Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
CÂU HỎI
Câu hỏi 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Phân tích đa thức 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy thành nhân tử.
Lời giải
2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy
= 2xy(x2 - y2 - 2y - 1)
= 2xy[x2 - (y2 + 2y + 1)]
= 2xy[x2 - (y + 1)2 ]
= 2xy(x + y + 1)(x - y - 1)
Câu hỏi 2 trang 23 Toán 8 Tập 1:
a) Tính nhanh x2 + 2x + 1 - y2 tại x = 94,5 và y = 4,5.
b) Khi phân tích đa thức x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 thành nhân tử, bạn Việt làm như sau:
x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x – 4y)
= (x - y)2 + 4(x – y)
= (x – y)(x – y + 4).
Em hãy chỉ rõ trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử.
Lời giải
a) x2 + 2x + 1 - y2 = (x + 1)2 – y2 = (x + y + 1)(x – y + 1) Thay x = 94,5 và y = 4,5 ta có:
(x + y + 1)(x - y + 1)
= (94,5 + 4,5 + 1)(94,5 - 4,5 + 1)
= 100.91
= 9 100.
Vậy với x = 94,5 và y = 4,5 thì giá trị của biểu thức là 9100.
b) x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x – 4y) → bạn Việt dùng phương pháp nhóm hạng tử
= (x - y)2 + 4(x – y) → bạn Việt dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức cho ngoặc đầu tiên và đặt nhân tử chung cho ngoặc còn lại.
= (x – y)(x – y + 4) → bạn Việt dùng phương pháp đặt nhân tử chung BÀI TẬP
Bài 51 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – 2x2 + x.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 c) 2xy – x2 – y2 + 16 Lời giải:
a) x3 – 2x2 + x
= x.x2 – x.2x + x ( nhân tử chung là x)
= x(x2 – 2x + 1) ( biểu thức ở trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (2))
= x(x – 1)2.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 (có nhân tử chung là 2)
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2) (biểu thức ở trong ngoặc xuất hiện x2 + 2x + 1 là hằng đẳng thức)
= 2[(x2 + 2x + 1) – y2]
= 2[(x + 1)2 – y2] (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (3))
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y).
c) 2xy – x2 – y2 + 16
= 16 – x2 + 2xy – y2
= 16 – (x2 – 2xy + y2) (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức số (2))
= 42 – (x – y)2 (xuất hiện hằng đẳng thức (3))
= [4 – (x – y)][4 + (x - y)]
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Bài 52 trang 24 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Lời giải Ta có:
(5n + 2)2 – 4
= (5n + 2)2 – 22
= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4)
Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 với mọi số nguyên n.
Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Bài 53 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 3x + 2 b) x2 + x – 6 c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.
Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)
Lời giải:
a) Cách 1: x2 – 3x + 2
= x2 – x – 2x + 2 (Tách –3x = – x – 2x)
= (x2 – x) – (2x – 2)
= x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung)
= (x – 1)(x – 2) Cách 2: x2 – 3x + 2
= x2 – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)
= x2 – 4 – 3x + 6
= (x2 – 22) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) (Xuất hiện nhân tử chung x – 2)
= (x – 2)(x + 2 – 3)
= (x – 2)(x – 1).
Cách 3: x2 – 3x + 2
2 2
2 3 3 3
x 2.x. 2
2 2 2 (thêm bớt hang tử
3 2
2 để tạo thành hằng đẳng thức)
2
2 3 3 9
x 2.x. 2
2 2 4
3 2 8 9
x 2 4 4
3 2 1
x 2 4
2 2
3 1
x 2 2
3 1 3 1
x . x
2 2 2 2
x 2 . x 1
b) Cách 1: x2 + x – 6
= x2 + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)
= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)
= (x + 3)(x – 2) Cách 2: x2 + x – 6
2 2
2 1 1 1
x 2x. 6
2 2 2
1 2 1
x 6
2 4
1 2 25
x 2 4
2 2
1 5
x 2 2
1 5 1 5
x . x
2 2 2 2
x 2 . x 3
c) Cách 1: x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)
= x2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung)
= (x + 2)(x + 3) Cách 2: x2 + 5x + 6
2 2
2 5 5 5
x 2.x. 6
2 2 2
5 2 25
x 6
2 4
5 2 1
x 2 4
2 2
5 1
x 2 2
5 1 5 1
x x
2 2 2 2
x 2 x 3 .
Luyện tập chung 4
Bài 54 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c) x4 – 2x2
Lời giải:
a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x (Có x là nhân tử chung)
= x(x2 + 2xy + y2 – 9) (biểu thức trong ngoặc có x2 + 2xy + y2 là hằng đẳng thức số (1))
= x[(x2 + 2xy + y2) – 9]
= x[(x + y)2 – 32] (biểu thức trong ngoặc xuất hiện hằng đẳng thức (3)]
= x(x + y – 3)(x + y + 3)
b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 (Có x2 ; 2xy ; y2 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))
= (2x – 2y) – (x2 – 2xy + y2)
= 2(x – y) – (x – y)2 (Có x – y là nhân tử chung)
= (x – y)[2 – (x – y)]
= (x – y)(2 – x + y)
c) x4 – 2x2 (Có x2 là nhân tử chung)
= x2(x2 – 2)
2 2 2
x x 2 (biểu thức trong ngoặc vuông là hằng đẳng thức số (3)) x x2 2 x 2 .
Bài 55 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:
a) 3 1
x x 0;
4
b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0;
c) x2(x – 3) + 12 – 4x = 0.
Lời giải:
a) 3 1
x x 0
4
2 1
x x 0
4
2
2 1
x x 0
2 (biểu thức bên trong ngoặc vuông có dạng hằng đẳng thức số (3)).
1 1
x x x 0
2 2
x 0 x 1 0
2 x 1 0
2
x 0 x 1
2 x 1
2
Vậy x 1 1; ;0 2 2 .
b) Ta có: (2x – 1)2 – (x + 3)2 =0 (xuất hiện HĐT (3))
⇔ [(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = 0
⇔ (2x – 1 – x – 3).(2x – 1 + x + 3) = 0
⇔ (x – 4)(3x + 2) = 0
x 4 0
3x 2 0
x 4 x 2
3 Vậy x 4; 2
3 . c) x2(x – 3) + 12 – 4x
⇔ x2(x – 3) – 4.(x – 3) = 0 (Có nhân tử chung là x – 3)
⇔ (x2 – 4)(x – 3) = 0
⇔ (x2 – 22).(x – 3) = 0 (biểu thức trong ngoặc đầu tiên xuất hiện HĐT (3))
⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0
x 2
x 2
x 3
Vậy x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3.
Bài 56 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của đa thức:
a) x2 1x 1
2 16 tại x = 49,75.
b) x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.
Lời giải:
a) Ta có: x2 1x 1 2 16
2
2 1 1
x 2.x
4 4
1 2
x .
4
Thay 3
x 49,75 49
4 vào biểu thức trên, ta được:
2 2
2 2
3 1 3 1
49 49 49 1 50 2500.
4 4 4 4
Vậy giá trị của biểu thức là 2 500 tại x = 49,75.
b) Ta có: x2 – y2 – 2y – 1 (Thấy có y2 ; 2y ; 1 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))
= x2 – (y2 + 2y + 1)
= x2 – (y + 1)2 (Xuất hiện HĐT (3))
= (x – y – 1)(x + y + 1)
Thay x = 93, y = 6 vào biểu thức trên, ta được: (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600.
Vậy với x = 93, y = 6 thì giá trị biểu thức là 8 600.
Bài 57 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 4x + 3;
b) x2 + 5x + 4;
c) x2 – x – 6;
d) x4 + 4.
(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x2 vào đa thức đã cho) Lời giải:
a) Cách 1: x2 – 4x + 3
= x2 – x – 3x + 3 (Tách –4x = –x – 3x)
= x(x – 1) – 3(x – 1)
(Có x – 1 là nhân tử chung)
= (x – 1)(x – 3) Cách 2: x2 – 4x + 3
= x2 – 2.x.2 + 22 + 3 – 22 (Thêm bớt 22 để có HĐT (2))
= (x – 2)2 – 1
(Xuất hiện HĐT (3))
= (x – 2 – 1)(x – 2 + 1)
= (x – 3)(x – 1)
b) Cách 1: x2 + 5x + 4
= x2 + x + 4x + 4 (Tách 5x = x + 4x)
= x(x + 1) + 4(x + 1)
(có x + 1 là nhân tử chung)
= (x + 1)(x + 4) Cách 2: x2 5x 4
2
2 5 5 25
x 2.x. 4
2 2 4
5 2 9
x 2 4
2 2
5 3
x 2 2
5 3 5 3
x x
2 2 2 2
x 1 x 4 . c) Cách 1: x2 – x – 6
= x2 + 2x – 3x – 6 (Tách –x = 2x – 3x)
= x(x + 2) – 3(x + 2) (có x + 2 là nhân tử chung)
= (x – 3)(x + 2) Cách 2: x2 – x – 6
2
2 1 1 1
x 2.x. 6
2 2 4
1 2 25
x 2 4
2 2
1 5
x 2 2
1 5 1 5
x x
2 2 2 2
x 3 x 2
d) x4 + 4
= (x2)2 + 22
= x4 + 2.x2.2 + 4 – 4x2 (Thêm bớt 2.x2.2 để có HĐT (1))
= (x2 + 2)2 – (2x)2 (Xuất hiện HĐT (3))
= (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x)
Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Lời giải:
A = n3 – n (có nhân tử chung n)
= n(n2 – 1) (Xuất hiện HĐT (3))
= n(n – 1)(n + 1)
+) Nếu n chẵn n n 1 n 1 2
Nếu n lẻ thì n + 1 là số chẵn n n 1 n 1 2 Do đó A chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n (1).
+) Nếu n chia hết cho 3 n n 1 n 1 3.
Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1 k n – 1 = 3k k chia hết cho 3 n n 1 n 1 3
Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 k n – 2 = 3k k chia hết cho 3 n n 1 n 1 3
Do đó A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n (2).
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.
Vậy A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.