Phát triển bài toán vận dụng cao đề minh họa THPT 2020 môn Toán lần 2 - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

Câu 46. Cho hàm số f x( ) cĩ bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn 5 0; 2

 

 

 

  của phương trình f(sin )x 1 _là

A. ^7.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải tham khảo

Đặt ^{0; 1; 2..}₅

0;2

3 5

sin cos , 0 cos 0 ; ;

2 2 2 2

k x

t x t x t x x  k _ x   

 ^{  }_{ }

 

 

 

 

 

 

             

x  0

2

 3

2

 5

2

 

t  0  0 

t

1 1

0

1

Phương trình f t( )1 và nhìn lên bảng biến thiên đề:

Biện luận nghiệm dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm f(x)

1) Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Cĩ bao nhiêu số nguyên ^m để phương trình f(2 sinx 1) f m( ) cĩ nghiệm thực ?

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải tham khảo

Đặt t 2 sinx 1. Ta cĩ  1 sinx    1 1 2 sinx         1 3 1 t 3 t [ 1; 3].

Phương trình f(2 sinx 1) f m( ) cĩ nghiệm  f t( ) f m( ) cĩ nghiệm thuộc đoạn [ 1; 3].

[ 1;3] [ 1;3]

min ( )f t f m( ) max ( ).f t

 

   Từ bảng biến thiên, suy ra

[ 1;3]

min ( )f t 2

   và

[ 1;3]

max ( )f t 2.

 

Do đĩ  2 f m( )2   1 m3.

Do m m  { 1;0;1;2; 3} : cĩ 5 giá trị nguyên của ^m thỏa bài tốn.

Chọn đáp án A.

1: 1 t t

  

 

  cho 0 nghiệm x. 1 :

t  

 cho 1 nghiệm x.

1 :

( 1; 0) t

t

 

  

  _cho 2 nghiệm x. [0;1) :

t 

 _cho 3 nghiệm x.

1 y 

1 : 0 x   a

 _nghiệm x.

( 1;0) : x   b

 2 _nghiệm x.

(0;1) : x  c

 3 nghiệm x.

0 : 0 x  d

 nghiệm x.

Vậy cĩ 5 nghiệm x. Chọn đáp án C.

2) Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ^{2f f x}





A. 1.

B. 2.

C. ^7.

D. 5.

Lời giải tham khảo

Đặt t f x( ) và do x  [ 4; 0] nên từ đồ thị, suy ra giá trị của t f x( ) [0;3]. ( ) (0;2] :

t  f x 

 có 2 nghiệm ^x.

( ) (2; 3] {0} : t  f x  

 có 1 _nghiệm x.

Yêu cầu bài toán  phương trình ( ) 2

f t m cần có 2 nghiệm t (0;2].

Dựa vào đồ thị, suy ra 3 4 6 8.

2

m m

     _Do m  m7. Chọn đáp án A.

3) Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số ^m để phương trình f(sin )x 3 sinx m có nghiệm thuộc khoảng (0; ). Tổng các phần tử của S _bằng

A. 9.

B. 10.

C. 6.

D. 5.

Lời giải tham khảo

Đặt t sinx _{và do} x (0; )  t (0;1]. (vẽ đường tròn lượng giác).

Khi đó phương trình trở thành m  f t( )3t g t( ) với t (0;1].

Phương trình có nghiệm

(0;1] (0;1]

min ( )g t m max ( ).g t

  

Ta có: g t( ) f t( )3. Mà từ (0;1] thì đồ thị đi xuống nên f t( ) 0 f t( )  3 0 g t( )0.

Do đó hàm số g t( ) nghịch biến trên (0;1].

Suy ra:

(0;1]

min ( )g t g(1) f(1)     3 1 3 4 và

(0;1]

max ( )g t g(0) f(0)1.

Vậy  4 m  1 ^m m    { 4; 3; 2; 1;0}. Nên tổng giá trị của ^m bằng 10.

Chọn đáp án B.

Lưu ý. Tại vị trí max (x=0) không có dấu " " _vì t (0;1]. Nếu không để ý sẽ dễ nhầm chọn đáp án A.

Bài toán kết hợp giữa hàm số và tích phân

Cho hàm số ^{f x( )ax4 bx3 cx2 dx m} với a b c d m, , , ,  và a 0. Hàm số y  f x( ) _cĩ đồ thị như hình vẽ. Phương trình f x( )m cĩ bao nhiêu nghiệm ?

A. (0) 0 (1) 0 g

g

 

 

 



B. (0) 0 (1) 0 g

g

 

 

 



C. (0) 0 ( 2) 0 g

g

 

 

  



D. (1) 0 ( 2) 0 g

g

 

 

  



Lời giải tham khảo Ta cĩ: g x( ) f x( )x. _Cho g x( )0

( ) 2 0 1.

f x x x x x

        

Mà

1 0 1

2g x x( )d 2g x x( )d 0 g x x( )d

      

  

0 1

1 2

2 0

( ) d ( ) d

f x x x f x x x S S



     







(1) ( 2) 0 (1) ( 2).

g g g g

       Vẽ lại bảng biến thiên bên phải.

Điều kiện cần và đủ để phương trình g x( ) 0 cĩ 4 _nghiệm khi g(0)0 và g(1)0. Chọn đáp án A.

Bài toán chứa tham số m trong bài toán chứa hàm cụ thể

Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên ^m (m 10) để phương trình 2^x1 log (₄ x 2 )m m cĩ nghiệm ? Lời giải tham khảo

Điều kiện: x 2m0.

Ta cĩ 2^x1 log (₄ x 2 )m m 2^x log (₂ x 2 )m 2m

2 2

log 2^x 2^x log (x 2 )m (x 2 )m f(2 )^x f x( 2 ).m

        

Do hàm số f t( )log₂tt đồng biến nên 2^x  x 2m 2m 2^x x g x( )

    cĩ g x( )2 ln 2^x   1 0 x  log (ln 2).₂

Phương trình cĩ nghiệm khi ₂ 1 ₂

2 ( log (ln 2)) ( log (ln 2))

m  g m 2g  0, 457.

Do m nguyên và m 10, nên m{1;2; 3; 4;5;6;7; 8;9}. Các giá trị này đều thỏa điều kiện.

Bài tập tương tự và mở rộng

46.1. Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn [0;2 ] của phương trình f(cos )x  2 0 là

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

46.2. Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn [ ;2 ] của phương trình 2 (sin )f x  3 0 là

A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 8.

46.3. Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn 7 0; 2

 

 

 

  của phương trình 2 (2 cos )f x  1 0 là

A. 7.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

46.4. Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn [ ; ] của phương trình 3 (2 sin )f x  1 0 là

A. 4.

B. 5.

C. 2.

D. 6.

46.5. Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên bên như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm đoạn [ 2 ;2 ]   của phương trình 4 (cos )f x  5 0 là

A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 8.

46.6. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn 9 0; 2

 

 

 

  của phương trình f(2 sinx 1)1 là

A. 7.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

46.7. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn 2 ; 2

 

 

 

 

  của phương trình 3 (sinf x cos )x  4 0 là

A. 4.

B. 5.

C. 3.

D. 8.

46.8. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên dưới và f(2)0. Số nghiệm thuộc [0;2 ] của phương trình 2 (cosf ²x cosx   1) 1 0 bằng

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

46.9. Cho đồ thị hàm số y  f x( ) như hình. Số nghiệm của phương trình f(2 sin )x 1 trên [0;2 ] là A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

46.10. Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn 3 2 ;2

 

 

 

 

  ^của phương trình 3 (cos )f x  5 0 là

A. 4.

B. 7.

C. 6.

D. 8.

46.11. Cho hàm số f x( )ax³ bx² bx c có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm nằm trong 5 2 2;

 

 

 

 

 

 

của phương trình f(cosx 1)cosx 1 là A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5._`

46.12. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn 5 0; 2

 

 

 

  của phương trình ^f





A. 7.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

46.13. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm thuộc đoạn [0; 3 ] của phương trình f(sin )x 1 là

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

46.14. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên bên dưới. Số nghiệm của phương trình

( 2)

e^{f x}  4 là

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 6.

46.15. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình





f f x   là A. 4.

B. 7.

C. 6.

D. 9.

46.16. Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f( 408 x 392 x 34)m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

46.17. Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên , có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình f(sin )x  6 3m có 8 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 3 ]. Tổng các phần tử của S bằng

A. 1.

B. 18.

C. 6.

D. 3.

46.18. Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (sin )

f x m có đúng 5 nghiệm thuộc 3

; 2

 

 

 

 

  ^là A. 7.

B. 6.

C. 4.

D. 5.

46.19. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f





x 2 

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

46.20. Cho hàm số f x( )ax⁴ bx² c, a0 và có đồ thị như hình vẽ. Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f





x  2

 

    ^bằng

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

46.21. Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(2 sinx m) 2 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc [0; 3 ] ?

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

46.22. Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f( (sin ))x m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng (0; ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

46.23. Cho hàm số bậc ba f x( )ax³ bx² cx d a b c d( , , ,   và a  0) có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình [ (f x² 1)]²f x( ² 1) 2 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

46.24. Cho hàm số y ax⁴ bx² c a, (  0) như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f f( (cos 2 ))x 0.

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. Vô số.

46.25. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ 2;6] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f(sin )x m có nghiệm.

A. 10.

B. 6.

C. 9.

D. 5.

46.26. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ 2;6] có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f(cos )x m có nghiệm ;

x  2 2 

 

  

A. 10.

B. 6.

C. 2.

D. 5.

46.27. Cho hàm số y  f x( ) xác định trên  và có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 sin 1

3 3

f x   m có nghiệm ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

46.28. Cho hàm số y  f x( ) xác định trên  và có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 4(sin⁴x cos )⁴x  m có nghiệm ?

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

O x y

1



1

 1 2 3

5

46.29. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f f( (sin ))x m có nghiệm thuộc khoảng (0; ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

46.30. Cho hàm số y  f x( ) xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x( ² 2x 2) 3m 1 có nghiệm thuộc đoạn [0;1] là A. [0; 4].

B. [ 1; 0]. C. [0;1].

D. 1 3;1

 

 

 

 

46.31. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f( 4x x² 1)m có nghiệm là

A. [ 2; 0]. B. [ 4; 2].  C. [ 4; 0]. D. [ 1;1].

46.32. Cho hàm số y f x( ) xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(2 2x x²)m có nghiệm.

A. 6.

B. ^7.

C. 3.

D. 2.

46.33. Cho hàm số y  f x( ) xác định trên  và có đồ thị như hình. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 (3f 4 6x 9 )x² m3 có nghiệm ?

A. 13.

B. 12.

C. 8.

D. 10.

46.34. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f x( ²2 )x m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7

2 2;

 

 

 

  ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

46.35. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  có đồ thị như hình. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^{f f x}





B. 2.

C. 3.

D. 4.

46.36. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình e

2 1

( ) 8

x m

f 

 có hai nghiệm thực phân biệt là

A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

46.37. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để f(2 log )₂x m có nghiệm duy nhất trên 1

2;2 .

 

 

 



A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 9.

46.38. Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m 100 phương trình f x( )² m²2020 có đúng hai nghiệm phân biệt.

A. 55.

B. 56.

C. 54.

D. 99.

x y

O 4

2

 2

 6

2 4



46.39. Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để phương trình 1

3 2 1

fx   x m có nghiệm thuộc đoạn [ 2;2].

A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

46.40. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f x( ) f m( ) có đúng hai nghiệm phân biệt ?

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

46.41. Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình f(1sin )x  f m( ) có nghiệm.

A. m  { 1; 0;1;2}.

B. m {0;1;2}.

C. m  . D. m {1;2}.

46.42. Phương trình ^{log (3}₂ ^x  ^{1) 27y3} ^8y  ^{1 x} có bao nhiêu cặp nghiệm nguyên ( ; )x y với

1992 2020

[8 ; 8 ] ? x 

A. 26.

B. 28.

C. 24.

D. 30.

46.43. Cho phương trình log (3x²₃ ) ( m 2)log₃x m 5 0 (m là tham số thực). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1;9].

A. (2; 4).

B. [2; 4].

C. (4;).

D. [2; 4).

46.44. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên , đồ thị hàm số y  f x( ) như trong hình vẽ bên. Hỏi phương trình f x( )0 có tất cả bao nhiêu nghiệm biết f a( )0.

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

46.45. Cho y  f x( ) có đồ thị của y f x( ) như hình vẽ bên dưới. Đặt g x( ) f x( ).² Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. g(0)g(1) g( 1).

B. g( 1) g(0)g(1).

C. g(1)  g( 1) g(0).

D. g( 1) g(1)g(0).

46.46. Cho hàm số f x( ) liên tục trên  và có đồ thị hàm số f x( ) như hình vẽ bên dưới. Đặt 1 2

( ) ( ) 3.

g x  f x 2x  Điều kiện để phương trình g x( )0 có 4 nghiệm phân biệt là A. (0) 0

( 2) 0 g

g

 

 

  



B. (0) 0 ( 2) 0 g

g

 

 

  



C. (0) 0 (1) 0 g

g

 

 

 



D. (1) 0 ( 2) 0 g

g

 

 

  



46.47. Cho hàm số f x( ) liên tục trên  và có đồ thị hàm số f x( ) như hình vẽ bên dưới. Đặt 1 3

( ) ( ) 1

g x f x 3x  x Điều kiện để g x( )0 có 4 nghiệm phân biệt là A. (1) 0

( 1) 0 g

g

 

 

  



B. (1) 0 ( 1) 0 g

g

 

 

  



C. (1) 0 (2) 0 g

g

 

 

 



D. (1) 0 (2) 0 g

g

 

 

 



46.48. Cho phương trình log (2 ) (²₂ x  m2)log₂x m 2 0 (m tham số). Tập hợp các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1;2].

A. (1;2).

B. [1;2].

C. [1;2).

D. [2;).

46.49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình log₉x² log (3₃ x 1) log₃m có nghiệm A. 2.

B. 3.

C. [1;2).

D. [2;).

46.50. Cho phương trình 2 log²₂x (32 )log (4 )m ₂ x  8 5m 0 _(với m là tham số). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 2;2] là

A. 5 2; 3

 

 

 

 

  B. 5

2; 3

 

  

 

  C. 5

2; 3

 

  

 

  D. [3;).

46.51. Giá trị thực của tham số m để phương trình 9^x 2(2m1).3^x 3(4m 1) 0 có hai nghiệm thực x₁, x_{2 thỏa mãn} (x₁2)(x₂ 2)12 thuộc khoảng nào sau đây ?

A. (3;9).

B. (9;).

C. 1 4; 3

 

  

 

 

  D. 1

2;2

 

 

 

 

 

46.52. Cho phương trình 3^{2x2 3x m}  9 3^{x2 x 2} 3^{x2 2x m}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số [ 2018;2018]

m   để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ? A. 2018.

B. 2019.

C. 2020.

D. 2021.

Câu 47. Xét các số thực dương a b x y, , , _{thỏa mãn}a1, b1 _và a^x b^y  ab. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2y thuộc tập hợp nào dưới đây ?

A. (1;2). _B. 2;⁵ 2

 

 

 

 ^C. [3;4). _D. ⁵;3

2

 

 

 

 Lời giải tham khảo

Theo đề thì a b,  1 log_ab0 _và log_ba0.

Ta cĩ ^{2 2}

1 1

2 log ( ) 1 log log

2 2 .

2 log ( ) log 1

x y x y a a a

b b

x ab b x b

a b ab a b ab

y ab a

      

      

   



Khi đĩ:

Cauchy

3 1 3 1 3 5

2 log log 2 log .log 2 ; 3 .

2 2 ^{a b} 2 2 ^{a b} 2 2

P  x y   b a   b a    

Chọn đáp án D.

Bài toán dồn biến, rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc khảo sát hàm một biến 1) Cho x, y là các số thực thỏa mãn log (₄ x y)log (₄ xy)1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2x y.

Lời giải tham khảo Điều kiện: x  y 0, x  y 0.

Ta cĩ: log (₄ xy)log (₄ xy) 1 log (₄ xy x)( y) 1 (x y x).( y)4 ( )

Suy luận. Đề yêu cầu tìm min của tổng 2x  ( y), mà từ đề cĩ dạng tích ( ), nên nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân (AM GM Cauchy: ) bằng cách sử dụng đồng nhất:

2 1 3

2 .( ) .( ) ( ). ( ). ,

1 2 2

a b

x y a x y b x y a b x a b y a b

a b

  

                và cĩ lời giải:

Ta cĩ:

Cauchy

4

1 3 1 3 3

2 ( ) ( ) 2 . ( ).( ) 2 4 2 3.

2 2 2 2 4

x y x y x y x y x y



          

Suy ra min(2xy)2 3.

2) Đặt m log (_a ³ab) _với a b, 1 và P log_a²b16 log ._ba Tìm m để P đạt giá trị nhỏ nhất ? Lời giải tham khảo

Vì a 1, b 1 log_ab 0 _và log_ba 0.

Ta cĩ:

1

3 3 1 1 1

log ( ) log ( ) log ( ) (log log ) (1 log ).

3 3 3

a a a a a a

m  ab  ab  ab  a b   b

Khi đĩ:

Cauchy

2 2 2

16 8 8 3 8 8

(log ) (log ) 3. (log ) 12.

log log log log log

a a a

a a a a a

P b b b

b b b b b

        

Suy ra minP 12 khi ² 8 1

(log ) log 2 (1 log ) 1.

log 3

a a a

a

b b m b

 b      

3) Xét các số thực dương x y z, , thay đổi sao cho tồn tại các số thực a b c, , 1 và thỏa mãn

x y z .

a b c  abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 16 16 ² .

P x

y z

  

Lời giải tham khảo

Từ đề bài có: ^{2 2 2}

2 log ( ) 0

2 log ( ) 0

2 log ( ) 0

a

x y z x y z

b c

x abc

a b c abc a b c abc y abc

z abc

  



         

1 1

log ( ) 2 log

21 1 1 1 1 1 1 1 16 16 16

log ( ) 2 log 2 2 32

12log ( ) 1 2 log 2

a abc

b abc

c abc

x abc a

x

y abc b

y x y z y z x y z x

z abc c

z

 

 

   

 

 

 

 

 

 

                

Khi đó

Cauchy

2 2 3 2

16 8 8 8 8

32 32 32 3 20.

P x x x

x x x x x

 

 

             Suy ra maxP 20.

4) Cho x y, 0 thỏa lnx lny  ln(x² y). Giá trị nhỏ nhất của x y bằng bao nhiêu ? Lời giải tham khảo

Ta có: lnx lny  ln(x² y) ln( )xy  ln(x² y) xy x²  y y x( 1)x² ( ) Vì x 0, y 0 _nên ( ) xảy ra khi x    1 0 x 1. _Với 1 0 ²

1

x y x

    x 

 Khi đó:

Cauchy

2 1

2( 1) 3 2 2 3.

1 1

x y x x x

x x

        

  Suy ra min(x y)2 23.

5) Cho x y, 0 thỏa log(x 2 )y logx log .y Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 4 2

1 2 1

x y

P  y  x 

 

Lời giải tham khảo Ta có: log(x 2 )y logx logy  log(x 2 )y log( )xy

Cauchy 2

1 ( 2 )

2 . .(2 )

2 8

x y

x y xy x y 

         ^{x2 0y} x 2y  8. Khi đó:

Cauchy-Schwarz

2 (2 )2 ( 2 )2 2 2 4 24

( 2 2) 4

1 2 1 ( 2 ) 2 25 2 2 25

x y x y x y

P x y

y x x y x y

 

    

              

Cauchy 4 24 32

10 4

5 25 5

      Do đó 32

minP  5  6) Xét các số thực a b, thỏa 1

3   b a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 1 ²

log 12 log 3.

a 4 b

a

P   b  a

Lời giải tham khảo

Ta có: 3 1 ² 3 1 12 ₂

log 12 log 3 log 3.

4 4 (log 1)

a b a

a a

b b

P a

b

     

   

        

Mà 3 1 ^{3 3 2}

3 1 4 ( 1)(2 1) 0 :

4

b b b b b b

        luôn đúng với 1

b 3 (xem lại pp S.O.S).

Suy ra:

1 1

3 3 3

3 1 3 1

log log .

4 4

a

a a

b b

b ^{ }   b

     

Do đó: 12 ₂ 12 ₂

3 log 3 3(log 1)

(log 1) (log 1)

a a

a a

P b b

b b

     

 

Cauchy 3 2

3 3 12 3 3

(log 1) (log 1) 3. 12 9.

2 ^ab 2 ^ab (log_a 1) 2 2

     b    

 Vậy minP 9.

7) Cho x y, 0 _thỏa xy 4y1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 6(2 ) 2 x y lnx y

P x y

 

  

Lời giải tham khảo

Ta có: ²

2 chia 0

2

1 4 1

4 1 ^y x 4 2 4 0 x 4.

xy y

y y y y y

  

             

Khi đó: 6(2 ) 2

ln 12 6. ln 2 .

x y x y y x

P x y x y

 

   

        ^Đặt x, (0; 4].

t t

 y 

Suy ra 6

( ) 12 ln( 2)

P f t t

   t  có 6₂ 1

( ) 0 3 21 (0; 4].

f t 2 t

t t

        



Lập bảng biến thiên, suy ra 27

min min ( ) (4) ln 6.

P  f t  f  2 

8) Cho a b, 0 thỏa mãn b² 3ab4a² và a [4;2 ].³² Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức ₂

8

log 4 3log

4 4

b

P  a b 

Lời giải tham khảo Ta có b²  3ab4a² (đẳng cấp) ²

2

hia 0 1

1 3 4 (do : . 0) 4 .

4

c b a a a

a b b a

b b b

      

          

Do đó: ₂ ² ₂ ^{2 2}

2 2

2

log 4 log 2 3 log

3 3

log 4 log log

4 4 log 1 4

log 2

a

a a a

P a a a

a a

       



Đặt log₂a x _{và do} a [4;2 ]³²  x [2; 32]. Khi đó 2 3

( ), [2; 32].

1 4

P x x f x x

x

     



Ta có: 3 ₂ 3

( ) 0 3 [2; 32].

( 1) 4

f x x

x

       



Tính 11 19 778

(2) , (3) , (32)

2 4 31

f  f  f   Suy ra 778

maxP  32 và 19

minP  4  9) Cho hai số thực dương a1, b1 và biết phương trình

2. 1 1

x x

a b ^  có nghiệm thực. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 4

log ( )

a log

a

P ab

  b 

Lời giải tham khảo Ta có: a 1, b 1 log_ab 0.

Lấy lôga cơ số a 1 hai vế của phương trình a b^x2. ^x1  1 log (_a a b^x2. ^x1) log 1_a

2 1 2

log_aa^x log_ab^x 0 x (log )._ab x log_ab 0.

      

Theo đề, phương trình có nghiệm   (log )_ab ²4 log_ab  0 ^{logab 0} log_ab4.

Khi đó: 4 4 log 4 3

log ( ) 1 log log 1

log log 4 log 4

a

a a a

a a a

P ab b b b

b b b

 

 



        

Cauchy 3

2 4 1 6.

    4 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 6. Dấu " " log_ab   4 b a⁴.

Sử dụng f(u) = f(v) hoặc f(u) > f(v) hoặc f(u) < f(v) khi hai gặp hai hàm khác loại

1) Xét x 0, y0 _thỏa log (₃ x 1)(y1)^y1  9 (x 1)(y1). Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 .y Lời giải tham khảo

Ta cĩ log (₃ x 1)(y1)^y1  9 (x 1)(y1)(y1)log (₃ x 1)(y1)(x 1)(y1)9

: ( 1) 0

3 3 3

9 9

log ( 1).( 1) 1 log ( 1) 1 log ( 1)

1 1

y x y x x x y

y y

   

               

3 3 3 3

9 9 9

log ( 1) 1 log 9 log ( 1) log

1 1 1

x x y

y y y

         

  

( 1) 9 f x f 1

y

 

 

      Xét hàm số f t( )log₃t t t, (0;) _cĩ ( ) ¹ 1 0, 0

f t ln 3 t

 t      f t( ) : đồng biến.

Nên 9 9 8

( 1) 1

1 1 1

f x f x x y

y y y

  

 

            Suy ra

Cauchy

8 9 9

2 2 2 1 2( 1) 3 6 2 3.

1 1 1

x y y y y y

y y y

            

  

Vậy min(x2 )y 6 23.

2) Cho x y, 0 thỏa 2xylog (₂ xy x)^x 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của P x² y. Lời giải tham khảo

Ta cĩ: 2xylog (₂ xyx)^x  8 2xyxlog [ (₂ x y1)]8

: 2

2 2 2 2

1 4 1 4 1

log log ( 1) log ( 1) log

2 2 2

x y x y y y x

x x

 

            

2 2 2 2 2

1 4 1 1 1 4 1 4

( 1) log ( 1) log 4 log ( 1) log ( 1) log

2 2 2 2 2

y y x y y

x x x

            

4 4 4

( 1) 1 1.

f y f y y

x x x

  

           



Do đĩ:

Cauchy

3

2 2 4 2 2 2 3 2 2 2

1 1 3 1 3 4 1.

P x y x x x

x x x x x

 

 

              

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 4³ 1.

3) Cho x y, 0 _thỏa 2 log (^y2  ₂ x²  1) log (2₂ y²)2^x2 2. Tìm GTLN của P  2(x y)1 . Lời giải tham khảo

Ta cĩ:

2 2 2 2 22 2 2 1 2

2 2 2 2

2 log (^y  x  1) log (2y )2^x   2 ^y log (x  1) log (2y )2^x 2^y

2 2 1 2 2 2 2

2 2

2^x log (x 1) 2^y log [(1 y ) 1] f x( ) f(1 y ).

         

Do hàm số f t( )2^t log (₂ t1) luơn đồng biến với t0 nên ( ) x²  1 y² x² y² 1.

Cauchy-Schwarz

2 2 2 2

2( ) 1 2(1. 1. ) 1 2 (1 1 )( ) 1 2 2.1 1 2 2 1.

P  x y   x  y    x y     

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức thức P là 2 21.

4) Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0 x 2020 _và log (4₂ x 4)   x y 1 2 ?^y Lời giải tham khảo

Ta có: log (4₂ x 4)   x y 1 2^y  log 4₂ log (₂ x 1)   x y 1 2^y

2 2

(x 1) log (x 1) 2^y log 2^y f x( 1) f(2 )^y x 1 2^y x 2^y 1

         ^      

0 2020 0

0 2 1 2020 2 2 2021 0 log 20212 10, 98

x y y y

 

             

Mà y y {0;1;2; 3; 4;5;6;7; 8;9;10} x  nên có 10 cặp nguyên ( ; )x y thỏa bài toán.

5) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

2

2

2 2

3 3 1

log 5 2

2 1

x x m

x x m

x x

      

  ^{có hai}

nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Lời giải tham khảo Phương trình đã cho ²

log 2 2 2

2 2

3 3 1

log 5 3

4 2 2

x x m

x x m

x x

   

    

 

2 2 2 2

2 2

log (3x 3x m 1) (3x 3x m 1) log (4x 2x 2) (4x 2x 2)

             

2 2 2 2

(3 3 1) (4 2 2) 3 3 1 4 2 2

f x x m f x x x x m x x

              

2 5 1 0 2 5 1 ( )

x x m m x x g x

          có g x( )2x   5 0 x 5/2.

6) Cho phương trình

2 2

3 2

log 2 4 .

1 x x m

x x m

x

     

 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

[ 2018;2018]

m   để phương trình có hai nghiệm trái dấu ? Lời giải tham khảo PT

2 2

2 2

3 2 3 3 2

2 2

log 3 3 log 3

1 3 3

log ^{x x m} x x m ^{x x m} x x m

x x

             

 



2 2 2 2

3 3

log (2x x m) (2x x m) log (3x 3) (3x 3)

         

2 2 2 2 2

) (3 3) 2 3 3 3 0.

(2 x m f x m x x m

f x    x    x    x      



Phương trình có hai nghiệm trái dấu a c.  0 1.(3m) 0 m 3.

Do m  [ 2018;2018m{4;5;6;...;2018} _có ^{2018 4} 1 2015 1

   giá trị nguyên m.

7) Tính tổng S các nghiệm nguyên dương của

2 3 2

2 2

2 6 8

log 9 8 2 0.

4 6

x x

x x x

x x

      

 

Bất phương trình

2

2 2

2 2

( 1)(2 6 8)

( 1) (2 6 8) ( 4 6) 0

( 1)( 4 6)

log ^{x x x} x x x x x

x x x

            



3 2 3 2 3 2 3 2

2 2

log (2x 4x 2x 8) (2x 4x 2x 8) log(x 5x 10x 6) (x 5x 10x 6)

               

Do hàm đặc trưng f t( )log₂tt đồng biến nên 2

x

x

x   8

x

 10 x  6

3 9x2 8x 2 0

x



Từ bảng biến thiên, phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 _khi ²¹ 3.

4 m  



Do m  m   { 5; 4}. _Có 2 giá trị thỏa bài toán.

Bài tập tương tự và mở rộng

47.1 Xét các số thực dương a b x y, , , _{thỏa mãn} a1, b1 _và a^x b^y a b. Giá trị nhỏ nhất của 2

x  y _bằng A. 4.

B. 2 5.

C. 2 3.

D. 3 2.

47.2 Xét các số thực dương x y z, , thay đổi sao cho tồn tại các số thực a b c, , 1 và thỏa mãn

x y z .

a b c  abc Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x  y 2z² bằng A. 6.

B. 1 2 C. 8.

D. 17 2 

47.3 Cho các số thực x, y thỏa log (₄ x y)log (₄ x y)1. Giá trị nhỏ nhất của (3x2 ) ey _bằng A. 2e 3.

B. 2e.

C. e 5.

D.

e 52

2 

47.4 Cho x y, 0 _{thỏa mãn} logy log(2xy). Giá trị nhỏ nhất của 1

x y thuộc khoảng nào ? A. (1;2).

B. [2; 3).

C. 9 3;2

 

 

 

 D. 11

2 ;6

 

 

 



47.5 Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log_0,5x log_0,5y log (_0,5 x y²). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 3y bằng

A. 9.

B. 8.

C. 25 2 4  D. 17

2 

47.6 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn log₂₀₁₉x log₂₀₁₉y log₂₀₁₉(x² y). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2x y thuộc khoảng nào sau đây ?

A. (7; 8).

B. (6;7).

C. (5;6).

D. (8;9).

47.7 Xét các số thực x y, thỏa 0 x 2, y 0 và _{1 1 2}

2 2

log (42 )x log ylog 90. Giá trị lớn nhất

của 32

31

P y

  x  thuộc khoảng nào sau đây ?

A. 1

1; 8

 

  

 

 

  B. 1

8;1

 

 

 

 C. [1;2).

D. 4 2;3

 

 

 



47.8 Xét a 1, b 1 và đặt m log (_a ³a b² ). Khi biểu thức P log ( )²_a ab 54 log_aba 2020 _{đạt giá} trị nhỏ nhất thì m thuộc khoảng nào sau đây ?

A. (1;2).

B. 5 2;2

 

 

 

 C. [3; 4).

D. 5 2;3

 

 

 



47.9 Cho x y,  0 thỏa mãn 4y² xy  6y1. Giá trị nhỏ nhất của 3( 2 ) 2 x y ln x y

P x y

 

   

    thuộc khoảng nào sau đây ?

A. (1; 3].

B. 11 13 2 2;

 

 

 

 C. 13

2 ;7 .

 

 

 

 D. 11

3; 2

 

 

 

 

 

47.10 Cho x y, 0 _thỏa ln(2x y) ln(3 )x ln .y Giá trị nhỏ nhất của

2 2

4

1 1 2

x y

P  y  x

  ^thuộc

khoảng nào sau đây ? A. 3

0;2

 

  

   B. 3

2;4 .

 

 

   C. (4;5].

D. 11 5; 2

 

  

 

 

47.11 Xét a b,  0 thỏa mãn 2a² ab3 .b² Biết giá trị nhỏ nhất của ₃

9

log (2 ) 1log

2 27

b

P  a  b _có

dạng min m 6

P  n  với m

n là phân số tối giản. Giá trị của mn thuộc khoảng nào ? A. (1; 4].

B. (4; 8].

C. (8;10].

D. (10;20).

47.12 Cho 0  b a 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4(3 1) ²

log 8 log 1

a 9 b

a

P b a

   _bằng

A. 6.

B. 3 2.³ C. 8.

D. 7.

47.13 Cho a b, thỏa mãn 4

a  b 3 và biểu thức

3

16 log 3 log2

12 16

a a

b

P a a

b

 

 

    có giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của a b _bằng A. 7

2 B. 4.

C. 11 2  D. 6.