Ths Hoàng Thị Thương – THPT Thuận Thành số 1

Ths Hoàng Thị Thương – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn

ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG

ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I. Cơ sở lý thuyết + ^{a b .  a b . .cos}

 

^{a b , .}

+ a  b a b .  0.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:AC BD AB²CD² AD²BC². Lời giải: Ta có: AB²CD² AD²BC²

     

   

2 2 2 2 2 2 2 2

AB CD AD BC AB AD BC CD AB AD AB AD BC CD BC CD

DB AB AD BC CD BD

       

     

   

       

       

     

 

^{0 . 0}

DB AB AD BC CD DB AC

          

. AC BD

  (đpcm)

Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:

DA BC . DB CA . DC AB .  0 (*).

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

Lời giải

 Ta có: ^{DA BC. DB CA. DC AB.}

     

     

. . .

DA DC DB DB DA DC DC DB DA

        

. . . 0

DA DC DA DB DB DA DB DC DC DB DC DA

          

. (đpcm)

 Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.

Khi đó ta có HA BC .  0,HC AB .  0 (1)

Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được HA BC . HB CA . HC AB .  0 (2) Từ (1) (2) ta có HB CA .  0

suy ra BH vuông góc với AC Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).

Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB2a, đáy lớn BC3a, đáy nhỏ ADa. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng AI BD.

Ths Hoàng Thị Thương – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn

Lời giải

Ta có: ^{AI 1}₂



^{ ADAC}



 

 

1 2

1 3

2

2 1 .

2

AD AB BC AD AB AD AD AB

  

  

 

  

  

 

. BDADAB

  

Suy ra ^{AI BD. 2AD1}₂^AB



^ADAB



 

     

 

²

2 1 2 2 1

2 2 2 0

2 2

AD AB AD AD

    

. AI BD

  (đpcm)

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi ^M



^1;3



là trung điểm của cạnh

BC,  

 

 

3 1;

N 2 2 là điểm trên cạnh AC sao cho 1 4 .

AN AC Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết D nằm trên đường thẳng

x  y  3  0.

Lời giải

 Ta có:    NM NAABBM

 

1 1

4 2

3 1

4 4 .

AB AD AB AD AB AD

    

 

   

 

NDNAAD

  

^{ 1}₄



^{ ABAD}



^{AD 3}₄^{AD1}₄^{AB.}

Suy ra: . ^{3 1 3 1}

4 4 4 4

NM ND  AB AD  AD AB

     

   

     

2 2

3 3

16AB 16AD 0

     NM ND. Phương trình đường thẳng DN x: y 1 0

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ ^ ^{   } ^{ }



^



    

 

1 0 1

3 0 2 1; 2

x y x

x y y D

A B

D C

I M N

A D

B C

I

Ths Hoàng Thị Thương – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn

Giả sử ^{A m n}



^;



^{, từ AC4ANC}



^{ 6 3 ; 2 3m  n}



^.

Từ ^{ABDCB}



^{ 7 2 ; 4m 2n}



^.

Suy ra tọa độ điểm M là ^_^{   }_

 

13 5 6 5

2 ; 2

m n

M

Từ đó ta có ^^{   } ^{  }



^

 

^

  

  

 

13 5 2 3

3; 0 , 1; 4 , 3; 2

6 5 6 0

m m

A B C

n n

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng

  

1: 2 2 0

d x y , đỉnh C thuộc đường thẳng d₂:xy50. Gọi H là hình chiếu của B xuống AC.

Biết điểm ^_ ^_

 

 

9 2; , 9;2

M 5 5 K lần lượt là trung điểm của AH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm C có tung độ dương.

Lời giải: Ta có: MK  MCCK 1

MC 2BA

 

 

1

MC 2 HA HB

   .

1 .

MBHBHM HB2HA

    

Suy ra

1 1 1

. 2 2 2

MK MB MC HA HB HB HA

      

   

      

2 2

1 1 1

2MC HA. 4HA 2HB

      

1 1 2 1

. .

2MC HA 4HA 2HA HC

  

2 2

1 1 1 1 1

. . 0.

2HA HM 4HA 2HA 2HA 4HA

     MKMB.

Phương trình đường thẳng BM: 9x2y85. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ ^ ^{  }

 

  



9 2 85

2 2 1; 4 x y

x y B

Giả sử ^{C c c}



^{; 5}



^{, Từ}

    

   

  

      

  



  9 9; 4

. 0 9 2 8 0

4 4; 1

c C

BC KC c c

c C lo¹i Phương trình đường thẳng BH: 2xy6. Phương trình đường thẳng MC x: 2y1 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ ^ ^ ^{  } ^^

 

2 6 13 4

; 1; 0

5 5

2 1

x y

H A

x y . Từ đó tìm được ^D



^{9;0 .}



B

C

A D

H M

K

Ths Hoàng Thị Thương – THPT Thuận Thành số 1

www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn

III. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn



^{O R;}



và hai dây cung AA BB', ' vuông tại S. Gọi M là trung điểm của AB.

Chứng minh rằng SM  A B' '.

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh ^A



^3;1



, đỉnh C nằm trên đường thẳng :x2y50. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CECD, biết ^N



^{6; 2}



^là

hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và B) có

2 .

BC AD Điểm ^_ ^_

 

13 9;

H 5 5 là hình chiếu vuông góc của điểm B lên cạnh CD. Xác định tọa độ các đỉnh B và D của hình thang, biết điểm ^A



^3;1



và trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng

2  1 0.

x y