Bộ đề thi vào 10 môn Toán năm 2022 không có đáp án (5 đề Tự luận)

(1)

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại học sư phạm HN

Bµi 1. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x

3 6

4

2 3 7 4 3 9 4 5 2 5

. . A x x

x

  

 

  

Bµi 2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt Pn = 1.2.3….n. Chứng minh rằng a) 1 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +….+ n.Pn = Pn+1 .

b)

1 2 3

1 2 3 1

1 ...

n

P P P P

     

Bµi 3. Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chình phương.

Bµi 4. Xét phương trình ẩn x : (2x²4x a 5)(x²2xa)(x   1 a 1) 0

a) Giải phương trình ứng với a = -1.

b) Tìm a để phương trình trên có đóng ba nghiệm phân biệt.

Bµi 5. Qua một điểm M tùy ý đã cho trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ các đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng song song này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J tương ứng.

a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cùng là trung điểm của EF.

b) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của một điểm M trên AB sao cho EJ = JI = IF.

(2)

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại học sư phạm HN

Bµi 1. Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P ¹ ¹ ¹

x y z

   .

Bµi 2. Tìm tất cả bộ ba số dương thỏa mãn hệ phương trình :

2004 6 6

2 2 2

x y z

y z x

z x y

  

  

  



Bµi 3. Giải phương trình :

² ² ³ ³ ¹ ³ ⁴ ¹ ² 3 4

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

x x x x x x

         x

      .

Bµi 4. Mỗi bộ ba số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn phương trình x²+y²+z²=3xyz được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình này.

a) Hãy chỉ ra 4 nghiệm nguyên dương khác của phương trình đã cho.

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.

Bµi 5. Cho  ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N.

Giả sử d cắt lại đường tròn (O) tại E (khác A), MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng :

a)  ACN đồng dạng với  MBA.  MBC đồng dạng với  BCN.

b) tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp

c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A.

(3)

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001. (1)

Bµi 1. Tìm n nguyên dương thỏa mãn :

1 1 1 1 1 2000

1 1 1 1

2( 1 3)( 2 4)( 3 5)...( 2 ) 2001

. . . n n( )

    



Bµi 2. Cho biểu thức

2

4 4 4 4

16 8 1

x x x x

A

x x

    



 

a) Với giá trị nào của x thì A xác định.

b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.

Bµi 3. Cho  ABC đều cạnh a. Điểm Q di động trên AC, điểm P di động trên tia đối của tia CB sao cho AQ. BP = a² . Đường thẳng AP cắt đường thẳng BQ tại M.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn . b) Tìm giá trị lớn nhất của MA + MC theo a.

Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

a b c a b c

b ac ba c b c  c a  a b

     

Bµi 5. Chứng minh rằng sin75⁰ = ⁶ ²

4



(4)

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001. (2)

Bµi 1. Cho biểu thức ¹ ¹ ¹ ₂²

1 1 1 1 1

(x x ) : ( x )

P x x x x x

 

   

     .

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x  1.

Bµi 2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nðu chảy cùng một thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng 2/3 lương nước của vòi I chảy được. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.

Bµi 3. Chứng minh rằng phương trình : x² 6x 1 0 có hai nghiệm x1 = 2 3 và x2 = 2 3.

Bµi 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn ( M không trùng với A, B). Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB.

Đường tròn (E) cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C, D.

a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích KM.KN không đổi.

c) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là P và Q. Xác định vị trí của M để diện tích  NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đó chu vi  NPQ đại giá trị nhỏ nhất.

d) Tìm quỹ tích điểm E.

(5)

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990

Bµi 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biêu thức

2 2 36 2 3

x x

x

  

 nguyên.

Bµi 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a² + ab + b² – 3a – 3b + 3.

Bµi 3. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì biểu thức m² + m + 1 không phảI là số chính phương.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì m(m + 1) không thể bằng tích của 4 số nguyên liên tiếp.

Bµi 4. Cho  ABC vuông cân tại A. CM là trung tuyến. Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC tại H. Tính tỉ số ^BH

HC .

Bµi 5. Có 6 thành phố, trong đó cứ 3 thành phố bất kì thì có ít nhất 2 thnàh phố liên lạc được với nhau. Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)

Bµi 1. a) Giải phương trình x    1 x 1 1 x²1

b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ ³ 2 ³2

8

2 2 2 7

x y x y

y x xy y x

    

     



Bµi 2. Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰² .Hãy tính giá trị biểu thức P = a²⁰⁰⁴ + b²⁰⁰⁴ .

Bµi 3. Cho  ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.

Bµi 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn, có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm cảu đường tròn ). Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB và BC; P và Q lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng MH và NH

(6)

song với đường thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đường tròn .

Bµi 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

10 10

16 16 2 2 2

2 2

1 1

2(x y ) 4( ) (1 )

Q x y x y

y x

     