Chuyên đề hình học tọa độ trong không gian Oxyz - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh, quý thầy cô và bạn đọc thân mến !

Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2020 đã cận kề. Thời gian này, chắc hẳn các em học sinh đang gấp rút ôn tập và luyện đề để chuẩn bị kiến thức cho kỳ thi vô cùng quan trong sắp tới. Thấu hiểu được điều này, nhóm tác giả đã cùng nhau sưu tầm và biên soạn cuốn sách “ Chuyên đề hình tọa độ trong không gian Oxyz ” nhằm trang bị cho các em kiến thức trọng tâm và kĩ năng cần thiết để giải các bài toán khó trong chuyên đề này.

Như các em đã biết, Hình học Oxyz là một chuyên đề hay và khó nằm trong chương trình thi THPT Quốc Gia với mức độ câu hỏi trong đề thi thường là VD và VDC. Cuốn sách này ra đời với sứ mệnh bổ sung và bồi dưỡng những kiến thức cần thiết, giúp các em học sinh có thể dễ dàng giải quyết được các câu khó thường gặp trong đề thi.

Kho bài tập được nhóm tác giả sưu tầm và biên soạn khá phong phú và đa dạng, với những dạng toán hay và khó, đòi hỏi học sinh phải vận động khả năng tư duy của bản thân để xử lý những câu 8⁺, giúp học sinh đạt điểm cao trong kì thi sắp tới.

Những câu hỏi trong cuốn sách được nhóm tác giả sưu tầm, tham khảo và phát triển từ các đề thi thử của các Sở, trường Chuyên trên cả nước. Mặc dù đã được phê duyệt và phản biện chặt chẽ nhưng không tránh khỏi sai xót. Kính mong quý thầy cô, các em học sinh và bạn đọc thông cảm và gửi góp ý vào địa chỉ sau đây

➢ Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.0@gmail.com

➢ Fanpage: 2002 – ÔN THI THPT QUỐC GIA

Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, các em học sinh và toàn thể các bạn đọc. Chúc quý vị có thể khai thác được hết các kiến thức khi cầm trên tay cuốn sách này!

Trân trọng./

NHÓM TÁC GIẢ

(2)

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang

Dạng 1. Điểm và vecto trong hệ tọa độ Oxyz... 5

Dạng 2. Tích vô hướng và ứng dụng... 28

Dạng 3. Phương trình mặt cầu... 39

Dạng 4. Cực trị... 54

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

... 79

Dạng 1. Xác định vecto pháp tuyến, tính tích có hướng của mặt phẳng... 84

Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng... 91

Dạng 3. Tìm tọa độ điểm liên quan đến mặt phẳng... 114

Dạng 4. Góc và khoảng cách liên quan đến mặt phẳng... 123

Dạng 5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng... 140

Dạng 6. Cực trị liên quan đến mặt phẳng... 165

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

... 185

Dạng 1. Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng... 191

Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng... 200

Dạng 3. Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng... 231

Dạng 4. Góc và khoảng cách liên quan đến đường thẳng... 247

Dạng 5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng... 257

Dạng 6. Bài toán liên quan giữa đường thẳng – mặt phẳng – mặt cầu... 271

Dạng 7. Cực trị liên quan đến đường thẳng... 314

CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

... 347

Dạng 1. Tọa độ hóa Hình học không gian... 353

Dạng 2. Bài toán đại số... 367

CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP VỀ HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ

... 372

Đề bài... 372

Đáp án... 381

(3)

CHỦ ĐỀ 1 : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ

➢ Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng Oxy tại O. Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ⁱ⁼

(

^{1; 0; 0 ,}

)

(

^{0;1; 0 ,}

)

j= ^k ⁼

(

^{0; 0;1}

)

^.

▪ Nếu a=a i a j₁ + ₂ +a k₃ thì a=

(

a a a1; 2; 3

)

.

▪ M x( _M;y_M;z_M)OM =x i_M +y j_M +z k_M

▪ Cho A x

(

A^;y zA^; A

)

và B x

(

B^;y zB^; B

)

▪ Ta có: AB=(x_B−x_A;y_B−y z_A; _B−z_A)và AB= (x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²+(z_B−z_A)² .

▪ M là trung điểm AB thì M ; ;

2 2 2

A B A B A B

x +x y +y z +z

 

 

 .

➢ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho a=( ;a a a₁ ₂; ₃) và b=( ; ; )b b b₁ ₂ ₃ ta có

▪

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 =

=  =

 =

a b =(a₁b a₁; ₂b a₂; ₃b₃) k a. =(ka ka ka₁; ₂; ₃)

▪ a b. = a b c. os(a; )b =a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3} a = a₁²+a₂²+a₃²

▪ ¹ ¹ ² ² ³ ³

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

. . .

os os(a, )

.

a b a b a b

c c b

a a a b b b

= = ⁺ ⁺

+ + + + (với a0 ,b0)

▪ a và b vuông góc a b. = 0 a b₁.₁+a b₂. ₂+a b₃. ₃ =0

▪ avà bcùng phương

1 1

2 2

3 3

:

a kb k R a kb a kb a kb

 =

   =  =

 =

➢ Tích có hướng của a=( ;a a a₁ ₂; ₃) và b=( ; ; )b b b₁ ₂ ₃ là a b,  = (a b_{2 3}−a b a b_{3 2}; _{3 1}−a b a b_{1 3}; _{1 2}−a b_{2 1})

▪ a và b cùng phương  a b,  = 0 a, b , c đồng phẳng  a b c,  =. 0

▪ Diện tích tam giác : ¹ [ , ]

ABC 2

S = AB AC

▪ Thể tích tứ diệnV_ABCD = ¹ _[ _, _].

6 AB AC AD

▪ Thể tích khối hộp: VABCD A B C D. ' ' ' ' =[AB AD AA, ]. '

➢ Một số kiến thức khác

▪ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k( MA=k MB) thì ta có :

; ;

1 1 1

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

− − −

= = =

− − − Với

(

^k ^¹

)

▪ G là trọng tâm của tam giác ABC

; ;

3 3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x + + y + + z + +

= = =

▪ G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD+ + + =0

LÍ THUYẾT

(4)

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.

Lời giải Chọn B

Ta có: ^cos

( )

^{u v}^, ⁼ _{u v}^{u v}^._.

( )

²

2 2 2 2

1 2

1 1 2 . 1

m

= −

+ + − + ²

1 2 2

6. 1 2 m

m

= − =

+

1 2m 3 1 m2

 − = −

2 2

4m 4m 1 3 3m

 − + = + (điều kiện ¹ m 2).

2 4 2 0

m m

 − − = 2 6

2 6

m m

 = −

  = + . Đối chiếu điều kiện ta có m= −2 6.

Lời giải Chọn D

Ta có:

2 3 2;2 3 2; 4 3 2

u a mb m m và v ma b 2 ;m m 2; 2m 2 .

Khi đó: u v. 0 4m 2 3m 2 m 2 4 3m 2 2m 2 0.

9m2 2 6m 6 2 0 26 2

m 6 .

Lời giải Chọn C

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ ^u ⁼

(

^{1;1; 2}⁻

)

^,^v ⁼

(

^1;0;^m

)

^{. Tìm}^m^{để góc}

giữa hai vectơ u v, bằng 45.

A. m=2. B. m= −2 6. C. m= +2 6. D. m= 2 6 .

VÍ DỤ 2: Trong không gian ^Oxyz, cho hai véc tơ a 2;1; 2 , b 0; 2; 2 . Tất cả giá trị của mđể hai véc tơ u 2a 3mb và v ma b vuông góc với nhau là

A. 26 2

6 ^. ^B.

26 2

6 . C. 11 2 26

18 . D. 26 2 6 .

VÍ DỤ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm ^A

(

^{0; 1;2}⁻

)

^,^B

(

^{2; 3;0}⁻

)

^,^C

(

⁻^2;1;1

)

^,^D

(

^{0; 1;3}⁻

)

Gọi

( )

^L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức

. . 1

MA MB=MC MD= . Biết rằng

( )

^L là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

A. 3

r= 2 . B. 5

r= 2 . C. ¹¹

r= 2 . D. 7

r= 2 . .

(5)

Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”. 3

Gọi ^{M x y z}

(

^{; ;}

)

là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có

(

^; ^1; ²

)

AM = x y+ z− , ^BM ⁼

(

^x⁻^2;^y⁺^3;^z

)

^,^CM ⁼

(

^x⁺^2;^y⁻^1;^z⁻¹

)

^,^DM ⁼

(

^{x y}^; ⁺^1;^z⁻³

)

^.

Từ giả thiết: . 1

. . 1

. 1

MA MB MA MB MC MD

MC MD

 =

= =  

 =

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

2 1 3 2 1

2 1 1 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

− + + + + − =

 

+ + + − + − − =



2 2 2

2 4 2 2 0

2 4 1 0

x y z x y z

x y z x z

 + + − + − + =

 

+ + + − + =



Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I1

(

1; 2;1−

)

, R₁=2 và mặt cầu tâm I2

(

−1;0;2

)

, R₂=2.

Ta có: I I_{1 2} = 5. Dễ thấy:

2

2 1 2

1

5 11

2 4 4 2

r= R −I I  = − = .

Lời giải Chọn B

( ) (

^{; 0 ;}

)

M Oxz M x z ;

( )

7 ; 3 ; 1 59 2 ; 3 ; 1

AB AB

AM x z

 =  =



= + − −

 .

, ,

A B M thẳng hàng ^^AM ⁼^{k AB}^.

(

^k^

)

2 7 9

3 3 1

1 0

x k x

k k

z k z

+ = = −

 

 

 − =  − =

 − =  =

 

(

^{9 ; 0 ; 0}

)

M − .

(

14 ; 6 ; 2

)

118 2.

BM = − − − BM = = AB.

Lời giải

I

1

I

2

M

VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A

(

⁻^2;3;1

)

^và^B

(

^{5; 6; 2}

)

. Đường thẳng ABcắt mặt phẳng

(

^Oxz

)

^{tại điểm}^M . Tính tỉ số ^AM

BM . A. AM 2

BM = . B. ¹

2 AM

BM = . C. ¹

3 AM

BM = . D. AM 3 BM = .

.

VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm ^A

(

^{2; 3;7}⁻

)

^,^B

(

^{0; 4;1}

)

^,^C

(

^3;0;5

)

và ^D

(

^3;3;3

)

^{. Gọi} ^M là điểm nằm trên mặt phẳng

(

^Oyz

)

sao cho biểu thức MA MB MC+ + +MD đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của M là:

A. ^M

(

^{0;1; 2}⁻

)

^. ^B.^M

(

^{0;1; 4}

)

^. ^C.^M

(

^{0;1; 4}⁻

)

^. ^D.^M

(

^2;1;0

)

^.

(6)

Chọn B

Ta có: ^AB^{= −}

(

^{2; 7; 6}⁻

)

^,^AC⁼

(

^{1;3; 2}⁻

)

^,^AD⁼

(

^{1; 6; 4}⁻

)

^nênAB AC AD, . = − 4 0. Suy ra: AB, AC, AD không đồng phẳng.

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Khi đó ^G

(

^{2;1; 4}

)

^.

Ta có: MA MB MC+ + +MD = 4MG =4MG.

Do đó MA MB MC+ + +MD nhỏ nhất khi và chỉ khi MG ngắn nhất.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng

(

^Oyz

)

^nên^M

(

^{0;1; 4}

)

^.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ^DA⁼

(

^6;0;0

)

^,^DB⁼

(

^0;2;0

)

^,^DC⁼

(

^0;0;3

)

nên tứ diện $ABCD$ là tứ diện vuông đỉnh D. Giả sử ^{M x}

(

⁺^1;^y⁺^2;^z⁺³

)

^.

Ta có ^MA⁼

(

^x⁻⁶

)

²⁺^y²⁺^z² ^{ −}^x ⁶ ^{ −}⁶ ^x^,^MB⁼ ^x²⁺

(

^y⁻²

)

²⁺^z² ^{ −}^y ² ^{ −}² ^y^.

( )

²

2 2

3

MC= x +y + z−  −z 3  −3 z, ³^MD⁼ ³

(

^x²⁺^y²⁺^z²

)

^

(

^x^{+ +}^y ^z

)

² ^{ + +}^x ^y ^z^.

Do đó ^P^

(

⁶^{− + −}^x

) (

² ^y

) (

^{+ − + + +}³ ^z

) (

^x ^y ^z

)

⁼¹¹^.

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $11$, khi và chỉ khi

0

6 0

2 0

3 0

0 x y z

x y z x y z

= = =

 − 

 − 

 − 

 + + 



0 x y z

 = = = .

Khi đó ^M

(

^1;2;3

)

^{suy ra}^OM ⁼ ¹²⁺²²⁺³² ⁼ ¹⁴^.

Chọn C

Ta có ^AB⁼

(

^{4; 2; 1}^{− −}

)

^,^AD⁼

(

^{2; 0;1}

)

^,^_^{AB AD}^, ^{ = − −}_

(

^{2; 6; 4}

)

^,^AC ⁼

(

^1;1;^m⁻⁴

)

Để A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện khiAB AD AC, . 0 2 6 4m 16 0

 − − + −   m 6.

VÍ DỤ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm ^A

(

^7;2;3

)

^,^B

(

^1;4;3

)

^,^C

(

^1;2;6

)

^,

(

^1;2;3

)

D và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn khi biểu thức P=MA MB+ +MC+ 3MD đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 3 21

OM = 4 . B. OM = 26. C. OM = 14. D. 5 17 OM = 4

.

OM

VÍ DỤ 7:Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm ^A

(

^{1;1; 4}

)

^,^B

(

^{5; 1;3}⁻

)

^,^C

(

^{2; 2;}^m

)

^,^D

(

^3;1;5

)

^{. Tìm tất}

cả giá trị thực của tham số m để A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

A. m6. B. m6. C. m6. D. m=6.

.

(7)

DẠNG 1. ĐIỂM VÀ VECTO TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Câu 1. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 3 ,B 1;0; 2 ,C x y; ; 2 thẳng hàng.

Khi đó x y bằng

A. x y 1. B. x y 17. C. ¹¹

x y 5 . D. ¹¹

x y 5 . Câu 2. Tìm tọa độ véctơ u biết rằng u a+ =0 và a=

(

1; 2;1−

)

.

A. ^u^{= − −}

(

^{3; 8;2}

)

^. ^B.^u⁼

(

^{1; 2;8}⁻

)

^. ^C.^u^{= −}

(

^{1; 2; 1}⁻

)

^. ^D.^u⁼

(

^{6; 4; 6}^{− −}

)

^.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A

(

⁻^{1;0; 2}

)

^,^B

(

^{2;1; 3}⁻

)

^và^C

(

^{1; 1;0}⁻

)

. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

A. ^D

(

^{0; 2; 1}⁻

)

^. ^B.^D

(

^{− −}^{2; 2;5}

)

^. ^C.^D

(

⁻^{2; 2;5}

)

^. ^D.^D

(

^{2; 2; 5}⁻

)

^.

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm ^A

(

^1;1;1

)

. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng

(

^Oxz

)

^.

A.

(

^{1;1; 0 .}

)

^B.

(

^{0;1;1 .}

)

^C.

(

^{1; 0;1 .}

)

^D.

(

^{0;1; 0 .}

)

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho ^A

(

⁻^{3;1; 2}

)

, tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua trục Oy là A.

(

^{3; 1; 2}^{− −}

)

^. ^B.

(

^{3; 1; 2}⁻

)

^. ^C.

(

^{3;1; 2}⁻

)

^. ^D.

(

^{− −}^{3; 1; 2}

)

^.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm^A

(

^{1; 2; 1 ;}⁻

) (

^B ^{2; 1;3 ;}⁻

) (

^C ⁻^3;5;1

)

^{. Tìm}

tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A. ^D

(

⁻^{4; 8; 5}⁻

)

B. ^D

(

⁻^{4; 8; 3}⁻

)

. C. ^D

(

⁻^{2;8; 3}⁻

)

. D. ^D

(

⁻^{2; 2;5}

)

. Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : ³ ¹ ¹

2 1 2

x y z

d − = + = − và điểm ^M

(

^{1; 2; 3}⁻

)

^{. Gọi}M1

là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Độ dài đoạn thẳng OM₁ bằng

A. 2 2. B. 6 . C. 3 . D. 2.

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A

(

⁻^{2; 4;1}

)

^và^B

(

^{4;5; 2}

)

^{. Điểm}^C^{thỏa mãn}^OC⁼^BA^có

tọa độ là

A.

(

^{− − −}^{6; 1; 1}

)

^. ^B.

(

^{− − −}^2; ^{9; 3}

)

^. ^C.

(

^{6; 1;1 .}

)

^D.

(

^{2; 9;3 .}

)

Câu 9. Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz, cho ^A

(

^{1;1; 2 ,}

) (

^B ^{2; 1;1 ,}⁻

) (

^C ^{3; 2; 3}⁻

)

. Tìm tọa độ điểm D để tứ giácABCD là hình bình hành.

A.

(

^{4; 2; 4}⁻

)

^. ^B.

(

^{0; 2;6}⁻

)

^. ^C.

(

^{2; 4; 2}⁻

)

^. ^D.

(

^{4;0; 4}⁻

)

^.

(

^{3;1; 2}⁻

)

^,^B

(

^{2; 3;5}⁻

)

^{. Điểm}^M thuộc đoạn AB sao cho 2

MA= MB, tọa độ điểm M là

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

(8)

A. ⁷; ^{5 8}; 3 3 3 M − 

 

 . B. ^M

(

^{4;5; 9}⁻

)

^. ^C. ³^{; 5;}¹⁷

2 2

M − 

 . D. ^M

(

^{1; 7;12}⁻

)

^.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi a,b,c lần lượt là khoảng cách từ điểm ^M

(

^{1;3; 2}

)

^đến

ba mặt phẳng tọa độ

(

^Oxy

)

^,

(

^Oyz

)

^,

(

^Oxz

)

^{. Tính}^P^{= +}^a ^b²⁺^c³^?

A. P =32. B. P=18. C. P =30. D. P=12.

Câu 12. Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.

A. 9a² . B.

27 2

2

a

. C.

9 2

2

a

. D.

13 2

6

a .

Câu 13. Trong không gian (oxyz) cho OA= −i 2j+3 ,k điểm B(3; 4;1)− và điểm C(2; 0; 1).− Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là

A.(1; 2; 3).− B.( 2; 2; 1).− − C.(2; 2;1).− D.( 1; 2; 3).− −

Câu 14. Trong không gian vói hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn CD=2AB và diện tích bằng 27, đỉnh ^A

(

^{− −}^{1; 1;0}

)

, phương trình đường thẳng chứa cạnh

CD là ² ¹ ³

2 2 1

x− = y+ = z− . Tìm tọa độ điểm D biết x_B x_A.

A. ^D

(

^{− −}^{2; 5;1}

)

^. ^B.^D

(

^{− −}^{3; 5;1}

)

^. ^C.^D

(

^{2; 5;1}⁻

)

^. ^D.^D

(

^{3; 5;1}⁻

)

^.

Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho OA= −i 2j+3k, điểm ^B

(

^{3; 4;1}⁻

)

^{và điểm}^C

(

^{2;0; 1}⁻

)

. Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là

A.

(

^{1; 2;3}⁻

)

^. ^B.

(

⁻^{2; 2; 1}⁻

)

^. ^C.

(

^{2; 2;1}⁻

)

^. ^D.

(

⁻^{1; 2; 3}⁻

)

^.

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho AO= −i 2j+3k, điểm ^B

(

^{3; 4;1}⁻

)

^C

(

^{2;0; 1}⁻

)

^và

điểm ^{D a b c}

(

^{; ;}

)

^{sao cho}^B là trọng tâm tam giác ACD. Khi đó P= + +a b c bằng

A. 1. B. −3. C.−1. D. 3 .

Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D.     biết ^A

(

^{1; 0;1}

)

^,^B

(

^{2;1; 2}

)

^,^D

(

^{1; 1;1}⁻

)

^,

(

^{4;5; 5}

)

C − . Tọa độ của điểm A là:

A. ^A

(

^{4;6; 5}⁻

)

^. ^B.^{A −}

(

^{3; 4; 1}⁻

)

^. ^C.^A

(

^{3;5; 6}⁻

)

^. ^D.^A

(

^3;5;6

)

^.

(

^{2; 2;1}⁻

)

^,^B

(

^{0;1; 2}

)

. Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng

(

^Oxy

)

sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng là

A. ^M

(

^{4; 5; 0}⁻

)

^. ^B.^M

(

^{2; 3; 0}⁻

)

^. ^C.^M

(

^0;0;1

)

^. ^D.^M

(

^4;5;0

)

^.

Câu 19. Trong không gian Oxyz, véctơ u vuông góc với hai véctơ ^a⁼

(

^1;1;1

)

^và^b⁼

(

^{1; 1;3}⁻

)

; đồng thời u tạo với tia Oz một góc tù và độ dài véctơ u bằng 3. Tìm véctơ u.

A. 6 ; ⁶; ⁶

2 2

 

− −

 

 . B. 6 ; ⁶; ⁶

2 2

 

 − 

 

 . C. 6 ; ⁶; ⁶

2 2

 

− 

 

 . D. 6 ; ⁶; ⁶

2 2

 

− −

 

 .

Câu 20. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; 1;1), N(2; 0; 1), P( 1; 2;1)− − − . Xét điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là một hình bình hành. Tọa độ Q là

A. ( 2;1;3)− B. ( 2;1;3)− C. ( 2;1; 3)− − D. (4;1;3)

(9)

Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm^A

(

^{3;5; 1}⁻

)

^,^B

(

^{7; ;1}^x

)

^và^C

(

^{9; 2;}^y

)

^{. Để}^A^,^B^,^C^thẳng

hàng thì giá trị x+y bằng

A. 5 . B. 6 . C. 4. D. 7 .

Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm Hình chiếu vuông góc của trung điểm của đoạn trên mặt phẳng là điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D.

Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M

(

^{2; 5; 4}⁻

)

. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ

(

^xOz

)

^bằng⁵^.

B. Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng 29 .

C. Tọa độ điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng

(

^yOz

)

^là^M^

(

^{2;5; 4}⁻

)

^.

D.Tọa độ điểm M đối xứng với M qua trục Oy là ^M^{ − − −}

(

^{2; 5; 4}

)

^.

Câu 24. Trong không gian Oxyz cho ba điểm ^A

(

⁻^1;1;2

)

^,^B

(

^{0;1; 1}⁻

)

^,^{C x}

(

⁺^{2; ; 2}^y ⁻

)

thẳng hàng. Tổng x y+ bằng

A. ⁷

3 . B. ⁸

−3. C. ²

−3. D. ¹

−3.

Câu 25. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm ^H

(

^2;1;1

)

. Gọi các điểm , ,A B C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox Oy Oz, , sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó hoành độ điểm A là:

A. −3. B. −5 . C. 3. D. 5

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết u =2; v =1 và góc giữa hai vectơ uvà v bằng ² 3



. Tìm k để vectơ ^p⁼^ku⁺^v vuông góc với vectơ ^q^{= −}^u ^v. A. ²

k= 5. B. ⁵

k= 2. C. k=2. D. ² k = −5. Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' ' với ^A

(

⁻^{2;1;3 ,}

)

(

^{2;3;5 ,}

)

C B' 2; 4; 1 ,

(

−

) (

D' 0; 2;1

)

. Tìm tọa độ điểm B.

A.^B

(

^{1; 3;3}⁻

)

^. ^B.^B

(

⁻^1;3;3

)

^. ^C.^C

(

^{1;3; 3}⁻

)

^. ^D.^B

(

^1;3;3

)

^.

Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm ^A

(

⁻^1;2;0

)

^,^B

(

^3;1;0

)

^,^C

(

^0;2;1

)

^và^D

(

^1;2;2

)

. Trong đó có ba điểm thẳng hàng là

A. A, C, D. B. A, B, D. C. B, C, D. D. A, B, C.

Câu 29. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm ^A

(

^1;0;0

)

^,^B

(

^5;0;0

)

^{. Gọi}

( )

^H là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn MA MB. =0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

( )

^H là một đường tròn có bán kính bằng 4. B.

( )

^H là một mặt cầu có bán kính bằng 4. C.

( )

^H là một đường tròn có bán kính bằng 2. D.

( )

^H là một mặt cầu có bán kính bằng 2.

,

Oxyz ^A

(

⁻^{2;3; 4 ,}

) (

^B ^{8; 5; 6 .}⁻

)

I AB

(

Oyz

)

(

^{3; 1;5}

)

N − ^M

(

^{0; 1;5}⁻

)

^Q

(

^0;0;5

)

^P

(

^{3;0;0 .}

)

(10)

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ ^a⁼

(

^2;^m⁻^{1;3 ,}

)

^b⁼

(

^{1;3; 2}⁻ ⁿ

)

^{. Tìm}m n, để các vectơ a b, cùng hướng.

A. 3

7; 4

m= n= − . B. m=4;n= −3. C. m=1;n=0. D. 4

7; 3

m= n= − . Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho ^A

(

^{1;1; 3}⁻

)

^,^B

(

^{3; 1;1}⁻

)

^{. Gọi G} là trọng tâm tam giác OAB,véc

tơ OG có độ dài bằng:

A. 2 5

3 . B. 2 5

5 . C. 3 5

3 . D. 3 5

2 .

Câu 32. Trong không gian vói hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn CD=2AB và diện tích bằng 27 , đỉnh ^A

(

^{− −}^{1; 1;0}

)

, phương trình đường thẳng chứa cạnh

CD là ² ¹ ³

2 2 1

x− = y+ = z− . Tìm tọa độ điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A .

A. ^D

(

^{− −}^{2; 5;1}

)

^. ^B.^D

(

^{− −}^{3; 5;1}

)

^. ^C.^D

(

^{2; 5;1}⁻

)

^. ^D.^D

(

^{3; 5;1}⁻

)

^.

Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm ^A

(

^{2;3; 2}

)

^,^B

(

^{− −}^{2; 1; 4}

)

. Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz sao cho E cách đều hai điểm ,A B.

A. 0;0;¹ 2

 

 

 . B. 0; 0;¹

3

 

 

 . C.

(

^{0; 0; 1}⁻

)

^. ^D.

(

^{0;0;1 .}

)

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ^A

(

^{1; 0; 2}

)

^,^B

(

^{3;1; 4}

)

^,^C

(

^{3; 2;1}⁻

)

. Tìm tọa độ điểm S , biết SA vuông góc với

(

^ABC

)

, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC. có bán kính bằng 3 11

2 và S có cao độ âm.

A. ^S

(

^{4; 6; 4}⁻

)

^. ^B.^S

(

^{4; 6; 4}^{− −}

)

^. ^C.^S

(

⁻^{4;6; 4}⁻

)

^. ^D.^S

(

^{− − −}^{4; 6; 4}

)

^.

Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho hình thang cân ABCD có các đáy lần lượt là AB CD, . Biết

(

^{3;1; 2}

)

A − , ^B

(

⁻^{1;3; 2}

)

^,^C

(

⁻^6;3;6

)

^và^{D a b c}

(

^{; ;}

)

^{với ; ;}^{a b c}^ ^{. Tính T} ^{= + +}^{a b c}^.

A. T= −3. B. T =1. C. T=3. D. T = −1.

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với ^A

(

^{1; 2;5}

)

^,^B

(

^{3; 4;1}

)

^,^C

(

^{2;3; 3}⁻

)

^{. Gọi}G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên ^{mp Oxz}

( )

^{. Độ dài}GM ngắn nhất bằng

A. 2. B. 3 . C. 4. D. 1.

Câu 37. Trong không gian Oxyz cho các điểm ^A

(

^5;1;5

)

^,^B

(

^{4;3; 2}

)

^,^C

(

^{− −}^{3; 2;1}

)

^{. Điểm}^{I a b c}

(

^{; ;}

)

^là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính a+2b c+ ?

A. 1. B. 3 . C. 6 . D. −9.

(11)

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho vectơ ^a⁼

(

^{1; 2; 4}⁻

)

^,b=

(

x y z0; 0; 0

)

cùng phương với vectơ a. Biết vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn và b = 21. Giá trị của tổng x₀+y₀+z₀ bằng

A. −3. B. 6 . C. −6. D. 3 .

Câu 39. Trong không gian Oxyzcho ^A

(

^{4; 2;6}⁻

)

^,^B

(

^{2; 4; 2}

)

^,^M^

( )

^ ^:^x⁺²^y⁻³^z^{− =}⁷ ⁰^{sao cho}^{MA MB}^.

nhỏ nhất. Tọa độ của M bằng A. ^{29 58 5}; ;

13 13 13

 

 

 . B.

(

^{4;3;1 .}

)

^C.

(

^{1;3; 4 .}

)

^D. ³⁷^; ^{56 68}^;

3 3 3

 − 

 

 .

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, ; có tọa độ ba đỉnh ^A

(

^{1; 2;1 ,}

) (

^B ^{2;0; 1 ,}⁻

) (

^C ^6;1;0

)

. Biết hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh

(

^{; ;}

)

D a b c , tìm mệnh đề đúng?

A. a b c+ + =6 . B. a b c+ + =5. C. a b c+ + =8. D. a b c+ + =7.

Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )

^ ^:^x^{+ + − =}^y ^z ³ ⁰ và đường thẳng

1 2

:1 2 1

x y z

d = + = −

− . Gọi  là hình chiếu vuông góc của d trên

( )

^ ^và^u⁼

(

^{1; a;}^b

)

là một vectơ chỉ phương của  với ,a b . Tính tổng a b+ .

A. 0 . B. 1. C. −1. D. −2.

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có ^A

(

^{3 ; 1;1}⁻

)

, hai đỉnh ,

B C thuộc trục Oz và AA =1 (C không trùng với O). Biết véctơ ^u⁼

(

^{a b}^{; ; 2}

)

^{với ,}^{a b}^ ^là

một véctơ chỉ phương của đường thẳng A C . Tính T =a²+b².

A. T=5. B. T =16. C. T =4. D. T =9.

Câu 43. Trong không gian , cho hai điểm và . Biết là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác . Giá trị của bằng

A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.

Câu 44. Trong không gian , cho ba điểm , , . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thuộc nửa khoảng

A. . B. . C. . D. .

Câu 45. Trong không gian , cho ba điểm , , . Độ dài đường phân giác trong đỉnh của tam giác là

A. . B. . C. . D. .

Câu 46. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( )

^P ^:^x^{− + =}^y ² ⁰ và hai điểm ^A

(

^{1; 2;3}

)

^,^B

(

^{1; 0;1}

)

^.

Điểm ^{C a b}

(

^{; ; 2}^{− }

) ( )

^P sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a b+

Oxyz A(1; 2; 2)− 8 4 8

3 3 3; ;

B 

 

  ^{I a b c}^{( ; ; )} OAB a b c− +

Oxyz A(1; 0; 0) ^B

(

^{2; 2; 2}⁻

)

^{11 4 8}^{; ;}

3 3 3

C 

 

 

ABC 0;1

2

 

 

 

1;1 2

 

 

 

1;3 2

 

 

 

3; 2 2

 

 

  Oxyz A( 1; 0; 0)− ^B

(

^{0; 2; 2}⁻

)

^{5 4 8}^{; ;}

3 3 3

C 

 

 

A ABC

12 2 7

12 3 7

13 2 7

13 3 7

(12)

A. 0. B. −3. C. 1. D. 2.

Câu 47. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm (1;0;0)A , (5; 6; 0)B và ^M là điểm thay đổi trên mặt cầu

( )

^S ^:^x²⁺^y²⁺^z² ⁼¹ . Tập hợp các điểm M trên mặt cầu

( )

^S thỏa mãn

2 2

3MA +MB =48 có bao nhiêu phần tử?

A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho OA= + −i j 3k, ^B

(

^{2; 2;1}

)

. Tìm tọa độ điểm

M

thuộc trục tung sao cho MA²+MB² nhỏ nhất.

A. ^M

(

^{0; 2;0}⁻

)

^. ^B. ^{0; ;0}³

M 2 

 

 ^. ^C.^M

(

^{0; 3;0}⁻

)

^. ^D.^M

(

^{0; 4;0}⁻

)

^.

Câu 49. Trong không gian Oxyz cho hai điểm ^A

(

^{1; 5;0}

)

^, ^B

(

^3;3;6

)

và đường thẳng

1 1

: 2 1 2

x y z

d + = − =

− . Điểm ^{M a b c}

(

^{; ;}

)

thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Khi đó biểu thức a+2b+3c bằng

A. 5. B.7. C. 9. D.3.

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho các điểm ^A

(

^{0; 4 2 ;0}

)

^,^B

(

^{0;0; 4 2}

)

^{, điểm}^C^

(

^Oxy

)

và tam giác OAC vuông tại C, hình chiếu vuông góc của O trên BC là điểm H. Khi đó điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng

A. 2 2 . B. 4. C. 3 . D. 2.

(13)

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1. Chọn A

Có AB 2; 2;5 , AC x 1;y 2;1 .

, ,

A B C thẳng hàng AB AC, cùng phương

3

1 2 1 5

8 1

2 2 5

5 x y x

x y y

.

Câu 2. Chọn C

Ta có û+ =  = − = −â ⁰ û â

(

^{1; 2; 1}−

)

. Câu 3. Chọn B

Gọi ^{D a b c}

(

^{; ;}

)

^;^AB⁼

(

^{3;1; 5}⁻

)

^;^AC⁼

(

^{2; 1; 2}^{− −}

)

Vì 3 1 2 1

− nên AB không cùng phương AC  tồn tại hình bình hành ABCD. Suy ra ABCD là hình bình hành khi

3 1 2

1 1 2

5 5

a a

AB DC b b

c c

= − = −

 

 

=  = − −  = −

− = −  =

 

. Vậy ^D

(

^{− −}^{2; 2;5}

)

^.

Câu 4. Chọn C

Vì ^A

(

^1;1;1

)

nên tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng

(

^Oxz

)

^là

(

^{1; 0;1 .}

)

Câu 5. Chọn C

Gọi A x y z

(

^{; ;}

)

^, A x y z'( '; '; ') là điểm đối xứng với điểm A qua trục Oy. Điểm A' đối xứng với điểm A qua trục Oynên

' ' '

x x

y y z z

 = −

 =

 = −



. Do đó ^A^'⁼

(

^{3;1; 2}⁻

)

^.

Câu 6. Chọn B

Ta có ^AB

(

^1;⁻^{3; 4}

)

^;^AC

(

⁻^{4; 3; 2}

)

^nênAB AC; không cùng phương hay , ,A B C không thẳng hàng. Gọi ^{D x y z}

(

^{; ;}

)

 ^DC

(

^{− −}³ ^x^{; 5}⁻^y^{; 1}⁻^z

)

^.

Lúc đó, ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

1 3 4

3 5 8 .

4 1 3

x x

AB DC y y

z z

= − − = −

 

 

=  − = −   =

 = −  = −

 

Vậy ^D

(

⁻^{4;8; 3}⁻

)

^.

Câu 7. Chọn B

(14)

Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng d là:

3 2 1 1 2

x t

y t

z t

 = +

 = − +

 = +



.

Một vtcp của d là ^u⁼

(

^{2;1; 2}

)

^.

Gọi

( )

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M

(

^{1; 2; 3}⁻

)

và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó

( )

^

có vtpt là ⁿ^{= =}^u

(

^{2;1; 2}

)

^.

Phương trình mặt phẳng

( )

^ ^:²

(

^x^{− +}¹

) (

¹ ^y⁻²

) (

⁺² ^z⁺³

)

^{= }⁰ ²^x^{+ +}^y ²^z^{+ =}² ⁰^.

M1 là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên M₁ là giao điểm của d và

( )

^ ^.

Xét hệ phương trình:

( ) ( ) ( )

( )

3 2 1

1 2

1 2 3

2 2 2 0 4

x t

y t

z t

x y z

= +



= − +



 = +

 + + + =



Thay

( ) ( ) ( )

^{1 , 2 , 3} ^vào

( )

⁴ ^{ta được:}^{2 3 2}

(

⁺ ^t

)

^{− + +}¹ ^t ^{2 1 2}

(

⁺ ^t

)

^{+ =}² ⁰ + =  = −⁹^t ⁹ ⁰ ^t ¹.

Suy ra 1

( )

1

2 1; 2; 1

1 x

y M

z

 =

 = −  − −

 = −



.

Độ dài đoạn thẳng OM₁ là: OM1= 1²+ −

( ) ( )

2 ²+ −1 ² = 6 . Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng d là:

3 2 1 1 2

x t

y t

z t

 = +

 = − +

 = +



.

Một vtcp của d là u=

(

2;1; 2

)

.

( ) ( )

1 1 3 2 ; 1 ;1 2 1 2 2 ; 3 ; 4 2

M  d M + t − +t + t MM = + t − +t + t . Ta có MM₁⊥ u MM u₁. =  + − + + + =  = −0 4 4t 3 t 8 4t 0 t 1. Suy ra M1

(

1; 2; 1− −

)

Độ dài đoạn thẳng OM₁ là: OM1= 1²+ −

( ) ( )

2 ²+ −1 ² = 6 . Câu 8. Chọn A

Gọi ^{C x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có}^OC ⁼

(

^{x y z}^{; ;}

)

^,^BA^{= − − −}

(

^{6; 1; 1}

)

^.

Khi đó

6 1 1 x OC BA y x

 = −

=  = −

 = −



. Vậy ^C

(

^{− − −}^{6; 1; 1}

)

^.

Câu 9. Chọn C

Gọi tọa độ điểm ^{D x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có:}^AD^{= −}

(

^x ^1;^y⁻^1;^z⁻²

)

^,^BC⁼

(

^{1;3; 4}⁻

)

^.

(15)

Tứ giác ABCD là hình bình hành

1 1 2

1 3 4

2 4 2

x x

AD BC y y

z z

− = =

 

 

 =  − =  =

 − = −  = −

 

. Vậy ^D

(

^{2; 4; 2}⁻

)

^.

Câu 10. ChọnA

Gọi ^{M x y z}

(

^{; ;}

)

^.

Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA=2MB AM =2MB

( )

7 3 2 2 3

5 7 5 8

1 2 3 ; ;

3 3 3 3

2 2 5 8

3 x

x x

y y y M

z z

z

 =

− = −

 

   

 + =− = − −−  = = −   − 

. Vậy ⁷; ^{5 8}; 3 3 3 M − 

 

 .

Câu 11. Chọn C

Với A x

(

o^;yo^;zo

)

⁽Oxyz⁾. Khi đó d A Oxy

(

^,

( ) )

=zo, d A Oxz

(

^,

( ) )

=yo, d A Oyz

(

^,

( ) )

=xo. Theo bài ra ta có: ^a⁼^{d M Oxy}

(

^;

( ) )

⁼²^;^b⁼^{d M}

(

^;

(

^Oyz

) )

⁼¹^,^c⁼^{d M}

(

^;

(

^Oxz

) )

⁼³^.

2 3 2 3

2 1 3 30

P= + + = + + =a b c . Câu 12. Chọn B

Do thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 3anên ta có bán kính đáy 3

2

R= a và độ dài đường sinh l=3a. Diện tích toàn phần hình trụ là:

2

2 27

2 2

tp 2

S = R + Rl= a . Câu 13. Chọn C

Ta có OA= −i 2j+3k =A(1; 2;3).− Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

1 3 2

3 3 2

2 4 0

3 3 2

3 1 1

3 3 1

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x x

y y y y

z z z z

+ + + +

 = = =



+ + − − +

 = = = −



+ + + −

 = = =



. Vậy G(2; 2;1).−

Câu 14. Chọn A

A B

D R C

l

(16)

Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD. Khi đó H

(

2 2 ; 1 2 ;3+ t − + t +t

)

^^AH

(

^{3 2 ; 2 ;3}⁺ ^{t t} ⁺^t

)

^.

Đường thẳng CDcó vtcp là: ^u

(

^{2; 2;1}

)

^{. Ta có:}

( ) ( )

. 0 2 3 2 2.2 3 0 1 0; 3; 2

AH ⊥ u AH u=  + t + t+ + =  = − t t H − _AH =₃. Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD phương trình ABlà: ¹ ¹

2 2 1

x+ = y+ = z

(

1 2 ; 1 2 ;

)

3 6

BABB − + a − + a a  AB= a CD= a

Theo bài ra ta có: 3 6 2

. .3 27 2

2

2 2

ABCD

a a a AB CD

S AH a

a

=

+ 

= +  =  =   = −

Với ^a^{= − }² ^B

(

^{− − −}^{5; 5; 2}

)

^.

Với ^a^{= }² ^B

(

^{3;3; 2}⁻

)

Ta có: ¹

(

^{2; 5;1}

)

DH = 2ABD − − Câu 15. Chọn C

Từ OA= −i 2j+3k A

(

1; 2;3−

)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

3 2 3 2

3 1

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x x

y y y y

z z z z

+ +

 = =



+ +

 = = −



+ +

 = =



Vậy tọa độ trọng tâm

(

^{2; 2;1}⁻

)

^.

Câu 16. Chọn A Câu 17. Chọn C

Gọi ^{A a b c}^

(

^{; ;}

)

. ' ' ' '

ABCD A B C D là hình hộp AC=AB+AD+AAAA=AC−AB−AD

(

^1;1;1

)

AB= , ^AD⁼

(

^{0; 1; 0}⁻

)

^,^{AC =}

(

^{3;5; 6}⁻

)

^ÂC^{ −}ÂB⁻ÂD⁼

(

^{2;5; 7}⁻

) (

^{1; ;} ¹

)

AA = a− b c−

A B

D H C

(17)

( )

1 2 3

1 5 5

1 7 6