Toán 11 Ôn tập chương 4 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

Ôn tập chương 4

Bài tập 1 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.

Lời giải:

Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số và hàm số:

Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số

lim1 0 n =

k

lim 1 0, k *

n = 

lim qⁿ = 0, |q| < 1 lim c = c

limnk = + ,k * limqn = + ,q 1

0

x x 0

lim x x

→ =

x x0

lim c c

→ =

x k

lim c 0, k *

→x = 

k xlim x

→− = + (nếu k chẵn)

k xlim x

→− = − (nếu k lẻ)

Bài tập 2 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai dãy số (un) và (vn).

Biết u – 2 v_n  _n với mọi n và limvn = 0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)?

Lời giải:

Vì limvn = 0 nên |vn| nhỏ hơn một số dương  bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là v_n   kể từ một số hạng nào đó trở đi.

n n n

u 2 v v

 −    hay u – 2_n   bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

 lim(un − 2) = 0 (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

 lim un = 2.

Cách khác:

Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp như sau:

Với mọi n *, ta có: u_n − 2 v_n  − v_n u_n − 2 v_n Mà lim(−vn) = lim(vn) = 0 nên lim(un – 2) = 0

 lim un – lim2 = 0

 lim un = 2.

Bài tập 3 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, O với:

A lim3n 1 n 2

= −

+ ^;

(

)

H=lim n +2n −n ;

n 2

N lim

3n 7

= −

+ ;

n n

n

3 5.4 O lim

1 4

= −

− ^.

Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng.

Lời giải:

+) 3n 1

A lim n 2

= −

+

n 3 1 lim n

n 1 2 n

 − 

 

 

=  + 

3 n1 3 0

lim 3

2 1 0 1 n

− −

= = =

+ +

+) ^H=lim

(

)

⁽

⁾

n 1 2 1 n

=  

 + + 

 

lim 2

1 2 1 n

=

+ +

2

1 lim2 1 n

=

+ +

2 1

1 0 1

= =

+ +

+) n 2

N lim

3n 7

= −

+

1 2

n n n

lim 7

n 3 n

 

 − 

 

=  + 

1 2 n n

lim 7

3 n

= −

+

0 0 3 0 0

= − = +

+)

n n

n

3 5.4 O lim

1 4

= −

−

n n

n n

4 3 5

lim 4

4 1 1 4

  − 

   

 

=  − 

n

n

3 5

lim 4

1 1 4

  −

  

=

−

0 5 5 0 1

= − =

−

Vậy số 1530 là mã số của chữ HOAN hay đây chính là tên của học sinh cần tìm.

Bài tập 4 trang 142 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn?

b) Cho ví dụ về một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.

Lời giải:

a) Công bội q của cấp số nhân lùi vô hạn phải thỏa mãn |q| < 1.

b)

+) Ví dụ về một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm:

n n

u 1

3

 

= −  là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ₁ 1

u 3

= − và công bội 1

q 3

= − .

Tổng _n ¹

1

u 3 1

S 1 q 1 1 4

3

−

= = = −

− +

+) Ví dụ về một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương:

n n

u 1

4

=   

  là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ₁ 1

u = 4 và công bội 1 q= 4.

Tổng _n ¹

1

u 4 1

S 1 q 1 1 3

4

= = =

− −

Bài tập 5 trang 142 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các giới hạn sau:

a) ₂

x 2

x 3 lim^→ x x 4

+

+ + ^{; b)}

2 x 3 2

x 5x 6

lim^→− x 3x + +

+ ; c) x 4

2x 5 lim^{→ −} x 4

−

− ^{; d)} _x^lim_→+

(

)

e) x

x 3 lim^→−3x 1

+

− ^{. f)}

2 x

x 2x 4 x lim^→− 3x 1

− + −

− ^.

Lời giải:

a) _{2 2}

x 2

x 3 2 3 1

lim^→ x x 4 2 2 4 2

+ +

= =

+ + + +

b)

2 x 3 2

x 5x 6

lim^→− x 3x + +

+ ^{x 3}

(x 2)(x 3) lim^→− x(x 3)

+ +

= + ^{x 3}

x 2 3 2 1

lim^→− x 3 3 + − +

= = =

− Vậy

2 x 3 2

x 5x 6 1

lim^→− x 3x 3 + + =

+ .

c)

x 4

2x 5 lim^{→ −} x 4

−

−

Ta có: _x^{lim 2x}→₄−

(

)

Và

( )

x 4

x 4 0, x 4 lim x₋ 4 0

→

−   

 − =



Vậy x 4

2x 5 lim^{→ −} x 4

− = −

− ^.

d) _x^lim_→+

(

)

1 2 1

lim x 1

x x x

→+

 

= − + − + 

Vì ³

xlim x

→+ = + và _{2 3}

x

1 2 1

lim 1 1 0

x x x

→+

− + − + = − 

 

 

Vậy _x^lim_→+

(

)

e) x x

x 1 3

x 3 x

lim lim

3x 1 1

x 3 x

→− →−

 + 

 

+ =  

−  − 

x

1 3 lim x

3 1 x

→−

= +

−

1 0 1 3 0 3

= + =

− −

Vậy x

x 3 1 lim^→−3x 1 3

+ =

− ^.

f)

2 x

x 2x 4 x lim^→− 3x 1

− + −

−

2

2 x

2 4

x 1 x

x x lim^→− 3x 1

 − +  −

 

 

= −

2 x

2 4

| x | 1 x

x x

lim^→− 3x 1

− + −

= −

2 x

2 4

x 1 x

x x

lim^→− 3x 1

− − + −

= −

2

x

2 4

x 1 1

x x

lim 1

x 3 x

→−

 

− − + −

 

 

=  − 

 

2 x

2 4

1 1

x x

lim 1

3 x

→−

− − + −

=

−

1 0 0 1 2

3 0 3

− − + − −

= =

− Vậy

2 x

x 2x 4 x 2

lim^→− 3x 1 3

− + − =−

− ^.

Bài tập 6 trang 142 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai hàm số

2 2

f (x) 1 x x

= − và

3 2

2

x x 1

g(x) x

+ +

= .

a) Tính

x 0

limf (x)

→ ,

x 0

limg(x)

→ ,

xlim f (x)

→+ và

xlim g(x)

→+ .

b) Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.

Lời giải:

a) +)

2

x 0 x 0 2

lim f (x) lim1 x

→ → x

= − = +

Vì: ^{lim 1 x}_x→0

(

)

+)

3 2

x 0 x 0 2

x x 1

lim g(x) lim

→ → x

+ +

= = +

Vì: ^{lim x}_x→0

(

)

+)

2

x x 2

lim f (x) lim1 x

→+ →+ x

= −

2 2 x 2

x 1 1

lim x

→+ x

 − 

 

 

= ₂

x

lim 1 1 1

→+ x

 

=  − = −

+)

3 2

x x 2

x x 1

lim g(x) lim

→+ →+ x

+ +

=

3

3

x 3

1 1

x 1 x x

lim 1

x x

→+

 + + 

 

 

=  

  

3 x

1 1 1 x x

lim 1

x

→+

= + + = +

b) Gọi (C1) và (C2) lần lượt là hai đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) Vì xlim f (x) 1

→+ = − nên (C1) có nhánh vô tận tiến gầ đến đường thẳng y = -1 khi x→  Vì xlim g(x)

→+ = + nên (C2) có nhánh vô tận đi lên khi x→ +

Dựa vào đặc điểm của (C1) và (C2) như trên ta có (C1) là đồ thị b và (C2) là đồ thị a.

Bài tập 7 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính liên tục trên của hàm số x2 x 2

neu x 2

g(x) x 2

5 x neu x 2

− −

 

= −

 − 



.

Lời giải:

Ta có:

2

x 2 x 2

x x 2

lim g(x) lim

x 2

+ +

→ →

= − −

− ^{x 2}

(x 2)(x 1) lim^{→ +} x 2

− +

= − ^xlim(x 1)²₊ 3

= → + = (1)

x 2 x 2

limg(x)₋ lim(5 x)₋ 3

→ = → − = (2)

g(2) = 5 – 2 = 3 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra:

x 2

limg(x) g(2)

→ = .

Do đó hàm số y = g(x) liên tục tại x0 = 2

Mặt khác trên (−,2), g(x) là hàm đa thức và trên (2,+), g(x) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên (2,+) nên hàm số g(x) liên tục trên hai khoảng (−,2) và

(2,+)

Vậy hàm số y = g(x) liên tục trên .

Bài tập 8 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (–2; 5).

Lời giải:

Đặt f(x) = x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2, ta có:

Hàm số f(x) là hàm số đa thức liên tục trên .

5 4

5 4

f (0) 2 0

f (1) 1 3 5 2 1 0

f (2) 2 3.2 5.2 2 8 0 f (3) 3 3.3 5.3 2 13 0

= − 

 = − + − = 

 = − + − = − 

 = − + − = 



f (0).f (1) 0 (1) f (1).f (2) 0 (2) f (2).f (3) 0 (3)

 

 

 



Do đó f(x) có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0, 1); một nghiệm trên khoảng (1, 2);

một nghiệm trên khoảng (2, 3).

Mà các khoảng (0, 1); (1, 2) và (2, 3) đôi một không có điểm chung.

Vậy phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trên khoảng (– 2, 5).

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm 9 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

(A) Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm.

(B) Nếu (un) là dãy số tăng thì lim u_n = +.

(C) Nếu lim u_n = + và lim v_n = + thì lim(un – vn) = 0.

(D) Nếu un = aⁿ và −1 < a < 0 thì lim un = 0.

Lời giải:

+) Câu A sai: “Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai. Xét phần ví dụ sau:

Dãy số:

n n

u ( 1) n

= − có

( 1)n

lim 0

n

− =

Ta có: _{1 2} 1 ₂ 1 ₃ 1

u 1 u , u u

2 2 3

= −  = =  = −

 Dãy số un không tãng cũng không giảm.

+) Câu B sai

“Nếu (un) là dãy số tăng thì lim u

( )

Dãy số (un) với _n 1 u 1

= − n

Xét hiệu: _{n 1 n} 1 1

u u 1 1

n 1 n

+

   

− = − +   − − 

1 1 1

n n 1 n(n 1) 0

= − = 

+ +

 un là dãy số tăng.

n

lim u lim 1 1 1 n

 

=  − =

+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:

Hai dãy số

2 n

u n

n 2

= + ^{, vn = n +1}

2 n

lim u lim n n 2

= +

2

2

2

lim n

1 1

n n n

=  + 

  ²

lim 1

1 2

n n

= = +

+

lim vn =lim(n 1)+ = +

Nhưng

(

)

lim u v lim n (n 1) n 2

 

− =  + − + 

3n 2 lim n 2

= − − +

n 3 2 lim n

n 1 2 n

− − 

 

 

=  + 

3 2

lim n 3 0

1 2 n

= − − = −  +

+) Câu D đúng vì lim qⁿ = 0 khi |q| < 1.

Do đó: −1 < a < 0 thì lim aⁿ = 0 Chọn đáp án D.

Bài tập trắc nghiệm 10 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với

n 2

1 2 3 ... n

u n 1

+ + + +

= + . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

(A) lim un = 0;

(B) _n 1

lim u

= 2; (C) lim un = 1;

(D) Dãy (un) không có giới hạn khi n→ +. Lời giải:

Vì n(n 1)

1 2 3 ... n

2 + + + + = +

Nên _n n(n 1)₂ u 2(n 1)

= +

+

Do vậy _n n(n 1)₂

lim u lim

2(n 1)

= +

+

2

2

2

n 1 1 lim n

n 2 2 n

 + 

 

 

=  +  ² 1 1n 1 lim2 2 2

n

= + =

+ ^.

Chọn đáp án B.

Bài tập trắc nghiệm 11 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với:

( )

( )

un = 2+ 2 + +... 2

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) ^{lim un = 2+}

( )

( )

(B) lim u_n = −; (C) lim u_n = +;

(D) Dãy số (un) không có giới hạn khi n→ +. Lời giải:

Ta có (un) là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ = 2 và công bội q= 2 nên:

(

) ( )

1 n

2 1 2

u 1 q

u 1 q 1 2

 − 

−  

= =

− −

( )

2 2 1

2 1

 − 

 

 

= −

( )

n

2 2 1

lim u lim

2 1

 − 

 

 

 = = +

−

Vì 2 1 nên ^lim

( )

Chọn đáp án C.

Bài tập trắc nghiệm 12 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chọn phương án đúng:

x 1

lim 3x 1

− x 1

→

− −

− ^bằng

(A) −1 (B) − (C) −3 (D) +

Lời giải:

Ta có ^lim_x→₁−

(

)

( )

x 1

x 1 0, x 1 lim x 1₋ 0

→

−   

 − =



lim 3x 1 x 1

 − − = +

− Chọn đáp án D

Bài tập trắc nghiệm 13 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Cho hàm số

1 x2

f (x) x

= − .

xlim f (x)

→− bằng:

(A) + (B) 1 (C) − (D) −1

Lời giải:

Ta có:

2

x x

lim f (x) lim1 x

→− →− x

= −

2 2

2

x 1 1

lim x

x .1 x

 − 

 

 

= ²

1 1 lim x

1 x

= −

Vì ₂

x

lim 1 1 1 0

→− x

 − = − 

 

  ⁽¹⁾

và x

1 1

lim 0, x 0

x x

→− = → −   (2) Từ (1) và (2) suy ra:

xlim f (x)

→− = +

Chọn đáp án A.

Bài tập trắc nghiệm 14 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số 3 x

neu x 3

f (x) x 1 2

m neu x 3

 − 

= + −

 =



. Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng:

(A) 4 (B) −1 (C) 1 (D) −4

Lời giải:

Ta có:

f(3) = m

x 3 x 3

3 x lim f (x) lim

x 1 2

→ →

= −

+ −

( )

x 3

(3 x) x 1 2 lim^→ x 1 4

− + +

= + −

( )

x 3

(3 x) x 1 2 lim^→ (3 x)

− + +

= − − ^{x 3}

x 1 2 lim^→ 1

= + +

− 3 1 2

1 4

= + + = −

−

Hàm số y = f(x) liên tục tại x = 3

x 3

limf (x) f (3) m 4

 → =  = −

Chọn đáp án D.

Bài tập trắc nghiệm 15 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho phương trình – 4x³ + 4x – 1 = 0 (1)

Mệnh đề sai là:

(A) Hàm số f(x)= − 4x³ + 4x − 1 liên tục trên ;

(B) Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng

(

)

(C) Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (−2; 0);

(D) Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 1 3;2

 

 

− . Lời giải:

Mệnh đề A đúng vì f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên . Mệnh đề B sai vì:

+) Xét hàm số f(x) = −4x³ + 4x – 1, ta có f(1) = −1; f(−2) = 23

 f(1).f(−2) = −23 < 0

+) Ta lại có hàm số f(x) liên tục trên (−2, 1) nên phương trình có ít nhất một nghiệm

( )

x0 −2,1

Do đó, phương trình −4x³ + 4x – 1 = 0 có nghiệm trên

(

)

Mệnh đề C đúng vì: f(0) = −1, f(−2) = 23

 f(−2).f(0) = −23 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng (−2; 0).

Mệnh đề D đúng vì:

1 1 3 1 1

f 4. 4. 1

2 2 2 2

   

  =−  + −

    =

( )

( )

f 0 .f 1 . 0

2 2 2

  

  = − = − 

 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1

0;2

 

 

 

Mà phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (−2; 0) nên f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc 1 1

2; 3;

2 2

− 

   

  

  − . Chọn đáp án B.