GIÁO ÁN K11 - HK1 - ĐS_GT11.C1-Bài 3. Một số PT LG thường gặp.doc

(1)

Trường: ………...

Tổ: TOÁN

Ngày soạn: ………

Tiết:

Họ và tên giáo viên: ………

Ngày dạy đầu tiên:……….

BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán – ĐS&GT: 11 Thời gian thực hiện: ... tiết

I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức

- Củng cố định nghĩa và phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Nắm được khái niệm và phương pháp giải các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số

lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và ^cos^x, phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx.

- Biết giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác; biết biến đổi một số phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất, bậc hai đổi với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và ^cos^x, phương trình thuần nhất đối với sinx và ^cos^x nhờ các công thức lượng giác.

2. Năng lực

- Năng lực tự chủ và tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra và khắc phục sai sót.

- Năng lực giao tiếp và hợp tác: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp. Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực giải quyết vấn đề Toán học: Phát hiện ra các bài toán thực tế liên quan đến phương trình lượng giác thường gặp.

- Năng lực sử dụng các công cụ Toán học: Sử dụng các phần mềm toán học để giải phương trình lượng giác.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học: Chuyển bài toán thực tế về bài toán giải phương trình lượng giác.

3. Phẩm chất

- Chăm học: Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Trung thực: Năng động, trung thực, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Trách nhiệm: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác; có trách nhiệm cao trong quá trình làm việc nhóm.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Sách giáo khoa, bảng phụ, phiếu học tập, máy chiếu.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Giới thiệu bài toán thực tế dẫn đến nhu cầu giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức cho HS tìm tòi các bài toán thực tế liên quan đến nhu cầu giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác.

c) Sản phẩm:

(2)

Dự kiến câu trả lời của HS

Nhóm 1- Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều , cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (t0 và tính bằng giây) bởi hệ thức h d với ^d ^³^cos^^₃



^{2 1}^t^



^

 . Ta quy ước rằng d0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d0trong trường hợp trái lại.

Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Lời giải

Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi ³^cos^^₃



^{2 1}^t^



^^{ }³

 

Ta có: ³^cos^^₃



^{2 1}^t^



^^{  }³ ^sin^^₃



^{2 1}^t^



^^{ }⁰ ^₃



^{2 1}^t^{ }



^k^^,



^k^



    

Vì 0 t 2nên ^k^

 

^{0 1}^;

+ Với k 0thì 1 t2 + Với k 1thì t2

Vậy trong 2giây đầu tiên người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm 1

2 giây và 2 giây.

Nhóm 2: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m ; trục của nó đặt cách mặt nước 2m . Khi guồng quay đều , khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm Acủa guồng đến mặt nước được tính theo cao công thức h y , trong đó

(3)

2 2 5 2 1 , sin 4

y   x 

 

 

Với ^xlà thời gian quay của guồng



^x^⁰



, tính bằng phút; ta quy ước rằng y0khi gầu ở trên mặt nước và y0khi gầu ở dưới nước. Hỏi

a) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất?

b) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất?

Lời giải

a) Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi

 

1 1

2 1 2 2

4 4 2

   

    

          

    

   

 

sin x x k x k k 

Vậy chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0phút, 1 phút, 2phút,…

b) Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi

 

1 1 1

2 1 2 2

4 4 2 2

sin x  x   k  x k k

         

    

   

  

Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0 5, phút, 1 5, phút, 2 5, phút,…

d) Tổ chức thực hiện:

Chuyển giao GV nêu nhiệm vụ cho HS về nhà tìm hiểu phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và các bài toán thực tế liên quan.

Thực hiện HS về nhà tìm hiểu các bài toán thực tế liên quan đến phương trình bậc nhất với hàm số lượng giác tìm hiểu được

Báo cáo

Báo cáo dưới hình thức powerpoint + Bài toán thực tế:

+ Đưa ra phương trình bậc nhất đối với lượng giác để giải quyết bài toán.

Đánh giá, nhận xét

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới: Trong thực tế, còn có rất nhiều các tình huống đưa đến việc chúng ta phải giải phương trình bậc nhất đối với hàm số

lượng giác.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

(4)

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, giải được các phương trình này và phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số

lượng giác.

b) Nội dung: GV yêu cầu học sinh đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau

H1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Từ đó suy ra định nghĩa phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác?

H2. Nêu cách giải phương trình bậc nhất một ẩn? Từ đó áp dụng giải các phương trình sau:

a) 2sinx30 b) 3tanx10

H3. Từ cách giải các phương trình trên đưa ra cách giải tổng quát cho phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác? Áp dụng giải các phương trình sau:

a) 3cosx 5 0 b) 3 cotx 3 0

H4. Gợi ý hướng giải cho hai phương trình sau:

a) 5cosx2sin 2x0 b) 8sin .cos .cos 2x x x 1

c) Sản phẩm:

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at b 0. trong đó ^{a b}^, là các hằng số



^a^⁰



và ^t là một trong các hàm số lượng giác.

HĐ 1 (SGK tr 29) Giải các phương trình

a) 2sin 3 0 sin ³

x   x2 suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

b) 3tanx10 1

tanx 3

  

x 6 k

    , k .

2. Cách giải Đưa phương trình bậc nhất về phương trình lượng giác cơ bản để giải với



^a^⁰



ta có 0 b

at b t

    a. Ví dụ 2

a) 3cosx 5 0 cos ⁵ 1 x 3

     nên phương trình vô nghiệm.

b) 3 cotx 3 0 cotx 3 ^, x 6 k k

    .

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Cách giải: Dùng các công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10 để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác và giải.

Ví dụ 3

a) 5cosx2sin 2x05cosx4sin .cosx x0 ^^cos^x



^{5 4sin}^ ^x



^⁰ ^cos 5⁰

 

sin

4 x

x loai

 



 

 cosx 0

  ,

x 2 k k

    .

b) 8sin .cos .cos 2x x x 14sin 2 .cos 2x x 12sin 4x 1 24 2 , . 7

24 2

x k

k

x k

 

   

 

  





d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao - GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

(5)

Thực hiện - HS thảo luận nhóm 2 bàn thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách giải phương trình bậc nhất đối với một lượng giác và phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài và yêu cầu hs dưới lớp nhận xét bài làm, chính xác hóa bài làm cho bạn.

- Hs làm bài và nhận xét bài bạn Đánh giá, nhận xét,

tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV bổ sung, kết luận.

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, giải được các phương trình này và phương trình lượng giác đưa về bậc hai đối với một hàm số

lượng giác.

b) Nội dung: GV yêu cầu học sinh đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau

H1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn? Từ đó suy ra định nghĩa phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác? Cho ví dụ?

H2. Nêu cách giải phương trình bậc hai một ẩn? Từ đó áp dụng giải các phương trình sau:

a) 3cos²x5cosx20 b) 3tan²x2 3tanx30

H3. Từ cách giải các phương trình trên đưa ra cách giải tổng quát cho phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác? Áp dụng giải phương trình sau:

2sin2 2 sin 2 0

2 2

x x 

H4. Nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng.

H5. Gợi ý hướng giải cho ba phương trình sau:

a) 6cos²x5sinx 2 0

b) 3 tanx6cotx2 3 3 0  c) 2sin² x5sin cosx xcos²x 2

c) Sản phẩm:

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at²  bt c 0. trong đó ^{a b c}^{, ,} là các hằng số



^a^⁰



và ^t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ 4

a) 3cos² x5cosx20

Đặt ^t^^cos^x, điều kiện 1  t 1. Ta đưa phương trình về dạng: ²

1

3 5 2 0 2

3 t

t t

t

 

   

 

(thỏa mãn điều kiện) +) Với ^t ¹ ^cos^x  ¹ ^{x k}^{2 ,} ^k .

+) Với ² cos ² arccos² 2 ,

3 3 3

t  x   x k  k . Đáp án 2 ; arccos² 2 ,

x k  x  3k  k . b) 3tan² x2 3tanx30

Đặt ^t^^tan^x ta đưa phương trình về dạng: 3t²2 3t 3 0, phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

2. Cách giải Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải

(6)

phương trình lượng giác theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản..

Ví dụ 5

2sin2 2 sin 2 0

2 2

x x 

Đặt sin 2

xt điều kiện 1  t 1 ta được phương trình bậc hai theo ^t là

2

2 2 2 0 2

2 ( ) t t t

t loai

 

    

  



Với ² _sin ²

2 2 2

t  x  ² ⁴

 

3 4

2

x k

k

x k

 

  

 

  



 ..

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Cách giải: Dùng các công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10, nhất là công thức góc nhân đôi để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác và giải.

Ví dụ

a) 6cos²x5sinx 2 0  6sin² x5sinx 4 0 ⁶ ²

 

7 2

6

x k

k

x k

 

   

 

  





b) 3 tanx6cotx2 3 3 0 

Điều kiện của phương trình là sin 0

sin .cos 0 sin 2 0 ,

cos 0 2

x x x x x k k

x

 

       

 

  .

Với điều kiện trên thì tan .cotx x0 Đặt tanx t cotx ¹

  t ta đưa phương trình về :

 

1 2 3

3 6 2 3 3 0 3 2 3 3 6 0

2

t t t t

t t

           

   (thỏa mãn điều kiện) Suy ra

   

tan 3

tan 2 arctan3 2

x k

x x k

 



  

   

   

    

 c) 2sin²x5sin cosx xcos²x 2

TH1: Nếu cosx 0 sin²x1 thay vào phương trình ta có: 2.1 5.0 0      2 2 2 (vô lí) TH2: Nếu cosx0 chia cả hai vế cho cos² x ta có

2 2

2sin x5sin cosx xcos x 2

2 2

2 2 2 2

sin 5sin cos cos 2

2cos cos cos cos

x x x x

    

 

2 2

2 tan x 5 tanx 1 2 1 tan x

      4 tan²x5 tanx 1 0

tan 1 tan 1

4 x x

 



 



 

4 arctan1

4

x k

k

x k

 



  

 

  





(7)

Chuyển giao - GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách giải phương trình bậc hai đối với một lượng giác và phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

tổng hợp

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được công thức biến đổi biểu thức sina x b cosx, biết áp dụng công thức biến đổi này để giải phương trình dạng sina x b cosx c .

b) Nội dung: GV yêu cầu học sinh đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau

H1. Nêu các công thức cộng lượng giác, dựa vào các công thức cộng lượng giác đã học chứng minh rằng

a) ^sin ^cos ^{2 cos}

x x x4 b) ^sin ^cos ^{2 sin}

x x x4

H2. Từ chứng minh trên hay đưa ra công thức tổng quát với biểu thức sina x b cosx H3. Từ đó đưa ra phương pháp giải phương trình sina x b cosx c

H4. Áp dụng giải các phương trình sau:

a) sinx 3 cosx1 b) 3 sin 3xcos 3x 2

c) Sản phẩm:

1. Công thức biến đổi biểu thức asinx b cosx Nhắc lại các công thức cộng

cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos cos .sin sin( ) sin .cos cos .sin

a b a b a b

  

  

  

  

Với a²b² 0 có _









 



 x

b a x b b a b a a x b x

asin cos sin cos

2 2 2

Vì ¹

2 2 2 2 2

2  







 









 a b

b b

a

a nên có một góc α sao cho



, sin

cos 2 2

2

2 

 

 a b

b b

a a

Khi đó asinx b cosx a²b²(sin cosx cos sin )x 

2 2sin( )

a b x 

  

Vậy ta có công thức sauasinxbcosx a²b²sin(x) (1) với ^cos ₂ ₂ ^,^sin ₂ ₂

b a

b b

a a

 

  



2. Phương trình dạng asinx b cosx c .

(8)

Xét phương trình sina x b cosx c với ^{a b c}^{, ,} ^ , a²b² 0. Theo biến đổi trên có sin cos sin( ) ₂c ₂

a x b x c x

a b



    

 .

Đây là phương trình lượng giác cơ bản, phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

2 2 2

2c 2 1

c a b

a b    

 .

Ví dụ 9 Giải phương trình a) sinx 3 cosx1

Chia cả hai vế cho ¹²^

 

³ ² ^²^{ta có}

1 3

.sin cos 1

2 x 2 x 1

sin .cos cos .sin

3 3 2

x  x 

  

sin 1

3 2

x 

 

   

3 6 2

x k

  

   

   

 

    



 

6 2

2 2

x k

k

x k

 

   

 

  





b) 3 sin 3xcos3x 2

Chia cả hai vế cho

 

³ ²^{ }¹² ²^{ta có}

3 1 2

.sin 3 cos 3

2 x2 x 2 2

sin 3 .cos cos3 .sin

6 6 2

x  x 

  

sin 3 2

6 2

x 

 

   

3 2

6 4

3 3 2

6 4

x k

  

   

 

   



 

5 2

36 3

11 2

36 3

x k

k k x

 

  

 

  





d) Tổ chức thực hiện Chuyển giao

- GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách chứng minh và biến đổi biểu thức sina x b cosx. Áp dụng để giải bài tập đã giao.

tổng hợp

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số

phương trình lượng giác thường gặp b) Nội dung:

PHIẾU HỌC TẬP 1 Câu 1.Nghiệm của phương trình 2sinx 1 0 là

(9)

A. 2 3 2 ,

x   k  k . B.

6 2 ,

7 2

6

x k

k

x k

 

   

 

  



 .

C. 2 ,

x  6 k  k . D.

3 2 ,

2 2

3

x k

k

x k

 

  

 

  



 .

Câu 2.Gọi  là nghiệm trong khoảng



^{ }^{; 2}



của phương trình 3

cos 0

x 2  , nếu biểu diễn a

b

   với a,b là hai số nguyên và ^a

b là phân số tối giản thì ab bằng bao nhiêu?

A. ab42. B. ab6. C. ab66. D. ab30.

Câu 3.Số nghiệm của phương trình ^cot ^{1 0} x 4

   

 

  trên khoảng



^^{ }^;3



là

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4

Câu 4.Nghiệm của phương trình 3.cot² x2cotx 3 0 là

A. 2

x  6 k  ; 2

x 3 k  ,



^k^



. B.

x  6 k;

x 3 k ,



^k^



. C. x 6 k ;

x  3 k ,



^k^



. D. 2

x  3 k  ; 2

x 6 k  ,



^k^



. Câu 5.Nghiệm của phương trình cos² xsinx 1 0là

A. x  2 k. B.

x 2 k . C. 2

x  2 k  . D. 2 x 2 k  . Câu 6.Trên đoạn [^{0; 2}^], phương trình 2cos²x- 3 cosx=0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 7.Khi đặt ^t^^tan^x thì phương trình 2sin²x3sin cosx x2cos²x1 trở thành phương trình nào sau đây?

A. 2t²  3t 1 0. B. 3t²  3t 1 0. C. 2t²  3t 3 0. D. t²  3t 3 0. Câu 8.Nghiệm của phương trình sin²x+sin cosx x=1 là

A. 4

2

x k

k

x k

    

 

 

   



 . B. 4

2

x k

k

x k

   

 

 

   



 .

C.

4 2 2 2

x k

k

x k

    

 

 

   



 . D.

4 2 2 2

x k

k

x k

   

 

 

   



 .

Câu 9.Có bao nhiêu điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin²x4sin .cosx x2.cos²x2 trên đường tròn lượng giác?

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.

(10)

Câu 10.Nghiệm của phương trình sinx 3 cosx 2 là

A. 3

2 ; 2

4 4

x   k  x  k . B. 5

2 ; 2

12 12

x  k  x  k  .

C. 2 ; 2 2

3 3

x  k  x  k  . D. 2 ; 5 2

4 4

x   k  x   k  . Câu 11.Cho phương trình sinxcosx1 có các nghiệm dạng x a k  2 và x b k  2 ,

0a b,  . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2

 

a b . B. 2

3

  

a b . C. a b . D. 3

5

  

a b .

Câu 12.Phương trình sinx 3 cos(x) 2sin 2 x có nghiệm là

A. 3

2 9

x k

 

  



  



. B.

3 2 2

9 3

x k

 

  



  



. C.

9 2 2

3 3

x k

 

  



  



. D. 9

2 3

x k

 

  



  



.

Câu 13.Phương trình sinx m cosx 10 có nghiệm khi

A. 3

3 m m

 

  

 . B.   3 m 3. C. 3 3 m m

 

  

 . D. 3

3 m m

 

  

 .

Câu 14.Tìm số nghiệm ³ ;

2 2

x      của phương trình 3 sin cos ³ 2 x  2  x?

A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .

Câu 15.Nghiệm của phương trình_{sin 3}x_{cos 2}x 1 2sin cos 2x x là

A. 2

6 x k

x k



 

 

  



. B. 5

6 2 x k

x k



 

 

  



. C. 2

6

5 2

6 x k

x k



 

 

  



 



. D. 2

6 6 2 x k

x k



 

 

  



  



.

c) Sản phẩm: học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.C 3.D 4.C 5. D 6.A 7.D 8.B 9.B 10. B

11.A 12.B 13.C 14.B 15.C

Câu 1.Nghiệm của phương trình 2sinx 1 0 là

A. 2

3 2 ,

x   k  k . B.

6 2 ,

7 2

6

x k

k

x k

 

   

 

  



 .

C. 2 ,

x  6 k  k . D.

3 2 ,

2 2

3

x k

k

x k

 

  

 

  



 .

Lời giải

(11)

2sin 1 0 sin 1

x   x  2

6 2 ,

7 2

6

x k

k

x k

 

   

 

  



 .

Câu 2.Gọi  là nghiệm trong khoảng



^{ }^{; 2}



của phương trình 3

cos 0

x 2  , nếu biểu diễn a

b

   với a,b là hai số nguyên và ^a

b là phân số tối giản thì ab bằng bao nhiêu?

A. ab42. B. ab6. C. ab66. D. ab30.

Lời giải Chọn C

Phương trình ^cos ³ ²

 

2 6

x    x  k  k .

Với



;2



¹¹

x    x 6 . Suy ra a11 và b6. Vậy ab66.

Câu 3.Số nghiệm của phương trình ^cot ^{1 0} x 4

   

 

  trên khoảng



^^{ }^;3



là

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4

Lời giải Chọn D

Ta có: ^cot ^{1 0}

 

4 4 4 2

x  x   k x  k k

             

 

   .

1 7

2 3 2 2

ycbt      k      k , mà k nên ^k^



^0;1;2;3



. Câu 4.Nghiệm của phương trình 3.cot² x2cotx 3 0 là

A. 2

x  6 k  ; 2

x 3 k  ,



^k^



. B.

x  6 k;

x 3 k ,



^k^



. C

.

x 6 k ;

x  3 k ,



^k^



. D. 2

x  3 k  ; 2

x 6 k  ,



^k^



. Lời giải

Chọn C

Ta có: 3.cot² x2cotx 3 0

cot 3

3 x x

 

   

6 3

x k

 

  

 

   





^k^



.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x 6 k ;

x  3 k,



^k^



. Câu 5.Nghiệm của phương trình cos²xsinx 1 0là

A. x  2 k. B.

x 2 k . C. 2

x  2 k  . D. 2 x 2 k  . Lời giải

Chọn D

(12)

2 2

cos xsinx   1 0 1 sin xsinx 1 0

2 sin 1

 

sin sin 2 0 2

sin 2 2

x x x x k

x vn

 

 

         

Câu 6.Trên đoạn [^{0; 2}], phương trình 2cos²x- 3 cosx=0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 2. C. 3. D. 5.

Lời giải Chọn A

Ta có ²

cos 0

2cos 3 cos 0 3

cos 2

x

x x

x

é =

êê - = Û êêë =

. 2 ,

6 2

x k

k

x k

 

éê = +

Û êê Î

ê =± + êê

ë

 .

Trên đoạn [^{0; 2}^], phương trình 2cos² x- 3 cosx=0 có các nghiệm là ^{, ,}¹¹ ^,³

6 2 6 2

    . Câu 7.Khi đặt ^t^^tan^x thì phương trình 2sin²x3sin cosx x2cos²x1 trở thành phương trình nào sau đây?

A. 2t²  3t 1 0. B. 3t²  3t 1 0. C. 2t²  3t 3 0. D. t²  3t 3 0. Lời giải

Chọn D Ta có

2 2

2sin x3sin cosx x2cos x12sin²x3sin cosx x2cos²xsin²xcos²x

2 2

sin x 3sin cosx x 3cos x 0

    .

Do cosx0 không thỏa mãn phương trình sin²x3sin cosx x3cos²x0 nên chia hai vế cho cos2x0 ta được tan²x3tanx 3 0.

Đặt ^tan^{x t}^ ta được phương trình t²  3t 3 0

Câu 8.Nghiệm của phương trình sin²x+sin cosx x=1 là

A. 4

2

x k

k

x k

    

 

 

   



 . B. 4

2

x k

k

x k

   

 

 

   



 .

C.

4 2 2 2

x k

k

x k

    

 

 

   



 . D.

4 2 2 2

x k

k

x k

   

 

 

   



 .

Lời giải Chọn B

sin2x+sin cosx x=1

Ta thấy sinx=0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế cho sin²x ta có :

2

1 cot 1 x sin

+ = x ^Û ^cot² ^x^- ^cot^x^{= Û}⁰ ^cot^x

(

^cot^x^- ¹

)

⁼⁰

(13)

cot 0 2

cot 1

4

x k

x x k

p p

p p éê = +

é = ê

Û êêë = Û êêêêë= + Î

¢.

Câu 9.Có bao nhiêu điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin²x4sin .cosx x2.cos²x2 trên đường tròn lượng giác?

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.

 

2 2

sin x4sin .cosx x2.cos x2 1 .

TH1: cosx 0 sin²x1. Khi đó

 

1 trở thành: 1 2 (vô lý) TH2: cos 0

x   x 2 k.

 

¹ ^^tan² ^x^^{4 tan}^x^{ }^{2 2 1 tan}



^ ² ^x



 

tan2x 4 tanx 4 0 tanx 2 x arctan 2 k

           .

Vì ^x^^arctan

 

^{  }² ^k biểu diễn trên đường tròn lượng giác là hai điểm nên số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin²x4sin .cosx x2.cos²x2 trên đường tròn lượng giác là hai.

Câu 10. Nghiệm của phương trình sinx 3 cosx 2 là

A. 3

2 ; 2

4 4

x   k  x  k . B. 5

2 ; 2

12 12

x  k  x  k  .

C. 2

2 ; 2

3 3

x  k  x  k  . D. 5

2 ; 2

4 4

x   k  x   k  . Lời giải

Chọn B

Ta có sinx 3 cosx 2 1 3 2

sin cos

2 x 2 x 2

   ^{cos sin} ^{sin cos} ^sin

3 x 3 x 4

  

  

sin sin

3 4

x  

 

   

2 2

3 4 12

3 5

2 2

3 4 12

x k x k

    

       

 

 

      

 



,



^k^^¢



Câu 11. Cho phương trình sinxcosx1 có các nghiệm dạng x a k  2 và x b k  2 , 0a b,  . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2

 

a b . B. 2

3

  

a b . C. a b . D. 3

5

  

a b .

Lời giải Chọn A

Ta có

sin cos 1 2 sin 1 sin 1 sin sin

4 4 2 4 4

   

     

             

x x x x x .

(14)

 

2 2

4 4

3 2 2 2

4 4

   

    

     

 

       



x k x k

x k k

x k

Vậy

2

 

a b .

Câu 12. Phương trình sinx 3 cos(x) 2sin 2 x có nghiệm là

A. 3

2 9

x k

 

  



  



. B.

3 2 2

9 3

x k

 

  



  



. C.

9 2 2

3 3

x k

 

  



  



. D. 9

2 3

x k

 

  



  



.

sin 3 cos( ) 2sin 2 sin + 3 cos 2sin 2

1 3

sin cos sin 2 sin sin 2

2 2 3

2 2 2

3 3 ( ).

2 2

3 9 3

x x x x x x

x x x x x

x x k x k

k k

x x k x



   

  

 

    

 

      

      

 

  

 

       

   





Câu 13. Phương trình sinx m cosx 10 có nghiệm khi

A. 3

3 m m

 

  

 . B.   3 m 3. C. 3 3 m m

 

  

 . D. 3

3 m m

 

  

 .

Lời giải Chọn C

Để phương trình có nghiệm thì ¹^^m²^

 

¹⁰ ² ^^m² _{    }⁹ ^^m_m^³₃

 . Câu 14. Tìm số nghiệm ³ ^;

2 2

x      của phương trình ^{3 sin} ^cos ³ ² x  2  x?

A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .

Ta có:

 

3 sin cos 3 2 3 sin sin 2 0 3 sin 2sin cos 0

2

sin 0

sin 3 2cos 0 5 5 2 , .

cos cos 6

6 5

6 2

x x x x x x x

x x k

x x x k k

x

x k



 



 

 

        

 

  

 

          

   





+ Ta có:

(15)

 

3 3 3 1

; 1 .

2 2 2 2 2 2

x k  ^   ^   k           k k do k

 

5 3 3 5 14 8

2 ; 2 1 .

6 2 2 2 6 2 12 12

x  k  ^   ^     k        k   k do k

 

5 3 3 5 4 2

2 ; 2 0 .

6 2 2 2 6 2 12 12

x   k  ^   ^      k       k  k do k Vậy phương trình ^{3 sin} ^cos ³ ²

x  2  xcó 3 nghiệm ³ ^;

2 2

x     . Câu 15. Nghiệm của phương trình_{sin 3}x_{cos 2}x 1 2sin cos 2x x là

A. 2

6 x k

x k



 

 

  



. B. 5

6 2 x k

x k



 

 

  



. C. 2

6

5 2

6 x k

x k



 

 

  



 



. D. 2

6 6 2 x k

x k



 

 

  



  



.

Lời giải.

Chọn C

sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x xcos 2x 1 sinx2sin2xsinx0

sin 0

1 6 2

sin 2 5

6 2 x k

x x k

x

x k



 

 

 

   

     



.

Chuyển giao GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1 HS: Nhận nhiệm vụ

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

HS Đọc, nghe, nhìn, làm ( cách thức thực hiện: cá nhân/cặp/nhóm) Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo 4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu:

Vận dụng kiến thức về phương trình lượng giác thường gặp để giải quyết các vấn đề liên quan thực tế cuộc sống.

b) Nội dung

PHIẾU HỌC TẬP 2

Bài toán 1: Một vật treo bởi một chiếc lò xo chuyển động lên xuống theo vị trí cân bằng (Như hình vẽ). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thòi điểm t giây được tính theo công thức

h d ,trong đó d 5sin 6t4 cos 6t với dtính bằng centimet, ta quy ước rằng d 0khi vật ở

phía trên vị trí cân bằng, d 0khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi

(16)

a. Ở vào thời điểm nào trong một giây dầu tiên, vật ở vị trí cân bằng?

b. Ở vào thời điểm nào trong một giấy đầu tiên vật ở xa vị trí cân bằng nhất? ( Tính chính xác đến 1

100 giây).

Bài toán 2: Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40° bắc trong ngày thứ ^t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

( )

^3sin

(

⁸⁰

)

¹²

d t é182 t ù

ê ú

= - +

ê ú

ë û

 ,

tÎ ¢ và 0< £t 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?

c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết của bài HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà . Báo cáo thảo luận

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ

tư duy.

*Hướng dẫn làm bài Dự kiến sản phẩm

Bài toán 1: Một vật treo bởi một chiếc lò xo chuyển động lên xuống theo vị trí cân bằng (Như hình vẽ). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thòi điểm t giây được tính theo công thức

h d ,trong đó d 5sin 6t4cos 6t với dtính bằng centimet, ta quy ước rằng d 0khi vật ở

phía trên vị trí cân bằng, d 0khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi a. Ở vào thời điểm nào trong một giây dầu tiên, vật ở vị trí cân bằng?

b. Ở vào thời điểm nào trong một giấy đầu tiên vật ở xa vị trí cân bằng nhất? ( Tính chính xác đến 1

100 giây).

Hướng dẫn:

Biến đổi: 5sin 6t4cos 6t 41sin(6t), với 5 4

cos ;sin

41 41

    ; ^0,675 a/ Vật ở vị trí cân bằng khi d=0

(17)

sin(6 ) 0 ( )

6 6

t   t  k k

0 t 1  k 6  0, 215 k 1, 7

 

           . Do đó, ^k^

 

^0,1

Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là ^0,11 t_6 _

giây và 6 6 0,64

t  

   giây

b/ Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi d nhận giá trị lớn nhất

sin(6 ) 1

cos(6 ) 0

sin(6 ) 1

t t

t

 



 

       ^t ^{6 12} ^k ⁶

  

   

Tìm k nguyên dương sao cho ⁰^{   }^t ¹ ^{0, 715}^{ }^k ^{1, 2}. Do đó, ^k^

 

^0;1

Vậy treong khoảng 1 giây đầu tiên có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là 6 12 0,37

t  

   giây và 0,9

6 12 6

t   

    giây

Bài toán 2: Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40° bắc trong ngày thứ ^t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

( )

^3sin

(

⁸⁰

)

¹²

d t é182 t ù

ê ú

= - +

ê ú

ë û

 ,

tÎ ¢ và 0< £t 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?

Hướng dẫn:

Ta có:

( )

^3sin

(

⁸⁰

)

¹²

d t é182 t ù

ê ú

= - +

ê ú

ë û

 £ + =3 12 15

Dấu bằng xảy ra khi ^sin

(

⁸⁰

)

¹

182 t

é ù

ê - ú=

ê ú

ë û



(

⁸⁰

)

²

( )

182 t- = +2 k  kÎ ¢



t k

    .

Mặt khác ^tÎ

(

^0;365

]

nên   k£ 365 171 194 364< £k 364

  .

Mà kÎ ¢ nên k=0. Vậy t=171.

Ngày ... tháng ... năm 2021 TTCM ký duyệt