KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA – ĐỢT 1 – NĂM 2020 -2021 Môn: Toán – Mã đề 102
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. Trên khoảng (0;), đạo hàm của hàm số y x 54 là A.
9
4 4
9X B.
1
4 4
5x C.
1
5 4
4X D.
1
5 4
4x .
Câu 2. Cho khối chóp có diện tích đáy B3a2 và chiều cao h a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 3 3
2a . B. 3a3 C. 1 3
3a . D. a3
Câu 3. Nếu 4
1 f x dx( ) 6
và
14 ( )g x dx 5 thì 14[ ( )f x g x( )] bằngA. 1. B. 11. C. 1 . D. 11.
Câu 4. Tập xác định của hàmsố y7x là
A. \{0}. B. [0;). C. (0;). D. . Câu 5. Cho hàmsố y f x( ) có bảng biến thiên như sau
Giá trị ac đại của hàm số đã cho là .3
A B. 1. C. 5 D. 1 .
Câu 6. Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?
A. S 4R2 B. S 16R2 C. 4 2
S 3R D. SR2
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua M(2; 2;1) và có một vectơ chỉ phương (5; 2; 3)
u
. Phương trình của d là:
A.
2 5 2 2 1 3
x t
y t
z t
B.
2 5 2 2 1 3
x t
y t
z t
C.
2 5 2 2 1 3
x t
y t
z t
D.
5 2 2 2
3
x t
y t
z t
Câu 8. Cho hàm số y f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 1;1) B. (;0). C. (0;1) . D. (0;). Câu 9. Với n là số nguyên dương bất kì n5, công thức nào dưới đây đúng?
A. 5 !
5!( 5)!
n
A n
n
. B. 5 5!
( 5)!
An
n
. C. 5 !
( 5)!
n
A n
n
. D. 5 ( 5)!
n ! A n
n
. Câu 10. Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng
A. 64a3. B. 32a3. C. 16a3 D. 8a3.
Câu 11. Cho hàm số f x( )x23. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
f x dx x( ) 23x C B.
f x dx( ) x33 3x C .C.
f x dx x( ) 33x C . D.
f x dx( ) 2x C .Câu 12. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M( 3;2) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. Z3 3 2i B. z4 3 2i. C. z1 3 2i. D. z2 3 2i.
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x 5y z 3 0. Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của ( )?P
A. n2 ( 2;5;1)
B. n1 (2;5;1)
C. n4 (2;5; 1)
D. n3 (2; 5;1) Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho điểm (4; 1;3)A . Tọa độ vectơ OA là
A. ( 4;1;3) B. (4; 1;3) C. ( 4;1; 3) D. (4;1;3) . Câu 15. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. y x 33x1 B. y 2x44x21 C. y x3 3x1. D. y2x44x21. Câu 16. Cho cấp số nhân
un với u1 3 và u2 12. Công bội của cấp số nhân đã cho bằngA. 9 B. 9 C. 1
4. D. 4.
Câu 17. Cho a0 và a1 khi đó loga 3 a bằng
A. 3 B. 1
3 C. 1
3 D. 3 .
Câu 18. Đồ thị của hàm số y x4 2x23 cat trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3.
Câu 19. Cho hai số phức z 5 2i và w1 - 4i. Số phức z w bằng
A. 6 2i B. 4 6i C. 6 2i D. 4 6i.
Câu 20. Cho hàm số ( )f x ex1. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
f x dx e( ) x1C B.
f x dx e( ) x x C.C.
f x dx e( ) x x C. D.
f x dx e( ) xC.Câu 21. Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4.
Câu 22. Nếu 3
0 f x dx( ) 3
thì
032 ( )f x dx bằngA. 3 B. 18 C. 2 . D. 6.
Câu 23. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 2 y x
x
là đường thẳng có phương trình
A. x 1. B. X 2. C. x2 . D. X 1
Câu 24. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; 2;1) và bán kính bằng 2 . Phương trình của (S) là
A. x2(y2)2 (z 1)2 2. B. x2(y2)2 (z 1)2 2 C. x2(y2)2 (z 1)2 4. D. x2(y2)2 (z 1)2 4. Câu 25. Phần thực của số phức z 6 2i bằng
A. 2. B. 2 . C. 6. D. 6.
Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 5 là
A.
;log 52
. B. log 5; +
2
C.
;log 25
. D.
log 2;5
. Câu 27. Nghiệm của phương trình log (3 ) 25 x làA. x25 B. 32
x 3 . C. x32 D. 25
x 3 . Câu 28. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao h3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 16 B. 48 C. 36 D. 12.
Câu 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên).
Góc giữa hai đường thẳng AA và B C bằng
A. 90. B.45. C. 30. D. 60.
Câu 30. Trên không gian Oxyz, cho hai điểm (0;0;1)A và (2;1;3)B . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A. 2x y 2z 11 0 B. 2x y 2z 2 0. C. 2x y 4z 4 0 D. 2x y 4z17 0 .
Câu 31. Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng
A. 1
6 B. 1
30. C. 3
5 D. 2
5. Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn iz 6 5i. Số phức liên hợp của z là
A. Z 5 6i B. Z 5 6i C. Z 5 6i D. Z 5 6i Câu 33. Biết hàm số
1 y x a
x
(a là số thực cho trước, a 1 ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. y 0 x B. y 0 x 1 C. y 0 x 1. D. y 0 x
Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 1) và mặt phẳng ( ) :P x3y2z 1 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( )P có phương trình là:
A. 2 1 1
1 3 1
x y z
B. 2 1 1
1 3 2
x y z
C. 2 1 1
1 3 1
x y z
D. 2 1 1
1 3 2
x y z
Câu 35. Trên đoạn [ 2;1] , hàm số y x 33x21 đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A. X 2. B. X 0. C. x 1. D. x1.
Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại ,C AC3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng
A. 3
2a. B. 3 2
2 a C. Зa. D. 3 2a
Câu 37. Nếu 2
0 f x dx( ) 3
thì (Tex translation failed) bằngA. 6 . B. 4. C. 8 . D. 5 .
Câu 38. Với mọi a, b thỏa mãn log2a3log 2b8. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a3 b 64 B. a b3 256 C. a b3 64 D. a3 b 256
Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn
3x2 9x log (2 x30) 5 0?
A. 30 B. Vô số. C. 31. D. 29 .
Câu 40. Cho hàm số 2 2 1 khi 1 ( ) 3 2 khi 1
x x
f x x x
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên thỏa mãn (0) 2
F . Giá trị của ( 1) 2 (2)F F bằng
A. 9. B. 15 . C. 11 D. 6
Câu 41. Cho hàm số bậc ba y f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ( ( )) 1f f x là
A. 9 . B. 7. C. 3. D. 6 .
Câu 42. Xét các số phức z w, thỏa mãn ∣ z1 và n1 2.Khi z iw 6 - 8i đạt giá trị nhỏ nhất, ∣ z u \}
bằng
A. 5 B. 221
5 C. 3 . D. 29
5
Câu 43. Cho hàm số f x( )x3ax2bx C với , ,a b C là các số thựC. Biết hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
g x f x f x f x có hai giá trị cực trị là 4 và 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )
( ) 6 y f x
g x
và y1 bằng
A. 2ln 2. B. ln 6 C. 3ln 2 D. ln 2
Câu 44. Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D có đáy là hình vuông, BD4a, góc giữa hai mặt phẳng
A BD
và (ABCD) bằng 30. Thể tích của khối hộp chữ nhậtbằngA. 16 3 3
9 a B. 48 3a3 C. 16 3 3
3 a D. 16 3a3
Câu 45. Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại 1 3; 4 x
thỏa mãn 273x2xy (1 xy) 27 ? 12x
A. 27 . B. 15 C. 12 D. 14 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 1
: 1 1 2
x y Z
d
và mặt phẳng ( ) : 2P x y z 3 0. Hình chiếu vuông góc của d trên ( )P là đường thẳng có phương trình
A. 1 1
4 5 13 .
x y z B. x+1 y z-1
= = .
3 -5 1 C. x-1 y z+1
= = .
3 -5 1
D.
x-1 y z+1= = .4 5 13
Câu 47. Cắt hình nón ( ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc 60 ta được thiết diện là tam giác đều có cạnh 2a. Diện tích xung quanh của ( ) bằng
A. 7a2. B. 13a2. C. 2 7a2 D. 2 13a2
Câu 48. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z22(m 1) z m 2 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z0 5 ?
A. 2 B. 3. C. 1 D. 4
Câu 49. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( ) ( x8)
x29 ,
x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàmsố g x( ) f x
36x m
có ít nhất 3 điểm ac trị?A. 5 B. 8 . C. 6 D. 7 .
Câu 50. Trong không gian, cho hai điểm (1; 3; 2)A và ( 2;1; 3)B . Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN 1. Giá trị lớn nhất của |AM BN | bằng
A. 17 B. 41 . C. 37 D. 61 .
---HẾT---
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
1-C 2-D 3-D 4-D 5-A 6-A 7-C 8-C 9-C 10-A
11-B 12-D 13-A 14-A 15-D 16-D 17-B 18-D 19-C 20-C 21-D 22-D 23-C 24-D 25-C 26-A 27-D 28-B 29-B 30-B 31-A 32-C 33-C 34-B 35-B 36-C 37-B 38-B 39-C 40-A 41-B 42-B 43-A 44-C 45-D 46-A 47-A 48-B 49-D 50-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. C
5 1
4 5 4
x 4x
Câu 2. D
Thể tích của khối chóp đã cho bằng 1 1 2 3
3 3 3
V B h a a a . Câu 3. D
4 4 4
1[ ( )f x g x( )] 1 f x x( )d 1g x x( )d 6 ( 5) 11
Câu 4. D Câu 5. A
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là y f( 1) 3 . Câu 6. A
Công thức diện tích mặt cầu: S4R2 Câu 7. C
Phương trình của d đi qua M(2; 2;1) và có một vectơ chỉ phương u(5; 2; 3) là:
2 5 2 2 1 3
x t
y t
z
1 z Câu 8. C
Nhìn đồ thị ta thấy hàmsố đã cho đồng biến trên (0;1) . Câu 9. C
Ta có: 5 ! ( 5)!
h
A n
n
Câu 10. A
Thể tích của khối lập phương cạnh 4a là V (4 )a 3 64a3. Câu 11. B
2
3( ) 3 3
3
f x dx x dx x x C
Câu 12. D
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M( 3;2) là điểm biểu diễn của số phức z2 3 2i. Câu 13. A
Ta có ( ) : 2P x 5y z 3 0 VTPT là n2 ( 2;5;1). Câu 14. B
Ta có OA(4; 1;3) Câu 15. D
Đây là đồ thị hàm số bậc 4 với hệ số a0. Câu 16. D
Ta có 2 1 12
3 4 u u q q Câu 17. B
3 1 1
log log
3 3
a a aa
Câu 18. D
Giả sử y x4 2x23 .C
Gọi ( )C Oy M x y
0; 0
x0 0 y0 3Vậy đồ thị của hàm số y x4 2x23 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
Câu 19. C
Ta có :z w (5 2 ) (1 4 ) 6 2i i i Câu 20. C
Ta có :
f x dx( )
ex1
dx e x x CCâu 21. D
Dựa vào bảng xét dấu suy ra đạo hàm của hàm y f x( ) đổi dấu 4 lần nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.
Câu 22. D
3 3
02 ( )f x dx2 0 f x dx( ) 2 3 6
Câu 23. C Ta có:
2 2
lim lim 1 2
x x
y x
x
(hoặc
2 2
lim lim 1 2
x x
y x
x
. Vậy x2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 24. D
Mặt cầu (S) có tâm I (0; 2;1) và bán kính bằng 2 có phương trình là
2 ( 2)2 ( 1)2 4
x y z Câu 25. C
Ta có: z 6 2i có phần thực là 6 . Câu 26. A
Ta có: 2x 5 x log 52
Vậy tập nghiệm S
;log 52
. Câu 27. DĐiều kiện: x0.
Với điều kiện phương trình đã cho tương đương 2 25
3 5 25
x x 3 . Câu 28. B
Thể tích của khối trụ là V r h2 4 3 482 . Câu 29. B
Ta có: AA’//CC’ nên:
AA B C,
CC B C,
Mặt khác tam giác BCC vuông tại C có CC B C nên là tam giác vuông cân. Vậy góc giữa hai đường thẳng AA và B C bằng 45.
Câu 30. B
Ta có: AB(2;1; 2).
Mặt phẳng đi qua (0;0;1)A và vuông góc với AB nên nhận AB(2;1; 2)
làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng là: 2(x 0) 1(y 0) 2(z 1) 0 2x y 2z 2 0.
Câu 31. A
Lấy ngau nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 10 quả bóng đã cho có C103 cách.
Lấy được 3 quả màu xanh từ 6 quả màu xanh đã cho có C63 cách Vậy xác suất để lấy được 3 quả màu xanh là
3 6 3 10
1 6 P C
C . Câu 32. C
- Ta có: iz 6 5i z 5 6i Z 5 6i Câu 33. C
Tập xác định D \{ 1} .
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàmsố nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Do đó y 0 x 1. Câu 34. B
Đường thẳng đi qua M(2;1; 1) và vuông góc với (P) nhận VTPT n (1; 3; 2)
của ( )P làm VTCP nên có phương trình là: 2 1 1
1 3 2
x y z
.
Câu 35. B
Ta có 2 0
3 6 0
2 y x x y x
x
. Ta đang xét trên đoạn [ 2;1] nên loại x2. Ta có ( 2) 21; (0) 1; (1) 3
f f f . Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2;1] là 1, tại x0.
Câu 36. C
Ta có ABC vuông cân tại C nên BC AC(1) và AC BC 3a. Mặt khác SA(ABC)SABC(2).
Từ (1) và (2)suyraBC(SAC)d B SAC( ,( ))BC3a. Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng 3a. Câu 37. B
2[2 ( ) 1]dx 2f x 2f x( )dx 2dx 6 2 4
Câu 38. B
Ta có log2a3log2b 8 log2
a b3 8 a b3 28 256 Vậy a b3 256.Câu 39. C
Xét hàm số: f x( )
3x2 9x log (2 x30) 5 , với x 30.
Cho:
2 2 2
5 2
3 9 0 3 3 2
( ) 0
log ( 30) 5 0 30 2 0
x x x x x
f x x x x
Ta có bảng xét dấu như sau:
Suy ra 30 0
( ) 0
2 f x x
x
Mặt khác x nên x { 29; 28; 27; ; 2; 1;0;2}. Vậy có 31 số nguyên x thỏa mãn.
Câu 40. A
Tập xác định: D .
Với x1 hay x1 thì hàm số ( )f x là hàm đa thức nên liên tục.
Mặt khác: 1
2
1 1 1 1
lim ( ) lim 3 2 1; lim ( ) lim(2 1) 1
x f x x x x f x x x
.
Ta có: lim ( ) lim ( )1 1 (1) 1
x f x x f x f
nên hàmsố ( )f x liên tục tại điểm x1. Suy ra hàm số ( )f x liên tục trên .
Với x1 thì
f x dx( )
(2x1)dx x 2 x C1Với x1 thì
f x dx( )
3x22
dx x 32x C 2Mà (0) 2F nên C2 2. Khi đó
2
1 3
khi 1
( ) 2 2 khi 1
x x C x
F x x x x
Đồng thời ( )F x cũng liên tục trên nên: lim ( ) lim ( )1 1 (1) 1 1 1
x F x x F x F C
Do đó
2 3
1 khi 1
( ) 2 2 khi 1
x x x
F x x x x
Do đó
2 3
1 khi 1
( ) 2 2 khi 1
x x x
F x x x x
Vậy: ( 1) 2 (2) 3 2.3 9F F . Câu 41. B
Dựa vào đồ thị hàm số y f x( ) suy ra
( ) ( 1)
( ( )) 1 ( ) 0
( ) (1 2)
f x a a
f f x f x
f x b b
TH1
( ) ( 1)
f x a a phương trình có một nghiệm TH2
( ) 0
f x phương trình có ba nghiệm phân biệt TH3
( ) (1 2)
f x b b phương trình có ba nghiệm phân biệt Các nghiệm của (1);(2) ; (3) là đôi một khác nhau.
Vậy ( ( )) 1f f x có 7 nghiệmnghiệm phân biệt Câu 42. B
Ta có |z iw 6 8 | | 6 8 | | | |i i z iw| 10 1 2 7 Dấu " " " xảy ra khi
1 1 1
(6 8 ) (6 8 ) (6 8 ) (6 8 )
10 10 10
(6 8 ), , 0
2 1 1
(6 8 ) (8 6 ) (8 6 )
| | 1,| | 2
10 5 5
z t i z i z i z i
iw t i t t
iw i w i w i
z w
Khi đó 221
| |
Z w 5
Câu 43. A
Ta có: f x( )x3ax2bx c f x( ) 3 x22ax b f x ; ( ) 6 x2a và f x( ) 6 . Phương trình hoành độ giao điểm của các đường ( )
( ) 6 y f x
g x
và y1 là:
( ) 1 ( ) ( ) 6
( ) 6
f x f x g x
g x
3 2 3 2 3 2 2 (6 2 ) 6
x ax bx c x ax bx c x ax b x a
3x2 (2a 6)x 2a b 6 0(*)
Gọi 2 nghiệm của phương trình (*) là x1 và x2. Nhận xét: ( )g x f x( ) f x( ) f x( )
( ) ( ) ( ) ( )
g x f x f x f x
2
2( ) 3 2 (6 2 ) 6 3 (2 6) 2 6
g x x ax b x a x a x a b
1 2
( ) 0 x x
g x x x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( ) 6 y f x
g x
và y1 là
2 2
1 1 1 1
2 1
( ) ( ) ( ) 6 ( )
1 | ln | ( )
( ) 6 ( ) 6 ( ) 6
| ln | 6 | ln | 6 ln 8 ln 2 2ln 2
x xx x x
x x x x
f x f x g x g x
S dx dx dx g x G
g x g x g x
g x g x
∣‖ Câu 44. C
- Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên có 2AB2 BD2 AB2 2a. Do đó SABCD AB2 8a2
- Gọi O là tâm của đáy ABCDOABD và 1 2 2
OA BD a.
( )
A A ABCD A A BDBD A AO . Do đó góc giữa
A BD
và mặt phẳng (ABCD) là góc A OA A OA 30- Tam giác A\prime OA vuông tại A có 2 3
tan 3
A A OA A OA a .
Vậy . 2 2 3 16 3 3
8 3 3
ABCD A B CD
V a a a
Câu 45. D
Xét f x( ) 27 3x2 xy 12x (1 xy).
Áp dụng bất đẳng thức: ax x a( 1) 1, ta có
2
2( ) 26 3 12 1 (1 ) 78 (25 312) 0, 13
f x x xy x xy x y x y Do đó y12.
3 2 12 2 0
0 27 1 3 12 0
4
x x x
y x x
x
3 1 0
y xy VP (loại)
1, 2
y y : thỏa mãn
Xét y0 có f(4) 27 4y (1 4 ) 0,y y 0 và 1 11
( ) 3 1 0, {1; 2; ;12}
3 3
y y
f f x y
Do đó phương trình ( ) 0f x có nghiệm 1
; 4 , {1; 2; ;12}
x3 y
Vậy y { 2; 1;0;1; 2; ;12} .
Câu 46. A
Đường thẳng d qua điểm ( 1;0;1)A và có véc-tơ chỉ phương ud (1;1; 2) . Mặt phẳng ( )P có véc-tơ pháp tuyến nP) (2;1; 1)
.
Gọi ( )Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( )P , khi đó ( )Q có một véc-tơ pháp tuyến là
( )Q d, ( ) ( 3;5; 1) n u n P
Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q suy ra là hình chiếu của d trên ( )P . Khi đó có một véc-tơ chỉ phương là u nP
, ( )n Q (4;5;13).Ta có A d ( )Q A ( )Q và dễ thấy tọa độ A thỏa phương trình ( )P A ( )P .Do đó A . Vậy phương trình đường thẳng là 1 1
4 5 13
x y z . Câu 47.A
Giả sử hình nón( ) có S là đỉnh và O là tâm đường tròn đáy.
Giả sử mặt phẳng đề cho cắt nón theo thiết diện là tam giác đều SAB, khi đó ta có l SA 2a.
Gọi H là trung điểm 3
2 3
ABSH a 2 a
Ta có góc giữa ( SAB ) và mặt phẳng chứa đáy là góc SHO 60 .
Xét SHO vuông tại O có 1 3
.cos 60 3
2 2
OH SH a a Xét OAH vuông tại H có bán kính đường tròn
đáy là
2
2 2 2 3 7
4 2
a a
R OA AH OH a
Vậy diện tích xung quanh của hình nón ( ) là 7 2
2 7
xq 2
S R a a a
Câu 48. B
Cách 1. Ta có (m1)2m2 2m 1 .
Nếu 1
0 m 2
thì phương trình có nghiệm 1 2 1
z z 2 (không thỏa mãn).
Nếu 1
0 m 2
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 m 1 2m 1 và
2 1 2m 1
z m
Trường hợp 1. 1 4 0 2
5 1 2 1 5 2 1 4
2 1 (4 )
z m m m m m
m m
2 2
2
4
4 4 5 10
5 10
2 1 (4 ) 10 15 0 m 5 10
m
m m m
m m m m m
m l
Trường hợp 2. 2
1 2 1 5
5 | 1 2 1 | 5
1 2 1 5
m m
z m m
m m
2
1 2m 1 5 2m 1 4 4
2m 1 ( 4)
m m m
m
2
4 5 10
m 10m 15 0
m m
2
1 2m 1 5 2m 1 6 6
2m 1 ( 6)
m m m
m
2
6
10 35 0
m
m m
(vô nghiệm).
Nếu 1
0 m 2
thì phương trình ban đầu có hai nghiệmphức z z1, 2 và z1 z2 5
Theo giả thiết, ta có 1 2 1 2 2 5 (Loai)
25 25
5
z z z z m m
m
. Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2. Đặt z0 x yi x y( , ) là nghiệm của phương trình ban đầu.
Theo giả thiết, ta có z0 5 x2y2 25(1). Thay Z0 vào phương trình ban đầu, ta có
2 2 2 2 2
(x yi ) 2(m1)(x yi )m 0 x y 2mx2x m (2xy2my2 )y i0
2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0
2 2 2 0 ( 1) 0
x y mx x m x y mx x m
xy my y y x m
(3) 0
1 y
x m
Trường hợp 1 . Với y 0 (1) x2 25 x 5. Nếu x 5 (2)m210m15 0 m 5 10 Nếu x 5 (2)m210m35 0 (vô nghiệm).
Trường hợp 2. x m 1 (1) y2 25 ( m1) ( 62 m 4).
2 2 2 2 5
(2) ( 1) 25 ( 1) 2 ( 1) 2( 1) 0 25 0
5( )
m m m m m m m m
m L
Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn.
Câu 49. D Cách 1:
3
3
3
( ) 6 ( ) 6 6
g x f x x m g x x x m f x x m
3 3
2
3
6 3 6
6 6
x x x
f x x m
x x
Ta thấy x0 là một điểm tới hạn của hàm số ( )g x .
Mặt khác
3 6
0 33 6 8 33 6 86 3 6 3
x x m x x m
f x x m
x x m x x m
Xét hàm số h x( )x36x, vì h x( ) 3 x2 6 0, x nên ( )h x đồng biến trên . Ta có bảng biến thiên của hàm số k x( ) | ( ) | h x x36x như sau:
Hàm số g x( ) f x
36x m
có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình f
x36x m
0 có ít nhất hai nghiệm khác 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi 8 m 0 hay m8. Kết hợp điều kiện m nguyên dương ta đượC m{1; 2;3 ;7} . Vậy có 7 giá trị của m thoả mãn.Cách 2:
Nhận thấy hàm g x( ) f
x26 | |
x m
là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Để hàm
3
( ) 6
g x f x x m có ít nhất 3 điểm cực trị thì hàm số
3
( ) 6
h x f x x m có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ dương, tức
2
3
( ) 3 6 3 0
h x x f x x m có nghiệm dương hay
3 3
3 3
3 3
3 8 3 8
3 3 3 3
3 3 3 3
x x m x x m
x x m x x m
x x m x x m
có nghiệm dương.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra 0
0 8
8
m m
m
.
Câu 50. C
Nhận xét: Avà B nằmkhác phía so với mặt phẳng (Oxy).
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song với mặt phẳng (Oxy)( ) :P z2. B đối xứng với ( )P qua mặt phẳng (Oxy) B( 2;1;3).
B là hình chiếu của B\prime trên mặt phẳng( P)B1( 2;1; 2) .
Gọi 1
. / /( )
MN
A T A AA
AA Oxy
A thuộc đường tròn ( )C có tâm A và bán kinhR1,( )C nằm trên mặt phẳng ( )P . Ta có: |AM BN | A N BN A N B N A B
1 5 1
AB R B nằm ngoài đường tròn ( )C .
Do A( ),P B( )P mà ( ) / /(P Oxy)suy ra A B luôn cắt mặt phẳng (Oxy).
Ta lại có: A B B B1 2 A B12 mà B B 1 1;AB1 5 A Bmax A B1max AB1 R 6
|AM BN|max 37
Dấu " "xảy ra khi A là giao điểm của AB1 với đường tròn ( )C A ở giữa A và B1 và N là giao điểm của A B với mặt phẳng (Oxy).
