Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Đồng Hỷ 2020-2021

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỒNG HỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020-2021. MÔN TOÁN 9 Câu 1. (8 điểm)

a) Cho biểu thức ^{1 1}



⁴



2 2 4

P x x

x x x

 

        Tìm xbiết P x 11

b) Tìm các giá trị của tham số mđể các đường thẳng y 2xmvà y x 2m3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành

c) Cho hệ phương trình

 

3

1 2 1

x my m

m x y m

 



   

 . Tìm các giá trị của tham số mđể hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



^{x y;}



thỏa mãn 2x y 1

Câu 2. (4 điểm)

a) Tìm các số nguyên tố psao cho p2020và p2024cũng là số nguyên tố b) Cho nlà số tự nhiên thỏa mãn n2.Chứng minh rằng n⁶ n⁴ 2n³2n²không

phải là số chính phương.

Câu 3. (2 điểm) Cho tam giác ^{ABC AB}



^{ AC}



vuông tại A, có đường cao AH.Gọi ,

M Nlần lượt là hình chiếu vuông góc của Htrên các cạnh AB AC, .Chứng minh

. . .

BM ACCN AB AH BC

Câu 4. (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ ABvẽ các tiếp tuyến Ax By, với nửa đường tròn. Lấy điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn tâm ^{O M}



khác A và B). Kẻ MH  ABtại H

a) Biết AH 6cm HB, 8 .cm Tính độ dài đoạn thẳng MH

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O cắt Ax By, lần lượt tại hai điểm Cvà D. Chứng minh ba đường thẳng AD BC MH, , đồng quy

c) Đường tròn nội tiếp tam giác AMBtiếp xúc với ABtại điểm K. Chứng minh

. 2 .

MA MB KA KB

Câu 5. (1 điểm) Cho ^{P x}

 

là đa thức bậc 4 với hệ số cao nhất bằng 1. Biết rằng



²⁰¹⁸



^2019,



²⁰¹⁹



^2020,



²⁰²⁰



^2021.

P  P  P  Tính ^P



²⁰¹⁷



^P



²⁰²¹



Câu 1.

a) ĐKXĐ: 0

0 x x

 

 

 , Ta có:

   

. 2 2 1

. 4 3

4

x x x

P x x x

x

   

    



 

²

11 2 3 11 2 1 9

1 3 16( )

1 9

1 3( )

P x x x x x

x x tm

x

x ktm

         

    

    

  



Vậy x16

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm : 2xm x 2m   3 x 3 3m Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành

 

⁶

2 3 3 0

m m m 5

     

Vậy 6

m 5thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục hoành

c) Xét hệ phương trình

 

   

3 1

1 2 1 2

x my m m x y m

 



   



Từ (1) ta có : , 3 m my

x 

 thay vào phương trình (2) ta có phương trình :



^{2 3}

  

^{1 3}

  

³

y m m  m m

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất phương trình (3) có nghiệm duy nhất



^{2 3}

 

^{0 2}

3

m m m

m

  

     

  . Với điều kiện trên, hệ phương trình có nghiệm duy

nhất:



^;



^{; 1}

2 2

m m

x y m m

  

    . Theo bài ra ta có: 2x y 1nên :

2 1 3

1 3 1 2 ( )

2 2 2

m m

m m m tm

m m

        

 

Vậy 3

m2là giá trị cần tìm

Câu 2.

a) Tìm các số nguyên tố psao cho p2020và p2024cũng là số nguyên tố Vì p là số nguyên tố nên ta xét các khả năng sau :

Với p   2 p 2020,p2024không phải là số nguyên tố. Vậy p 2không thỏa mãn.

Với p   3 p 2020 2023, p2024 2027 đều là số nguyên tố. Vậy p 3thỏa mãn

Với ^{p 3k 1}



^kℕ*



^{. Ta có : p2024 3 k 2025 3}



^{k 675}



không phải là số nguyên tố. Vậy ^{p3k 1}



^kℕ*



không thỏa mãn

Với ^{p 3k 2}



^kℕ*



^{. Ta có p2020}không là số nguyên tố . Vậy

 

3 2 *

p k  kℕ không thỏa mãn Vậy p 3

b) Cho nlà số tự nhiên thỏa mãn n2.Chứng minh rằng n⁶ n⁴ 2n³2n² không phải là số chính phương.

Ta có : ^{n6 n4 2n32n2 n2}



^{n4 n3 2n2}



           

     

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 1 1 1 2

1 2 2 1

n n n n n n n n

n n n n

 

        

   

Với nlà số tự nhiên thỏa mãn n2ta có :

 

     

2 2 2

2 2 2

2 2 2 1 1

2 2 2 1 2 1 0

n n n n n

n n n n n do n

      

       

Vậy



^n1



^{2 n2 2n 2 n2.Mặt khác, n1,n}là hai số tự nhiên liên tiếp nên

2 2 2

n  n không phải là số chính phương (2)

Từ (1) và (2) suy ra n⁶ n⁴ 2n³ 2n²không phải là số chính phương.

Ta có : MH AB / / ; NH AC / /

MH AC NH AB

AC AB AB AC

 

 

 

   

 

Áp dụng định lý Ta-let ta có : BM BH CN, CH BA  BC CA  CB

Do đó, BM CN BH CH BH CH 1

BA CA BC CB BC

     

 

. . . 1

BM CA BA CN BA CA

  

Lại có : AH BC.  AB AC. (vì ^{1 . 1 . ) 2}

 

2 2

SABC  AH BC  AB AC

Từ (1) và (2) suy ra : 1

. . .

BM CABA BC  2AB AC

N

M H

B

A C

Câu 4.

a) Biết AH 6cm HB, 8 .cm Tính độ dài đoạn thẳng MH Tam giác AMBvuông góc tại M có MHlà đường cao

2 .

MH AH MH

  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

 

. 48 4 3

MH AH BH cm

   

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O cắt Ax By, lần lượt tại hai điểm Cvà D. Chứng minh ba đường thẳng AD BC MH, , đồng quy

Gọi I  ADBC.Vì AC/ /BDnên ta có :

x y

K P Q

I

D

C

H O B

A

M

BD ID MD

góc với AB). Suy ra M I H, , thẳng hàng.

Do đó ba đường thẳng AD BC MH, , đồng quy tại điểm I

c) Đường tròn nội tiếp tam giác AMBtiếp xúc với ABtại điểm K. Chứng minh

. 2 .

MA MB KA KB

Gọi ,P Qlần lượt là điểm tiếp xúc của AM BM, với đường tròn nội tiếp MAB Đặt ABa AM, c BM, b. Ta có :

2 2

2 AK KB BQ QM MP PA a b c

AK BQ BQ QM QM AK a b c a b c AK BM a b c AK

       

        

         Tương tự :

2 a b c BK  



  

 

^{2 2}



^{2 2}



2

. . 1

2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 1

. .

2 2 2 2 2 2 2 2

2 . .

a c b a b c a c b a b c

AK BK

a b c bc

a b c bc

bc AM MB KA KB MA MB

   

 

   

    

 

 

      

       

 

 

   

 

Câu 5.

Đặt ^{Q x}

 

^{ P x}

 

^{ x 1}

Ta có : ^Q



²⁰¹⁸



^{ P}



²⁰¹⁸



^{2018 1 0 }

   

   

2019 2019 2019 1 0

2020 2020 2020 1 0

Q P

Q P

   

   

Do đó, ^{Q x}

 

là đa thức bậc 4 với hệ số cao nhất bằng 1 và có dạng :

   

¹



²⁰¹⁸



²⁰¹⁹



²⁰²⁰

 

¹

P x Q x   x x x x xa  x . Ta có :

      

   

2017 1 2 3 2017 2018

2021 3.2.1. 2021 2022

P a

P a

     

  



²⁰¹⁷

 

²⁰²¹



^{10084 6 14148 6 4064}

P P a a

       