Toán lớp 12 Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 12

(1)

Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12

Bài 1 trang 51 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Diện tích S là:

A) πa ; ² B) πa² 2 ; C) πa² 3 ; D)

πa2 2 2 . Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: AC= AB² +BC² = a²+a² =a 2 Bán kính của hình trụ là: R OA ^AC ^{a 2}

2 2

= = =

(2)

Chiều cao của hình trụ là: h = OO’ = AA’ = a.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

2 xq

S 2πRh 2πa 2.a πa 2

= = 2 = .

Chọn đáp án B.

Bài 2 trang 51 SGK Toán lớp 12 Hình học: Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng b khi quay xung quanh trục AA'. Diện tích của S là:

A)πb ; ² B) πb 2; ² C) πb 3; ² D) πb 6; ² Lời giải:

Hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương ABCD.

A’B’C’D’ khi quay xung quanh trục AA’ ta được hình nón có:

(3)

Bán kính đường tròn đáy là:

2 2 2 2

R =A'C'= A'D' +D'C' = b +b =b 2 Đường cao hình nón: h = AA’ = b.

Độ dài đường sinh: l = h² + R² = (b 2)² + b² = b 3 Diện tích xung quanh của hình nón là:

S= πRl π.b 2.b 3 πb 6= = 2 . Chọn đáp án D.

Bài 3 trang 51 SGK Toán lớp 12 Hình học 12: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng:

A) ^{2(a b c)} 3

+ + ;

B) 2 a² + +b² c² ; C) ¹ a² b² c²

2 + + ; D) a²+ +b² c² . Lời giải:

(4)

Gọi M là trung điểm của BC.

Suy ra: MA = MB = MC = ^BC 2 .

Suy ra, M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vẽ Mx ⊥mp(ABC) ta có:

Mx // SA và Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mp(SA; Mx); đường trung trực của SA cắt Mx tại I, ta có:

IS = IA

Mà IA = IB = IC (vì Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I thuộc Mx).

Suy ra: IS = IA = IB = IC

Suy ra, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC và bán kính mặt cầu là:

2 2

R =IA= AM +MI

Mà AM ^BC ¹ AB² AC² ¹ b² c²

2 2 2

= = + = +

SA a MI= 2 = 2

(5)

Vậy

2 2 2

b c a 1

R a b c

4 4 2

= + + = + + .

Chọn đáp án C.

Bài 4 trang 51 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian thỏa mãn điều kiện MAB = α với 0 < α < 90^o. Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:

A) Mặt nón;

B) Mặt trụ;

C) Mặt cầu;

D) Mặt phẳng.

Lời giải:

Ta có: MAB = α (0 < α < 90^o)

Vậy M thuộc mặt nón đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh bằng 2α.

Chọn đáp án A.

Bài 5 trang 51 SGK Toán lớp 12 Hình học: Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:

A) 0;

B) 1;

C) 2;

D) Vô số.

Lời giải:

Có vô số mặt cầu chứa một đường tròn. Tâm mặt cầu nằm trên đường thẳng d – đi qua tâm đường tròn và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đã cho.

(6)

Chẳng hạn:

Chọn đáp án D.

Bài 6 trang 52 SGK Toán lớp 12 Hình học 12: Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

A) Hình chóp tam giác (tứ diện);

B) Hình chóp ngũ giác;

C) Hình chóp tứ giác;

D) Hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Một hình chóp nội tiếp được trong mặt cầu thì đáy phải là đa giác nội tiếp được đường tròn.

Hình chóp tứ giác có đáy là hình thoi thì không nội tiếp được đường tròn. Do đó, hình chóp đó không nội tiếp được trong mặt cầu.

(7)

Bài 7 trang 52 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho tứ diện ABCD cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Khi quay các cạnh của tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 4.

Lời giải:

Ta có: DA ⊥(ABC) nênDA⊥AB.

Suy ra tam giác ABD vuông tại A và ABD 90 ⁰.

Khi ta quay tam giác ABD quanh cạnh AB thì ta được hình nón có đỉnh là B; trục AB và bán kính R = AD ; đường sinh: l = BD

*Vì BC⊥ BD;BC⊥ DA BC⊥(ABD)BC⊥AB Suy ra: tam giác ABC vuông tại B và BAC90⁰

Vậy khi tam giác ABC quay xung quanh AB ta được hình nón có đỉnh A, trục là AB, bán kính R = BC; đường sinh l = AC.

Vậy ta được 2 hình nón khi quay tứ diện ABCD quanh AB.

(8)

Bài 8 trang 52 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A)

πa2 3 3 ; B)

πa2 2 2 ; C)

πa2 3 2 ; D)

πa2 6 2 . Lời giải:

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

Hình nón có chiều cao: h = OO’= AA’ = a.

2 2 2 2

A'C'= A'B' +B'C' = a +a =a 2

(9)

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình vuông là:

1 a 2

R A 'C'

2 2

= =

Đường cao: h = AA’ = a.

Độ dài đường sinh:

2

2 2 2 a 2 3

l h R a a

2 2

 

= + = +  =

  Diện tích xung quanh của hình nón là:

2 xq

a 2 3 πa 3

S πRl π. .a

2 2 2

= = = .

Bài 9 trang 52 SGK Toán lớp 12 Hình học 12: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A)πa²; B) 2πa²; C) 1 πa²

2 ; D) 3 πa²

4 . Lời giải:

(10)

Bán kính của hình nón là :r ^BC ^a 2 2

= =

Đường sinh l = AB = a.

Diện tích xung quanh là:

2 xq

a 1

S πrl π. .a πa

2 2

= = = .

Bài 10 trang 52 SGK Toán lớp 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng;

B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu;

C) Có vô số mặt phẳng cắt một mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau;

D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.

Lời giải:

*A đúng vì các đường sinh là các đường nằm trên mặt trụ, mặt nón.

*B sai vì chỉ khi hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì mới có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

(11)

*C đúng vì các mặt phẳng cách đều tâm mặt cầu thì cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau.

*D đúng vì tồn tại có hai đường tròn có bán kính khác nhau và cùng nằm trên một mặt nón.

Bài 11 trang 53 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r. Gọi O, O' là tâm của hai đáy với OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy của hình trụ tại O và O'. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ;

B) Diện tích mặt cầu bằng ²

3 diện tích toàn phần của hình trụ;

C) Thể tích khối cầu bằng ³

4 thể tích khối trụ;

D) Thể tích khối cầu bằng ²

3 thể tích khối trụ;

Lời giải:

*Hình trụ: có bán kính đáy r; h = l = OO’ = 2r

(12)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

2

Sxq = 2πrl=2πr. 2r 4πr=

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

2 2 2

tp xq 2day

S =S +S =4πr +2πr =6πr

Thể tích của hình trụ là: V=πr h πr .2r 2πr² = ² = ³ .

*Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ nên bán kính mặt cầu: R = r.

Diện tích mặt cầu: S_C =4πr²

Thể tích của khối cầu là: V ⁴πR³ ⁴πr³

3 3

= =

Từ trên, suy ra thể tích của khối cầu bằng ³

4 thể tích của khối trụ là sai.

Bài 12 trang 53 SGK Toán lớp 12 Hình học: Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu bằng:

A) r ¹ a² b² c²

= 2 + + ; B) r = a²+ +b² c² ; C) ^r ⁼ ^{2 a}

(

²^{+ +}^b² ^c²

)

^;

D) r ¹ a² b² c²

= 3 + + . Lời giải:

(13)

Gọi hình hộp chữ nhật đã cho là ABCD. A’B’C’D’.

Gọi O là tâm của hình hộp

⇒ OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’= OD’

Suy ra, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.

Đường chéo hình hộp chữ nhật là AC'= a²+ +b² c²

Vì O là trung điểm của AC’ nên: r ¹AC ' ¹ a² b² c²

2 2

= = + + .

Bài 13 trang 53 SGK Toán lớp 12 Hình học 12: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích khối trụ đó là:

A) ¹a π³ 2 ; B) ¹a π³

4 ; C) ¹a π³

3 ; D) a π³ .

(14)

Lời giải:

Ta có: chiều cao của hình trụ h a; r ^a

= =2

Thể tích của khối trụ là:

2 3

2 a πa

V πr h π. .a

2 4

= =     = .

Bài 14 trang 53 SGK Toán lớp 12 Hình học: Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, còn ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:

A)1 πa 3²

2 ;

B) 1 πa 2²

3 ;

C) 1 πa 3²

3 ;

D)πa² 3. Lời giải:

(15)

Gọi tứ diện đều là ABCD. Có đỉnh A trùng với đỉnh nón; ba đỉnh B; C; D nằm trên đường tròn đáy của hình nón

Gọi O là tâm của tam giác BCD.

Suy ra: bán kính của hình nón là OB, đường sinh l = AB = a.

Gọi H là trung điểm của CD.

Ta có: BH BD.sin BDC a.sin 60⁰ ^{a 3}

= = = 2

Vì O là tâm tam giác đều ABC nên 2 2 a 3 a 3

r OB BH .

3 3 2 3

= = = =

Diện tích xung quanh của hình nón là:

2 xq

a 3 πa 3

S πrl π. .a

3 3

= = = .

Bài 15 trang 54 SGK Toán lớp 12 Hình học: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A) Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

B) Bất kì một hình chóp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

(16)

C) Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

D) Bất kì một hình chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

Lời giải:

Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp là sai. Vì giả sử hình hộp ABCD.MNPQ có đáy ABCD là hình thoi.

Vì hình thoi không nội tiếp được trong 1 đường tròn nên không có mặt cầu nào ngoại tiếp được hình hộp đã cho .

Bài 16 trang 54 SGK Toán lớp 12 Hình học: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số ¹

2

S

S bằng:

A) 1;

B) 2;

C) 1,5;

D) 1,2.

Lời giải:

(17)

Gọi r là bán kính của mỗi quả bóng bàn khi đó hình trụ có bán kính bằng r và chiều cao bằng 6 lần bán kính: h = 6r.

Ta có: S₁ =3.4πr² =12πr²

2 2

1 2

S 2πrh 2πr.6r 12πr S 1

S

= = =

 =

Bài 17 trang 54 SGK Toán lớp 12 Hình học: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa đều tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:

A) 16πr²; B) 18πr²;

(18)

C) 9πr²; D) 36πr². Lời giải:

Ta có, bán kính đáy là: rlọ = 3rbi

Suy ra diện tích đáy là: S = π(3r)² = 9πr². Chọn đáp án C.

Bài 18 trang 54 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho ba điểm A, C, B nằm trên một mặt cầu, biết rằng ACB = 90^o. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A) AB là một đường kính của mặt cầu.

B) Luôn luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

C) Tam giác ABC vuông cân tại C.

D) Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn.

Lời giải:

(19)

Vì ACB = 90^onên tam giác ABC là tam giác vuông tại C nên C sai.

Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn (chưa chắc là đường tròn lớn) nên D sai.

Suy ra: AB cũng chưa chắc là đường kính của mặt cầu nên A sai.

Vậy khẳng định đúng là: Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.