Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MỤC LỤC

1. Phương pháp đặt nhân tử chung ... 2

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức ... 2

3. Phương pháp nhóm hạng tử:... 4

4. Phối hợp nhiều phương pháp ... 6

5. Phương pháp tách hạng tử ... 11

Dạng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc hai ... 11

Dạng 2. Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc ba ... 11

Dạng 3. Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc bốn ... 13

Dạng 4. Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc cao ... 15

6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. ... 16

7. Phương pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ) ... 18

Dạng 1. Đặt biến phụ (x² + ax + m)(x² + ax + n) +p ... 18

Dạng 2. Đặt biến phụ dạng (x + a)(x + b(x + c)(x + d) + e ... 19

Dạng 3. Đặt biến phụ dạng (x + a)⁴ + (x + b)⁴ + c ... 21

Dạng 4. Đặt biến phụ dạng đẳng cấp ... 21

Dạng 5. Đặt biến phụ dạng khác ... 22

8. Phương pháp hệ số bất định ... 25

9. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: ... 30

10.Phương pháp xét giá trị riêng: ... 32

Các phương pháp cơ bản

1. Phương pháp đặt nhân tử chung a. Phương pháp

- Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).

b. Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

a) 55^{n 1} – 55ⁿ 54 b) n n 1 2n n 1²















⁶

c) 24^{n 1} 24ⁿ 23 d) n (n 1) 2n(n 1) 6²     Bài 2. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau:

a) x + y = xy b) xy – x + 2(y – 1) = 13 HD:

a) Ta có x y  xy được viết thành: xy x y  0.

Do đó suy ra: ^{x y}



^{ 1}

 

^{y 1}



^{1 hay}



^y1



^{x 1}



¹

Mà ^{1 1.1  }

   

^{1 . 1 nên: 1 1}

1 1 y x

  

  

 hoặc 1 1

1 1

y x

  

   

 Do đó 2

2 x y

 

  hoặc 0 0. x y

 

 

Vậy ta có hai cặp số nguyên cần tìm là

 

^{0,0 và}

 

^{2, 2 .}

b) Phân tích vế trái ra thừa số ta có:

        

2 1 1 2 1 1 2 .

xy x  y  x y  y  y x

Vế phải bằng 13 1.13 13.1   

  

1 . 13

 

 13 . 1

  

 nên ta lần lượt có:

1 1 1 13 1 1 1 13

; ; ;

2 13 2 1 2 13 2 1

y y y y

x x x x

         

   

             

   

Hay: 11 1 15 3

; ; ; .

2 14 0 12

x x x x

y y y y

      

   

        

   

Vậy ta có 4 cặp số nguyên cần tìm là:



^{11, 2 ;}

 

^{1;14 ;}

 

^{15;0 ;}

 

^{ 3; 12 .}



2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

a) Phương pháp: Sử dụng 7 HĐT đã học và một số HĐT bổ sung sau đây:

1. ²



^a2b2



^



^{a b}

 

^{2 a b}



^{2 2. a4b4 }



^{a b a b}



^

 

^_ ^{a b}



^22ab_

3. ^{a4b4 }_



^{a b}



^22ab_^22

 

^{ab 2 4. a4a b2 2b4}



^{a2ab b 2}



^{a2ab b 2}



5.



^{a b c} 



² ^a2^b2^c22ab 2ac 2bc  6. ^{a4a2 1}



^{a2 a 1}



^{a2 a 1}



b) Bài tập vận dụng:

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) a³ b³ c³3abc b)



^{x 1}



^4



^{x2 x 1}



²

c)



^{x y}



^5x5y5 _d)



^{b2 c2}

 

^{3 c2 a2}

 

^{3 b2c2}



³

HD:

a) Ta có: ^a3^b3^c33abc



^a3^{3a b 3ab2}  ²^b3



c – 3a b 3ab³



²  ²3abc





^{a b}



³ c – 3ab a b c³

 

    



^{a b c}

 

 a b – a b c c – 3ab

 

²



² 



a b c a

 

² b² c – ab – ac – bc²



           

b) Ta có:



^{x 1}



^4



^{x2 x 1}



^{2 }



^{x 1}



^{4 }^{x x 1}



^{  }



¹²

=



^{x 1}



^{4 x x 12}



^



^{22x x 1}



^{ }



^{1 =}



^{x 1}

 

^2_ ^{x 1}



^2x2_^



^{2x22x 1}



=



^{2x2 2x 1}



^_



^{x 1}



^{2 1}_⁼



^{x2 2x 2 2x}



^{2 2x 1}



c) Ta có:



^{x y}



⁵^x5^y5 ^x5^{5x y 10x y4}  ^{3 2}^{10x y2 3}^5xy4^y5^x5^y5



^{3 2 2 3}



5xy x 2x y 2xy y

    = ^{5xy x y x}_



^

 

^{2xy y 2}



^{2xy x y}



^



^_

= ^{5xy x y x}



^

 

^{2y2 xy}



d) Ta có:



^b2c2

 

^{3 c2a2}

 

^{3 b2c2}

 

^{3  a2 b2}

 

^{3 c2a2}

 

^{3  b2 c2}



³

Ta lại có: Nếu x + y + z = 0 thì x³y³z³ 3xyz

Mặt khác:



^a2b2

 

^{ c2 a2}

 

^{  b2 c2}



^{a2a2 b2 b2 c2 c2 0}

Suy ra



^{a2 b2}

 

^{3 c2a2}

 

^{3  b2 c2}

 

^{3 3 a2b2}



^c2a2



^{ b2 c2}





^{2 2}



^{2 2}

   

3 a b b c a c a c

    

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:



^{a b c }

 

^{3 a b c }

 

^{3 b c a }

 

^{3  c a b}



³

HD:

Ta có:



^{a b c }

 

^{3 a b c }

 

^{3 b c a }

 

^{3  c a b}



³



^{a b c}



^{3 }



^{a b c}

 

^{3 b c a}

 

^{3 c a b}



^3

            

Đặt

x a b c

y b c a x y z a b c z c a b

  

         

   



Suy ra:



^{a b c }



^3_



^{a b c }

 

^{3 b c a }

 

^{3  c a b}



^3_



^{x y z}



³



^{x3 y3 z3}



^{x3 y3 z3} 3 x y y z z x

   

x³ y³ z³

               

   

3 x y y z z x 3.2a.2b.2c 24abc

     

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

a)



n 3 – n – 1 8



²

 

² b) (2n 1) ³2n 1 8  c)



^{n 6 – n}



²



^{– 6}



²²⁴ d) (7n 2) ²(2n 7) 45 ² e) n⁶n² 60 f) n (n^{2 2} 1) 12

HD:

e) Ta có: n⁶n²n (n^{2 4} 1) n (n^{2 2}1)(n²  1) n (n 1)(n 1)(n²   ²1) n(n 1)(n 1) 3; n(n 1) 2; n(n 1) 2       n (n 1)(n 1) 42    Đặt n = 5k; n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + 4 (k) Ta chứng minh n (n 1)(n 1)(n²   ² 1) 5

Vậy n⁶ n² chia hết cho 3, 4, 5 nên chia hết cho 60 f) Với mọi số nguyên n ta luôn có: n² 1 4  n (n^{2 2}1) 4

Lại có n (n^{2 2} 1) n(n 1)n(n 1) 3    n (n^{2 2}1) 12 vì (3; 4) = 1

Bài 4. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau: x² – y² = 21 3. Phương pháp nhóm hạng tử:

a) Phương pháp

Bước 1: Chọn và nhóm 2 hoặc 3 …hạng tử thành một nhóm sao cho mỗi nhóm sau khi phân tích thành nhân tử thì các nhóm này có thừa số chung, hoặc liên hệ các nhóm là hằng đẳng thức.

Bước 2:

+ Nếu các nhóm có thừa số chung: Đặt thừa số chung của các nhóm làm Nhân tử chung ra ngoài ngoặc khi đó trong ngoặc là tổng các các thừa số còn lại của các nhóm.

Chú ý:

+ Nhiều khi để làm xuất hiện thừa số chung (nhân tử chung) ta cần đổi dấu các hạng tử.

+ Tính chất đổi dấu hạng tử: A = – (– A)

+ Nếu liên hệ các nhóm tạo thành hằng đẳng thức thì vận dụng hằng đẳng thức.

b) Bài tập vận dụng:

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x²y²z² 2xy 2z 1  b) x² y²z²2xz 2y 1  c) x⁶2x⁴x y^{3 3}2xy³ d)



x y z xy yz zx 



 



xyz

e) x² 2xy y ²  x y 12 f) x y xy²  ² xz²yz²x z y z 2xyz²  ²  HD:

a) Ta có: ^{x2y2 z2 2xy 2z 1  }



^{x22xy y 2}

 

^{ z2 2z 1 }

 

^{x y}

 

^{2 z 1}



²

b) Ta có: ^{x2y2 z2 2xz 2y 1  }



^{x2 2xz z 2}

 

^{ y2 2y 1 }

 

^{x z}

 

^{2  y 1}



²

c) Ta có: ^{x62x4x y3 32xy3 x x}



^{52x3x y2 3 2y3}



= ^{x x x}_ ³



^22

 

^{y x3 22}



^_^{x x}



^3y3



^{x2 2}



^{x x y x}



^

 

^{2 2 x}



^{2xy y 2}



d) Ta có:



x y z xy yz zx 



 



xyz

2 2 2 2 2 2

x y xyz x z xy y z xyz xyz yz xz xyz

         



^{x y xy2 2 xyz}

 

^{y z yz2 2 xyz}



^{x z zx2 2}

       

     

xy x y z yz x y z xz x z

       

    

y x y z x z xz x z

     



^{x z xy y}

 

^{2 yz xz}

 

x z y x x y

  

        

e) Ta có: ^x2^{2xy y} ²  ^{x y 12}



^{x y}

 

²  ^{x y}



^{12 ...} 



x y 3 x y 4 



 



f) Ta có: ^{x y xy2}  ² ^xz2^yz2 x z y z 2xyz xy x y²  ²  







z x y²





 

z x y



²



^{x y xy z}

 

^{2 xz yz}

 

x y y z z x

  

        

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) ^{x y}



^3z3

 

^{y z3x3}

 

^{z x3y3}



^{b) a b}



^{2 c2}

 

^{b c2 a2}

 

^{c a2b2}



c) 2a b 4ab²  ²a c ac²  ² 4b c 2bc²  ²4abc d) x y xy²  ²xz²yz²x z y z 2xyz²  ²  HD:

a) Ta có: ^{x y}



³^z3

 

^{y z3}^x3

 

^{z x3}^y3



^xy3^xz3^yz3x y x z y z³  ³  ³

= ^{x z y3}



^{ }



^{y x z3}



^{ }



^{z y x3}



^



^{x z y3}



       



^y3



^{z y}

 

^{y x}



 ^{z y x3}







               

3 3 3 3 3 3 3 3

x z y y z y y y x z y x z y x y y x z y

             



^{z y x y x}

  

^{2 xy y2}

 

^{y x z y z}

  

^{2 yz y2}



         



^{z y x y x}

  

^{2 xy y2 z2 yz y2}

 

z y x y x z x y z

   

             

b) ^{a b}



^{2 c2}

 

^{b c2 a2}

 

^{c a2 b2}



^{ab2ac2bc2ab2 ac2b c2}

 

²

       

²

    

ab a b c a b c a b a b a b ab c ca cb a b b c a c

               

c) Ta có: 2a b 4ab²  ²a c ac²  ²4b c 2bc²  ² 4abc

2 2 2 2 2 2

2a b 4ab a c 2abc ac 2bc 4b c 2abc

       

       

         

   

       

 

           

   

2 2

2ab a 2b ac a 2b c a 2b 2bc a 2b

a 2b 2ab ac c 2bc a 2b a 2b c c 2b c a 2b 2b c c a

d) Ta có: x y xy²  ²xz²yz²x z y z 2xyz²  ² 

         

xy x y z x y²  z x y ²  x y xy z  ² xz yz

   

 x y y z z x  

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

a) n³ 3n – n – 3 48²  b) n⁴ 3n – n – 3n 6^{3 2}  c) (2n 1) ³2n 1 24  d) 2n³3 +n n² 6

e) n³ n 12n 6 f) n⁴ 2n³3n 2n² 8 g) 2n³3n²7n 6 h) n⁴2n – n +2n 24^{3 2} 

i) n⁴6 +11n³ n + 6n 24²  j) n⁴3n³4n²16n 384 n 4, n 2k    k) n¹²n⁸n⁴1 512 , n 2k 1  l) n⁸n⁶ n⁴n 1152²  , n 2k 1 

HD:

j) Ta có: 384 2 .3 ⁷ và đặt n = 2k

4 3 2 3 3 2

2

n 3n 4n 16n n (n 4) 4n(n 4) (n 4)(n 4n) n(n 4)(n 4) n(n 4)(n 4) (n 4)(n 2)n(n 2) (2)

            

      

Thay n = 2k ta được: (2) (2k 4)(2k 2)2k(2k 2) 2 (k 2)(k 1)n(k 1)     ⁴    Với k = 3; 4; ... thì (k 2)(k 1)n(k 1) 8    và (k 2)(k 1)n(k 1) 3   

Do đó: 2 (k 2)(k 1)n(k 1) 2 .3⁴     ⁷ k) Ta có: Ta có: 512 = 2⁹

12 8 4 8 4 4 4 8

n n n  1 n (n  1) (n  1) (n 1)(n 1)

2 2 4 4 2 2 2 2 4

(n 1)(n 1)(n 1)(n 1) (n 1) (n 1) (n 1)

        

Vì n lẻ nên

2 2 2

2 2

2 2 6

(n 1) 2 n 1 2; n 1 8

(n 1) 2

 

  

 

  

½  và n⁴1 2 . Vậy (n² 1) (n^{2 2}1) (n^{2 4}1) 2 ⁹

l) Ta có: 1152 = 2⁷.3²

8 6 4 2 6 2 2 2 2 6 2

2 2 4 2 2 2 2

n n n n n (n 1) n (n 1) (n 1)(n n ) n (n 1)(n 1) n (n 1) (n 1) (1)

         

     

Vì n lẻ nên n²1 2; n ²1 8 ½ (n² 1)²2⁶

Mặt khác ta có: (1) = ^{2 2}

3 3

n(n 1)(n 1) n(n 1)(n 1)(n    1) 3

 

   ½ đpcm

4. Phối hợp nhiều phương pháp

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)



^{a b c }

 

^{2 a b c }



^{2 4b2} b)



^{x2 y2xy}



^{2x y2 2y z2 2 z x2 2}

c) ^{81x z4}



^{2 y2}



^{z2 y2 d) x6 x4 x y2 2 y4y6}

HD:

a)



^{a b c} 

 

² ^{a b c} 



²^4b2 



^{a b c} 

 

² a b c 2b a b c 2b  



  





^{a b c}

 

² a b c a 2b c

  

a b c a b c

 

             b)



^x2y2xy



^{2x y2 2y z2 2 z x2 2}

4 4 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2

x y x y 2x y 2xy 2x y x y y z z x

        

= ^{x4y42x y2 22xy x}



^{2 y2}

 

^{z x2 2y2}



=



^x2y2



^{22xy x}



^{2 y2}

 

^{z x2 2y2}



=



^x2y2



^{x2y22xy z 2}

 

^{ x2y2}

 

^_ ^{x y 2}



^z2_

=



^x2^y2

 

x y z x y z 



 



c) Ta có: ^{81x z4}



^2y2



^{z2y2 81x z4}



^2y2

 

^{ z2y2}





^{z2 y2}



^{81x4 1}

 

^{z y z y 9x}

  

^{2 1 9x}



^{2 1}



       



z y z y 3x 1 3x 1 9x

    

² 1



     

d)Ta có: x⁶x⁴ x y^{2 2}y⁴y⁶

    

^{2 2}



²

6 6 4 2 2 4 2 2 3 3 2 2 2 2

x y x 2x y y x y x y x y x y

          



^{x3 y3}



^{x3 y3}

 

^{x2 y2 xy x}



^{2 y2 xy}



       



^{x y x}

 

^{2 xy y2}

 

^{x y x}

 

^{2 xy y2}

 

^{x2 y2 xy x}



^{2 y2 xy}



           



^{x2 y2 xy x}



^{2 y2 xy x}



^{2 y2 1}



      

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: ^{A x y y x 2 2}



^



^{y x z y2 2}



^



^{z x z x2 2}



^



HD:

Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z – x

 

     

        

   

     

2 3 3 2 2 3 3 2 2 2

2 3 3 3 2 2 2 2

2 2 2 3 2 2

2 2 2 2 2 3 3 2 2

2 2

A x y – x y y z – y z – z x z – x y z – x – y z – x – z x z – x

y z – x z zx x – y z – x z x – z x z – x z – x y z y zx x y – y z – y x – z x

z – x y z z – y – x z – y[ z

 



   

  







  

    

       

    

2

2 2 2 2

y y x z – y z – x z – y y z – x z – x y y x

z – x z – y z y – x y x xy y – x z – x z – y y – x xy xz yz .



 

  











Cách 2: Để ý rằng:



^{z – y}

 

^{ y – x}

 

^{ z – x}



. Do vậy ta có:

       

       

       

         

  

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

A x y y – x y z z – y – z x z – y y – x x y y – x y z z – y – z x z – y – z x y – x y – x x y – z x z – y y z – z x

y – x x y – z y z z – y z y – x y x y – x z – y x y – x z yz

  

 

 

   



 

 

 

 

       

    

2 xz2

y – x z – y xz z – x y z – x z x y – x z – y z – x xz yz xy



  



 









Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử:



^{x y}

 

^{3 y – z}

 

^{3  z – x}



³

HD:

Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0.

Khi đó ta có: a³ b³c – 3abc 0³  hay a³b³c³ 3abc Vậy:



^{x – y}

 

³ ^{y – z}

 

³ ^{z – x}



³ 3 x – y y – z z – x

   

Cách 2: Để ý rằng:



^{a b}



^{3 a3 3ab a b}



^



^b3và



^{y – z}

 

^{ y – x}

 

^{ x – z}



             

              

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3

x – y y – z z – x y – x x – z z – x x – y y – x 3 y – x x – z y – x x – z x – z – x – z – y – x

    



 



 



 



 

Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) ^{a b c2}



^{ }



^{b c a2}



^{ }



^{c a b2}



^



^{b) xy x y}



^



^{yz y z}



^{ }



^{zx x z}



^{ }



^3xyz

c) x² 6xy 5y ² 5y x HD:

a) Ta có: ^{a b c2}



^{ }



^{b2  }_



^{b c}

 

^{a b  }



_ ^{c a b2}



^



       

2 2 2 2

a b c b b c b a b c a b

       



b c a b a b

   

a b b c b c

  

       



b c a b a b b c

   

a b b c a c

  

         

b) Ta có: x²6xy 5y ²5y x (x  ² xy x) (5xy 5y   ²5y) x(x y 1) 5y(x y 1) (x y 1)(x 5y)         

c) Ta có: ^{xy x y}



^



^{yz y z}



^{ }



^{zx x z}



^{ }



^3xyz

     

xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz

                

        

xy x y z yz x y z zx x y z x y z xy yz zx

              Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) ^{xy x y}



^{ }



^{yz y z}



^{ }



^{zx z x}



^



b) ^{c a b2}



^{ }



^{b a c2}



^{ }



^{a b c2}



^



c) ^{z x y3}



^{ }



^{x y z3}



^{ }



^{y z x3}



^



^{d) ab a b}



^{ }



^{bc b c}



^{ }



^{ac c a}



^



HD:

a) Ta có: ^{xy x y}



^{ }



^{yz y z}



^{ }



^{zx z x}



^



       

xy x y yz y z zx y z x y

         

       

xy x y yz y z zx y z zx x y

       

         

x x y y z z y z x y x y y z x z

         

b) Ta có : ^{c a b2}



^



^{b2 }_



^{a b}

 

^{ b c  }



_ ^{a b c2}



^



       

2 2 2 2

c a b b a b b b c a b c

        



a b b c b c

   

b c b a b a

  

       



a b b c b c a b

   

a b b c c a

  

          c) Ta có :^{z x y3}



^



^x3_



^{x y}

 

^{   z x}



_ ^{y z x3}



^



= ^{z x y3}



^{ }



^{x x y3}



^{ }



^{y z x3}



^{ }



^{x z x3}



^



=



^{x y z}

 

^3x3



^



^{z x y}

 

^3x3



=



^{x y z x z}



^

 

^{2 zx x 2}



^



^{z x y x y}



^

 

^{2xy x 2}



=



^{x y z x z}





 

²^{zx x} ²^y2^{xy x} ²







x y z x z y z y x











 



d) Ta có : ^{ab a b}



^



^{bc a b }_

  

^{   c a}



_ ^{ac c a}



^



= ^{ab a b}



^{ }



^{bc a b}



^{ }



^{bc c a}



^{ }



^{ac c a}



^



= ^{b a b a c}







 

 

^{c c a b a}



  

 

a b b c a c











Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử: ^{x y z4}



^{ }



^{y z x4}



^{ }



^{z x y4}



^



HD:

Ta có: ^{x y z4}



^



^y4_



^{y z}

 

^{ x y  }



_ ^{z x y4}



^



= ^{x y z4}



^{ }



^{y y z4}



^{ }



^{y x y4}



^{ }



^{z x y4}



^



=



^{y z x}

 

^{4 y4}



^



^{x y y}

 

^4z4



=



y z x y x y x









 

²y²







x y y z y z y









 

²z²



=



^{x y y z}



^

 

^_ ^{x y x}

 

^{2 y2}



^



^{y z y}

 

^2z2



^_

=



^{x y y z x}



^

 

^{3xy2x y y2  3 y3yz2y z z2  3}



=



^{x y y z x}



^

  3 z3 y x z2   y x 2z2 

=



^{x y y z}



^

 

^_ ^{x z x}

 

^{2 xz z 2}



^{y x z2}



^{ }

 

^{y x z x z}



^



^_

=



x y y z x z x









 

² xz z ²y² xy yz



Bài 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)



^{x y }



^{x 1 y3}



^{ }



^{y 1 x3}



^



^{b) 4a b 2a b2 2}



^{ }



^{b c c b2 2}



^{ }



^{4c a 2a c2 2}



^



HD:

a) Ta có :



^{x y}



^{x3 }_



^{x y}

 

^{   1 x}



_ ^{y 1 x3}



^



=



^{x y }



^{x x y3}



^{ }



^{x 1 x3}



^{ }



^{y 1 x3}



^



=



^{x y 1 x}

 

^{ 3}



^{ }



^{1 x x}

 

^3y3



=



x y 1 x 1 x x





 

  ²



 



1 x x y x





 

²xy y ²



=



x y 1 x 1 x x





 

  ²x²xy y ²







x y 1 x 1 y x y 1











 



b) Ta có :^{4a b 2a b2 2}



^



^{b c2 2}_



^{2a c }

 

^{2a b  }



_ ^{4c a 2a c2 2}



^



= ^{4a b 2a b2 2}



^{ }



^{b c 2a c2 2}



^{ }



^{b c 2a b2 2}



^{ }



^{4c a 2a c2 2}



^



= ^{b 2a b 4a2}



^

 

^{2 c2}



^{c 2a c b2}



^

 

^{2 4a2}



= b 2a b 2a c 2a c²











 



c 2a c 2a b 2a b²















=



2a c 2a b 2ab





 

²b c 2ac²  ²bc²







2a c 2a b b c 2ab 2ac bc











 



Bài 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) ^{bc a d b c}



^



^{ }



^{ac b d a c}



^



^{ }



^{ab c d a b}



^



^



b) ^A



^{x2y2 z2}

 

^{x y z }

 

^{2 xy yz zx }



²

HD:

a) Ta có :bc ab ac bd dc



  



ac ab bc ad dc



  



ab ac bc ad bd



  



= bc ab ac bd dc



  



 ac ab ac bd dc



  

 

 ac bc ad bd  



  ab ac bc ad bd



  



=



ab ac bd dc bc ac  





 

 ac bc ad bd ac ab  







=



a d b c c b a





 

  

 

c d a b a c b





 





=



b c b a ac dc ca ad







  

 

 b c b a c a .d











b) Ta có: ^A



^x2y2z2

 

^{x y z }

 

^{2  xy yz zx }



²



^{x2 y2 z2}



^{2 xy yz zx}

  

^{x2 y2 z2}

 

^{xy yz zx}



²

 

           

Đặt ^x2 ^y2^z2 a; xy yz zx b    A



a b



² 



x²y²z²xy yz zx 



²

Bài tập tự giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) ^{a b c}



^



^{2b a c}



^



^{2 c a b}



^



^{24abc b) a b}



^2c2

 

^{b c2 a2}

 

^{c a2b2}



^2abc

c) ^{a b c3}



^



^{b c a3}



^



^{c a b3}



^



^{d) abc}



^{ab bc ca }

 

^{ a b c 1  }



Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

a) n²4n 3 8 n   ,n 2k 1  b) n⁵n 10

c) n (n^{2 4} 1) 60 d) n⁵5n³4n 120 e) mn(m² n ) 3²  f) (n 1) ³n³(n 1) 9 ³  g) 3n⁴ 14n³21n² 10n 24

HD:

a) Ta có: n² 4n 3 (n 1)(n 3) (2k 2)(2k 4) 4(k 1)(k 2) 8           b) Ta có: n⁵ n n(n⁴  1) n(n²1)(n² 1) n(n² 1)(n² 4 5)

n(n 1)(n 1)(n2 4) 5n(n 1)(n 1) n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2) 5n(n 1)(n 1)

      

       

Tất cả hai số hạng đều chia hết cho 2 và 5 nên chia hết cho 10.

Nhận xét: n⁵n đều chia hết cho 5 và 6 nên chia hết cho 30 c) Ta có: n (n^{2 4} 1) n (n^{2 2}1)(n² 1) n (n^{2 2}1)(n² 4 5)

2 2 2 2 2

n (n 1)(n 4) 5n (n 1)

    

n (n 2)(n 1)(n 1)(n 2) 5n (n 1)(n 1)²      ²  

Ta có: n; (n 2); (n 1); (n 1); (n 2)    là 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại số chia hết cho 3; 4; 5 nên n (n 2)(n 1)(n 1)(n 2) 60²      , 5n (n 1)(n 1) 5²    và n (n 1)(n 1) 12²    Nên 5n (n 1)(n 1) 60²    . Vậy n (n^{2 4} 1) 60

d) Ta có: n⁵5n³4n n(n⁴ 5n² 4) n(n ² 1)(n²4) (n 2)(n 1)n(n 1)(n 2)     Trong 6 số tự nhiên liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho 4, cho 5, cho 6 nên tích của chúng chia hết cho 120

e) Ta có: mn(m²n ) mn[(m²  ² 1) (n²1)] mn(m ² 1) mn(n²1) mn(m 1)(m 1) mn(n 1)(n 1) 3

      

f) Ta có: (n 1) ³n³(n 1) ³ 3(n³2n) 3(n ³ n 3n) 3(n ³n) 9n 3(n 1)n(n 1) 9n 9

    

g) Ta có: 3n⁴14n³21n²10n n(3n³14n² 21n 10) n(n 2)(3n   ²8n 5)

24 24

n(n 2)(n 1)(3n 5) n(n 1)(n 2)(3n 3 8) 3n(n 1)(n 2)(n 1) 8n(n 1)(n 2)

        

      

 

 

5. Phương pháp tách hạng tử

Dạng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc hai Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx

Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = ...

Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b Tách bx = a1x + c1x

Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Cách 2: Tách hạng tử bậc ax²

Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức: ^{a2b2 }



^{a b a b}



^



Cách 3: Tách hạng tử tự do c

Ta tách c thành c1 và c2để dùng phương pháp nhóm hạng tử hoặc tạo ra hằng đẳng thức bằng cách c1 nhóm với ax² còn c2 nhóm với bx.

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 3x2 8x 4 b) 4x² 4x3 c) x²11x 8 d) x²5x 24 e) 9x2 12x5 f) 3x – 7x 2²  g) 4x²4x3 h) x² 5x 4

i) x² – 6x + 5 k) x² + 7x + 12 l) x² + 8x + 15 m) x² – x – 12 n) x² – 13x + 36 o) 2x² – 5x – 12 p) 3x² + 13x – 10 q) 2x² – 7x + 3 r) 3x² – 16x + 5 s) x⁴ + x² + 1 t) x⁴ – 7x² + 6 u) x⁴ + 2x² – 3 v) x2  x 2001.2002 x) x²  x 2017.2018

HD:

Cách 1: Tách hạng tử giữa

Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà 2 + 6 = 8

Nên ta được:^{3x2 8x 4 3x26x2x 4}



^3x2



^x2



Cách 2: Tách hạng tử đầu

Ta có: ^{3x28x 4}



^4x28x4



^{x2 }



^2x2



^{2x2 }



^{x2 3}



^x2



Cách 2: Tách hạng tử cuối

Ta có: ^{3x28x16 12 }



^3x212



^



^x16

 

^{ x2 3}



^x2



Dạng 2. Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc ba Chú ý:

- Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

- Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

- Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì mọi nghiệm nguyên của P(x) đều là một trong các ước số của hệ số tự do a0

- Nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) có dạng r

s , trong đó r là ước của a0, s là ước của an và (r, s) = 1

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

3 2

a) a 4a 29a 24 c) 3x³7x²17x 5 e) 3x³14x²4x 3

3 2

b) x 6x 11x 6 d) 2x³ 5x²8x 3 f ) x³5x²8x 4 HD:

a) Nhẩm nghiệm nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1; 3 và – 8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a – 1), (a – 3) và (a + 8),

Nên ta có:a³4a²29a 24 (a  ³a ) (5a²  ²5a) ( 24a 24)  

= ^{a a 12}



 



^{5a a 1}



 



^{24 a 1}



 

 

^{a 1 a}

 

² ^{5a 24}







a 1 a 3 a 8











b) Nhẩm nghiệm ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là –1, –2, –3, nên ta phân tích :

   

3 2

x 6x 11x 6  x 1 x 2 x 3   c) Nhẩm nghiệm cho ta có nghiệm là 1

x 3, nên có nhân tử là : (3x – 1) Nên ta có : 3x³7x² 17x 5 3x  ³x² 6x²2x 15x 5 

         

2 2

x 3x 1 2x 3x 1 5 3x 1 3x 1 x 2x 5

         

d) Nhẩm nghiệm cho ta có nghiệm là 1

x2, nên có nhân tử là : (2x – 1) Nên ta có : 2x³5x² 8x 3 2x  ³x²4x² 2x 6x 3 

         

2 2

x 2x 1 2x 2x 1 3 2x 1 2x 1 x 2x 3

         

e) Nhẩm nghiệm cho ta nghiệm là : 1

x 3

  nên có 1 nhân tử là : (3x + 1) Ta có: 3x³14x²4x 3 3x  ³x²15x²