Các bài hình học trong đề tuyển sinh lớp 10 năm 2019



Đỗ Tuấn Ngọc

CÁC BÀI T OÁN HÌNH HỌC

LUY ỆN THI VÀO LỚP 10

Ngày 12/01/2020

Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N.

a) Chứng minh: BEDC nội tiếp.

b) Chứng minh:DEA ACB.

c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.

Chứng minh: AO là phân giác củaMAN

e) Chứng tỏ: AM² = AE.AB.

GIẢI a) Chứng minh: BEDC nội tiếp.

CM 𝐵𝐸𝐶̂ =𝐵𝐷𝐸̂ = 90⁰Do hai điểm D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc 90⁰ Nên BEDC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh:^{DEA ACB}.

Do tứ giác BEDC mội tiếp nên → 𝐴𝐶𝐵̂+𝐵𝐸𝐷̂= 180⁰

Tại điểm E ta có : 𝐴𝐸𝐷̂ + 𝐵𝐸𝐷̂= 180⁰( Hai góc kề bù)

→^{DEA ACB}.

c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác Kẻ xy là tiếp tuyến với (O) tại A Suy ra 𝑥𝐴𝐵̂=𝐴𝐶𝐵 ̂(Cùng chắn cung AB)

Mặt khác 𝐴𝐶𝐵̂=𝐴𝐸𝐷̂ (cmb)

→ 𝑥𝐴𝐵̂=𝐴𝐸𝐷̂ Mà 2 góc này ở vị trí là 2 góc slt → xy//ED

d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Chứng minh: AO là phân giác củaMAN

Do xy là tiếp tuyến của (O) nên ta có xy  AO Mà xy //ED(cm ở câu c) → ED  AO → MN ^ AO Mà OA=R →OA là trung trực MN →AM=AN →∆ AMN cân tại A →

AO là phân giác 𝑀𝐴𝑁̂

e) Chứng tỏ: AM² = AE.AB.

Do AM=AN (cmt) →AM  AN → 𝑀𝐵𝐴̂=𝐴𝑀𝐸̂

Xét ∆ AME và ∆ AMB ta có : 𝑀𝐵𝐴̂=𝐴𝑀𝐸̂ ; 𝑀𝐴𝐸̂=𝑀𝐴𝐵̂ →∆ AME ∽ _{∆ ABM →}

𝐴𝑀 𝐴𝐸= ^𝐴𝐵

𝐴𝑀 →AM.AM=AB.AE → 𝐴𝑀²=AB.AE

y

x

O

N

M E D

B C

A

Bài 2: Cho(O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuơng gĩc với AB;

DC cắt đường trịn tâm O’ tại I.

a) Tứ giác ADBE là hình gì?

b) Chứng minh: DMBI nội tiếp.

c) Chứng minh: B, I, C thẳng hàng và MI = MD.

d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC

d) Chứng minh: MI là tiếp tuyến của (O’)

GIẢI a). Tứ giác ADBE là hình gì?

Do MA=MB và ABDE tại M nên ta có DM=ME.

ADBE là hình bình hành.

Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE là hình thoi.

b )C/m DMBI nội tiếp.

BC là đường kính,I(O’) nên 𝐵𝐼𝐷̂ =1v.Mà 𝐷𝑀𝐵̂ =1v(gt)𝐵𝐼𝐷̂ +𝐷𝑀𝐵̂=2vđpcm.

c)C/m B;I;E thẳng hàng.

Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường

tròn)BEDC; CMDE(gt).Do 𝐵𝐼𝐶̂ =1v BIDC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC → B;I;E thẳng hàng.

C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; EID vuông ở IMI là đường trung tuyến của tam giác vuông DEI MI=MD.

d) C/m MC.DB=MI.DC.

Hãy chứng minh MCI∽DCB (𝐶̂ chung ; 𝐵𝐷𝐼̂ =𝐼𝑀𝐵̂ cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp)

e)C/m MI là tiếp tuyến của (O’)

-Ta có O’IC cân 𝑂’𝐼𝐶̂= 𝑂’𝐶𝐼.̂ Tứ giác MBID nội tiếp 𝑀𝐼𝐵̂ =𝑀𝐷𝐵 ̂ (cùng chắn cung MB) BDE cân ở B 𝑀𝐷𝐵̂ =𝑀𝐸𝐵 ̂ Do MECI nội tiếp 𝑀𝐸𝐵̂ =𝑀𝐶𝐼 ̂(cùng chắn cung MI)

Từ đó suy ra 𝑂’𝐼𝐶̂= 𝑀𝐼𝐵̂  𝑀𝐼𝐵̂+𝐵𝐼𝑂’̂=𝑂’𝐼𝐶̂+𝐵𝐼𝑂’̂=1v

Vậy MI O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) MI là tiếp tuyến của (O’).

I

E D

M O B O' C A

Bài 3: Cho ABC cĩ A 90⁰. Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường trịn tâm O đường kính CM; đường thẳng BM cắt (O) tại D; AD kéo dài cắt (O) tại S.

a) Chứng minh: BADC nội tiếp.

b) BC cắt (O) ở E. Chứng minh rằng: ME là phân giác của AED.

c) Chứng minh: CA là phân giác của BCS.

GIẢI a) Chứng minh: BADC nội tiếp.

C/m A và D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông. →đpcm.

b) BC cắt (O) ở E. Chứng minh rằng: ME là phân giác của AED.

Hãy c/m AMEB nội tiếp.

Cm

𝐴𝐵𝑀̂=𝐴𝐸𝑀( ̂ Cùng chắn cung AM) 𝐴𝐵𝑀̂ =𝐴𝐶𝐷̂( Cùng chắn cung MD) 𝐴𝐶𝐷̂=𝐷𝑀𝐸̂( Cùng chắn cung MD)

→ 𝐴𝐸𝑀̂ =𝑀𝐸𝐷̂ →ME là phân giác AED→đpcm.

c) Chứng minh: CA là phân giác của BCS. - 𝐴𝐶𝐵̂= 𝐴𝐷𝐵 ̂ (Cùng chắn cung AB)

-𝐴𝐷𝐵̂=𝐷𝑀𝑆̂ +𝐷𝑆𝑀̂(Góc ngoài tam giác MDS) -Mà 𝐷𝑆𝑀̂= 𝐷𝐶𝑀̂(Cùng chắn cung MD)

𝐷𝑀𝑆̂= 𝐷𝐶𝑆̂(Cùng chắn cung DS)

𝑀𝐷𝑆̂ +𝐷𝑆𝑀̂= 𝑆𝐷𝐶̂+𝐷𝐶𝑀̂ → 𝑀𝐷𝑆̂ +𝐷𝑆𝑀̂=𝑆𝐶𝐴.̂ → 𝐴𝐷𝐵̂ = 𝑆𝐶𝐴̂ Vậy 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝑆𝐴𝐶̂ → AC là phân giác 𝐵𝐶𝑆̂ →đpcm.

Bài 4: Cho ABC cĩ A 90⁰.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM >MC. Dựng đường trịn tâm O đường kính MC; đường trịn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.

a) Chứng minh: ADCB nội tiếp.

b) Chứng minh: ME là phân giác của AED. c) Chứng minh: ASM ACD.

d) Chứng tỏ ME là phân giác của gĩc AED.

e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy.

GIẢI

E

O D S M

B C

A

O

S D

E M

B C A

a) Chứng minh: ADCB nội tiếp.

Hãy chứng minh:

𝑀𝐷𝐶̂ = 𝐵𝐷𝐶̂=1v

Từ đó suy ra A và D nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông…

b) Chứng minh: ME là phân giác của AED.

Do ABCD nội tiếp nên

𝐴𝐵𝐷̂ =𝐴𝐶𝐷̂(Cùng chắn cung AD)

Do MECD nội tiếp nên 𝑀𝐶𝐷̂=𝑀𝐸𝐷 ̂ (Cùng chắn cung MD)

Do MC là đường kính;E(O)𝑀𝐸𝐶̂ =1v𝑀𝐸𝐵̂=1v ABEM nội tiếp𝑀𝐸𝐴̂ =𝐴𝐵𝐷.̂

𝑀𝐸𝐴̂=𝑀𝐸𝐷̂ME là phân giác 𝐴𝐸𝐷̂ →đpcm c) Chứng minh: ^{ASM ACD}.

Ta có 𝐴 𝑆𝑀̂=𝑆𝑀𝐷̂ +𝑆𝐷𝑀̂(Góc ngoài tam giác SMD) Mà 𝑆𝑀𝐷̂ =𝑆𝐶𝐷̂(Cùng chắn cung SD)

𝑆𝐷𝑀̂=𝑆𝐶𝑀̂ (Cùng chắn cung SM)𝑆𝑀𝐷̂+𝑆𝐷𝑀̂=𝑆𝐶𝐷̂+𝑆𝐶𝑀̂ =𝑀𝐶𝐷̂ → 𝐴 𝑆𝑀̂ = 𝐴𝐶𝐷̂ →đpcm

d) Chứng tỏ ME là phân giác của gĩc AED.

Tự CM như câu b bài số 2

e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy.

Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.

Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắt BD ở MM là trực tâm của tam giác KBCKM là đường cao thứ 3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng

đpcm.

Bài 5: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn và AB <

AC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuơng gĩc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.

a) Chứng minh: AEDB nội tiếp.

b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C c) Chứng minh: DE  AC.

d) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh:

MD = ME = MF.

GIẢI a) Chứng minh: AEDB nội tiếp.

.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB…) b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C

Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng.

c) Chứng minh: DE  AC.

N I

A' F E

M

D C

B A

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc ACA’=1v nên DEAC.

d) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh:MD = ME = MF.

Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)

Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường trung trực của DE ME=MD.

 Gọi I là trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình)𝐴’𝐵𝐶̂=𝐴’𝐴𝐶̂(Cùng chắn cung A’C). Do ADFC nội tiếp 𝐹𝐴𝐶̂ =𝐹𝐷𝐶̂ (Cùng chắn cung FC) 𝐴’𝐵𝐶̂ =𝐹𝐷𝐶̂ hay DF//BA’ Mà 𝐴𝐵𝐴’̂ =1vMIDF. (Đường kính MIdây cung DF)MI là đường trung trực của DFMD=MF. Vậy MD=ME=MF.

Bài 6: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.

a) Chứng minh: MFEC nội tiếp.

b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM c) Chứng minh: AMP ∽ FMQ.

d) Chứng minh: PQM 90⁰.

GIẢI a)C/m MFEC nội tiếp:

(Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…) b)C/m BM.EF=BA.EM

C/m:EFM∽ABM:

Ta có 𝐴𝐵𝑀̂ =𝐴𝐶𝑀 ̂ (Vì cùng chắn cung AM)

Do MFEC nội tiếp nên 𝐴𝐶𝑀̂ =𝐹𝐸𝑀̂ (Cùng chắn cung FM).

𝐴𝐵𝑀̂ =𝐹𝐸𝑀̂.(1)

Ta lại có 𝐴𝑀𝐵̂ =𝐴𝐶𝐵̂(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên 𝐹𝑀𝐸̂=𝐹𝐶𝑀̂ (Cùng chắn cung FE).𝐴𝑀𝐵̂=𝐹𝑀𝐸̂.(2)

Từ (1)và(2) suy ra :EFM∽ABM đpcm.

c)C/m AMP∽FMQ.

P

O Q E

F M

C B

A

Ta có EFM∽ABM (theo c/m trên)

MF AM FE

AB  maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) 

FM AM FQ

AP MF

AM FQ

AP   

2

2 và 𝑃𝐴𝑀̂ =𝑀𝐹𝑄̂(suy ra từ EFM∽ABM) Vậy: AMP∽FMQ.

d)C/m góc:PQM=90^o.

Do 𝐴𝑀𝑃̂=𝐹𝑀𝑄 ̂ 𝑃𝑀𝑄̂ =𝐴𝑀𝐹̂ PQM∽AFM 𝑀𝑄𝑃̂ =𝐴𝐹𝑀̂ Mà 𝐴𝐹𝑀̂ =1v𝑀𝑄𝑃̂ =1v(đpcm).

Bài 7: Cho (O) đường kính BC, điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD. Dựng hình vuơng ABED; AE cắt (O) tại điểm thứ hai F; Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G.

a) Chứng minh BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường trịn này.

b) Chứng minhBFC vuơng cân và F là tâm đường trịn ngoại tiếp BCD.

c) Chứng minh: GEFB nội tiếp.

c) Chứng tỏ:C, F, G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường trịn ngoại tiếp BCD. Cĩ nhận xét gì về I và F

GIẢI a)C/m BGEC nội tiếp:

-Sử dụng tổng hai góc đối…

-I là trung điểm GC.

b)C/mBFC vuông cân:

𝐵𝐶𝐹̂=𝐹𝐵𝐴̂ (Cùng chắn cung BF) mà 𝐹𝐵𝐴̂=45^o (tính chất hình vuông)𝐵𝐶𝐹̂=45^o. 𝐵𝐹𝐶̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ∆ BFC vuông cân tại F →đpcm.

C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.Ta đi c/m F cách đều các đỉnh B;C;D Do BFC vuông cân nên BC=FC. Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;

𝐵𝐸 𝐹̂ =𝐹𝐸𝐷̂ =45^o;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).BFE=E FD (c-g- c)BF=FDBF=FC=FD.đpcm.

c)C/m GE FB nội tiếp:

Do BFC vuông cân ở F Cung BF=FC=90^o.  sđg GBF=

2

1 Sđ cung BF=

2 1

.90^o=45^o.(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)

Mà 𝐹𝐸𝐷̂ =45^o(tính chất hình vuông)𝐹𝐸𝐷̂ =𝐺𝐵𝐹̂=45^o.ta lại có 𝐹𝐸𝐷̂ + 𝐹𝐸𝐺̂=2v𝐺𝐵𝐹̂ +𝐹𝐸𝐺̂ =2v  Tứ giác GEFB nội tiếp.

d)C/m C;F;G thẳng hàng:

Do tứ giác GEFB nội tiếp 𝐵𝐹𝐺̂ =𝐵𝐸𝐺̂

O F

I A

G

D

E B C

mà 𝐵𝐸𝐺̂ =1v𝐵𝐹𝐺̂ =1v.Do BFG vuông cân ở F𝐵𝐹𝐶̂ =1v.𝐵𝐹𝐺̂

+𝐶𝐹𝐵̂=2vG;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm trên… :Do 𝐺𝐵𝐶̂= 𝐺𝐷𝐶̂=1vTâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn ngoại tiếp BCD.

Dễ dàng c/m được I F.

Bài 8: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường này cắt đường trịn ở E và F, cắt AC ở I (E nằm trên cung nhỏ BC).

a) Chứng minhBDCO nội tiếp.

b) Chứng minh: DC² = DE.DF.

c) Chứng minh:DOIC nội tiếp.

d) Chứng tỏ I là trung đ iểm FE.

GIẢI a)C/m:BDCO nội tiếp

(Dùng tổng hai góc đối) b)C/m:DC²=DE.DF.

Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc D chung.

SđgócECD=

2

1 sđ cung EC(Góc giữa tiếp tuyến và một dây) Sđ góc E FC=

2

1sđ cung EC(Góc nội tiếp)𝐸𝐶𝐷̂ =𝐷𝐹𝐶.̂DCE ∽DFCđpcm.

c)C/m DOIC nội tiếp:

Ta có: sđgóc BAC=

2

1sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chungBOD=COD 𝐵𝑂𝐷̂ =𝐶𝑂𝐷̂ 2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC=2

1sđcungBC (2) Từ (1)và (2)𝐷𝑂𝐶̂ =𝐵𝐴𝐶.̂

Do DF//AB𝐵𝐴𝐶̂ =𝐷𝐼𝐶̂ (Đồng vị) 𝐷𝑂𝐶̂ = 𝐷𝐼𝐶̂

 Hai điểm O và I cùng nhìn đoạn thẳng DC những góc bằng nhau…Tứ giác DOIC nội tiếp → đpcm

d)Chứng tỏ I là trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  𝑂𝐼𝐷̂ = 𝑂𝐶𝐷̂(cùng chắn cung OD)

Mà 𝑂𝐶𝐷̂=1v(tính chất tiếp tuyến)𝑂𝐼𝐷̂ =1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông góc với dây cung EFI là trung điểmEF.

O I

F

E

D B C

A

Bài 9: Cho (O), dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M  A và M  B), kẻ dây cung MN vuơng gĩc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của MAN.

a) Chứng minh4 điểm A, M, H, Q cùng nằm trên một đường trịn.

b) Chứng minh: NQ.NA =NH.NM

c) Chứng minh: MN là phân giác củaBMQ. d) Hạ đoạn thẳng MP vuơng gĩc với BN; Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN cĩ GTLN

GIẢI a) C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.

Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:- -Cùng nhìn đoạn thẳng …một góc vuông.

-Tổng hai góc đối.

b)C/m: NQ.NA=NH.NM.

Xét hai vuông NQM và NAH đồng dạng.

c)C/m MN là phân giác của góc BMQ. Có hai cách:

 Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M Cách 2: 𝑄𝑀𝑁̂ =𝑁𝐴𝐻̂ (Cùng phụ với 𝐴𝑁𝐻)̂

𝑁𝐴𝐻̂=𝑁𝑀𝐵̂ (Cùng chắn cung NB)đpcm

d) Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.

Ta có 2SMAN=MQ.AN 2SMBN=MP.BN.

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2.

2 MN

AB =AB.MN Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn nhất MN lớn nhấtMN là đường kính

M là điểm chính giữa cung AB.

I

P

O Q

N M

H B

A

Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngồi tại A (R > r). Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm trên đường trịn tâm O và C nằm trên đư ờng trịn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường trịn ở E.

a) Chứng minh tam giác ABC vuơng ở A.

b) O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F. Chứng minh N, E, F, A cùng nằm trên một đường trịn c) Chứng tỏ : BC² = 4Rr

d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r

GIẢI

1/C/m ABC vuông: Do BE và AE là hai tiếp tuyến cắt nhau nênAE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC=

2

1 BC.ABC vuông ở A.

2/C/m A;E;N;F cùng nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì EO là phân giác của tam giác cân AEBEO là đường trung trực của AB hay OEAB hay 𝐸𝑁𝐴̂=1v

Tương tự 𝐸𝐹𝐴̂ =1vTổng hai góc đối……4 điểm…

3/C/m BC²=4Rr.

Ta có tứ giác FANE có 3 góc vuông(Cmt)FANE là hình vuôngOEI vuông ở E và EAOI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

AH²=OA.AI(Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu) Mà AH=

2

BCvà OA=R;AI=r  4

BC2 RrBC²=Rr

4/SBCIO=? Ta có BCIO là hình thang vuông SBCIO=OBICBC 2

S=

2 ) (rR rR

N F

A I

O

E C

B

Bài 11: Trên hai cạnh gĩc vuơng xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuơng gĩc với AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.

a) Chứng minhOMHI nội tiếp.

b) Tính gĩc OMI.

c) Từ O vẽ đường vuơng gĩc với BI tại K.

Chứng minh: OK = KH

d) Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB.

GIẢI 1/C/m OMHI nội tiếp:

Sử dụng tổng hai góc đối.

2/Tính 𝑂𝑀𝐼̂ =?

Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M Nên M là trực tâm của tam giác ABI

IM là đường cao thứ 3 IMAB

𝑂𝐼𝑀̂ =𝐴𝐵𝑂̂(Góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mà  vuông OAB có OA=OB OAB vuông cân ở O 𝑂𝐵𝐴̂=45^o𝑂𝑀𝐼̂=45^o 3/C/m OK=KH

Ta có 𝑂𝐻𝐾̂ =𝐻𝑂𝐵̂+ 𝐻𝐵𝑂̂ (Góc ngoài OHB)

Do AOHB nội tiếp(Vì 𝐴𝑂𝐵̂=𝐴𝐻𝐵̂=1v) 𝐻𝑂𝐵̂=𝐻𝐴𝐵̂ (Cùng chắn cung HB) và 𝑂𝐵𝐻̂

= 𝑂𝐴𝐻̂(Cùng chắn cung OH) 𝑂𝐻𝐾̂= 𝐻𝐴𝐵̂+𝐻𝐴𝑂̂=𝑂𝐴𝐵̂=45^o.

OKH vuông cân ở KOH=KH 4/Tập hợp các điểm K…

Do OKKB OKB=1v;OB không đổi khi M di động K nằm trên đường tròn đường kính OB.

Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K là

4 1

đường tròn đường kính OB.

O y

x

I K H O M

B A

Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuơng gĩc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD tại E.

a) Chứng minh: AM là phân giác của gĩc CMD.

b) Chứng minh: EFBM nội tiếp.

c) Chứng tỏ: AC² = AE.AM

d) Gọi giao điểm CB với AM là N; MD với AB là I. Chứng minh: NI //CD

e) Chứng minh N là tâm đường trịn nội tiếp

CIM

GIẢI 1/C/m AM là phân giác của góc CMD

Do ABCD AB là phân giác của tam giác cân COD. 𝐶𝑂𝐴̂=𝐴𝑂𝐷̂

Các góc ở tâm là 𝐴𝑂𝐶̂ = 𝐴𝑂𝐷 ̂ nên các cung bị chắn bằng nhau  cung AC= cung ADcác góc nội tiếp chắn các cung này bằng nhau.Vậy 𝐶𝑀𝐴̂ =𝐴𝑀𝐷̂

2/C/m EFBM nội tiếp.

Ta có 𝐴𝑀𝐵̂ = 1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 𝐸𝐹𝐵̂ = 1v(Do ABEF)

𝐴𝑀𝐵̂ +𝐸𝐹𝐵̂ =2vđpcm.

3/C/m AC²=AE.AM

C/m hai ACE∽AMC (𝐴̂chung;𝐴𝐶𝐷̂ = 𝐴𝑀𝐷̂ cùng chắn cung AD và 𝐴𝑀𝐷̂ = 𝐶𝑀𝐴̂ cmt 𝐴𝐶𝐸̂ =𝐴𝑀𝐶̂)…

4/C/m NI//CD.

Do cung AC=AD 𝐶𝐵𝐴̂ =𝐴𝑀𝐷̂

(Góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau) hay 𝑁𝑀𝐼̂=𝑁𝐵𝐼̂ M và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc bằng nhauMNIB nội tiếp 𝑁𝑀𝐵̂ +𝑁𝐼𝑀̂=2v. mà 𝑁𝑀𝐵̂

=1v(cmt) 𝑁𝐼𝐵̂ =1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD.

5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ICM.

Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của CIM.

 Theo c/m ta có MN là phân giác của CMI

Do MNIB nội tiếp(cmt)  𝑁𝐼𝑀̂ = 𝑁𝐵𝑀̂ (cùng chắn cung MN) 𝑀𝐵𝐶̂ = 𝑀𝐴𝐶̂ (cùng chắn cung CM)

Ta lại có 𝐶𝐴𝑁̂ =1v(góc nội tiếp 𝐴𝐶𝐵̂ =1v); 𝑁𝐼𝐴̂ =1v(vì 𝑁𝐼𝐵̂ =1v)ACNI nội tiếp 𝐶𝐴𝑁̂

= 𝐶𝐼𝑁̂ (cùng chắn cung CN) 𝐶𝐼𝑁̂ = 𝑁𝐼𝑀̂IN là phân giác CIM Vậy N là tâm đường tròn……

O I N E

M

F

D C

A B

Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE.

a) Chứng minh: A, B, H, O, C cùng nằm trên 1 đường trịn.

b) Chứng minh: HA là phân giác của BHC. c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB² = AI.AH.

d) BH cắt (O) ở K.Chứng minh: AE // CK.

GIẢI

1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên một đường tròn: H là trung điểm EBOHED(đường kính đi qua trung điểm của dây …)𝐴𝐻𝑂̂=1v. Mà 𝑂𝐵𝐴̂=𝑂𝐶𝐴̂=1v (Tính chất tiếp tuyến)

A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA.

2/C/m HA là phân giác của 𝐵𝐻𝐶.̂

Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau 𝐵𝐴𝑂̂=𝑂𝐴𝐶̂ và AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường tròn đkOA) mà 𝐵𝐻𝐴̂ = 𝐵𝑂𝐴̂ (Cùng chắn cung AB) và 𝐶𝑂𝐴̂= 𝐶𝐻𝐴̂(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC  𝐶𝑂𝐴̂ = 𝐵𝑂𝐻̂  𝐶𝐻𝐴̂= 𝐴𝐻𝐵̂đpcm.

3/Xét hai tam giác ABH và AIB (có A chung và 𝐶𝐵𝐴̂ = 𝐵𝐻𝐴̂

hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) ABH∽AIBđpcm.

4/C/m AE//CK.

Do 𝐵𝐻𝐴̂=𝐵𝐶𝐴̂(cùng chắn cung AB) và sđ 𝐵𝐾𝐶̂=

2

1 Sđ cungBC(góc nội tiếp) Sđ 𝐵𝐶𝐴̂=

2

1sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây)

𝐵𝐻𝐴̂=𝐵𝐾𝐶̂ CK//AB

Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R, xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC, AD với xy theo thứ tự là M, N.

a) Cmr: MCDN nội tiếp.

b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN

c) Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. Cmr: AOIH là hình bình hành.

d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào?

GIẢI 1/ C/m MCDN nội tiếp:

K

H I E

D O

C B

A

x y

O

I

H N

M

D C

B A

AOC cân ở O𝑂𝐶𝐴̂ =𝐶𝐴𝑂;̂ 𝐶𝐴𝑂̂=𝐴𝑁𝐵̂ (cùng phụ với 𝐴𝑀𝐵̂) 𝐴𝐶𝐷̂=𝐴𝑁𝑀.̂ Mà 𝐴𝐶𝐷̂+𝐷𝐶𝑀̂=2v𝐷𝐶𝑀̂+𝐷𝑁𝑀̂=2v DCMB nội tiếp.

2/C/m: AC.AM=AD.AN Hãy c/m ACD∽ANM.

3/C/m AOIH là hình bình hành.

 Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI là giao điểm dường trung trực của CD vàMNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN.Hai đường này cách nhau ở I.

Do H là trung điểm MNAhlà trung tuyến của vuông AMN𝐴𝑁𝑀̂ =𝑁𝐴𝐻̂ Mà 𝐴𝑁𝑀̂ =𝐵𝐴𝑀̂=𝐴𝐶𝐷̂(cmt)𝐷𝐴𝐻̂=𝐴𝐶𝐷̂

Gọi K là giao điểm AH và DO do 𝐴𝐷𝐶̂+𝐴𝐶𝐷̂ =1v𝐷𝐴𝐾̂+𝐴𝐷𝐾̂ =1v hay AKD vuông ở KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổiCD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R

Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuơng gĩc với các cạnh AB, BC, AC. Gọi H là hình chiếu của D lên tiếp tuyến Ax của (O).

a) Chứng minh: AHED nội tiếp

b) Gọi giao điểm của AE với HD và HB với (O) là P và Q, ED cắt (O) tại M.

Chứng minh: HA.DP = PA.DE c) Chứng minh: QM = AB

d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH

e) Chứng minh: E, F, G thẳng hàng (đường thẳng Sim sơn)

GIẢI

1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…)

2/C/m HA.DP=PA.DE Xét ∆ HAP và ∆ EPD có : 𝐴𝐻𝑃̂=𝑃𝐸𝐷̂= 90⁰

𝐻𝑃𝐴̂= 𝐸𝑃𝐷̂ ( đối đỉnh )

→∆ HAP ∆ EDP → Tỷ số →đpcm

P

M Q

D x

H

O G

F

E B C

A

3/C/m QM=AB:

Do HPA∽EDP𝐻𝐴𝐵̂=𝐻𝐷𝑀̂ Mà sđ 𝐻𝐴𝐵̂=

2

1sđ cung AB Sđ 𝐻𝐷𝑀̂ =

2

1sđ cung QM 4/C/m: DE.DG=DF.DH .

Xét hai tam giác DEH và DFG có:

Do tứ giác EHAD nội tiếp 𝐻𝐴𝐸̂=𝐻𝐷𝐸̂ (cùng chắn cung HE)(1) Và 𝐸𝐻𝐷̂=𝐸𝐴𝐷̂ (cùng chắn cung ED)(2)

Vì 𝐹̂ =𝐺̂= 90⁰DFGC nội tiếp𝐹𝐷𝐺̂=𝐹𝐶𝐺̂ (cùng chắn cung FG)(3) 𝐹𝐺𝐷̂= 𝐹𝐶𝐷̂(cùng chắn cung FD)(4) Nhưng 𝐹𝐶𝐺̂=𝐵𝐶𝐴̂=𝐻𝐴𝐵̂(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6).

Từ (2);(4) và 𝐵𝐶𝐷̂ =𝐵𝐴𝐷̂(cùng chắn cungBD) 𝐸𝐻𝐷̂=𝐹𝐺𝐷̂(7) Từ (6)và (7)EDH∽FDG

DG DH DF

ED  đpcm.

5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có 𝐵𝐹𝐸̂=𝐵𝐷𝐸̂ (cmt)và 𝐺𝐹𝐶̂= 𝐶𝐷𝐺̂(cmt)

Do ABCD nội tiếp𝐵𝐴𝐶̂+𝐵𝑀𝐶̂=2v;Do GDEA nội tiếp 𝐸𝐷𝐺̂+ 𝐸𝐴𝐺̂=2v. 𝐸𝐷𝐺̂ =𝐵𝐷𝐶 ̂mà 𝐸𝐷𝐺̂=𝐸𝐷𝐵̂+𝐵𝐷𝐺̂

và 𝐵𝐶𝐷̂ =𝐵𝐷𝐺̂+𝐶𝐷𝐺̂𝐸𝐷𝐵̂=𝐶𝐷𝐺̂  𝐺𝐹𝐶̂= 𝐵𝐸𝐹̂E;F;G thẳng hàng.

Bài 16: Cho tam giác ABC cĩ A 90⁰, AB <

AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK  BC (K nằm trên BC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK.

a) Chứng minh: ABIK nội tiếp được trong đường trịn tâm I.

b) Chứng minh: BMC = 2ACB

c) Chứng tỏ BC² = 2AC.KC

d) AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.

Chứng minh AC = BN

GIẢI 1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m)

2/C/m 𝐵𝑀𝐶̂=2𝐴𝐶𝐵̂

Do ABMK và MA=AK(gt)BMK cân ở B𝐵𝑀𝐴̂=𝐴𝐾𝐵̂ Mà 𝐴𝐾𝐵̂=𝐾𝐵𝐶̂+𝐾𝐶𝐵̂ (Góc ngoài tam giac KBC).

Do I là trung điểm BC và KIBC(gt) KBC cân ở K

𝐾𝐵𝐶̂=𝐾𝐶𝐵̂ Vậy 𝐵𝑀𝐶̂=2 𝐴𝐶𝐵̂

N

M K

I C B

A

 AM QM AB=QM → (đpcm)

3/C/m BC²=2AC.KC

Xét 2  vuông ACB và ICK có 𝐶 ̂ chungACB∽ICK

 CK CB IC

AC  IC=

2 BC

CK BC BC AC 

2

đpcm 4/C/m AC=BN

Do 𝐴𝐼𝐵̂ =𝐼𝐴𝐶̂ + 𝐼𝐶𝐴̂(góc ngoài IAC) và IAC Cân ở I𝐼𝐴𝐶̂ =𝐼𝐶𝐴̂  𝐴𝐼𝐵̂ =2 𝐼𝐴𝐶̂

(1). Ta lại có 𝐵𝐾𝑀̂ = 𝐵𝑀𝐾̂ và 𝐵𝐾𝑀̂= 𝐴𝐼𝐵̂ (Cùng chắn cung AB-Tứ giác AKIB nội tiếp)

𝐴𝐼𝐵̂ =𝐵𝑀𝐾̂ (2) Mà 𝐵𝑀𝐾̂=𝑀𝑁𝐴̂+𝑀𝐴𝑁̂(Góc ngoài ∆ MNA) Do MNA cân ở M(gt)𝑀𝐴𝑁̂=𝑀𝑁𝐴̂BMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)𝐼𝐴𝐶̂ =𝑀𝑁𝐴̂ và 𝑀𝐴𝑁̂=𝐼𝐴𝐶̂ (đ đ)… 5/C/m NMIC nội tiếp:

Do 𝑀𝑁𝐴̂= 𝐴𝐶𝐼 ̂hay 𝑀𝑁𝐼̂=𝑀𝐶𝐼̂ hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…) Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định,điểm

C di động trên nửa đường trịn.Tia phân giác của ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và BC.

a) Chứng minh:MOBK nội tiếp.

b) Tứ giác CKMH là hình vuơng.

c) Chứng minhH;O;K thẳng hàng.

d) Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường trịn thì I chạy trên đường nào?

GIẢI 1/C/m:BOMK nội tiếp:

Ta có 𝐵𝐶𝐴̂=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CM là tia phân giác của 𝐵𝐶𝐴̂𝐴𝐶𝑀̂=𝑀𝐶𝐵̂=45^o.

cungAM= cung MB=90^o.

dây AM= dây MB có O là trung điểm AB OMAB hay 𝐵𝑂𝑀̂= 𝐵𝐾𝑀̂ =1v

BOMK nội tiếp.

2/C/m CHMK là hình vuông:

Do  vuông HCM có 1 góc bằng 45^o nên CHM vuông cân ở H HC=HM, tương tự CK=MK Do 𝐶̂=𝐻̂=𝐾̂=1v CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

CHMK là hình vuông.

3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuôngHKMC tại trung điểm I của MC.Do I là trung điểm MCOIMC(đường kính đi qua trung điểm một dây…)

Vậy HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳng hàng.

4/Do 𝑂𝐼𝑀̂ =1v;OM cố địnhI nằm trên đường tròn đường kính OM.

K M

P Q H

O B

A II

C

-Giới hạn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậy khi C di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ của đường tròn đường kính OM.

Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB = 2a, BC = a. Kẻ tia phân giác của ACD, từ A hạ AH vuơng gĩc với đường phân giác nĩi trên.

a) Chứng minh: AHDC nội tiếp trong ( O) mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a.

b) HB cắt AD tại I và cắt AC tại M; HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC. Và AB.AC = BH.BI

c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)

d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;

đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp.

GIẢI

Xét hai HCAABI có 𝐴̂= 𝐻̂=1v và 𝐴𝐵𝐻̂= 𝐴𝐶𝐻̂ (Cùng chắn cung AH)

HCA∽ABI 

BI AC AB

HC  mà HB=HC đpcm 3/Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx.

DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HOD 𝐴𝑂𝐻̂=𝐻𝑂𝐷̂

màAOD cân ở OOHAD và OHHx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1) Do cung AH=HD  𝐴𝐵𝐻̂=𝐴𝐶𝐻̂=𝐻𝐵𝐷̂𝐻𝐵𝐷̂=𝐴𝐶𝐻̂hay 𝑀𝐵𝑁̂ =𝑀𝐶𝑁 ̂

hay 2 điểm B;C cùng làm với hai đầu đoạn MN những góc bằng nhau MNCB nội tiếp𝑁𝑀𝐶̂ =𝑁𝐵𝐶̂(cùng chắn cung NC) mà 𝐷𝐵𝐶̂=𝐷𝐴𝐶 ̂(cùng chắn cung DC) 𝑁𝑀𝐶̂ =𝐷𝐴𝐶 ̂MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx.

4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BH𝐻𝐵𝐷̂=𝐵𝐷𝐽̂ (so le)cung BJ=HD=AH=

2

AD mà cung AD=BCcung BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính  𝐻𝐷𝐽̂ = 1v . 𝐻𝐽𝐷̂ =𝐴𝐶𝐻̂(cùng chắn 2 cung bằng nhau) 𝑂𝐽𝐾̂ = 𝑂𝐶𝐾̂CJ cùng làm với hai đầu đoạn OK những góc bằng nhauOKCJ nội tiếp 𝐾𝑂𝐶̂= 𝐾𝐽𝐶 ̂(cùng chắn cung KC);𝐾𝐽𝐶̂ =𝐷𝐴𝐶̂(cùng chắn cung DC)𝐾𝑂𝐶̂ =𝐷𝐴𝐶̂OK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội tiếp.

I J

K O N M H

D C

A B

Bài 19: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, bán kính OC  AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của ACM.

a) Chứng minh AOHC nội tiếp.

b) Chứng tỏ CHM vuơng cân và OH là phân giác của COM.

c) Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. Cmr: CDBM là hình thang cân.

d) BM cắt OH tại N.

Chứng minh: BNI ∽ AMC, từ đĩ suy ra:

BN.MC = IN.MA.

GIẢI 1/C/m AOHC nội tiếp:

(học sinh tự chứng minh) 2/C/mCHM vuông cân:

Do OCAB trại trung điểm OCung AC=CB=90^o. Ta lại có:

Sđ CMA=

2

1sđcung AC=45^o.CHM vuông cân ở M.

C/m OH là phân giác của 𝐶𝑂𝑀̂:Do CHM vuông cân ở HCH=HM; CO=OB(bán kính);OH chungCHO=HOM𝐶𝑂𝐻̂= 𝐻𝑂𝑀̂ đpcm.

3/C/m:CDBM là thang cân:

Do OCM cân ở O có OH là phân giácOH là đường trung trực của CM mà IOHICM cân ở I 𝐼𝐶𝑀̂= 𝐼𝑀𝐶 ̂mà 𝐼𝐶𝑀̂ =𝑀𝐷𝐵̂(cùng chắn cung BM)

 𝐼𝑀𝐶̂= 𝐼𝐷𝐵 ̂hay CM//DB.Do IDB cân ở I 𝐼𝐷𝐵̂=𝐼𝐵𝐷̂

và 𝑀𝐵𝐶̂= 𝑀𝐷𝐶̂(cùng chắn cungCM) nên 𝐶𝐷𝐵̂=𝑀𝐵𝐷̂CDBM là thang cân.

4/C/m BNI và AMC đồng dạng:

Do OH là đường trung trực của CM và NOH CN=NM.

Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có 𝐶𝑀𝐻̂

=45^o 𝑁𝐻𝑀̂ =45^oMNH vuông cân ở M vậy CHMN là hình vuông  𝐼𝑁𝐵̂=𝐶𝑀𝐴̂ =45^o.

Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM…

và CAM=CBM(cùng chắn cung CM)

INB=CMA đpcm

N

I D

H O

M C

A B

Bài 20: Cho đều ABC nội tiếp trong (O;R).

Trên AB và AC lấy hai điểm M; N sao cho BM = AN.

a) Chứng tỏ OMN cân.

b) Chứng minh: OMAN nội tiếp.

c) BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E.

Chứng minh: BC² + DC² = 3R².

d) Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I; AO kéo dài cắt BC tại J. Chứng minh: BI đi qua trung điểm của AJ.

GIẢI 1/C/m OMN cân:

Do ABC là tam giác đều nội tiếp trong (O)AO và BO là phân giác của ABC

𝑂𝐴𝑁̂=𝑂𝐵𝑀̂=30^o; OA=OB=R và BM=AN(gt)OMB=ONA

OM=ON OMN cân ở O.

2/C/m OMAN nội tiếp:

do OBM=ONA(cmt)𝐵𝑀𝑂̂ =𝐴𝑁𝑂̂ mà 𝐵𝑀𝑂̂+ 𝐴𝑀𝑂̂=2v𝐴𝑁𝑂̂+𝐴𝑀𝑂̂=2v.

AMON nội tiếp.

3/C/m BC²+DC²=3R².

Do BO là phân giác của đều BOAC hay BOD vuông ở D.Aùp dụng hệ thức Pitago ta có:

BC²=DB²+CD²=(BO+OD)²+CD²=

=BO²+2.OB.OD+OD²+CD².(1)

Mà OB=R.AOC cân ở O có 𝑂𝐴𝐶̂=30^o. 𝐴𝑂𝐶̂ =120^o𝐴𝑂𝐸̂ =60^oAOE là tam giác đều có ADOEOD=ED=

2 R

Aùp dụng Pitago ta có:OD²=OC²-CD²=R²-CD².(2) Từ (1)và (2)BC²=R²+2.R.

2

R +CD²-CD²=3R². 4/Gọi K là giao điểm của BI với AJ.

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có 𝐵̂=60^o𝐵𝐹𝐶̂=30^o.

BC=

2

1BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung điểm BFI là trung điểm CF. Hay FI=IC.

K

J

I F

D E

O N

M

C B

A

Do AK//FI.Aùp dụng hệ quả Talét trong BFI có:

BI BK EI

AK 

Do KJ//CI.Aùp dụng hệ quả Talét trong BIC có:

BI BK CJ KJ 

Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)

Bài 21: Cho ABC (A90⁰)nội tiếp trong đường trịn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường trịn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.

a) Chứng minh tứ giác ABNM nội tiếp và CN.AB = AC.MN.

b) Chứng tỏ B, M, D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I).

c) Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh BMOE là hình bình hành.

d) Chứng minh NM là phân giác của AND. GIẢI 1/

C/m ABNM nội tiếp:

(dùng tổng hai góc đối)

C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh tam giác vuông ABC và tam giác vuông NMC đồng dạng.

2/C/m B;M;D thẳng hàng. Ta có 𝑀𝐷𝐶̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) hay MD  DC. 𝐵𝐷𝐶̂=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

Hay BDDC. Qua điểm D có hai đường thẳng BD và DM cùng vuông góc với DCB;M;D thẳng hàng.

C/m OM là tiếp tuyến của (I):Ta có MO là đường trung bình của ABC (vì M;O là trung điểm của AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O là trung điểm BCOI là đường trung bình của MBCOI//BM hay OE//BMBMOE là hình bình hành.

4/C/m MN là phân giác của góc AND:

Do ABNM nội tiếp 𝑀𝐵𝐴̂=𝑀𝑁𝐴̂(cùng chắn cung AM) 𝑀𝐵𝐴̂=𝐴𝐶𝐷̂(cùng chắn cung AD) Do MNCD nội tiếp 𝐴𝐶𝐷̂=𝑀𝑁𝐷̂(cùng chắn cung MD)

 𝐴𝑁𝑀̂ =𝑀𝑁𝐷̂ đpcm.

I

E

M

O N

D

C B

A

AK KJ FI CI

 

Bài 22: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.

Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;

BC, các đường này cắt AB; BC; CD; DA lần lượt ở P; Q; N; M

a) Chứng minh INCQ là hình vuơng.

b) Chứng tỏ NQ // DB.

c) BI kéo dài cắt MN tại E; MP cắt AC tại F.

Chứng minh MFIN nội tiếp được trong đường trịn. Xác định tâm.

d) Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích của nĩ theo a.

e) Chứng minh: MFIE nội tiếp.

GIẢI 1/C/m INCQ là hình vuông:

MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN

NC=IQ=PD NIC vuông ở N có 𝐼𝐶𝑁̂ =45^o(Tính chất đường chéo hình vuông)NIC vuông cân ở NINCQ là hình vuông.

2/C/m:NQ//DB:

Do ABCD là hình vuông DBAC Do IQCN là hình vuông NQIC Hay NQACNQ//DB.

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vuông)𝑀𝐹𝐼̂=1v;𝑀𝐼𝑁̂=1v(gt)

hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp.

Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN.

4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp.

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ=

2

1SAMIP+

2

1 SMDNI+

2

1SNIQC+

2 1SPIQB

=2

1SABCD=

2 1a².

5/C/m MFIE nội tiếp:

Ta có tam giác vuông BPI= tam giác vuông IMN(do PI=IM;PB=IN; 𝑃̂= 𝐼̂=1v.

 𝑃𝐼𝐵̂=𝐼𝑀𝑁̂ mà 𝑃𝐵𝐼̂ =𝐸𝐼𝑁̂ (đ đ) 𝐼𝑀𝑁̂=𝐸𝐼𝑁̂

Ta lại có 𝐼𝑀𝑁̂+𝐸𝑁𝐼̂ =1v𝐸𝐼𝑁̂ + 𝐸𝑁𝐼̂ =1v𝐼𝐸𝑁̂ =1v mà 𝑀𝐹𝐼̂ =1v 𝐼𝐸𝑀̂+𝑀𝐹𝐼̂ =2v

Tứ giác FMEI nội tiếp

F E

I M

N

Q P

D

B C A

Bài 23: Cho hình vuơng ABCD, N là trung điểm DC; BN cắt AC tại F. Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài cắt AD ở M; MN cắt (O) tại I.

a) Chứng minh MDNE nội tiếp.

b) Chứng tỏ BEN vuơng cân.

c) Chứng minh MF đi qua trực tâm H của

BMN

d) Chứng minh BI = BC và IE F vuơng.

e) NE cắt AB tại Q. Chứng minh MQBN là hình thang cân

GIẢI 1/C/m MDNE nội tiếp.

Ta có 𝑁𝐸𝐵̂=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)

𝑀𝐸𝑁̂=1v;𝑀𝐷𝑁̂ =1v(t/c hình vuông)

𝑀𝐸𝑁̂+𝑀𝐷𝑁̂=2vđpcm 2/C/m ∆ BEN vuông cân:

𝑁𝐸𝐵 ̂ = 90⁰ (cmt)Do CBNE nội tiếp𝐸𝑁𝐵̂=𝐵𝐶𝐸̂cùng chắn cung BE) mà 𝐵𝐶𝐸̂=45^o(t/c hv) 𝐸𝑁𝐵̂=45^ođpcm.

3/C/m MF đi qua trực tâm H của BMN.

Ta có 𝐵𝐼𝑁̂ =1v(góc nt chắn nửa đ/tròn)

BIMN. Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đường cao của BMNGiao điểm của EN và BI là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng.

Do H là trực tâm BMNMHBN(1)

𝑀𝐴𝐹̂=45^o(t/c hv); 𝑀𝐵𝐹̂=45^o(cmt)𝑀𝐴𝐹̂=𝑀𝐵𝐹̂ =45^oMABF nội tiếp.𝑀𝐴𝐵̂+ 𝑀𝐹𝐵̂ =2v mà 𝑀𝐴𝐵̂=1v(gt)𝑀𝐹𝐵̂=1v hay MFBM(2) Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng.

4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;𝑁𝐵𝐶̂=𝑁𝐸𝐶̂

(cùng chắn cung NC).Do 𝑀𝐸𝑁̂=𝑀𝐹𝑁̂=1vMEFN nội tiếp𝑁𝐸𝐶̂=𝐹𝑀𝑁̂ (cùng chắn cung FN); 𝐹𝑀𝑁̂=𝐼𝐵𝑁̂ (cùng phụ với 𝐼𝑁𝐵̂ )𝐼𝐵𝑁̂ =𝑁𝐵𝐶̂BCN=BIN.BC=BI

*C/m IEF vuông:Ta có 𝐸𝐼𝐵̂ =𝐸𝐶𝐵̂ (cùng chắn cung EB) và 𝐸𝐶𝐵̂=45^o𝐸𝐼𝐵̂ =45^o Do 𝐻𝐼𝑁̂+𝐻𝐹𝑁̂ =2vIHFN nội tiếp 𝐻𝐼𝐹̂= 𝐻𝑁𝐹 ̂ (cùng chắn cung HF);mà 𝐻𝑁𝐹̂

=45^o(do EBN vuông cân)𝐻𝐼𝐹̂ =45^o . Từvà 𝐸𝐼𝐹̂ =1v đpcm

5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ở B.Xét

vuông ABM và ∆ vuông BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIM

𝐴𝐵𝑀̂ =𝑀𝐵𝐼̂ ;ABI cân ở B có BM là phân giác BM là đường trung trực của QH.

*C/m MQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có 𝐴̂ +𝑄𝐸𝑁̂ =2v(do ENBM theo cmt)

AMEQ nội tiếp𝑀𝐴𝐸̂ = 𝑀𝑄𝐸̂(cùng chắn cung ME) mà 𝑀𝐴𝐸̂=45^o và 𝐸𝑁𝐵̂=45^o(cmt)

𝑀𝑄𝑁̂=𝐵𝑁𝑄̂=45^o MQ//BN.ta lại có 𝑀𝐵𝐼̂=𝐸𝑁𝐼̂ (cùng chắn cungEN) và 𝑀𝐵𝐼̂=𝐴𝐵𝑀̂

H Q

I M

E

O F

D N C

A B

Và 𝐼𝐵𝑁̂ = 𝑁𝐵𝐶̂ (cmt) QBN=𝐴𝐵𝑀̂+𝑀𝐵𝑁̂=𝐴𝐵𝑀 +̂ 45^o(vì 𝑀𝐵𝑁̂=45^o)𝑀𝑁𝐵̂= 𝑀𝑁𝐸̂+𝐸𝑁𝐵̂=𝑀𝐵𝐼̂+45^o 𝑀𝑁𝐵̂=𝑄𝐵𝑁̂MQBN là thang cân.

Bài 24: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn(AB < AC). Vẽ đường cao AH. Từ H kẻ HK; HM lần lượt vuơng gĩc với AB; AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK.

a) Chứng minh AMHK nội tiếp.

b) Chứng minh JA.JH = JK.JM

c) Từ C kẻ tia Cx vuơng gĩc với AC và Cx cắt AH kéo dài ở D. Vẽ HI; HN lần lượt vuơng gĩc với DB và DC. Cmr : HKMHCN

d) Chứng minh M; N; I; K cùng nằm trên một đường trịn.

GIẢI 1/C/m AMHK nội tiếp:

Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM

Xét ∆ JAM và ∆ JHK có: 𝐴𝐽𝑀̂=𝐾𝐽𝐻̂(đđ).

Do tứ giác AKHM nt 𝐻𝐴𝑀̂= 𝐻𝐾𝑀̂ ( cùng chắn cung HM)JAM∽JKHđpcm 3/C/m 𝐻𝐾𝑀̂=𝐻𝐶𝑁̂

Vì AKHM nội tiếp 𝐻𝐾𝑀̂=𝐻𝐴𝑀̂(cùng chắn cung HM) Mà 𝐻𝐴𝑀̂= 𝑀𝐻𝐶 ̂ (cùng phụ với 𝐴𝐶𝐻̂).

Do 𝐻𝑀𝐶̂=𝑀𝐶𝑁̂=𝐶𝑁𝐻̂=1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay 𝑀𝐻𝐶̂ =𝐻𝐶𝑁̂

𝐻𝐾𝑀̂ =𝐻𝐶𝑁.̂

4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.

Do BKHI nội tiếp𝐵𝐾𝐼̂ =𝐵𝐻𝐼̂ (cùng chắn cung BI);𝐵𝐻𝐼̂ =𝐼𝐷𝐻̂ (cùng phụ với 𝐼𝐵𝐻̂) Do IHND nội tiếp𝐼𝐷𝐻̂ =𝐼𝑁𝐻̂(cùng chắn cung IH) 𝐵𝐾𝐼̂=𝐻𝑁𝐼̂

Do AKHM nội tiếp𝐴𝐾𝑀̂=𝐴𝐻𝑀̂ (cùng chắn cung AM);𝐴𝐻𝑀̂=𝑀𝐶𝐻̂(cùng phụ với 𝐻𝐴𝑀̂)

Do HMCN nội tiếp𝑀𝐶𝐻̂=𝑀𝑁𝐻̂ (cùng chắn cung MH)𝐴𝐾𝑀̂=𝑀𝑁𝐻̂

mà 𝐵𝐾𝐼̂+𝐴𝐾𝑀̂+𝑀𝐾𝐼̂ =2v 𝐻𝑁𝐼̂+𝑀𝑁𝐻̂ +𝑀𝐾𝐼̂ =2v hay 𝐼𝐾𝑀̂+𝑀𝑁𝐼̂=2v M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.

N I

D J

M K

H C

B

A

Bài 25: Cho ABC ( A 90⁰), đường cao AH. Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E; Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I.

a) Chứng minh D; H; E thẳng hàng.

b) Chứng minh BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường trịn này.

c) Chứng minh AM  DE.

d) Chứng minh AHOM là hình bình hành.

GIẢI 1/C/m D;H;E thẳng hàng:

Do 𝐷𝐴𝐸̂=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H)DE là đường kính D;E;H thẳng hàng.

2/C/m BDCE nội tiếp:

HAD cân ở H(vì HD=HA=bán kính của đt tâm H) 𝐻𝐴𝐷̂ =𝐻𝐴𝐷̂ Mà 𝐻𝐴𝐷̂=𝐻𝐶𝐴̂(Cùng phụ với HAB)

𝐵𝐷𝐸̂=𝐵𝐶𝐸̂

Hai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE…

Xác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC.

3/C/m:AMDE:

Do M là trung điểm BCAM=MC=MB=

2

BC𝑀𝐴𝐶̂ =𝑀𝐶𝐴̂;mà 𝐴𝐵𝐸̂ =𝐴𝐶𝐵̂ (cmt)𝑀𝐴𝐶̂ =𝐴𝐷𝐸.̂

Ta lại có:𝐴𝐷𝐸̂+𝐴𝐸𝐷̂ =1v(vì 𝐴̂=1v)𝐶𝐴𝑀̂+𝐴𝐸𝐷̂=1v 𝐴𝐼𝐸̂ =1v vậy AMED.

4/C/m AHOM là hình bình hành:

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECD  OM là đường trung trực của BC

OMBCOM//AH.

Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H)OHDE mà AMDEAM//OHAHOM là hình bình hành.

Bài 26: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn, đường cao AH. Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB; I là điểm đối xứng của H qua AC. E; F là giao điểm của KI với AB và AC.

a) Chứng minh: AICH nội tiếp.

b) Chứng minh: AI = AK

c) Chứng minh: Các điểm: A, E, H, C, I cùng nằm trên một đường trịn.

d) Chứng minh: CE; BF là các đường cao của

ABC

O I E

M D

H C

B

A

M

F E

I

K

H C

B

A