Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 2 x

(1)

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức:

 

2 2 2

2 3 3

x 1 1 2x 4x 1 x x

P :

x 1 x 1 x x

3x x 1

     

   

      

 

a. Rút gọn P.

b. Tìm các giá trị của x để P³ P.

c. Cho x > 0 và x ≠ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Bài 2 (3,0 điểm).

a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ^{x x}



^^{2 x}

  2 2x21

b. Xác định số hữu tỷ a, b để đa thức 2x³x²axb chia hết cho đa thức x² 1 Bài 3 (4,0 điểm).

a. Xác định m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên:

3 3

2 2

x m

mx m

x mx m

  

  b. Giải phương trình: 1₂ ₂ 1 ₂ 1

5x  x 9x 36  x 4x 16

   

Bài 4 (3,0 điểm).

a. Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn:



^x^^y



³^^(y^^z)²^^{2015 z}^^x ^²⁰¹⁷

b. Cho x, y, z thỏa mãn: x² y²  z – xy – 3x – 2z ²  4  0. Tính Q8^x y²⁰¹⁶z²⁰¹⁷ Bài 5 (5,0 điểm).

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. Góc xMy 60⁰ quay quanh đỉnh M sao cho hai tia Mx, My luôn cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.

Chứng minh:

a. ∆BDM∽∆CME và BD.CE không đổi.

b. DM là phân giác của BDE .  c. BD.MECE.MD a.DE.

d. Chu vi tam giác ADE không đổi khi xMy quay quanh M.  Bài 6 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực khác 1 thỏa mãn xyz = 1.

Chứng minh:

     

2 2 2

x y z

x 1  y 1  z 1 1

  

---HẾT---

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: …………..……

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2016-2017

Bài Nội dung Điểm

1

Cho biểu thức:

 

2 2 2

2 3 3

x 1 1 2x 4x 1 x x

P :

x 1 x 1 x x

3x x 1

     

   

      

 

a. Rút gọn P

b. Tìm các giá trị của x để P³ P

c. Cho x > 0 và x ≠ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

a)

 

   

 

2 2

2 2 2

x 1 1 2x 4x 1 x x 1

P :

x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1

     

   

        

 

0,25

   

3 2 2

2 2

x 1 1 2x 4x x x 1 x 1

P :

x 1

x 1 x x 1

       

     0,25

   

3 2 2 2

2 2

x 3x 3x 1 1 2x 4x+x x 1 x 1

P :

x 1

x 1 x x 1

        

     0,25

3 2

3

x 1 x 1

P .

x 1 x 1

 

   0,25

x2 1

P x 1

 

 0,25

Vậy

x2 1

P x 1

 

 0,25

b) ĐK: x 1; x 0; x 1 0,25

  

3

P 0

P P P P 1 P 1 0 P 1

P 1

 

       



  



0,25

+)

2

2 2

x 1

P 0 0 x 1 0 x 1

x 1

         

 (vô lý)

0,25

+)

2

2 2

x 1

P 1 1 x 1 x 1 x x 0

x 1

          



 

^x ⁰

x x 1 0

x 1

 

     

(không thỏa mãn đk)

0,25

+)

2

2 2

x 1

P 1 1 x 1 x 1 x x 2 0

x 1

              



2 2

1 7 1 7

x 0 x

2 4 2 4

   

         

    (vô lý)

0,25

Vậy không tìm được giá trị của x thỏa mãn đề bài 0,25 c) ĐK: x0; x1

2 2

x 1 x 1 2 2 2

P x 1 x 1 2

x 1 x 1 x 1 x 1

  

        

   

0,25

(3)

Vì x > 0 suy ra x + 1 > 0, áp dụng BĐT Cô-si ta có:



^{x 1}



² ²



^{x 1}



² ^{2 2}

x 1 x 1

    

  , suy ra P2 22

0,25 Dấu “=” xảy ra khi:



^{x 1}^



² ^²^ ^x^{ } ^{2 1}^ , đối chiếu điều kiện ta

được x 2 1

0,25

Vậy min P2 22 tại x 2 1 0,25

2

a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ^{x x}



^^{2 x}

  22x21

b. Xác định số hữu tỷ a, b để đa thức 2x³x² axb chia hết cho đa thức x² 1

a)

   

  

2

2 2

x x 2 x 2x 2 1

x 2x x 2x 2 1

   

    

0,25



^x² ^2x



² ^{2 x}



² ^2x



¹

     0,25



^x² ^{2x 1}



²

   0,5



^{x 1}



⁴

  0,25

Vậy ^{x x}



^^{2 x}

  2 2x2 1 x 1 4 0,25

b) Thực hiện phép chia được thương là 2x-1 và dư là (a+2)x+b-1 0,75 Để phép chia hết thì: a 2 0 a 2

b 1 0 b 1

   

 

  

   



0,5

Vậy a = -2; b = 1 0,25

3

a. Xác định m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên:

3 3

2 2

x m

mx m

x mx m

  

 

b. Giải phương trình: 1₂ ₂ 1 ₂ 1 5x x 9x 36  x 4x 16

   

a) TH1: m = 0 khẳng định phương trình vô nghiệm 0,25 TH2: m ≠ 0 suy ra:

2

2 2 1 3 2

x mx m x m m 0, x

2 4

 

       

  0,25

PT ^^x^^m^^mx^^m^



^{m 1 x}^



^{ }^{2m (*)} 0,25

+) m = 1 phương trình (*) vô nghiệm 0,25

+) m ≠ 1 phương trình (*) có nghiệm duy nhất: 2m

x m 1

 

 0,25

(4)

2m 2

x 2

m 1 m 1

    

 

x nguyên ² ^{m 1}

 

²

 m 1   

  ¦ (vì mm 1 )

 

m 1 2; 1;1;2

     0,25

m 1   2 m 1 (thỏa mãn điều kiện m;m1; m0)

m 1   1 m0 (không thỏa mãn điều kiện m0) 0,25 m 1 1  m2 (thỏa mãn điều kiện m;m1; m0)

m 1 2 m3 (thỏa mãn điều kiện m;m1; m0) 0,25

Vậy ^m^{ }



^{1; 2;3}



0,25

b) Điều kiện x≠0 0,25

Đặt a = x²; b = x – 4 (với a > 0) Phương trình đã cho trở thành

1 1 1

5a a 9b  a 4b

  0,25



^a ^{4b a}



^9b



^{5a a}



^4b



^{5a a}



^9b



       0,25

2 2

a 12ab 36b 0

    0,25



^a ^6b



² ⁰

a 6b 0

  

0,25 hay x²6x240 x  3 33 (thỏa mãn) 0,25

Vậy x   3 33 0,25

4

a. Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn:



^x^^y



³^^(y^^z)² ^^{2015 z}^^x ^²⁰¹⁷

b. Cho x, y, z thỏa mãn: x²  y² z – xy – 3x – 2z ²  4  0. Tính

x 2016 2017

Q8 y z

a) Chứng minh:



^x^^y



³ ^



^x^^y



chia hết cho 2 0,25



^y^^z



² ^



^y^^z



chia hết cho 2 0,25 ^z^^x ^



^z^^x



chia hết cho 2 0,25

   

         

3 2

x y y z 2015 x z

x y x y y z y z z x z x 2014 z x

     

            

Chia hết cho 2

0,25 Mà 2017 không chia hết cho 2 nên không tồn tại các số x; y; z thỏa mãn

đề bài 0,25

Vậy không tìm được các số nguyên x; y; z thỏa mãn đề bài 0,25

 

2 2 2

2

2 2 2

x y z xy 3x 2z 4 0

x 3

xy y z 2z 1 x 3x 3 0

4 4

      

   

         

 

0,5

(5)

x

y

K I

H

E D

B M

A

C

   

2

2 2

x 3

y z 1 x 2 0

2 4

 

       

  0,25

Tìm được x = 2; y = 1; z = 1 0,25

Thay vào ta được Q8²1²⁰¹⁶1²⁰¹⁷ 66 0,25

Vậy Q = 66 0,25

5

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. Góc

 ⁰

xMy60 quay quanh đỉnh M sao cho hai tia Mx, My luôn cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.

Chứng minh:

a. ∆BDM∽∆CME và tích BD.CE không đổi.

b. DM là phân giác của BDE .  c. BD.MECE.MDa.DE.

d. Chu vi tam giác ADE không đổi khi xMy quay quanh M. 

a) Ta có: DMC 60⁰CME 60⁰BDM BDM CME 0,5 Suy ra: BMD ∽CEM(g.g) vì: DBM MCE 60⁰

BDM CME (cmt) 0,5

Suy ra: BD CM ²

BD.CE BM.CM a

BM  CE    (không đổi). 0,5

b) Vì BMD ∽CEMnên BD CM

MD EM hay BD BM MD ME

0,25

Lại có DBM DME 60⁰ 0,25

Suy ra BMD ∽MED(c.g.c) 0,25

 

BDM EDM

  suy ra DM là phân giác của BDE .  0,25

c) Vì BMD ∽MEDnên BD BM

BD.ME a.DM

DM  ME   (1) 0,5

(6)

Chứng minh tương tự: CEM ∽MED rồi suy ra CE.MDa.ME (2) 0,5 Cộng vế với vế của (1) và (2) sau đó áp dụng BĐT tam giác ta có:

BD.MECE.MDa.DMa.MEa(DMME)a.DE (đpcm) 0,5 d) Kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với AB, DE, AC tại H, I, K

Chứng minh: ∆MBH = MCK (ch-gn) MH = MK;

∆MHD = ∆MID (ch-gn) MH = MI; DI=DH 0,25 Suy ra DI=DH, EI=EK. Suy ra Chu vi tam giác ADE bằng 2AH. 0,25 Vì HBM 60⁰ và BM=a nên BH=a

2

AH 3a

  2 . 0,25

Suy ra chu vi tam giác ADE không đổi và bằng 3a. 0,25

6

Cho x, y, z là các số thực khác 1 thỏa mãn xyz = 1.

Chứng minh:

     

2 2 2

x y z

x 1  y 1  z 1 1

  

Đặt x y z

a ; b ; c

x 1 y 1 z 1

  

  

Ta có :



a 1 b 1 c 1











x y z

1 1 1

x 1 y 1 z 1

 

   

      

  

   

   

1

x 1 y 1 z 1

   

   

xyz abc

x 1 y 1 z 1

 

   (vì xyz = 1)

0,25

Ta có



a 1 b 1 c 1











abc

Suy ra: ^



^ab^^{bc ca}^

 

^ ^a^{ }^b ^c



^{ }¹ ⁰^^ab^^{bc ca}^ ^



^a^{ }^b ^c



^¹ ^0,25

Do đó :

 

²

 

2 2 2

a b c  a b c 2 abbcca



^a ^b ^c



² ^{2 a}



^b ^c



²



^a ^b ^{c 1}



² ^{1 1}

             (đpcm)

0,25

Hay

     

2 2 2

x y z

x 1  y 1  z 1 1

   (đpcm) 0,25

Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.