Định lí Pascal và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng

Nguyễn Danh Phương

Tóm tắt nội dung

Định lí Pascal là một công cụ mạnh trong việc chứng minh thẳng hàng trong Hình học phẳng.

Trong bài viết này tôi xin nhắc lại và giới thiệu cho bạn đọc một vài tính chất cũng như một vài bài toán liên quan đến định lí Pascal. Hi vọng rằng với tài liệu này, tôi có thể gợi cho bạn đọc niềm đam mê về hình học.

Vì bài viết này được hoàn thành trong một khoảng thời gian khá gấp rút, do đó không thể tránh khỏi những sai sót mong có được sự nhận xét từ mọi người để tài liệu được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

1 Định lí Pascal và một số định lí liên quan

1.1 Định lí Pascal

Định lí 1(Định lí Pascal)

Cho 6 điểm A,B, C,D,E, F nằm trên(O)(có thể hoán đổi thứ tự). GọiM, N,P lần lượt là giao điểm củaABvàDE, BCvàEF, AF vàCD. Khi đóM,N,P thẳng hàng

Định lí Pascal có rất nhiều cách chứng minh nhưng trong khuôn khổ tài liệu này tôi xin trình bày với bạn đọc 2 cách chứng minh quen thuộc.

Chứng minh.

Cách 1 (Sử dụng liên hợp đẳng giác)

Giả sử trường hợp hình vẽ là như trên các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

GọiT là điểm liên hợp đẳng giác với P trong tam giácN F C

Khi đó ta có^̸ T F C=^̸ AF N = 180^◦−^̸ AF E=^̸ M BE

Mặt khác ta có^̸ F CT =^̸ BCF +^̸ N CT =^̸ BCF +^̸ F CD= 180^◦−^̸ BED=^̸ BEM Do đó△BEM ∼ △F CT

Dễ dàng chứng minh được△N F C∼ △N BE ⇒ △N F C∪ {T} ∼ △N BE∪ {M} Ta được180^◦−^̸ F N P =^̸ T N C=^̸ M N E

NênM,N,P thẳng hàng

Cách 2 (Sử dụng tỉ số kép và hàng điểm)

Gọi giao điểm củaN EvàBM,N C vàF P lần lượt là X,Y Ta có

E(ABF D) =C(ABF D) (ABXM) = (AY F P) Do đóBY,F X,P M đồng quy

MàBY cắtF X tại N NênM,N,P thẳng hàng Chú ý:

• Đường thẳngM N P ở bài toán trên được gọi là đường thẳng Pascal của lục giácABCDEF

• Vì 6 điểmA,B,C,D,E,F trong định lí Pascal không quan trọng thứ tự. Do đó định lí Pascal sẽ có nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau ví dụ như dưới đây:

• Vì vậy để phân biệt giữa các trường hợp, khi áp dụng định lí ta có thể viết "Áp dụng định lí Pascal cho bộ _{D B F}^{A E C}

"để nói về trường hợp ta đã chứng minh ở đầu bài toán.

Mở rộng: Ta có thể sử dụng một dạng mở rộng của định lí Pascal bằng cách cho các điểm tiến gần về nhau giả sử ta có thể cho điểmB tiến gần về điểmAkhi đó đường thẳngABsẽ trở thànhAA hay tiếp tuyến tạiA của đường tròn(O)và thay vì ta nói "Áp dụng Pascal cho bộ 6 điểm _{D A F}^{A E C}

"ta có thể nói "Áp dụng Pascal cho bộ 6 điểm ^{A E C}_{D A F}

"

1.2 Một số định lí liên quan

Định lí Pascal có rất nhiều ứng dụng trong việc giải hình và hệ quả của nó chính là một vài định lí sau đây:

Định lí 2(Định lí Newton)

Cho tứ giácABCD ngoại tiếp (ω),(ω)lần lượt tiếp xúc với các cạnh AB,BC, CD, DA tại E,F,G,H. Khi đó các đường thẳngAC,EG,BD,F H đồng quy.

Chứng minh.

Gọi giao điểm củaEGvàHF làT;GH vàEF làS Áp dụng định lí Pascal cho bộ _{G H E}^{F E H}

ta được A,T,S thẳng hàng Áp dụng định lí Pascal cho bộ _{H G F}^{E F G}

ta được C, T, S thẳng hàng Từ hai điều trên ta đượcA, T, Cthẳng hàng

Tương tự ta cóB,B,T thẳng hàng HayAC,EG,BD,F H đồng quy tại T Định lí 3(Định lí Brianchon)

Cho lục giácABCDEF ngoại tiếp đường tròn(O). Khi đó các đường chéoAD,BE,CF đồng quy.

Chứng minh.

Gọi tiếp điểm của(O)vớiAB,BC,CD,DE,EF,F Alần lượt làX,Y,Z,T,U,V Gọi giao điểm củaXV vàZT;XY vàT U;Y Z vàU V lần lượt là M,N,P

Áp dụng định lí Pascal cho bộ ^{X U Z}_{T Y V}

ta được 3 điểmM, N,P thẳng hàng Xét phép cực và đối cực qua đường tròn(O).

Ta cóM nằm trên đường đối cực của AvàD nênADlà đường đối cực của M Tương tự ta cóBE là đường đối cực củaN;CF là đường đối cực củaP

Mặt khácM,N,P thẳng hàng nênAD,BE,CF đồng quy tại cực của đường thẳng quaM,N,P Nhận xét:Với cách tiếp cận này, dễ thấy rằng định lí Brianchon và định lí Pascal là 2 hết quả đối ngẫu của nhau.

Định lí 3(Định lí Kirkman-Steiner)

Cho 6 điểmA,B,C,D,E,F nằm trên(O). Chứng minh rằng đường thẳng Pascal của các lục giácABCDEF,ADEBCF,ADCF EBđồng quy.

Chứng minh.

Gọi X^′, X^′′, Y^′, Y^′′, Z^′, Z^′′ lần lượt là giao điểm của các bộ (AF, CD); (AB, DE); (AF, BE);

(CF, DE);(BE, CD);(AB, CF)

Hiển nhiên X^′X^′′, Y^′Y^′′, Z^′Z^′′ lần lượt là đường thẳng Pascal của các lục giác ABCDEF, ADEBCF,ADCF EB

T,U,V lần lượt là giao điểm của(AF, T D);(AB, CD);(CF, BE) Áp dụng định lí Pascal cho bộ ^{F D B}_{E A C}

ta đượcT,U,V thẳng hàng Xét 2 tam giác△X^′Y^′Z^′ và△X^′′Y^′′Z^′′ có:

X^′Z^′∩X^′′Z^′′={U};Y^′Z^′∩Y^′′Z^′′={V}; X^′Y^′∩X^′′Y^′′={T} MàT,U,V thẳng hàng

Do đó, theo định líDesargues ta thu đượcX^′X^′′,Y^′Y^′′,Z^′Z^′′đồng quy Bài toán được chứng minh.

2 Ví dụ

Ở mục này ta sẽ xét một vài ví dụ ứng dụng định lí Pascal.

Bài toán 1.

Cho tam giácABC nội tiếp(O)ngoại tiếp(I). Đường tròn đường kínhAI cắt(O)tạiQkhác A, choN là điểm chính giữa cungBAC. Tiếp tuyến tạiAcủa(O)cắtQN tạiM. Chứng minh M,I,O thẳng hàng

Phân tích: ĐiểmO trong bài toán khá rời rạc so với phần còn lại do đó ý tưởng của ta sẽ xây dựng các đường kính quaO sau đó sử dụng định lí Pascal.

Lời giải.

Kẻ các đường kínhAA^′ vàN N^′ của(O) Dễ cóA,I,N^′ thẳng hàng

Gọi giao điểm củaQA^′ với(AI)làI^′

Theo định lí Reim áp dụng cho(O)và(AI)ta được II^′ song song với N^′A^′ Do đóII^′⊥AN^′

HayII^′ là tiếp tuyến tạiI củaAI VậyI trùngI^′

Áp dụng định lí Pascal cho bộ ^{A N N}_{Q A A}′^′

ta được M,I,O thẳng hàng.

Bài toán 2.(Bổ đề Sawayama-The’bault)

Cho tam giácABC nội tiếp(O)ngoại tiếp(I)đường trònA-mixtilinear tiếp xúc vớiAB,AC lần lượt tạiP,Q. Chứng minh rằngI là trung điểm củaP Q.

Lời giải.

Trước hết ta xét bổ đề đơn giản sau đây:

Bổ đề:Cho(O)và dây cungAB,(I)là đường tròn tiếp xúc vớiABtạiEvới(O)tạiT. Chứng minh rằngT E là phân giác^̸ AT B.

Thật vậy gọi giao điểm củaT A,T B với(I)lần lượt làM,N ta có AE²

BE² = AM.AT BN.BT Mặt khác dễ thấyM N song songABdo đó

AM BN = AT

BT

Nên AM

BN = AT BT Bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán.

Gọi T là tiếp điểm củaA-mixtilinear và (O); M,N lần lượt là giao điểm củaT P vàT Qvới (O), khi đó theo bổ đề ta cóM, N lần lượt là trung điểm các cungABvàAC

Áp dụng định lí Pascal cho bộ ^{B X C}_{F A E}

ta đượcP,Q,I thẳng hàng Mặt khác ta lại có△AP Qcân tạiAcóAI là phân giác

Do đóIlà trung điểmP Q Bài toán 3.

Cho tam giác ABC nội tiếp(O);M, N, P lần lượt là hình chiếu củaO xuống BC,CA, AB.

Chứng minh các đường tròn(AOM),(BON),(COP)đồng trục.

Lời giải.

GọiA^′,B^′,C^′ lần lượt là trung điểm OA,OB,OC

Cho đường thẳng quaA^′ vuông góc vớiOAcắtB^′C^′ tại Oa;Ob,Oc định nghĩa tương tự Ta cóB^′C^′ là trung trực của OM, đường thẳng quaA^′ vuông góc vớiOAlà trung trựcOA Do đóOa là tâm của(AOM)

Tương tựOb,Oc là tâm của(BON),(COP) Mặt khácO là tâm của(A^′B^′C^′)

Áp dụng định lí Pascal cho bộ ^A_B^′′^CA^{′′ B}C^′′

ta được Oa,Ob,Oc thẳng hàng Mà 3 đường tròn này cóO là điểm chung

Vậy(AOM),(BON),(COP)đồng trục Bài toán 4.(APMO 2013)

Cho tứ giác điều hòaABCD nội tiếp (O)tiếp tuyến cúa (O)tại C vàD cắt nhau tạiQ.CQ cắtADtạiR.E là giao điểm thứ hai củaAQvà(O). Chứng minhB,E,Rthẳng hàng.

Lời giải.

Vẽ tiếp tuyến tạiA của(O)cắtCQtạiP Vì tứ giácABCD điều hòa

NênP ∈BD

Gọi giao điểm củaBE vàADlàR^′ Áp dụng định lí Pascal cho bộ _{B A D}^{A D E}

ta đượcP,Q,R^′ thẳng hàng Suy raR≡R^′

HayB,E,R thẳng hàng Bài toán 5.(China 2005)

Cho tam giácABC. Một đường tròn cắt 3 cạnhBC,CA,ABlần lượt tạiD₁,D₂,E₁,E₁,F₁, F₂. ChoD₁E₁cắtD₂F₂tạiL;E₁F₁cắtE₂D₂tạiM;F₁D₁cắtF₂E₂tạiN. Chứng minh rằng AL,BM,CN đồng quy.

Phân tích: Giả thiết bài toán cho 6 điểm nằm trên cùng một đường tròn. Do đó việc nghĩ đến sử dụng định lí Pascal là một ý tưởng khá tự nhiên

Lời giải.

GọiU,V,W lần lượt là giao điểm củaD1F1 vàE2D2;D1E1 vàF2E2; E1F1 vàD2F2

Áp dung định lí Pascal cho bộ ^F_D^{1 D1E2}

2 F2E1

ta đượcV,B, M thẳng hàng Tương tự ta cóU,A,Lthẳng hàng;W, C,N thẳng hàng

Gọi giao điểm củaD1D2 vàF1E2, E1E2 vàF2D1,F1F2 vàD2E1 lần lượt làX,Y,Z Áp dụng định lí Pascal cho bộ ^D_F^{2 E1 E2}

1 F₂D₁

ta đượcV, W,X thẳng hàng Tương tự ta cóU,W,Y thẳng hàng;U,V,Z thẳng hàng

Mặt khác áp dụng định lí pascal cho bộ ^D_E^{1 F1E1}

2 D2 F2

ta đượcX,Y,Z thẳng hàng

Xét 2 tam giác△ABC và△U V W ta cóBC∩V W ={X},AC∩U W ={Y},U V ∩AB={Z}

Theo định lí Desargues ta cóU A, V B,W C đồng quy HayAL, BM,CN đồng quy

Bài toán 6.(Russian Sharygin Geometry Olympiad 2012)

Cho đường tròn(O), dây cungAB. Gọi(I)là đường tròn tiếp xúc với(O)và tiếp xúc vớiAB.

Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa cungAB chứa I và không chứa I. Kẻ tiếp tuyến N C, N Dtới(I).AC giaoBD tạiX,ADgiaoBCtạiY. Chứng minh rằngX,I,Y,M thẳng hàng.

Chứng minh.

GọiE,T lần lượt là tiếp điểm của(I)với ABvà(O) LấyS∈ABsao choST là tiếp tuyến của O

TheoBổ đềđã chứng minh ởBài toán 2ta cóT,E,N thẳng hàng Dễ cóN A²=N B²=N T.N E=N C²=N D²

Do đó tứ giácABCD nội tiếp đường tròn tâmN

Khi đó xét trục đẳng phương của 3 đường tròn(O),(I),(N)ta đượcS,C,D thẳng hàng Áp dụng định lí Pascal cho bộ _{B C D}^{A D C}

ta được X,I,Y thẳng hàng.

Mà theo định lí Brocard cho tứ giác toán phầnABCD.XS ta cóXY ⊥SN

Do đóXY là đường đối cực củaS đối với(N)( VìXY đi quaI là cực củaCDđối vớiN) Mặt khácM là cực củaABvới(N)

NênM nằm trên đường đối cực của S đối vớiN Hay nói cách khácM,X,Y,I thẳng hàng

Bài toán 7.(Nguyễn Hoàng Nam, Quán hình học phẳng tháng 10 năm 2018)

Cho tam giác△ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâmH. Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại P. Trên AC, AB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho P E ⊥ AB, P F ⊥AC.EF cắtHP tạiK. Chứng minh rằngOK⊥EF.

Lời giải( Nguyễn Văn Linh)

Kẻ đường kínhAA^′.M là trung điểmBC.P E,P F lần lượt cắt(O)tại U,V.P H cắt(O)tạiQ.

P A^′,P Elần lượt cắtBC tạiR,S.

Tiếp tuyến tạiA^′ vàQcủa (O)cắt nhau tạiX Ta cóM là trung điểmA^′H

MàHP∥BC

Do đóRlà trung điểmA^′P

Suy raRlà trung điểmBS ( DoA^′B∥P S) Lại cóP Q∥BS

Do đóP(BS, QR)= -1

Chiếu lên(O)ta được tứ giácBQU A^′ điều hòa Khi đóX,B,U thẳng hàng

Tương tự ta cóX,V, Cthẳng hàng Áp dụng định lí Pascal cho bộ ^{B P C}_{V A U}

ta được X,E,F thẳng hàng Lại cóE là trực tâm tam giácAP F

⇒F E⊥AP

⇒F E∥A^′P

Suy ra^̸ QKX =^̸ A^′P Q=^̸ XA^′Q=^̸ QOX Do đó 5 điểmX,O,Q,A^′,Kđồng viên Suy ra^̸ F KO=^̸ XA^′O= 90^◦

3 Bài tập tự luyện

Bài 1.Cho đường tròn(O)đường kínhAB. GọiE là điểm nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến EC,ED.ADgiaoBCtại F sao choF nằm trong(O). Chứng minh rằngEF ⊥AB

Bài 2.(Định lí Colings) Cho tam giácABCnội tiếp đường tròn tâm(O), trực tâmH. Một đường thẳngdbất kì đi quaH. Chứng minh rẳng các đường thẳng đối xứng vớidqua 3 cạnh của tam giác ABC đồng quy trên(O). Điểm đồng quy này gọi là điểmAnti-Steiner củadđối với tam giácABC

Bài 3. (Định lí La Hire) Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F nằm trên(O). Gọi X, Y, Z lần lượt là giao của các tiếp tuyến tạiAvớiD,B vớiE,C vớiF. Chứng minh rằng X, Y,Z thẳng hàng khi và chỉ khiAD,BE,CF đồng quy

Bài 4. (Định lí con bướm) Cho đường tròn (O) và một dây cung AB. M là hình chiếu của O lênAB. Hai dây cung CD vàEF bất kì đi qua M. CF, DE lần lượt cắtAB tại I,J. Chứng minh M I=M J

Bài 5.Cho tam giácABC cân tạiAnội tiếp đường tròn(O). Kẻ đường kính AD.S chuyển động trên(O).SB giaoAC tại M,SD giaoBC tại N. Chứng minh rằngM N đi qua điểm cố định

Bài 6.(Bulgaria TST 2003) Cho tứ giácABCDNgoại tiếp đường tròn(O). HạOP ⊥AC. Chứng minh^̸ AP D=^̸ AP B

Bài 7.Cho tứ giácABCDnội tiếp(O)ngoại tiếp(I). Hai đường chéoAC vàBDcắt nhau tạiP.

Chứng minh rằngO,I,P thẳng hàng

Bài 8.Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O).AOgiao(O)lần thứ hai tạiA1. Tiếp tuyến của(O)tại A₁ giaoBC tạiD.DO giaoAB,AC lần lượt tạiP,Q. Chứng minh rằngOP =OQ.

Bài 9.(Trải nghiệm VMO 2022 đợt 1) Cho tam giác nhọn, không cânABC nội tiếp (O), có các đường caoAD,BE,CF. GọiM là trung điểmEF,T là giao điểmADvàEF.BT,CT giao(O)lần nữa tạiX vàY

a) Chứng minh rằngXE,Y F,AM đồng quy

b) Gọi S là giao điểmXY vàBC. Chứng minh ST là tiếp tuyến của đường tròn(AT M) Bài 10. (IMO Shortlist 2007/G5) Cho tam giácABC nội tiếp(O), A1,B1, C1 lần lượt là trung điểmBC,CA,AB.P là điểm bất kì di động trên(O).P A1,P B1,P C1lần lượt cắt(O)tạiA^′,B^′,C^′. Chứng minh rằng diện tích tam giác tạo bới giao điểm của 3 đường thẳngAA^′,BB^′,CC^′ không phụ thuộc vào vị trí củaP trên(O)

Bài 11.(Romania TST 3 2010 Cho tam giác không cânABC. Phân giácBB₀,CC₀ cắt(O)lần thứ hai tạiB1, C1. GọiI là tâm nội tiếp tam giác ABC. B0C0 giaoB1C1 tại P. Chứng minh rằng IP∥BC.

Bài 12.a) Cho tam giácABCnội tiếp(O). Ba đường caoAD,BE,CF đồng quy tạiH.(BDF), (CDE)cắt(O)lần lượt tạiP,Q.CP cắtBQtạiR. Chứng minh rằngRnằm trên đường thẳngEuler của tam giácABC

b) Cho tam giácABCnội tiếpO ngoại tiếpI, có tâm bàng tiếp gócAlàI_a. GọiM,N đối xứng vớiAquaIA,IB;P,Qđối xứngB,C quaIA; I_aM,I_aN cắtOI tạiE,F.P E cắtF B tạiS, ECcắtF QtạiT.Chứng minh rằngS,Ia,T thẳng hàng

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Linh,Một số chủ đề Hình học phẳng cho học sinh chuyên Toán, NXB ĐHQG Hà Nội, 2020

[2] Nguyễn Văn Linh,Định lí Pascal, Euclidean Geometry Blog https://nguyenvanlinh.wordpress.com/

[3] Carl Joshua Quines,Pascal’s Theorem https://cjquines.com/math/handouts [4] Pascal Lines: Steiner and Kirkman Theorems

https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PascalLines.shtml [5] Pascal’s Theorem

https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pascal.shtml [6] Brianchon’s Theorem

https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pascal.shtml [7] Chuyên mục Quán hình học phẳng, nhóm Hình học phẳng.

https://www.facebook.com/groups/hinhhocphang.geometry [8] Sharygin Geometry Olympiad.

https://geometry.ru/olimp/olimpsharygin.php