UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề gồm 01 trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức : 22 2 2 2 2 3 1 1 22
2 8 8 4 2
x x x
A x x x x x x
với x0;x2.
b) Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = 2 và x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + y3. Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình : 2 4 6 2 21 4 10
x x
x x
b) Giải bất phương trình :
2
2 3
4 1 2 5
1 1 1
y
y y y y
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên dương : 3y x25x7. Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Kẻ đường cao AH.
a) Chứng minh rằng : AB22 BH AC CH .
b) Kẻ AD là tia phân giác của góc BAH (D BH ). Chứng minh rằng : DH DC BD HC. . . c) Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH. Chứng minh rằng CE // AD.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho 0 b a 4 và 2ab3a4b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a 2b2.
--- HẾT ---
--- Giám thị không giải thích gì thêm ---
UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN - LỚP 8
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)
Câu Phần Nội dung đáp án Điểm
Câu 1 a
a) Ta có A 22 2 2 2 2 3 1 1 22
2 8 8 4 2
x x x
x x x x x x
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2( 4) 4(2 ) (2 )
x x x x x
x x x x x
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2)
2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4)
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
3 2 2 2
2 2 2 2
4 4 4 1 ( 4)( 1)
2( 4) . 2 ( 4)
x x x x x x x x
x x x x
1 2 x
x
. Vậy A 1 2 x
x
với x0;x2.
0,25 0,25
0,25 0,25
b
+ Ta có x2y2 (x y )22xy + Do đó 10 4 2 xy xy 3
+ Khi đó M x3y3 (x y )33 (xy x y ) + Tính được M 233.( 3).2 26
Vậy M = 26.
Chú ý : Nếu HS tính trực tiếp x và y rồi thay vào M tính vẫn cho điểm tối đa.
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2 a
Ta có x24x10 ( x2)2 6 0 x. Phương trình trở thành :
2 2 2 2
(x 4x6)(x 4x10) 21 (x 4x 8 2)(x 4x 8 2) 21
2 2
2 2 2 2
( 4 8) 25
4 8 5
4 8 5
4 3 0 (1) 4 13 0 (2)
x x
x x
x x
x x
x x
- Giải PT (1) được nghiệm x11;x2 3.
- Giải PT (2) vô nghiệm vì x2 4x13 ( x2)2 9 0 x Vậy tập nghiệm của PT là S {1;3}.
0,25
0,25
0,25 0,25
b
b) ĐK : y1
2 2 2
2 3 2 3
2
3 3 2
2 2
4 1 2 5 4(1 ) 1 2 5
1 1 1 (1 )(1 ) 1 0
3 3 3 ( 1) 3 ( 1)
0 0 0
1 1 (1 )(1 )
3 0 3 0 0 ( 1 0)
1
y y y y y
y y y y y y y y
y y y y y y
y y y y y
y y y do y y
y y
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 1 y y
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 3 a
+ Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là a2 và (a +1)2 (a N ).
+ Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2(a + 1)2 = a4 + 2a3 + 3a2 + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1
= (a2 + a + 1)2 = [a(a+ 1) + 1]2
+ Do a nguyên nên a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ.
+ Vậy [a(a+ 1) + 1]2 là một số chính phương lẻ. Suy ra đpcm.
0,25
0,25 0,25 0,25
b
Nếu y2 thì vế trái chia hết cho 9, ta chứng minh vế phải không chia hết cho 9.
+ Thật vậy giả sử x25x7 9 x25x7 3 x22x 1 3x6 3
2 2 1 3 ( 1) 32 ( 1) 3
x x x x
(vì 3 là số nguyên tố).
Suy ra x có dạng x3k1(kN).
+ Khi đó x25x 7 (3k1)25(3k 1) 7 9k29k3 không chia hết cho 9 mâu thuẫn giả sử.
+ Do đó y < 2. Suy ra y{0;1}. - Với y = 0 thì x{2;3}
- Với y = 1 thì x{1; 4}
+ Vậy (x ; y) = (2; 0), (3; 0), (1; 1), (4; 1).
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 4 Hìn
h vẽ
0,25
a
Chứng minh HAB HCA g g( . )
AH HB AB
HC AH AC
2 2
AB AH HB HB
AC HC AH. HC
Chú ý : HS có thể chứng minh AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC rồi chia vế.
0,25 0,25 0,25
M
E N
D H C
B
A 1 2
b
+ Chứng minh được :
1 2
1 2
90 90
o o
DAC A
ADC A DAC ADC
A A
=> ADC cân tại C
=> CA = CD.
+ Chứng minh được DH AH
DB AB (tính chất đường phân giác) + Chứng minh được AH CH CH
AB AC CD (tam giác đồng dạng và do CA = CD)
+ Suy ra được DH CH . .
DH DC BD HC
DB CD
0,25 0,25 0,25 0,25
c
+ Dựng N là điểm đối xứng của D qua M => AN = BD.
+ Ta có :
( ) DH HE
AN AE DH DH CH
AN DB CD cmt
HE CH HE CH
AE CD AH DH
+ Suy ra được HCE HDA c g c( . . )CEH DAH + Mà hai góc ở vị trí SLT nên CE // AD.
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 5
+ Với 0 b 3,0 b a 4 thì P a 2b23242 25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 4; b = 3.
+ Chứng minh được bất đẳng thức (ax by )2 (a2b2)(x2y2) (1) + Với 3 b a 4 thì 0 a b 4 3 1. Do đó (a b )2 a b
2 2 ( )2 2 2 (3 4 ) 4 3
P a b a b ab a b ab a b a b a b
(2) Áp dụng (1) ta có (3a4 )b 2 (324 )(2 a2b2) 25( a2b2) (3)
Từ (2) và (3) suy ra (a2b2 2) 25(a2b2)a2b2 25 + Vậy Max(P) = 25 khi a = 4; b = 3.
0,25 0,25
0,25
0,25