50 bài tập về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (có đáp án 2022) – Toán 8

(1)

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

I. Lý thuyết

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C) II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

b, Ví dụ minh họa:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, x - 3x ²

= x.x – 3x

= x.(x – 3) b, 3x – 6y

= 3x – 2.3.y

= 3.(x – 2y)

c, x(y x)² xy(x y)

= x(x y)² xy(x y)

= x.(x – y)(x – y) + xy(x – y)

= x.(x – y).[(x – y) + y]

= x (x – y) ²

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

b. Ví dụ minh họa VD1: Tính nhanh:

a, 75.20,9 + 5².20,9

(2)

= 20,9.(75 + 5²)

= 20,9.100

= 2090

b, 98,6.199 – 990.9,86

= 98,6.199 – 99.10.9,86

= 98,6.199 – 98,6.99

= 98,6.(199 – 99)

= 98,6.100

= 9860

VD2: Tính giá trị biểu thức:

a, A = a(b + 3) – b(3 + b) tại a = 2, b = 3 A = a(b + 3) – b(b + 3)

= (b + 3)(a – b)

Thay a = 2, b = 3 vào biểu thức A ta được:

A = (3 + 3)(2 – 3) = - 6

b, B = b - 8b – c(8 – b) tại b = 1, c = 2 ² Ta có:

B = b² - 8b – c(8 – b)

= -b(8 – b) – c(8 – b)

= (8 – b)(- b – c)

Thay b = 1, c = 2 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 – 1)(- 1 – 2)

= -21

VD3: Tìm x, biết:

a, 8x(x – 2017) – 2x + 4034 = 0 8x(x 2017) 2(x 2017) 0 (x 2017)(8x 2) 0

x 2017 0 8x 2 0

x 2017 x 1

4

(3)

Vậy x = 2017 , x = 1 4 b, 4 – x = 2(x – 4)²

2(x 4)2 x 4 0 (x – 4)[2(x – 4) + 1] = 0 (x – 4)(2x – 8 + 1) = 0 (x – 4)(2x – 7) = 0

x 4 0 2x 7 0

x 4

x 7 2 Vậy = 4, x = 7

2

3. Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

b. Ví dụ minh họa:

Chứng minh:

a, 25^{n 1} 25ⁿ chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n 0 Ta có:

n 1 n

25 25

= 25ⁿ(25 – 1)

= 24.25ⁿ

Ta lại có: 24 = 4.6 25ⁿ = 25.25^{n 1}

n 1 n n 1

25 25 4.6.25.25

= 100.6.25^{n 1} 100 với mọi n ^*

Vậy 25^{n 1} 25 chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n ⁿ 0 b, n (n² 1) 2n(n 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Ta có:

(4)

n (n2 1) 2n(n 1)

= (n – 1)(n² 2n )

= (n – 1).n.(n – 2)

= (n – 2).(n – 1).n

Ta có: n – 2, n – 1, n là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng sẽ chia hết 6 n (n2 1) 2n(n 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

c, 50^{n 2} 50^{n 1} chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n.

Ta có:

n 2 n 1

50 50

= 50 (50ⁿ ² 50)

= 50ⁿ(2500 – 50)

= 2450.50ⁿ

= 245.10.50 245 với mọi STN n ⁿ

Vậy 50^{n 2} 50^{n 1} chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n.

B. Phân tích đa thức nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức I. Lý thuyết:

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn

1. ình phương của một tổng A² 2AB B² A B ² 2. ình phương của một hi u A² 2AB B² A B ² 3. i u của hai ình phương A² B² A B A B .

4. ập phương của một tổng A³ 3A B² 3AB² B³ A B ³ 5. ập phương của một hi u A³ 3A B² 3AB² B³ A B ³ 6. ổng của hai lập phương A³ B³ A B A² AB B² . 7. i u của hai lập phương A³ B³ A B A² AB B² .

II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

(5)

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 4x² 4x 1 = (4x² 4x 1)

= - [(2x)²-2.2x.1 +1]

= - (2x – 1)²

= - (2x – 1)(2x – 1)

= (2x – 1)(1 – 2x) b, 8x³ 12x² 6x 1

= (2x)³ - 3.(2x)².1 + 3.2x.1³ - 1³

= (2x – 1)³ c, x² 5x 6

= x² - 2.5 2x +

5 2

2 - 1 4

=

5 2 1

x 2 4

=

2 2

5 1

x 2 2

= 5 1 5 1

x x

2 2 2 2

= (x – 3)(x – 2)

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan a. Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức một cách hợp lý để phân tích các biểu thức để làm một số ài toán tính nhanh, tìm x,…

VD1: Tính nhanh:

a, 85² 15² 56² 44²

= (85 – 15)(85 + 15) + (56 – 44)(56 +44)

= 70.100 + 12.100

= 7000 + 1200

= 8200

(6)

b, 103³ 9.103² 27.103 27

= 103³ 3.103 .3² 3.103.3² 3³

= (103 – 3)³

= 100³

= 1000000 VD2: Tìm x:

a, (x 5)² (3 2x) ²

2 2

(x 5) (3 2x) 0

(x – 5 + 3 + 2x)(x – 5 – 3 – 2x) = 0 (3x – 2)(- x – 8) = 0

3x 2 0 x 8 0

x 2 3

x 8

Vậy x = 2

3, x = -8

b, 27x³ 54x² 36x 9

3 2

27x 54x 36x 9 0

3 2 2

3x 3.(3x) .2 3.3x.2 8 1 0 (3x – 2)³ - 1 = 0

(3x – 2)³ = 1 3x – 2 = 1 x 1 Vậy x = 1

3. Dạng 3: Chứng minh các bài toán số học:

Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k. Từ đó cần phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hi n số chia.

Chứng minh:

(7)

a, 3n 1² 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n Ta có:

3n 12 4 = 3n 1² 2 ²

= (3n – 1 – 2)(3n – 1 + 2)

= (3n – 3)(3n + 1)

= 3.(n – 1)(3n +1) 3 với mọi STN n

b, 100 - 7n 3 chia hết cho 7 với mọi STN n ² Ta có:

100 - 7n 3 = ² 10² 7n 3 ²

= (10 – 7n - 3)(10 + 7n + 3)

= (7 – 7n)(13 + 7n)

= 7.(1 – n)(13 + 7n) 7 với mọi STN n

C. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

I. Lý thuyết

- Khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hi n dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hi n nhân tử chung của các nhóm.

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Nhóm các hạng tử một cách hợp lí để xuất hi n nhân tử chung hoặc xuất hi n các hằng đẳng thức

a, a⁴ 9a³ a² 9a

= a (a³ 9) a(a 9)

= (a – 9)(a³ a)

= a.(a – 9)(a² 1)

b, 3x² 5y 3xy ( 5x)

= (3x² 3xy) (5y 5x)

= 3x(x – y) – 5( x – y)

(8)

= (x – y)(3x - 5) c, x² (a b)x ab

= x² ax bx ab

= (x² ax) (ab bx)

= x(a – x) + b(a – x)

= (a – x)(x + b)

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan:

Nhóm các hạng tử một cách hợp lí để xuất hi n nhân tử chung hoặc xuất hi n các hằng đẳng thức sau đó áp dụng để tính nhanh, tính giá trị biểu thức hoặc tìm x,….

VD1: Tính nhanh:

a. 15.64 + 25.100 + 36.15 + 60.100

= (15.64 + 36.15) + (25.100 + 60.100)

= 15.(64 + 36) + 100.(25 + 60)

= 15.100 + 100.85

= 100.(85 + 15)

= 100.100

= 10000

b, 47² 48² 25 94.48

= 47² 48² 2.47.48 25

= (47 + 48)² - 25

= 95² - 5²

= (95 – 5)(95 + 5)

= 90.100

= 9000

VD2: Tìm x:

a, x (x² 5) 5 x 0 x (x2 5) (x 5) 0 (x2 1)(x 5) 0

(x – 1)(x + 1)(x – 5) = 0

(9)

x 1 0

x 5 0

x 1

x 5

Vậy x = 1, x = -1, x = 5

b, (x 3)(x² 3x 5) x² 3x

2 2

(x 3)(x 3x 5) (x 3x) 0 (x 3)(x2 3x 5) x(x 3) 0 (x 3)(x2 3x 5 x) 0

(x 3)(x2 4x 5) 0

2 2

x 3 x 2.2x 2 1 0

x 3 [(x 2)2 1] 0

2

x 3 0

(x 2) 1 0

2

x 3

(x 2) 1 1

Vậy x = - 3

3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng ax2 bx c

Tách hạng tử c thành tổng c₁ c₂ sao cho ax² bx c tạo thành ình phương của ₁ một tổng hoặc ình phương của một hi u rồi đánh giá.

VD1: Tìm GTNN của biểu thức:

a, A =x² 2x 5 Ta có:

A =x² 2x 5

= x² 2x 1 4

= (x² 2x 1) 4

(10)

= x 1 ² 4 Ta có:

x 1 2 0 với mọi x

x 1 2 4 4 với mọi x

Amin 4 khi x +1 = 0 x = -1 b, B = x² 5x 8

Ta có:

B = x² 5x 8

= x² - 2.5

2x + 25 4 + 7

4

= x² - 2.5 2x +

5 2

2 + 7 4

=

5 2 7

x 2 4

Ta có:

5 2

x 0

2 với mọi x

5 2 7 7

x 2 4 4 với mọi x

min

B 7

4 khi 5

x 2 = 0 5

x 2

D. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

I. Lý thuyết:

- Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ ản đã học trong các bài trước:

+ Phương pháp nhân tử chung + Phương pháp hằng đẳng thức + Phương pháp nhóm hạng tử

- Trong một số bài toán thì chúng ta cần kết hợp linh hoạt cả a phương pháp cơ ản trên để phân tích đa thức thành nhân tử

- Ngoài ra, để phân tích đa thức thành nhân tử người ta còn sử dụng một số phương pháp khác như

(11)

+ Phương pháp tách hạng tử

+ Phương pháp thêm, ớt cùng một hạng tử + Phương pháp đặt biến phụ

+ Phương pháp h số bất định.

…

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp các phương pháp cơ bản

Sử dụng phối hợp nhiều phương pháp cơ ản để phân tích đa thức thành nhân tử:

+ Phương pháp nhân tử chung + Phương pháp hằng đẳng thức + Phương pháp nhóm hạng tử b. Ví dụ minh họa:

a, 3x 3y x² y ²

= 3.(x – y) + (x² y ) ²

= 3.(x – y) + (x – y)(x + y)

= (x – y)(3 + x + y) b, x³ 3x² 3x 1 y³

= (x³ 3x² 3x 1) y³

= (x 1)³ y ³

= (x – 1 – y) x 1 ² (x 1)y y²

= (x – y – 1)(x² 2x 1 xy y y ) ² c, x³ x² x 1

= x (x² 1) (x 1)

= (x + 1)(x² 1)

= (x + 1)(x – 1)(x + 1)

= (x + 1)²(x – 1)

2. Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử a. Phương pháp giải:

(12)

Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích.

Chú ý Đối với các đa thức có dạng ax² bx c(a 0) ta thường sử dụng cách tách sau để phân tích đa thức thành nhân tử:

+ Cách 1: Tách bx b x₁ b x₂ sao cho b b₁ ₂ ac

+ Cách 2: Tách c = c₁ c₂sao cho ax² bx c₁ (... ...) ² b. Ví dụ minh họa:

a. x² 5x 6

= x² 2x 3x 6

= (x² 2x) (3x 6)

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3) b, 3x² 9x 30

= 3x² 15x 6x 30

= (3x² 15x) (6x 30)

= 3x(x + 5) – 6(x + 5)

= (x + 5)(3x – 6)

= 3.(x + 5)(x – 2) c, 2x² 5x 2

= 2x² 4x x 2

= 2x(x + 2) + (x + 2)

= (x + 2)(2x + 1)

3. Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ a. Phương pháp giải:

Đặt các hạng tử giống nhau thành biến mới để đưa các đa thức đã cho ở đề bài về một đa thức mới với biến vừa đặt sau đó sử dụng các phương pháp phân tích đã học ở trên để phân tích đa thức thành nhân tử.

a, x⁴ 3x² 4

Đặt x² t , ta dược:

(13)

t2 3t 4 = t² 4t t 4

= (t² 4t) (t 4)

= t.(t + 4) – (t + 4)

= (t + 4)(t – 1)

Thay x² t vào ta được:

4 2

x 3x 4 = (x² 4)(x² 1)

= (x² 4)(x 1)(x 1)

b, (x 1)⁴ 2(x² 2x 1)² 1

= (x 1)⁴ 2[(x 1) ]^{2 2} 1 Đặt t = (x 1) , ta được: ²

2 2

t 2t 1

= 1 t ²

= (1 – t)(1 + t)

Thay t = (x 1) ta có: ²

4 2 2

(x 1) 2(x 2x 1) 1

= [1 (x 1) ][1² (x 1) ] ²

= (1 x² 2x 1)(1 x² 2x 1)

= ( x² 2x)(x² 2x 2)

= x(2 – x)(x² 2x 2)

c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 Ta có:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

= [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] – 24

= (x² 5x 4)(x² 5x 6) – 24 Đặt t = x² 5x ta được:

(t + 4)(t + 6) – 24

= t² 10t 24 24

= t² 10t

= t(t + 10)

(14)

Thay t = x² 5x, ta có:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

= (x² 5x)(x² 5x+10) E. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, 4x² 6x

b, 9x y⁴ ³ 3x y ² ⁴ c, 3(x - y) - 5x(y - x)

d, 5(x + 3y) – 15x(x + 3y) ĐS

a, 2x(2x – 3) b, 3x y (3x² ³ ² y) c, (x – y)(3 + 5x) d, 5(x + 3y)(1 – 3x)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a, 4 2 x ² xy 2y

b, 3a x² 3a y² abx aby

c, x x y ³ y y x ² y x² y d, 2ax³ 6ax² 6ax 18a

ĐS

a, (x – 2)(8x +y – 8) b, a(x – y)(3a + b)

c, (x – y) x x y ² xy d, 2a.(x + 3)(x² 3) Bài 3: Tính hợp í a, 86.15 150.1,4 b, 93.32 14.16

c, 8.40 2.108 24;

d, 993.98 21.331 50.99,3.

ĐS a, 1500 b, 3200 c, -80 d, 99300

Bài 4: Tính giá t ị biểu thức

a, A a b 3 b 3 b tại a 2003 và b 1997;

b, B b² 8b c 8 b tại b 108 và c 8;

(15)

c, C xy x y 2x 2y tại xy 8 và x y 7;

d, D x x⁵ 2y x y x³ 2y x y x² ² 2y tại x 10 và y 5.

ĐS

a) A a b 3 b 3 b b 3 a b .

ại a 2003 và b 1997 , ta có

A 1997 3 2003 1997 2000.6 12000.

b) B b² 8b c 8 b b b 8 c b 8 b 8 b c

ại b 108 và c 8, ta có B 108 8 108 8 100.100 10000 .

c) C xy x y 2x 2y x y xy 2

ại xy 8 và x y 7 , ta có C 7. 8 2 7.6 42.

d) D x x⁵ 2y x y x³ 2y x y x² ² 2y x x² 2y x³ xy y² ại x 10 và y 5 , ta có x 2y 10 2. 5 0 suy ra D 0 Bài 5: T m x biết

a, x(x + 2018) + 2x + 4036 = 0 b,

x x2

2 8 0;

c, x² 1 x 2 2x 4.

d, x + 5 = 2(x 5) ² ĐS

a, x = -2018, x = - 2 b, x = 0, x = -4 c, x = 2

d, x = -5, x = 9 2 Bài 6:

a) 15ⁿ 15^{n 2} chia hết cho 113 với mọi số tự nhiên n.

b) n⁴ n chia hết cho ² 4 với mọi số tự nhiên n.

ĐS

a) 15ⁿ 15^{n 2}

n 2

15 1 15

15 .226n

15 .2.113 113n với mọi số tự nhiên n.

b) n⁴ n² n n² ² 1 n n2 1 n 1

n 1 n.n n 1 4 với mọi số tự nhiên n.

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, 4x² 12x 9 b, 4x² 4x 1

(16)

c, 1 12x 36x² d, 9x² 24xy 16y ² ĐS

a, (2x – 3)² b, (2x + 1)² c, (1 + 6x)² d, (3x – 4y)²

a, (3x 1)² 16 b, (5x 4)² 49x ² c, (2x 5)² (x 9) ² d, (3x 1)² 4(x 2) ² ĐS

a) 3 3x 5 x 1 b) 8 x 2 3x 1 c) x 14 3x 4 d) x 5 5x 3

a, 8x³ 64 b, 1 8x y⁶ ³ c,

3

3 y

27x 8

d, 125x³ 27y³ ĐS

a, 8.(x – 2)(x² 2x 4)

b, (1 2x y)(1² 2x y² 4x y ) ⁴ ² c,

2

y 2 3xy y

3x 9x

2 2 4

d, (5x 3y)(25x² 15xy 9y ) ²

(17)

a, x³ 6x² 12x 8 b, x³ 3x² 3x 1 c, 1 9x 27x² 27x³

d, ³ 3 ² 3 1

x x x

2 4 8

e, 27x³ 54x y² 36xy² 8y ³ ĐS

a, x³ 6x² 12x 8 x 2 ³ b, x³ 3x² 3x 1 x 1 ³ c, 1 9x 27x² 27x³ 1 3x ³ d,

3

3 3 2 3 1 1

x x x x

2 4 8 2

e, 27x³ 54x y² 36xy² 8y³ 3x 2y ³

a, (xy 1)² (x y) ² b, (x y)³ (x y) ³

c, 3x y⁴ ² 3x y³ ² 3xy² 3y ² ĐS

a, (xy 1)² (x y) ²

(xy 1 x y)(xy 1 x y)

x y 1 y 1 x y 1 y 1

x 1 y 1 x 1 y 1 b, (x y)³ (x y) ³

2 2

(x y x y) (x y) (x y)(x y) (x y)

2 2 2 2 2 2

2y(x 2 xy y x y x 2 xy y )

2 2

2 y(3x y )

c, 3x y⁴ ² 3x y³ ² 3xy² 3y ²

2 4 3

3y (x x x 1)

(18)

2 3

3y x (x 1) (x 1)

2 3

3y (x 1)(x 1)

2 2 2

3y (x 1) (x x 1)

Bài 12: Phân tích các đa thức au thành nhân tử a, x² 2x 8;

b, x² 5x 6;

c, 4x² 12x 8;

d, 3x² 8xy 5y . ² ĐS

a, x² 2x 8 x 12 9

x 2 x 4

b, x² 5x 6

x2 4x 4 x 2.

x 2 2 x 2

x 2 x 3

c, 4x² 12x 8. 4x2 12x 9 1

2 2

2x 3 1

4 x 2 x 1 d, 3x² 8xy 5y . ²

2 2 2

3 x 2xy y 2xy 2y 3 x y 2 2y x y

x y 3x 5y Bài 13: T m x biết

a, 2x 5 ² 5 2x ² 0;

b, 27x³ 54x² 36x 8.

c, x³ 8 x 2 x 4 0 d, x⁶ 1 0

ĐS a, x 0 .

b, 2

x 3

c, x = -2 d, x 1

Bài 14: Chứng minh

(19)

a,2⁹ 1 chia hết cho 73.

b, 5⁶ 10 chia hết cho 9. ⁴

c, n 3 ² n 1 chia hết cho 8 với mọi số tự nhiên n. ² d, n 6 ² n 6 chia hết cho ² ²⁴ với mọi số tự nhiên n.

ĐS a, 2⁹ 1.

3 6 3

2 1 2 2 1

7.73 73 b, 5⁶ 10 . ⁴

2 2

3 2 2 2

5 1 1 10

3 3 2 2

5 1 5 1 1 10 1 10 124.126 99.101 9



124.126 99.101 9



 

c, n 3 ² n 1².

n 3 n 1 n 3 n 1

8. n 1 8

d, n 6 ² n 6 . ²

n 6 n 6 n 6 n 6

24n 24

Bài 15: Tính nhanh a, 85² 15 ; ²

b, 93³ 21.93² 3.49.93 343;

c, 73² 13² 10² 20.13;

d,

3 3

97 83

97.83.

180

ĐS a, 7000.

b, 1000000 c, 5320.

d, 196

a, 2x² 2xy 3x 3y b, x² y² 2xy 16 c, y² x² 2yz z ² d, 3x² 6xy 3y² 12z²

(20)

ĐS

a, x y 2x 3

b, 4 x y 4 x y c, y z x y z x d, 3 x y 2z x y 2z

a, x – 2x⁴ ³ 2x 1 b, a – a⁶ ⁴ 2a³ 2a² c, x⁴ x³ 2x² x 1 d, x⁴ 2x³ 2x² 2x 1

e, x y² xy² x z² y z ² 2xyz f, x⁵ x⁴ x³ x² x 1 ĐS

a, x – 2x⁴ ³ 2x 1

4 3

x –1 – 2x – 2x

2 2 2

x –1 x 1 – 2x x –1

2 2

x –1 x 1 – 2x

x –1 x 1 x –1 2

x 1 x –1 3

b, a – a⁶ ⁴ 2a³ 2a²

4 2

a a –1 a 1 2a a 1

2 3 2

a a 1 a – a 2

2 3 2 2

a a 1 a a – 2a 2

2 2

a a 1 a a 1 – 2 a 1 a –1

(21)

2 2 2

a a 1 a – 2a 2 c, x⁴ x³ 2x² x 1

4 2 3

x 2x 1 x x

2 2 2

x 1 x x 1

2 2

x 1 x x 1

d, x⁴ 2x³ 2x² 2x 1

4 2 3

x 2x 1 2x 2x

2 2 2

x 1 2x x 1

2 2

x 1 x 2x 1

2 2

x 1 x 1

e, x y xy yz zx f, x 1 x⁴ x² 1

Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A xy – 4y – 5x 20 , với x 14 ; y 5,5 b) x² xy – 5x – 5y ; với 1

x 5 ; 5

y 44 5

c) C xyz – xy yz zx x y z –1 , với x 9; y 10; z 11.

d) D x – x y – xy³ ² ² y với x³ 5,75 ; y 4,25 ĐS

a, A = 5 b, B = 2 c, C = 720 d, D = 22,5

Bài 19: Tính nhanh

a, 9³ 9 .² 1 9.11 1 .11.

b, 2016.2018 2017 . ²

(22)

ĐS a, 700 b, - 1

Bài 20: Tìm x biết

a, 3x⁴ 9x³ 9x² 27x;

b, x x² 8 x² 8x;

ĐS

a, x = 0, x = 3

b, x = -8, x = -1, x = 0

Bài 21: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)

a, 3x² 5x 2 b, 2x² x 6 c, 7x² 50x 7 d, 12x² 7x 12 ĐS

a, (3x + 1)(x – 2) b, (x + 2)(2x – 3) c, (x + 7)(7x + 1) d, (3x + 4)(4x – 3)

a, x² 4xy 21y ² b, 5x² 6xy y ² c, x² 2xy 15y²

d, (x y)² 4(x y) 12 ĐS

a, (x + 7y)(x - 3y) b, (x + y)(5x + y) c, (x – 3y)(x + 5y) d, (x – y – 2)(x – y + 6)

(23)

a, a⁴ a² 1 b, a⁴ a² 2 c, x⁴ 4x² 5 d, x³ 19x 30 ĐS

a) a⁴ a² 1 a⁴ 2a² 1 a²

2 2 2

a 1 a

2 2

a a 1 a a 1

b) a⁴ a² 2 a⁴ 1 a² 1

2 2

a 1 a 2

a 1 a 1 a2 2

c) x⁴ 4x² 5

4 2 2

x x 5x 5

2 2

x 1 x 5

x 1 x 1 x2 5

d)x³ 19x 30 x3 8 19x 38

x 2 x2 2x 4 19 x 2

x 2 x2 2x 15

x 2 x2 2x 1 16

x 2 x 5 x 3

Bài 24: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt cùng một hạng tử) a) x⁴ 4

b) x⁴ 64 c) x⁸ x⁷ 1 d) x⁸ x⁴ 1

(24)

ĐS a) x⁴ 4

4 2 2

x 4x 4 4x

2 2 2

x 2 4x

2 2

x 2 2x x 2 2x

b) x⁴ 64

4 2 2

x 16x 64 16x

2 2 2

x 8 16x

2 2

x 8 4x x 8 4x

c) x⁸ x⁷ 1

8 2 7 2

x x x x x x 1

2 6 4 3

x x 1 x x x x 1

d) x⁸ x⁴ 1

8 4 4

x 2x 1 x

4 2 4

x 1 x

4 2 4 2

x x 1 x x 1

4 2 4 2 2

x x 1 x 2x 1 x

4 2 2 2

x x 1 x x 1 x x 1

Bài 25: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a, (x² x)² 14(x² x) 24

b, (x² x)² 4x² 4x 12 c, x⁴ 2x³ 5x² 4x 12

d, (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1 ĐS

a, (x² x)² 14(x² x) 24

Đặt x² x t khi đó đa thức đã cho trở thành

(25)

t2 14t 24

t2 12t 2t 24

t 2 t 12

Thay x² x t ta được

2 2

x x 2 x x 12

b, (x² x)² 4x² 4x 12

2 2 2

(x x) 4(x x) 12

Đặt x² x t khi đó đa thức đã cho trở thành:

t2 4t 12

t2 6t 2t 12

t 6 t 2

Thay x² x t ta được

2 2

x x 6 x x 2

2 2

x x 6 x 1 x 1

x2 x 6 x 1 x 2

c, x⁴ 2x³ 5x² 4x 12

4 3 2 2

x 2x x 4x 4x 12

2 2 2

x x 4 x x 12

x2 x 6 x 1 x 2

(Khi đó ài toán trở về bài phần b,) d) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1

(x 1)(x 4)(x 2)(x 3) 1

2 2

x 5x 4 x 5x 6 1

Đặt x² 5x 5 t khi đó đa thức đã cho trở thành:

t 1 t 1 1 t2 1 1

(26)

2 2 2

t x 5x 5

Bài 26: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a, (x² 4x 8)² 3x(x² 4x 8) 2x ²

b, (x² x 1)(x² x 2) 12 c, (x² 8x 7)(x² 8x 15) 15 d, (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 ĐS

a) Đặt x² 4x 8 t khi đó đa thức đã cho trở thành

2 2 2 2

(x 4x 8) 3x(x 4x 8) 2x

2 2

t 3xt 2x

2 2

t xt 2xt 2x

   

   

t t x 2x t x

   

2x t t x

2 2

2x x 4x 8 x x 4x 8

2 2

x 6x 8 x 5x 8

x 2 x 4 x2 5x 8

) Đặt x² x 1 t khi đó đa thức đã cho trở thành:

t t 1 12 t2 t 12

t 4 t 3

2 2

(x x 1)(x x 2) 12

2 2

x x 5 x x 2

x2 x 5 x 1 x 2

c) (x² 8x 7)(x² 8x 15) 15

Đặt x² 8x 11 t khi đó đa thức đã cho trở thành

t 4 t 4 15

(27)

t2 16 15

t2 1 t 1 t 1

2 2

x 8x 10 x 8x 12

d) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24

2 2

x 7x 10 x 7x 12 24

Đặt x² 7x 11 t khi đó đa thức đã cho trở thành t 1 t 1 24

t2 25

t 5 t 5

2 2

x 7x 6 x 7x 16

x 1 x 6 x2 7x 16

Bài 27: Tìm x biết:

a, x –10x 16 0² b, x –11x – 26 0 ² c, 2x² 7x – 4 0 ĐS

a, x= 8, x = 2 b, x = -2, x =13 c, x = -4, x = 1

2 Bài 28: Tìm x biết:

a, x – 2 x – 3 x – 2 –1 0 b, x 2 – 2x 2x 3² x 1 ² c, 6x³ x² 2x

d, x – x⁸ ⁵ x – x 1 0² Đs

a, x = 3, x = 1

(28)

b, x = 1

2 , x = 3 2 c, x = 0, x = 2

3 , x = 1 2 d, Phương trình vô nghi m

Bài 29: Chứng minh với mọi số nguyên n thì A n⁴ 2n³ n² 2n chia hết cho 24.

ĐS

Gợi ý: A n 2 n³ n n 2 n 1 n n 1

A là tích của 4 số tự nguyên liên tiếp nên A chia hết cho 2 ,cho 3 và cho 4. Vì 2,3 1 nên A chia hết cho 6. Suy ra A chia hết cho 4.6 24

Bài 30: Tính a b ²⁰¹⁷ biết a b 9,ab 20,a b.

Gợi ý: 81 a b ² a b ² 4ab a b ² 1 a b 1 A 1

( a 4;b 5 suy ra a b ²⁰¹⁷ 1.)