2 x +y ≥ +x y

( )

2 2 2 2 2

1 1

2 2 0 2 2 2

x y x y x y

x y x y

+  +  +

⇒ ≥  ≥ ⇒ ≥ + ≥ +

  (3)

(

^{2 2}

) ( )

^{2 2 2}

( )

²

(

^{2 2}

) ( )

²

4 x +xy+y −3 x+y =x +y −2xy= −x y ≥0⇒4 x +xy+y ≥3 x+y

( )

2 2 2 2 2

1 1

3 2 0 3 2 2

x xy y x y x xy y

x y x y

+ +  +  + +

⇒ ≥  ≥ ⇒ ≥ + ≥ +

  (4)

Từ (3) và (4) ta có

2 2 2 2

2 3 .

x y x xy y

x y

+ + + + ≥ + Dấu " "= xảy ra ⇔ = ≥x y 0.

Do đó (1)⇔ = ≥x y 0. Thế y=x vào (2) ta được 3 6x²− − = − +x 1 5 8x 2x− +1 4 3x+1 3 2x 1. 3x 1 5 8x 2x 1 4 3x 1

⇔ − + = − + − + + (5)

Đặt 3 1 0 ^{2 2}

8 5 2 6.

2 1 0

x a

x a b

x b

 + = ≥

 ⇒ − = + −

 − = ≥

 Khi đó (5) trở thành 3ab= −2a²− + + +b² 6 b 4a

( )

2 2

3 1 2 4 6 0.

b a b a a

⇔ + − + − − = Coi đây là phương trình bậc hai ẩn b với a là tham số.

Xét

( )

²

(

²

)

²

( )

²

1 3 5

2 3

3 1 4 2 4 6 10 25 5 0

1 3 5

2 2

2 a a

b a

a a a a a a

a a

b a

− + +

 = = − +

∆ = − − − − = + + = + ≥ ⇒ 

− − −

 = = − −



• b= − +a 3⇒ 2x− = −1 3 3x+ ⇔1 2x− +1 3x+ =1 3 (6) Với x>1⇒VT (6)> 2.1 1− + 3.1 1+ =3⇒Loại.

Với 1

2≤ <x 1⇒VT (6)< 2.1 1− + 3.1 1+ =3⇒Loại.

Với x=1 thế vào (6) ta thấy thỏa mãn. Do đó (6)⇔ =x 1⇒y=1. Đã thỏa mãn (*).

• b= − − ⇔2a 2 2a b+ + =2 0⇒2 3x+ +1 2x− + =1 2 0. Phương trình vô nghiệm.

Đ/s:

( ) ( )

^{x y; = 1;1 .}

Câu 7. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )

( ) ( )

2 2

2 2

8 3 2 1 (1)

( , ).

2 1 2 2 (2)

x x x y x x y

x y

x x x y y y x y

 + − + = + + +

 ∈

 − + + + + + + = +



ℝ

Lời giải:

ĐK: x− + ≥y 8 0 (*). Khi đó ^(1)⇔

(

^x2+x

)

^{x− + −y 8 3}

(

^{x2+ + − − =x}

) (

^{x y 1}

)

⁰

(

^{x2 x}

) (

^{x y 8 3}

) (

^{x y 1}

)

⁰

(

^{x2 x}

)

^.

(

^x_x^{− + −y}_y ⁸₈

)

⁹₃

(

^{x y 1}

)

⁰

⇔ + − + − + − − = ⇔ + + − − =

− + +

(

^{x y 1}

)

^₃ ^x2_x^+x_{y 8} ^{1 0}

(

^{x y 1}

) (

^{x2 x 3 x y 8}

)

⁰

⇔ − −  + − + + = ⇔ − − + + + − + =

(3)

Ta có

2

2 1 11

3 8 8 0.

2 4

x x x y x  x y

+ + + − + = +  + + − + >

 

Do đó (3)⇔ − − = ⇔ = −x y 1 0 y x 1.

Thế y= −x 1 vào (2) ta được

(

^x−2

)

^{x2+ + + − +x 1}

(

^{x 1 2}

) (

^x−1

) (

²+ − + = + −^{x 1}

)

^{2 x}

(

^{x 1}

) (

^{x 2}

)

^{x2 x 1}

(

^{x 1}

)

^{x2 x 2 2x 1}

⇔ − + + + + − + = − (4)

Đặt ^{x2+ + =x 1 a; x2− + =x 2 b a b}

(

^{, ≥0 .}

)

Khi đó (4) trở thành

2 2 2 2

2 2

1 1

2 1

2 2

a b a b

a + − − +b + − + = a −b

   

(

^{2 2 3}

) (

^{2 2 3}

) (

^{2 2 2}

)

a a b b a b a b

⇔ − − + − + = −

(

^{a3 b3}

)

^{ab a b}

( ) (

^{3 a b}

)

²

(

^{a2 b2}

)

⁰

⇔ − + − − − − − =

(

^{a b}

) (

^{a2 ab b2 ab 3 2a 2b}

)

⁰

⇔ − + + + − − − =

(

^{a b}

) (

^{ a b}

)

^{2 2}

(

^{a b}

)

^{3 0}

⇔ −  + − + − =

(

^{a b}

)(

^{a b 1}

)(

^{a b 3}

)

⁰

⇔ − + + + − = ⁽⁵⁾

Do ,a b≥0⇒a b+ + >1 0 nên ⁽⁵⁾

( )(

³

)

⁰

3 a b a b a b

a b

=

⇔ − + − = ⇔ = −

•

2 2

2 2

2 2

1 0 1 0 1

1 2 1

1 2 2

2 x x x x

a b x x x x x

x

x x x x

 + + ≥

 + + ≥

 

= ⇒ + + = − + ⇔ ⇔ ⇔ =

= + + = − +

 

1 1

1 .

2 2

⇒ y= − = − Thử lại

( )

^{; 1; 1}

2 2

x y  

= − 

  thỏa mãn hệ đã cho.

• a= −3 b⇒ x²+ + = −x 1 3 x²− +x 2⇒x² + + =x 1 x²− + −x 11 6 x²− +x 2

( ) ( )

2

2 2 2

5 0 5

3 2 5

9 2 5 8 7 0

x x

x x x

x x x x x

− ≥

  ≤

⇔ − + = − ⇔ ⇔

− + = −  + − =



( ) ( )

( )

5 1 1 1 2 ; 1; 2

1 7 7 1 7 1

1 ; ;

7 8 8 8 8 8

8

x x y x y

x

x y x y

x

≤

  = − ⇒ = − − = − ⇒ = − −

 = −

 

⇔ = ⇔ = ⇒ = − = − ⇒ = − 

Thử lại

( ) (

^{; 1; 2 ,}

)

^{7; 1}

8 8

x y   

= − −  − 

 

  thỏa mãn hệ đã cho.

Đ/s:

( ) (

^{; 1; 2 ,}

)

^{7; 1 , 1; 1 .}

8 8 2 2

x y     

= − −  −   − 

   

 

Câu 8. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( ) ( )

( ) ( )

2

3 2 3 2 3 2

2 1 2 3 1 (1)

( , ).

6 4 4 2 2 3 8 (2)

x x y x y y y y

x y

y x y y x y x

 + + + − = + −

 ∈

 + + + + = + +



ℝ

Lời giải:

ĐK:

3 2

2 1 0 2 1

3 1 0 1

4 0 3

x y x y

y y

y y

 + − ≥  + ≥

 

− ≥ ⇔

 

 + + ≥  ≥



(*) ⇒ y³+6x²+ >4 0; 2y³+3x²+ >8 0; y³+y²+ >4 0.

Khi đó từ (2)⇒x>0. Xét phương trình (1) ta có

Với ^{x> ≥y 1}₃^{⇒VT (1)> y2+}

(

^y+y

)

^{y+2y− =1 y y}

(

^{+2 3y− =1}

)

^{VP (1)⇒Loại.}

Với ^{0< <x y⇒VT (1)< y2+}

(

^y+y

)

^{y+2y− =1 y y}

(

^{+2 3y− =1}

)

^{VP (1)⇒Loại.}

Với x= y thế vào (1) ta thấy đã thỏa mãn. Do đó (1)⇔ =x y.

Thế y=x vào (2) ta được

(

^x3+6x2+4

)

^{x3+ + =x2 4 2x}

(

^2x3+3x2+8

)

⁽³⁾

Đặt

( ) ( )

3 2 2 2

3 2

3 2 2 2

6 4 5

4 0

2 2 3 8 2 2

x x a x

x x a

x x x x a x

 + + = + + + = > ⇒ 

+ + = +



Khi đó (3) trở thành ^{a a}

(

^2+5x2

)

^=2x

(

^2a2+x2

)

^{⇔2x3−5ax2+4a x a2 − 3 =0}

( ) (

^{2 2}

)

⁰

2 x a

x a x a

x a

=

⇔ − − = ⇔ =

• ^{3 2} ₂ 0 _{3 2 3} 0

4 .

4 4 0

x x

x a x x x x

x x x x

≥ ≥

 

= ⇒ = + + ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅

= + + + =

 

• ^{3 2 2 3 2}

( ) (

²

)

0 0

2 2 4 2.

4 4 2 1 0

x x

x a x x x x

x x x x x

≥

≥ 

 

= ⇒ = + + ⇔ ⇔ ⇔ =

= + +  − + =

 

( ) ( )

2 ; 2; 2 .

y x y

⇒ = ⇒ = ^{Thử lại x}= =^{y 2} thỏa mãn hệ đã cho.

Đ/s:

( ) ( )

^{x y; = 2; 2 .}

Câu 9. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )

3 2 2 3

2 2

,

3 2 7

2 1 . x xy y x y y x

x y

x y x

 + − = + −

 + = − +

 +



Lời giải.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( ) ( )

3 2 2 3 2 2

0 1 0

x +xy + −x x y− − = ⇔y y x−y x +y + = ⇔ =x y. Khi đó phương trình thứ hai trở thành

(

²

) ( )

²

(

²

)

3 7

2 2 3 7

2 1

x x x x x x

x x

+ = + ⇔ + + = +

+ ^.

Đặt ^{x2+ =3 u; x =v u}

(

^>0;v>0

)

ta thu được

(

^2v2+2

) (

^{u= u2+4}

)

^v⇔uv

(

^{2v u− =}

) (

^{2 2v u− ⇔}

)

^_2^uv_v⁼₌²_u

^{uv= ⇔2 x3+3x = ⇔2 x3+3x− = ⇔4 0}

(

^x−1

) (

^{x2+ + = ⇔ =x 4}

)

^{0 x 1.}

² 1

2 3 4

3

v u x x x

x

=

= ⇔ + = ⇔ =

Phương trình ẩn x có nghiệm ^{S =}

{ }

^{1;3 dẫn đến}

( ) ( ) ( )

^{x y; = 1;1 , 3;3} . Thử lại nghiệm đúng hệ ban đầu.

Câu 10. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

2 2

2

4 4 2 2,

8 1 2 9.

x xy y x y

x y

 + + + + =



− + =



Lời giải.

Điều kiện 1

x≤2. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( )

^{2 2}

{ }

2

2 2 2 0 2

2 0 2;1

x y t x y t

x y x y

t t t

+ =

+ = 

 

+ + + − = ⇔ ⇔ + − =  ∈ −

 

Xét

( ) ( )

2

3 2

4

; 0 0

; 0

1 8 9 1

1 9 0 1

8 9

y u u x

y u u

t y y u

u u u u y

u u

 = ≥

 = ≥  =

 

= ⇒ + = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒

− + + + = =

+ = 

 

 

Xét t= −2⇒2x+ = − ⇔ −y 2 1 2x= +y 3⇒ y+ ≥3 0.

Ta có ²

( )( ) ( )

3

8 3 9 0 8 3 3 3 0

8 3 3 0

y

y y y y y

y y

= − + + − = ⇔ + + + − = ⇔

+ − + =



Đặt y+ =3 v v, ≥0⇒v³− + =6v 8 0 ^(1).

Xét hàm số ^{f v}

( )

^{= − +v3 6v 8;v≥0⇒ f′}

( )

^{v =3v2−6.}

Ta có ^f′

( )

^{v = ⇔ = ±0 v 2}. Khảo sát hàm số có ^f

( )

^{0 < f}

( )

^{2 ⇒ f v}

( )

^{> f}

( )

^{0 = −8 4 2>0.}

Do đó (1) vô nghiệm. Kết luận hệ có nghiệm

( ) ( )

^{; 0;1 , 1; 3}

x y 2 

=  − 

 . Câu 11. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

2 3

2 2

2 2 3 3 ,

2 2 3 3 4 19 28.

xy y x y

y x y y x

 − + =



− + + − = + −



Lời giải.

Điều kiện các căn thức xác định.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( ) ( )

2 3 2

2 3 2 3 0 2 3 0 2

2 3

x y

xy x y y x y y x y

y

=

+ − − = ⇔ − + = ⇔ ⇔ =

 = − ^.

Phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 2x− +3 x²+3x− =4 x²+19x−28

( )

2 2

2 2 3 3 4 8 2 3 3 4

⇔ x− + x + x− = x− + +x x−

Đặt ^{2x− =3 a; x2+3x− =4 b a}

(

^≥0;b>0

)

ta thu được

( )

2 2 2 2 2 2 0

2 8 4 4 8 0 a

a b a b a ab b a b a a b

a b

= + = + ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔ =

• 3

0 2

a= ⇔ =x .

• ^{2 2} 1 5 1 5

2 3 3 4 1 0 ;

2 2

a b x x x x x x − − − + 

= ⇔ − = + − ⇔ + − = ⇔ ∈ 

 

 .

Đối chiếu điều kiện và thử trực tiếp suy ra nghiệm duy nhất 3 x= =y 2. Câu 12. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )

( ) ( )

2

2 2

1 2 1 1

9 1 5 3 3 8 3

 − + − + + + =



− − = − − +



x y y xy x y

y x y x x

Lời giải.

Điều kiện 1 ²

;3 8 3 0

y≥2 x − + ≥x .

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 0

1 2 1 1 0 1

x y y xy x y x y y x y y

x y y y y x

− + − + + = − ⇔ − + − + − + + =

⇔ − + − + + = ⇔ = + Phương trình thứ hai khi đó trở thành

( ) ( )

²

( ) ( )( ) ( )

2 2

9x −5x= −2 x 3x − + ⇔8x 3 3x−1 + − = −x 1 2 x 2−x 1 3− x − −x 1 . Đặt ^{1 3− x=t; 3x2− + =8x 3 y}

(

^y≥0

)

ta thu được hệ phương trình

( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

2 2

2

1 2

2 2 0

1 2 2

t x x y t y

t y x y t t y t y x

t y x

y x x t

 + − = −  =

 ⇒ − = − − ⇔ − + + − = ⇔

 + − = −  + = −



• ²

2 2 2

1 1

1 13

1 3 3 8 3 3 3

3 8 3 9 6 1 3 1 0 6

x x

t y x x x x

x x x x x x

 

≤ ≤ +

 

= ⇔ − = − + ⇔ ⇔ ⇔ = −

 − + = − +  + − =

 

.

• ²

2

3

2 3 8 3 4 3 4

13 16 6 0

t y x x x x x

x x

 ≥ + = − ⇔ − + = − ⇔

 − + =



(Hệ vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm 13 1 13 5

6 ; 6

x= − + y= − + . Câu 13. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( ) ( )

²

4 4 4

2 1 4 4,

3 15 1 3 2.

x y x y x x y

x y x y

 − + + + + + = −



+ − + + = −



Lời giải.

Điều kiện 1

3; 2;

x+ ≥y y≥ x≥ −15.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 1 4 4 0 2 1 2 0

2 1 2 2 0 2 1 2 0 2

− + + + + + + − = ⇔ − + + + + + − =

⇔ − + + + + + + − + = ⇔ − + + + + + + = ⇔ = +

x y x y x x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y x y y x

Khi đó phương trình thứ hai trở thành ⁴2x− +1 ⁴15x+ =1 3⁴ x. Điều kiện 1 x≥2. Phương trình đã cho tương đương với

4 4

4 4

4 4

2 1 15 1 1 1

3 2 15 3

x x

x x

x x

− + + = ⇔ − + + = .

Đặt ^{4 2 1 a; 154 1 b a}

(

^{0;b 0}

)

x x

− = + = ≥ ≥ ta thu được hệ phương trình

( )

^{4 4 3 2}

( )

4 4 4

3 3

3

6 27 54 32 0

17 3 17

b a b a

a b

a a a a

a b a a

= − = −

+ =  

  

⇔ ⇔

  

− + − + = ∗

+ =  + − = 

  

Ta có

( )

^{∗ ⇔a4−6a3+9a2 +18a2−54a+32= ⇔0}

(

^a2−3a

)

²⁺¹⁸

(

^a3−3a

)

⁺³²⁼⁰

(

^{2 3 2}

)(

^{2 3 16}

)

⁰

(

¹

)(

²

) (

^{2 3 16}

)

⁰

{ }

^{1; 2 1}

{

^14;1

}

¹

⇔ a − a+ a − a+ = ⇔ a− a− a − a+ = ⇒a∈ ⇒ ∈ − ⇒x= x

Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất x=1;y=3. Câu 14. [ĐVH]: Giải hệ phương trình:

( )

( )

2

2

4 1

4 3 3 6 4

x y xy

x y

x x y x y x y

− + =

+

+ + = + − + +







Lời giải Điều kiện: 0

3 0

x y x y

+ >



 + ≥

( )

^{2 4}

( )

(1) 1 xy 0

x y x y

x y

⇔ + − + − + =

+ ^⇔

(

^{x+ −y 1}

) (

^_ ^x−y

)

^{2+ +x y}_^{= ⇔ + =0 x y 1(Do x+ >y 0)}

Thay vào (2) ta được

( )( )

2 2 2 3

2 1 4 24 29 2 1 2 4 24 27 2 3 2 9

2 1 2

x x x x x x x x x

x

+ = − + ⇔ + − = − + ⇔ − = − −

+ +

( )

3 1

2 2

1 2 9 *

2 1 2

x y

x x

 = ⇒ = −

⇔

 = −

 + +



Xét (*): Đặt ^{t= 2x+1}

(

^t≥0

)

^{ta được 2 3 2}

3

1 1 29

10 2 10 21 0

2 2

1 29

2 t

t t t t t

t

t

 = −



 +

= − ⇔ + − − = ⇔ =

+ 

 = −



Do t≥0 nên 1 29 13 29 9 29

2 4 4

t= + ⇒x= + ⇒ y= − − Vậy hệ có nghiệm

( )

^{, 3, 1 , 13 29, 9 29}

2 2 4 4

x y

 + + 

 

= −   − 

   .

Câu 15. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )( )

2 31

1 1 2 5 2 2

y x

x x y x y y

= + −

+ + + − + + = + −





Lời giải Điều kiện: x≥ −1,y≥2

( )( ) ( )

(2)⇔ + +x 1 x+ +1 x+1 y−2 −2 y− −2 y− =2 0

Đặt ^{a= x+1,b= y−2}

(

^{a b, ≥0}

)

^{ta được a2+ +a ab−2b2− = ⇔b 0}

(

^a−b

)(

^{a+2b+ =1}

)

⁰

a b

⇔ = (Do ,a b≥0)

Với a= ⇔b x+ =1 y− ⇔ + = − ⇔ = +2 x 1 y 2 y x 3 thay vào (1) được x+ −3 ³1− =x 2 Đặt u= x+3,v=³1−x với u≥0 ta có _{2 3}2

4 u v u v

− =



 + =

( )

²

3 3 2

2 4 4 0 0 1 4

v v v v v v x y

⇒ + + = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn) Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

( ) ( )

^{x y, = 1; 4 .}

Câu 16. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

( )

( )

2

2 2

1 1 4

2 2 2

x y x y xy

x y

x y x x y y

− + − − = − +

+ − = − +







Lời giải Điều kiện: x+ ≠y 0

( )

²

( )

^{1 4}

(1) 4 1 xy

x y xy x y

x y

⇔ + − + − + = −

+

(

^{x y}

) (

^{2 x y}

) (

^{1 4xy}

)

^{1 1 0}

x y

 

⇔ + − + + −  − = +

 

(

^{x y 1}

)(

^{x y}

) (

^{1 4xy}

)(

^{x y 1}

)

⁰

(

^{x y 1}

)

^{x y 1 4xy 0}

x y x y

− + −  − 

⇔ + − + + = ⇔ + −  + + =

+  + 

( )

²

( )

²

( )

1

1 4 0 1 0

x y

x y xy x y loai

+ =

⇔

+ + − = ⇔ − + =



Với x+ =y 1 thay vào (2) ta được ^{2x2−3x+ =1}

(

^2x−1

)

^x2−2x+3

Đặt t= x²−2x+3 ta được ^t2−

(

^2x−1

)

^{t+x2− − =x 2 0}

Ta có ^{∆ =}

(

^2x−1

)

²⁻⁴

(

^{x2− − =x 2}

)

^{9 nên}

2 1 3

2 1

2 1 3

2 2

t x x

t x x

− +

 = = +



 = − − = −



Với ² ₂ 1 ₂ 1 1

1 2 3 1

2 3 2 1 2 2

t x x x x x x y

x x x x

≥ −

= + ⇔ − + = + ⇔ ⇔ = ⇔ =

− + = + +



Với ² _{2 2}

2 2

2 2 3 2 1

2 3 4 4

2 x x

t x x x x

x x x x x

≥

≥ 

 

= − ⇔ − + = − ⇔ ⇔

− + = − + =

 

vô nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

( )

^{, 1 1,}

x y 2 2

= 

 .

Câu 17. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

2 2

2 2 0 (1)

2 2 3 (2)

 − − − − =



− + + =



x xy y x y

x y

Lời giải

Điều kiện: 2 0 2

2 0 2

x x

y y

− ≥ ≥

 

⇔

 

+ ≥ ≥ −

 

Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

(

²

)( ) (

²

)

⁰

(

²

)(

¹

)

^{0 2 0}

1 0 x y

x y x y x y x y x y

x y + = + − − + = ⇔ + − − = ⇔  − − = Vì x≥2,y≥ −2⇒2x+ ≥y 2.2− = >2 2 0

Với x− − =y 1 0⇒ y= −x 1 thay vào phương trình (2) ta được

( )( )

²

2 2

2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 2

2 3 2

2 4 4

x x x x x x x x

x x y

x x x x

− + + = ⇔ − + − + = ⇔ − − = −

≤

⇔ ⇒ = ⇒ =

− − = − +



Vậy hệ phương trình có nghiệm

( ) ( )

^{x y; = 3; 2}

Câu 18. [ĐVH]: Giải hệ phương trình ^{3 3 2 2}

( )

²

2

(1) 3 10

2 5 (2)

1

x y x y x y

x y

x y

 + = + + −

 − + = −

 +



Lời giải

Điều kiện: 5 0 5

1 0 1

y y

x x

− ≥ ≤

 

⇔

 

+ ≠ ≠ −

 

Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2

3 3 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 3 2 6

2 0

2 3 2 0 2 0

0

+ = + − ⇔ + − + = + −

+ − =

⇔ + + − − + − = ⇔ + − − + = ⇔

− + =



x y x y xy x y xy x y x y xy

x y

x y x y xy x y x y x xy y

x xy y Ta có

2 2

2 2 3

2 4 0

y y

x xy y x 

− + = −  + >

 

Với x+ − =y 2 0⇒ y = −2 x thay vào phương trình (2) ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2

2 2

3 4

2 3 3 4 2 1 3 1 2 1 3 3 0

1

1 1 1 1

1 3 0 1 3

2 ( )

2 0

1 3

x x

x x x x x x x x x

x

x x x y

x x x x

x loai

x x

x x

+ + = + ⇔ + + = + + ⇔ + − + + + + =

+

≥ −

  ≥ −  = ⇒ =

⇔ + − + = ⇔ + = + ⇔  + = + ⇔ + − = ⇔ = −

Vậy hệ phương trình có nghiệm

( ) ( )

^{x y; = 1;1}

Câu 19. [ĐVH]: Giải hệ phương trình ²

( ) (

²

)

2

3 3 (1)

3 (2)

x x y xy y x y y y

x x y y

 − = + − −



 + = +



Lời giải

Điều kiện: y≥0

Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

3x x−y = xy+3x y −y − y y ⇔3x x− −y y −y x− −y y = ⇔0 x− −y y 3x −y =0 Với x− −y y =0⇒x= +y y thay vào phương trình (2) ta được

2 2

3x + +y y = +y y ⇔3x = ⇔ =0 x 0⇒ y=0

Với 3x² − =y 0⇒ y =3x² thay vào phương trình (2) ta được

2 2 2

3x + =x 3x +3x ⇔ =x 3 x ⇒ x=0⇒ y=0 Vậy hệ phương trình có nghiệm

( ) ( )

^{x y; = 0; 0}

Câu 20. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

2 2

2

1

5 2 1

2

 + + + = +

 − = − + +

 −



x x x xy y

y x

x x

y

Lời giải:

Điều kiện:

2

2

0 0

1

2 1 0

0 2

  ≥

+ ≥ ⇒

  ≤ −

− + + ≥



 ≥

 ≥

 x x x

x

x x

xy y

và ^{x2+ + − +x}

(

^{x2 2x+ ≥1}

)

^{0⇒ x≥ −1}₃^⇒x≥0

Nếu x=0⇒ y=1 không thỏa mãn hệ.

Nếu x≠0 thì ^{(1)⇔ 2+ − + + − = ⇔1 0}

(

₂ ^{+ −1}

) (

^{+ + −1}

)

⁼⁰

+ +

x x y

x x xy x y x y

x x xy

1 0

⇔ + − =x y (do x>0) thay vào (2) được

( )

2

2 2 2

3 1

2 1 3 1 1 2 1 0

1

− + = − + + ⇔ − + − − − + + =

−

x x

x x x x x x x

x

Đặt t= − +x² 2x+1 ta được ^{x2−3x+ =1 x2 −2x− − −1}

(

^{x 2}

)

Ta được ^{− − −t2}

(

^{x 1}

) (

^{t− −x 2}

)

^{= ⇔ +0 t2}

(

^x−1

) (

^{t+ x− =2}

)

^{0⇔ −}

( )(

^{t 1 t− +x 2}

)

⁼⁰

Với t= ⇔ =1 x 2 (do x>0)

Với ²

2

3 3

3 3 5 3

2 2 1 2 2

2 2

3 3

2

≥



 +

 + +

 =

= − ⇔ − + + = − ⇔ ⇔ = ⇔ =

 −

 =

 x

t x x x x x x y

x Vậy hệ có nghiệm duy nhất

( )

^{, 3 3 5; 3}

2 2

 + + 

= 

 

x y .

Câu 21. [ĐVH]: Giải hệ phương trình

2

3 2 1

2 2 8

1 1

+ +

  

+ = +

  

 



 + = + −



x x x

y x

y

y x

y y

Lời giải:

Điều kiện:

0 0

2 0



 ≥

 >





 + + ≥



x y x x y

(1) 2 2

( ) ( )

2

1 1 1 1

0 0 1 0 1

 

− −

⇔ − + − = ⇔ + + = ⇔ −  + + = ⇔ =

x xy x xy x

x y x xy xy

y y y x y x y x y x

Thay vào (2) được x²+ + + =x 2 2 ³ x²+ − ⇔x 8 x²+ + −x 2 ³ x²+ − = −x 8 2 Đặt

2 2 3

2 3

2 10

8 2

 = + +  − =

 ⇒

 

− = −

= + − 

�