48 2 Bài 2 (4,0 điểm)

(1)

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn: Toán 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (5,0 điểm).

a) Tính hợp lý: A 1, 25.⁷ ^{5 15}. 1 .^{1 3} 19 4 19 4 19

  

b) Tìm số tự nhiên x, biết: ^x ^{x 1} ^{x 2} ¹⁸

18

5 .5 .5^ ^ 1 000...0 : 2

ch÷ sè 0

c) So sánh P và Q, biết: P ²⁰¹⁹ ²⁰²⁰ ²⁰²¹ 2020 2021 2022

   và 2019 2020 2021

Q 2020 2021 2022

 

  

d) Tính tổng: S 1 ²2²3²... 48 ²

Bài 2 (4,0 điểm).

a) Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng 34x5y mà chia hết cho 36.

b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3, cho 5, cho 7 được các số dư theo thứ tự 2, 3, 4.

Bài 3 (4,0 điểm).

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số ^{18n 3}

21n 7



 có thể rút gọn được.

b) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.

Bài 4 (6,0 điểm). Cho xOy^60^o. Vẽ tia Oz và tìm số đo góc yOz^ theo mỗi trường hợp sau:

a) xOy^ và ^yOz là hai góc phụ nhau.

b) xOy^ và xOz^ là hai góc kề bù.

c) Tia đối của tia Oz là tia phân giác của góc xOy^. d) Hai góc xOy^, xOz^ không kề nhau và xOz^75^o. Bài 5 (1,0 điểm).

Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn: a³+3a²+5 = 5^b và a + 3 = 5^c ---HẾT---

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: ……

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 – NĂM HỌC 2019-2020

Câu Nội dung Điểm

Bài 1 (5,0đ)

a) Tính hợp lý: A 1, 25. ⁷ ^{5 15}. 1 .^{1 3} 19 4 19 4 19

  

b) Tìm số tự nhiên x, biết: ^x ^{x 1} ^{x 2} ¹⁸

18

5 .5 .5^ ^ 1 000...0 : 2

ch÷ sè 0

c) So sánh P và Q, biết:

2019 2020 2021

P 2020 20212022 và 2019 2020 2021 Q 2020 2021 2022

 

  

d) Tính tổng: S 1 ²2²3²... 48 ²

1a (1,0đ)

7 5 15 1 3 A 1, 25. . 1 .

19 4 19 4 19

   0,25

5 7 5 15 5 3

A . . .

4 19 4 19 4 19

   0,25

5 7 15 3

A .

4 19 19 19

 

    

  0,25

5 5

A .1

4 4

 

Vậy A ⁵

4

0,25

1b (1,0đ)

Ta có: ^x ^{x 1} ^{x 2} ¹⁸

18

5 .5 .5^ ^ 1 000...0 : 2

ch÷ sè 0

x x 1 x 2 18 18

5 ^{   } 10 : 2

 

0,25

3x 3 18

5 ^ 5

  0,25

3x 3 18 3x 15 x 5

  

 

Vậy x = 5

0,5

1c (1,5đ)

2019 2020 2021 Q 2020 2021 2022

2019 2020 2021

2020 2021 2022 2020 2021 2022 2020 2021 2022

 

  

     

0,25

Ta có: ²⁰¹⁹ ²⁰¹⁹

2020 2021 20222020

 

²⁰²⁰  ²⁰²⁰

0,25 0,25

(3)

²⁰²¹ ²⁰²¹

2020 2021 2022 2022

  0,25

Suy ra:

2019 2020 2021

Q 2020 2021 2022 2020 2021 2022 2020 2021 2022

2019 2020 2021 2020 2021 2022 P

  

     

   

0,25

Vậy P > Q 0,25

1d (1,5đ)

       

   

2 2 2 2

C 1 2 3 ... 48 C 1.1 2.2 3.3 .... 48.48

C 1. 2 1 2. 3 1 3. 4 1 ... 48. 49 1 C 1.2 1 2.3 2 3.4 3 ... 48.49 48 C 1.2 2.3 3.4 ... 48.49 1 2 3 ... 48

    

        

         

Đặt D1.2 2.3 3.4 ... 48.49    ; E   1 2 3 ... 48

0,25

D1.2 2.3 3.4 ... 48.49   

       

3.D 1.2.3 2.3.3 3.4.3 4.5.3 ... 48.49.3

3.D 1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 4.5. 6 3 ... 48.49. 50 47

3.D 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 4.5.6 3.4.5 ... 48.49.50 47.48.49 3.D 48.49.50

D 39200

     

         



0,5

48.49

E 1 2 3 ... 48 ... 1176

       2  0,5

CD E 39200 1176 38024

Vậy C38024

0,25

Bài 2 (4,0đ)

a) Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng 34x5y mà chia hết cho 36.

b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3, cho 5, cho 7 được các số dư theo thứ tự 2, 3, 4.

2a (2,0đ)

Ta có 36 = 9.4 và (4; 9) = 1

Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9 0,25

34x5y 9     3 4 x 5 y 9 12 x y 9 (1) 0,5

34x5y 4 5y 4 y2 hoặc y = 6 0,5

Với y = 2 thay vào (1) 14x 9 x4 0,25

Với y = 6 thay vào (1) 18 x 9  x0 hoặc x = 9 0,25

Vậy các số cần tìm là: 34452; 34056; 34956 0,25

(4)

2b (2,0đ)

 

a3m2 m  2a6m4 chia cho 3 dư 1 0,25

 

a5n 3 n  2a10n6 chia cho 5 dư 1 0,25

 

a7p 4 p  2a14p 8 chia cho 7 dư 1 0,25 Do đó 2a 1 BC 3;5; 7 

 

Để a nhỏ nhất thì 2a – 1 là BCNN(3; 5; 7)

0,25 0,25 BCNN(3; 5; 7) = 105

2a 1 105  2a106a53

0,25 0,25

Vậy a = 53 0,25

Bài 3 (4,0đ)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số ^{18n 3}

21n 7



 có thể rút gọn được.

b) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.

3a (2,0đ)

n là số tự nhiên  21n + 7 ≠ 0

Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d Khi đó 18n3 d và 21n7 d

0,25

   

6 21n 7 7 18n 3 d

    

21 d d

   Ư(21) ^



^{3; 7}



vì d nguyên tố

0,25 0,25 + Nếu d = 3 thì không xảy ra vì 21n7 không chia hết cho 3 0,25

+ Nếu d = 7 khi đó, để phân số rút gọn được thì:

18n3 7 (vì 21n7 7 ) 18n 3 21 7

   

 

18 n 1 7

   mà (18, 7) =1 n 1 7 n 7k 1 (k )

      

0,25 0,25 0,25 Vậy để phân số ^{18n 3}

21n 7



 có thể rút gọn được thì n7k 1 (k) 0,25

3b (2,0đ)

Gọi 3 số nguyên tố đó là a, b, c 0,25

Ta có: ^{ab c}^^{5 a}



^{ }^{b c}



^^{abc 5}^ ^0,25

Vì a, b, c nguyên tố  Một trong a, b, c bằng 5 0,25

Giả sử a = 5, khi đó ta có: ^bc^^{b c 5}^{  }



^{b 1 c 1}^



^



^⁶ ^0,5

Vai trò như nhau và b -1, c- 1 dương, nên ta có các trường hợp:

b 1 1 b 2 c 1 6 c 7

    

 

   



hoặc ^{b 1} ² ^b ³ c 1 3 c 4

    

 

   



(loại)

0,5

(5)

Bài 4 (5,0đ)

Cho xOy^60^o. Vẽ tia Oz và tìm số đo góc yOz^ theo mỗi trường hợp sau:

a) ^xOy và yOz^ là hai góc phụ nhau.

b) ^xOy và xOz^ là hai góc kề bù.

c) Tia đối của tia Oz là tia phân giác của góc xOy^. d) Hai góc xOy^, ^xOz không kề nhau và xOz^ 75^o.

4a (1,5đ)

xOy và ^yOz là hai góc phụ nhau

  ô  ô  ô ô ô xOy yOz 90 yOz 90 xOy 90 60 30

        

Vậy ^yOz30^o

x z y

x y

z

30ô 60ô 30ô

60^o

O O

0,5

0,5 0,5

4b (1,5đ)

x y

z

60^o

O

(0,5đ)

xOy và xOz^ là hai góc kề bù.

  ^o xOy xOz 180

  

và ^{ }xOyxOzyOz^

 ^yOz180⁰ Vậy ^yOz180^o

0,5 0,5

4c

(1,5đ) ^x

y

z'

z

60^o

O

(0,5đ)

Oz’ là tia phân giác của xOy^

 yOz '^ ^xOy^ 30^o

 2 

Oz’ là tia đối của tia Oz

  ^o yOz ' yOz 180

  

 ô ô ô yOz 180 30 150

   

Vậy yOz^150^o

0,5

(6)

4d

(1,5đ) ^x

y z

75^o 60^o

O

xOy, xOz^ không kề nhau và ^xOyxOz^ (vì 60^o 75^o) Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

^{ }xOyyOz^xOz^yOzxOz^{ }xOy75ô 60⁰ 15ô Vậy ^yOz 15 ô

0,5

0,5 0,5 Bài 5

(1,0đ) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn a³+3a²+5 = 5^b và a + 3 = 5^c Do a  Z ⁺  5^b = a³ + 3a² + 5 = a² (a+3) + 5 > a + 3 = 5^c (vì a² ≥1)

 5^b > 5^c  b > c

 5^b  5^c

 (a³ + 3a² + 5)  ( a+3)

 a² (a+3) + 5  a + 3

Ta có a² (a+3)  a + 3  5  a + 3

 a + 3  Ư (5)

 a+ 3  {  1 ;  5 } (1) Do a  Z⁺  a + 3  4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a + 3 = 5  a = 5 – 3 =2

0,25

0,25 Với a = 2 ta có:

2³ + 3.2² + 5 = 5^b  25 = 5^b  5² = 5^b  b = 2 2 + 3 = 5^c  5 = 5^c  c = 1

Vậy a = 2; b = 2; c = 1

0,25 0,25 Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.