CÔNG PHÁ TOÁN TẬP 2 (LỚP 11)

(1)

Công Phá Toán – Lớp 11 The best or nothing

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ... 15

Góc lượng giác và công thức lượng giác ... 15

Hàm số lượng giác ... 17

A. Lý thuyết ... 17

B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác ... 22

C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ... 49

Phương trình lượng giác ... 63

Bài tập rèn luyện kỹ năng ... 94

CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT . ... 107

Quy tắc đếm ... 107

Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp ... 107

B. Các dạng toán về phép đếm ... 110

Nhị thức Newton ... 124

B. Các dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Newton ... 125

Xác suất ... 142

B. Các dạng toán về xác suất ... 144

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ... 159

Phương pháp quy nạp toán học ... 159

B. Các bài toán điển hình ... 159

Dãy số ... 166

B. Các bài toán điển hình ... 168

(2)

MỤC LỤC More than a book

Cấp số cộng ... 179

B. Các dạng toán về cấp số cộng ... 181

Cấp số nhân ... 191

B. Các dạng toán về cấp số nhân ... 194

CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN ... 204

Giới hạn dãy số ... 204

B. Các dạng toán về giới hạn dãy số ... 206

Giới hạn của hàm số ... 231

B. Các dạng toán về giới hạn hàm số ... 234

Hàm số liên tục ... 269

B. Các dạng toán về hàm số liên tục ... 270

CHỦ ĐỀ 5: ĐẠO HÀM ... 280

Khái niệm đạo hàm ... 280

B. Các dạng toán tính đạo hàm bằng định nghĩa ... 280

Các quy tắc tính đạo hàm ... 289

B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm ... 289

Vi phân. Đạo hàm cấp cao ... 306

(3)

Công Phá Toán – Lớp 11 The best or nothing

B. Các dạng toán về vi phân và đạo hàm cấp cao ... 307

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số ... 321

B. Các dạng toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số ... 321

CHỦ ĐỀ 6: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG ... 329

Phép biến hình ... 329

Phép tịnh tiến ... 329

B. Các dạng toán về phép tịnh tiến ... 330

Đọc thêm: Phép đối xứng trục – Phép đối xứng tâm ... 343

B. Các dạng toán về đối xứng trục, đối xứng tâm ... 344

Phép quay ... 351

B. Các dạng toán về phép quay ... 352

Phép dời hình và hai hình bằng nhau ... 363

B. Các dạng toán về phép dời hình ... 363

Phép vị tự ... 369

B. Các dạng toán về phép vị tự ... 370

Phép đồng dạng ... 378

B. Các dạng toán về phép đồng dạng ... 378

(4)

MỤC LỤC More than a book

CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG.. 384

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng ... 384

B. Các dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng ... 387

Đường thẳng song song với đường thẳng ... 403

B. Các dạng toán về đường thẳng song song với đường thẳng ... 404

Đường thẳng song song với mặt phẳng ... 417

B. Các dạng toán về đường thẳng song song với mặt phẳng ... 418

Mặt phẳng song song với mặt phẳng ... 431

B. Các dạng toán về mặt phẳng song song với mặt phẳng ... 433

CHỦ ĐỀ 8: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC ... 446

Vectơ trong không gian ... 446

B. Các bài toán về vectơ trong không gian ... 447

Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc ... 455

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ... 458

Hai mặt phẳng vuông góc. Góc giữa hai mặt phẳng ... 462

Bài tập rèn luyện kỹ năng tính góc trong không gian ... 467

Khoảng cách ... 474

B. Các bài toán về khoảng cách ... 476

Bài tập ôn tập chủ đề 8 ... 493

TRA CỨU THUẬT NGỮ TOÁN ... 508

(5)

Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book

LOVEBOOK.VN| 15

CHỦ ĐỀ 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Góc lượng giác và công thức lượng giác

1. Giá trị lượng giác của cung 

Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cungAM có sđAM  :

Gọi ^{M x y}

 

^; với tung độ của M là y OK , hoành độ của M là x OH thì ta có:

sin OK cos OH

 

tan sin ; cos 0

cos

    

 ^cot ^cos ^{, sin}



⁰



sin

    



Các giá trị sin , cos , tan , cot    được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Các hệ quả cần nắm vững

1.Các giá trị sin ; cos  xác định với mọi   . Và ta có:

 

sin 2 sin , ;

cos 2 cos , .

k k

      

       2. 1 sin     1; 1 cos 1.

3. tan xác định với mọi ^,

 

^.

2 k k

    

4. cot xác định với mọi   k ,



k



.

Dấu của các giá trị lượng giác của cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM  trên đường tròn lượng giác (hình 1.2).

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

Góc phần tư Giá trị lượng giác

I II III IV

cos +   +

sin + +  

cot +  + 

tan +  + 

Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác.

2. Công thức lượng giác

Công thức cơ bản Cung đối nhau

2 2

sin xcos x1 ^sin

 

^{  }^x ^sin^x

2

tan 1 1 x cos

  x cos

 

x cosx

2

cot 1 1 x sin

  x tan

 

x  tanx

Công thức cộng Cung bù nhau

 

sin x y sin cosx ycos sinx y ^sin^x^^sin



^{ }^x



 

cos x y cos cosx y sin sinx y ^cos^x^{ }^cos



^x^{ }



O M

A’ A

y

x α

K

B’

B

H

Hình 1.1

O

M

A’ A

y

α x K

B’

B

H I II

III IV

Hình 1.2

O IV y

x III

II I

Hình 1.3

(6)

Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

LOVEBOOK.VN | 16

 

^tan ^tan

tan 1 tan tan

x y

x y x y

   tanxtan



x 



Công thức đặc biệt

     

       

   

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x x

     

        

   

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x x

Góc nhân đôi Góc chia đôi

sin 2x2 sin cosx x ^sin² ¹



^{1 cos 2}



x2  x

2 2 2 2

cos 2x2 cos x  1 1 2 sin xcos xsin x ^cos² ¹



^{1 cos 2}



x2  x

Góc nhân ba Góc chia ba

  ³

sin 3x 3 sinx 4 sin x ^sin³ ^¹



^3sin ^^{sin 3}



x 4 x x

 ³ 

cos3x 4 cos x 3cosx ^cos³ ^¹



^3cos ^^{cos 3}



x 4 x x

 



3 2

3 tan tan tan 3

1 3 tan

x x

Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích

   

cos cos 1 cos cos

x y2 x y  x y  ^cos^x^^cos^y^^{2 cos}^{x y}₂^ ^cos^{x y}₂^

   

sin sin 1 cos cos

x y2 x y  x y  ^cos^x^^cos^y^{ }^{2 sin}^{x y}₂^ ^sin^{x y}^₂

   

sin cos 1 sin sin

x y2 x y  x y  ^sin^x^^sin^y^^{2 sin}^{x y}₂^ ^cos^{x y}^₂ sin sin 2 cos sin

2 2

x y x y

x y  

 

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

 (độ) 0 30 45 60 90 180

_(radian) ₀

6



4



3



2

 

sin 0 1

2

2 2

3 2

1 0

cos ₁ ₃

2

2 2

1 2

0 1

tan 0 3

3

1 3 Không xác định 0

STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

 30 45 60 90 sin 1

2 2 2

3 2

4 2 Các giá trị ở tử số tăng dần từ

0 đến 4. Ngược lại đối với giá trị cos, tử số giảm dần từ 4 về 0.

STUDY TIP Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức.

(7)

Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book

LOVEBOOK.VN| 17

Hàm số lượng giác

A. Lý thuyết

1. Hàm số ysinx và hàm số ycosx

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là ysin .x

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin (cos) của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là ycos .x Tập xác định của các hàm số ysin ;x ycosx là .

a) Hàm số ysinx

Nhận xét: Hàm số ysinx là hàm số lẻ do hàm số có tập xác định D là tập đối xứng và ^^sin^x^^sin

 

^^x ^.

Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì 2 . Sự biến thiên:

Sự biến thiên của hàm số ysinxtrên đoạn  ;  được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía dưới:

Bảng biến thiên:

Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số ysinx trên đoạn  ;  như sau:

O M

A’ A

y

x x N + B’

B

Khi x tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ A’ đến B’ và điểm N chạy dọc trục sin từ O đến B’, ta thấy giảm dần từ 0 đến

O

M

A’ A

y

x x N

B’ +

B

Khi x tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B’ đến B và điểm N chạy dọc trục sin từ B’ đến B, ta thấy tăng dần từ đến 1.

O M

A’ A

y

x x

N

B’

+ ^B

Khi x tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến A’ và điểm N chạy dọc trục sin từ B đến O, ta thấy giảm dần từ 1 đến 0.

Hình 1.4 Khái niệm:

Hàm số ^{f x}

 

xác định trên D gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T0 sao cho với mọi x thuộc D ta có ^{  }^^_^{x T}^{f x T}



^ ^{D x T}

  

^;^^{f x}^{ }^D

Số dương T nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn.

(8)

Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Cách 1 Cách 2

Tìm tập D của x để f x

 

có nghĩa, tức là tìm ^D^



^x^ ^{f x}

 

^



^.

Tìm tập E của x để f x

 

không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là

\ . D E

Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số 

 1 2cos 1

y x là

A.       

 

\ 2 ,5 2 .

3 3

D k k k B.     

 

\ 2 .

D 3 k k

C.      

 

2 ,5 2 .

3 3

D k k k D.      

 

\ 5 2 .

D 3 k k

Đáp án A.

Lời giải Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi

  

     



cos cos 2 cos 1 0 3

cos cos5 3 x

x

   

    



3 2 , .

5 2

3

x k

k

x k

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số 

 1 2cos 1

y x tại



x 3 và 

5

x 3 ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.

STUDY TIP Ở phần này chúng ta cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:

1. Hàm số ysinx và

cos

y x xác định trên . 2. Hàm số ytanx xác định trên    

 

\ 2 k k

3. Hàm số ycotx xác định trên ^\



^{k k}^{ }



A. Với hàm số cho bởi biểu thức đại số thì ta có:

1. , điều kiện: * có nghĩa

* có nghĩa và

2. , điều kiện: * có nghĩa và .

3. điều kiện: có nghĩa và

B. Hàm số xác định trên như vậy

xác định khi và chỉ khi xác định.

* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và

* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và CHÚ Ý

STUDY TIP Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số 0,2 tồn tại hai góc có số đo là 

3 và 5 3

cùng thoả mãn

 51

cos cos

3 3 2 chính vì

thế ta kết luận được điều kiện như vậy. Từ đây bạn đọc có thể đưa ra lập luận cho sin, tan, cot, từ đó đưa ra tổng kết ban đầu cho giải phương trình lượng giác cơ bản chúng ta sẽ được học trong các bài tiếp theo.

Dạng 1

(9)

LOVEBOOK.VN| 23

Cách bấm như sau:

Nhập vào màn hình ^{2 cos}

 

¹^X ^¹^:

Ấn rgán 

3

X thì máy báo lỗi, tương tự với trường hợp 

5 3 .

X Từ đây suy ra hàm số không xác định tại ;

x 3 5 3 . x Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số 

 cot sin 1 y x

x là

A. \ 2 .

D 3k  k 

  B. \ .

D k2 k 

 

C. \ 2 ; .

D 2 k k k 

      

  D. \ 2 .

D 2 k k 

     

 

Đáp án C.

Lời giải Hàm số đã cho xác định khi

+ cotx xác định sinx0 + sinx 1 0

sin 0

, .

sin 1 0 2

2 x x k

x x k k

  

  

       

Ví dụ 3: Tập hợp ^\



^{k k}^{ }



không phải là tập xác định của hàm số nào?

A. 1 cos sin . y x

x

  B. 1 cos

2sin . y x

x

  C. 1 cos

sin 2 . y x

x

  D. 1 cos

sin . y x

x

 

Đáp án C

Lời giải sin 2 sin 0 2 2

sin 2 0 , .

sin 2 sin 2 2 2

2

x x k x k k

x x k

x x k x k

  

      

             

sin sin 0 2

sin 0 , .

sin sin 2

x x k

x x k k

x x k

    

          

Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm k2 và  k2 thành k dựa theo lý thuyết sau:

Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác.

2 , x  k  k

* được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác.

, x   k k

* được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua O trên đường tròn lượng giác.

2 , 3 x  k  k

* được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.

2 , , *

x k k n

n

     

* được biểu diễn bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.

Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có:

STUDY TIP Trong bài toán này, nhiều độc giả có thể chỉ sử dụng điều kiện để hàm phân thức xác định ( sinx 1 0) chứ không chú ý điều kiện để hàm cotx xác định, sẽ bị thiếu điều kiện và chọn D là sai.

y

x

Hình 1.11 0 O

Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy hàm cosx xác định với mọi x . Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có mẫu số có chứa sinx như nhau đó là A; D và B. Do đó ta chọn luôn được đáp án C.

(10)

Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

Đọc thêm

Dạng đồ thị của hàm số lượng giác

Các kiến thức cơ bản về dạng đồ thị của hàm số lượng giác được đưa ra ở phần 1:

Lý thuyết cơ bản:

Sau đây ta bổ sung thêm một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả.

Sơ đồ biến đổi đồ thị cơ bản:

Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối:

Cho đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^. Từ đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

ta suy diễn:

Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^{gồm * Ph}ần từ trục hoành trở lên của đồ thị

 

^.

y f x

*Đối xứng phần đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^gồm * Phần đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

^{nằm bên}

phải trục Oy.

* Đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy.

Đồ thị hàm số ^y^ ^{u x v x}

   

^.

với ^{f x}

     

^^{u x v x}^. ^gồm

* Phần đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

^{trên miền}

thỏa mãn ^{u x}

 

^^0.

* Đối xứng phần đồ thị ^y^ ^{f x}

 

^{trên miền}

 

⁰

u x  qua trục hoành.

Tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị

Tịnh tiến theo vectơ

Tịnh tiến theo trục Oy bđơn vị

Tịnh tiến theo trục Oy b đơn vị

Tịnh tiến theo trục Ox ađơn vị

Đối xứng qua gốc O

Đối xứng qua trục Ox

Đối xứng qua trục Oy

Dạng 5

(11)

Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book

LOVEBOOK.VN| 49

C. Bài tập rèn luyện kỹ năng

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số ^{1 cos} . sin y x

x

 

A. ^D^ ^\



^{k k}^{ }



^. ^B.^D^{    }



^{k k}



^.

C. ^D^ ^\



^{ }^k²^{ }^k



^.^D.^D^



^k²^{ }^k



^.

Câu 2: Tập xác định của hàm số ysin 5xtan 2x là

A. \ , .

2 k k

 

  

 

  B. \ , .

4 2

k k

 

 

 

 

C. ^\



^{1 ,}



^.

2 k k

   

 

  D. .

Câu 3: Tập xác định D của hàm số

3 3

1 cos tan 1 sin y x x

x

  

 là

A. \ 2 .

2 k k

   

 

  B. \ .

2 k k

   

 

 

C. \ .

2 2

k k

   

 

  D. \ .

2 k k

   

 

 

Câu 4: Tập xác định của hàm số tan 2 y  x  3

   

  là

A. \ .

2 k k

 

  

 

  B. \ .

6 k k

 

  

 

 

C. \ .

12 k k

     

 

  D. \ .

12 k2 k

     

 

 

Câu 5: Xét bốn mệnh đề sau

(1) Hàm số ysinx có tập xác định là . (2) Hàm số ycosx có tập xác định là . (3) Hàm số ytanx có tập xác định là

 

\ k k  .

(4) Hàm số ycotx có tập xác định là

\ .

k2k

  

  

 

Số mệnh đề đúng là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 6: Tập xác định của hàm số ycos x là A. D 0; 2. B. ^D^{  }^0;



^.

C. D . D. D \ 0 .

 

Câu 7: Tập xác định của hàm số ¹ ¹ sin cos y x x là A. ^\



^{k k}^{ }



^. ^B. ^{\ 2}



^k ^{ }^k



^.

C. \ .

2 k k

     

 

  D. \ .

k2 k

   

 

 

Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số:

3tan 2cot .

y x x x

A. \ .

D 2 k k 

     

 

B. \ .

D  k2 k 

   

 

C. \ .

4 2

D  k k 

 

D. D .

Câu 9: Tìm tập xác định của hàm số:

2 2

1 .

sin cos

y x x



A. \ .

2 k k

   

 

  B. \ .

k2 k

   

 

 

C. . D. \ .

4 k2 k

  

 

 

 

2 2

2017 tan 2 sin cos . y x

x x

 

A. \ .

2 k k

 

  

 

  B. \

2

 

 

C. . D. \

4 k2 k

   

 

 .

Câu 11: Tập xác định của hàm số ^sin . sin cos y x

x x

 

A. \ .

D     4 k k 

 

B. \ .

D  k4 k 

   

 

C. \ ; .

4 2

D  k  k k 

       

 

D. \ 2 .

D 4k  k 

 

Câu 12: Tìm tập xác định của hàm số ^sin . cos sin y x

x x

 

A. \ 2 .

D   4 k  k 

 

B. \ .

D  k4 k 

   

 

C. \ ; .

4 2

D  k  k k 

       

 

D. \ .

D 4 k k 

     

 

Câu 13: Tập xác định của hàm số y sin 2x1là A. ^D^ ^\



^{k k}^{ }



^.

B. D .

C. \ ; .

4 2

D   k   k k 

 

D. \ 2 .

D 2k  k 

 

(12)

LOVEBOOK.VN| 63

Phương trình lượng giác

I. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

a)

       

   

²

 

sin sin

2 f x g x k

f x g x k

   

  

    



b)

       

   

²

 

cos cos

2 f x g x k

f x g x k

   

  

   



c)

       

   

tan tan

2 f x g x k

f x g x k

f x k

   

     

d)

       

   

cot cot f x g x k

f x g x k

f x k

   

  

  

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận 2

6 3

x  k 

 



^k



là nghiệm?

A. sin 3 sin 2 . x 4 x

  B. cosxsin2 .x C. cos4x cos6 .x D. tan 2 tan .

x 4

  Đáp án B.

Lời giải

A.

 

3 2 2 2

4 20 5

sin 3 sin 2

3

4 3 2 2 2

4 4

x x k x k

x x k

x x k x k

         

 

  

            

B. cos sin 2 cos cos 2

x x x 2 x

     

 

 

2 2 2

2 6 3

2 2 2

2 2

x x k x k

k

x x k x k

        

 

  

  

         

   



C. ^cos4^x^{ }^cos6^x^^cos4^x^^cos



^{ }⁶^x



   

4 6 2 10 5

4 6 2

2

x k

x x k

x x k k

x k

  

 

      

          

D. ^{ } ^^ ^ ^^^^^{   }^ ^



^



  tan 2 tan tan 2 tan

4 4 8 2

x x x k k

So sánh ta được đáp án là B.

Ví dụ 2: Phương trình sin 2 sin

x 3

  có nghiệm dạng x   k và x   k

 

^; ³

4 4

k      

  Khi đó tích .  bằng:

A.

2

9 .

 B. . 9

 C.

4 2

9 .

  D.

2

9 .

 Đáp án A.

Lời giải

STUDY TIP



^^sin^{f x}

  

^^sin



^^{f x}

  



^^tan^{f x}

  

^^tan



^^{f x}

  



^^cot^{f x}

  

^^cot



^^{f x}

  



^^{c f x}^os

  

^^cos



^{ }^{f x}

  

STUDY TIP Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương trình lượng giác.

Bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi dùng máy tính để thử nghiệm và kết luận. phần này sẽ được trình bày kỹ hơn trong cuốn Công phá kỹ thuật giải toán CASIO.

Lưu ý

(13)

Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

Lời giải

Ta có: ^sin⁶^x^^cos⁶^x^



^sin²^x^^cos²^x



^sin⁴^x^^sin²^x^cos²^x^^cos⁴^x





^sin² ^cos²



² ^3sin² ^cos² ¹ ³^{sin 2}²

x x x x 4 x

    

3 1 cos4 5 3cos4

1 .

4 2 8

x x

 

  

5 3cos4 7 1 2

cos4 cos4 cos

8 16 2 3

x x x

 

      

 

4 2 2

3 6 2

4 2 2

3 6 2

x k x k

k

x k x k

       

 

  

  

        

 

 

 Có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là ₁

x 6 và ₂ x 3

Vậy ₁ ₂ .

x x 2

 

Phương trình bậc hai (hoặc phương trình đưa về phương trình bậc hai) đối với một hàm số lượng giác

Có dạng: at²  bt c 0 với a b c, ,  ; a0

t là một hàm số lượng giác Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ.

- Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ.

- Bước 3: Từ nghiệm tìm được đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 1: Các điểm ,A A B B, ,  được biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì các nghiệm của phương trình sin²x4sinx 3 0 là:

A. sđAB B. sđAA.

C. sđAB D. sđAB và sđAB.

Đáp án C.

Lời giải Đặt sinx t   t  1;1   x

Phương trình ^sin² ^^{4 sin} ^{  }^{3 0} ² ^⁴ ^{   }^{3 0} ^{  }_ ^{ }3¹

 

x x t t t

t loai

Với 1 sin 1 2 ;

t   x       x 2 k k Vậy nghiệm của phương trình là sđAB.

Ví dụ 2: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3₂

3cot 3

sin x

x  là:

A. . 2

 B. 5

6 .

  C. .

6

 D. 2

3 .

 

STUDY TIP Một số công thức hay sử dụng:

 

 



 

2 2

sin 1 cos cos 1 sin

1 1 tan

cos

1 1 cot

sin

sin cos 1sin 2 2 cos 2 2 cos 1 cos 2 1 2 sin

a a

a a a a

a a a

a a

STUDY TIP Dạng:

   

2 2 2 2

sin sin 0

cos cos 0

tan tan 0

cot cot 0

a f x b f x c

  

STUDY TIP

 

  

  

  

4 4 2

6 6 2

2

sin cos 1 1sin 2 2 sin cos 1 3sin 2

4 1 sin 2 sin cos 1 sin 2 sin cos

a a a

Bạn có thể nhẩm nghiệm nhanh để được:

kết quả.

Lưu ý

A’ O A

B’

B y

x

Dạng 2

(14)

Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

- TH1: .

48 4

x  k Chọn

 

^0;1 ^;¹³ ^0;

48 48 2

k x     

     

   

- TH2: .

60 5

x  k Chọn



^{0;1; 2}



^;¹³ ^;⁵ ^0;

60 60 12 2

k x      

     

   

Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc 0;

2

 

 

 .

Phương trình đẳng cấp

Là phương trình dạng ^f



^{sin ;cos}^x ^x



^⁰ trong đó lũy thừa của sinx và cosx cùng bậc chẵn hoặc lẻ.

Phương pháp giải:

- Bước 1: Xét cosx0  Kết luận nghiệm.

- Bước 2: Xét cosx0, ta chia 2 vế của phương trình cho cosⁿx (n là bậc cao nhất) đưa về phương trình bậc cao của tan .x

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình 2sin²x5sin cosx xcos²x2 (1) là:

A. ^arctan ³

 

^.

x 5 k k

  B. ^arctan ³ ²

 

^.

x 5k  k

 

C. ² ₃

 

^.

arctan 5

x k

k

x k

   

 

 

    

  



D. ² ² ₃

 

^.

arctan 2

5

x k

k

x k

   

 

 

    

  

 Đáp án C.

Lời giải

+ Với cosx 0 sin²x1. Thay vào phương trình (1)  2 2 luôn đúng

cos 0

x x 2 k

      là nghiệm của (1).

+ Với cosx0, chia 2 vế cho cos²x ta được:

(1) ² 1₂

2 tan 5tan 1 2.

x x cos

    x

 

2 2

2 tan x 5 tanx 1 2 1 tan x

    

 

3 3

tan arctan

5 5

x x   k k

        

 

Kết luận: Nghiệm của phương trình (1) là ² ₃

 

^.

arctan 5

x k

k

x k

 

  

 

 

    

  

 Lưu ý:

- Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho cos²x0 để đưa về phương trình bậc 2 theo tan .x

- Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác. Bạn đọc có thể giải theo các cách sau:

+ Xét sinx0 không thỏa mãn phương trình (1)

+ Với sinx0, chia cả 2 vế cho sin²x đưa về phương trình bậc 2 theo cot .x

STUDY TIP

2 2

sin 2 2sin cos

1 1 tan

cos

x x x

x x



  STUDY TIP - PT asin²x b sin cosx x

ccos²x d là phương trình đẳng cấp bậc 2.

- Số thực^{d d}^



^sin²^x^^cos²^x



có thể hiểu là một biểu thức bậc 2 với sin ;cosx x.

Dạng 4

(15)

Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 1: Phương trình ^sin



¹⁰



¹

x  2với 0  x 180 có nghiệm là:

A. x30 và x150 . B. x20 và x140 . C. x40 và x160 . D. x30 và x140 . Câu 2: Số nghiệm của phương trình 2 cos 1

x 4

  

 

 

với 0  x 2 là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 3: Phương trình sin 5 2 x 2 m

   

 

  có nghiệm

khi:

A. m 1; 3 . B. m  1;1 . C. m . D. ^m

 

^{1; 3 .}

Câu 4: Ph�