Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán Lớp 12 Tỉnh Quảng Nam Năm 2016-2017 Có Đáp Án

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: TOÁN – Phần Trắc nghiệm khách quan Thời gian: 40 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 25/3/2017

(Phần Trắc nghiệm khách quan gồm có 03 trang)

Họ và tên thí sinh: ………..

Số báo danh: ……….………..

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x  4x² .

A. maxy 2. B. maxy2. C. maxy4. D. maxy2 2.

Câu 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực ^m để đồ thị hàm số y x ⁴2mx² 2 m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

A.



0 ; 1



. B.



0 ; 2



. C.



1 ; 2



. D.



 ; 2



. Câu 3. Hỏi hàm số

3 2

2

6 9 1, 0

1, 2 0

1, 2

x x x khi x

y x khi x

x khi x

    

     

   



có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực ^m để hàm số y 3 sinxcosx mx đồng biến trên khoảng (0;3 ) .

A.



^{2 ; }



^. ^B.



^{2 ;}^{ }



^. ^C.^¹₂ ^;  ^. D.



^{  }^{2 ;}



^.

Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y 1 log (2 ₃ x).

A. ^D^{ }



^{1; 2}



. B. ^D^{ }



^{1; 2}



. C. ^D^{ }



^{; 2}



. D. ^D^{  }



^1;



.

Câu 6. Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn: log₂₇a²log₉b² 2016 và log₉a²log₂₇b² 2017. Tính tích .a b.

A. 1

. 27

a b . B. .a b3. C. .a b9. D. .a b27.

Câu 7. Biết rằng phương trình 6^x 12 2^x^²  3^x^¹ có hai nghiệm thực x x₁, ₂ và

1 2 log 32 log 23

x x m n . Tính m n .

A. 3

m n 2. B. ^{m n}^{ }². C. ^{m n}^{ }³. D. ^{m n}^{ }⁵.

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực ^m sao cho tập nghiệm của bất phương trình

22 1

2

log x(m1) log x m  2 0 chứa khoảng (1 ; 8) .

A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1.

Mã đề thi 001 ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(2)

C. ( ) ln tan 2 f x dx x C



^. ^D.



^{f x dx}^{( )} ^¹₂^{ln tan}₂^x ^^C^.

Câu 10. Biết

1 0 2

ln( 1

.ln 2 .ln )

( 3

2)

x dx a b

x   



 ^{. Tính}^{a b}^ ^.

A. 2

a b  3. B. 2

a b  3. C. 4

a b  3. D. 4 a b  3.

Câu 11. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ylnx, đường thẳng x2 và trục hoành là S a ln 2b. Tính a b .

A. a b 1. B. a b  1. C. a b 3. D. a b 2. Câu 12. Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3

( ) : C y 1

 x

 , đường thẳng 1 ( ) :

d y2x và trục tung. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.

2 2 2

3

3 1

1 2

V x dx

 x



    





      ^. ^B. ² ² ²

0

1 3

2 1

V x dx

 ^^ ^ ^x ^ ^





      ^. C.

2 2 2

0

3 1

1 2

V x dx

 ^^x ^ ^ ^ ^





      ^. ^D. ² ²

0

3 1

V 1 2x dx

  x 





    ^.

Câu 13. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD A B C D. ' ' ' ' có diện tích các mặt ABCD, ABB A' ' , ADD A' ' lần lượt là ₁₂ _cm²_{, 27} _cm²_{, 36}_cm².

A. V 36 cm³. B. V 54 cm³. C. V 75cm³. D. V 108cm³.

Câu 14. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có thể tích bằng V . Gọi , , ,

M N P Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB SBC SCD SDA, , , . Tính thể tích V' của khối chóp .O MNPQ.

A. 4

' 27

V  V . B. 2

' 27

V  V . C. 2

' 9

V  V . D. '

9 V V .

Câu 15. Cho hình trụ có trục OO' và có chiều cao bằng hai lần bán kính đáy. Trên hai đường tròn đáy ( )O , ( ')O lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và O B' bằng 60 . Biết độ⁰ dài đoạn thẳng AB bằng ^a, tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho.

A. 2 ³

9 3

V  a . B. 2 ³

3 3

V  a . C. 2 ³

15 5

V  a . D. 2 ³

5 5 V  a .

Câu 16. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh ^S^xq của hình nón.

A. Sxq ⁸ . B. Sxq ⁴ . C. S_xq 4 2. D. S_xq 2 2.

Câu 17. Một cái phễu dạng hình nón có chiều cao bằng 20 cm. Người ta đổ nước vào cái phễu sao cho chiều cao của nước trong phễu bằng 2

3 chiều cao của phễu (mặt nước vuông góc với trục của phễu). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu và úp phễu xuống (xem hình minh họa) thì chiều cao của nước trong phễu bằng bao nhiêu (giá trị gần đúng làm tròn đến hàng phần trăm)?

(3)

A. 2, 21cm. B. 3, 22cm. C. 5,09cm. D. 6,67 cm.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 x y z   3 0. Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( ) .

A. ( ) :P x2y0. B. ( ) :P x2z0. C. ( ) :P x2z0. D. ( ) : 2P x z 0. Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh (1; 1;0)A  , (2;0;1)B ,

( 1; 2; 1)

C   . Viết phương trình chính tắc của thẳng d chứa đường cao vẽ từ A của tam giác ABC.

A. 1 1

: 2 2 1

x y z

d    

 . B. 1 1

: 8 23 11

x y z

d    

 . C. 2 1

: 2 1 2

x y z

d    

 . D. 1 1

: 8 23 11

x y z

d     .

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm ( 1;0; 2), (1;1; 1), (3; 2;4)A  B  C  . Trong tất cả các mặt cầu đi qua 3 điểm , ,A B C, hãy tìm tọa độ tâm I của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

A. ^2; ^{1 3}^;

I 2 2. B. ^1; ^{1 5}^;

I 3 3. C. ^{0; ;}^{1 1} I 2 2

 

 . D. ^I



^{1; 1;3}^



. --- Hết phần Trắc nghiệm khách quan ---

(4)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: TOÁN – Phần Trắc nghiệm khách quan Thời gian: 40 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 25/3/2017

(Phần Trắc nghiệm khách quan gồm có 03 trang)

Họ và tên thí sinh: ………..

Số báo danh: ……….………..

Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x  4x² .

A. miny  2. B. min y 2 2. C. miny 2. D. miny 4.

Câu 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực ^m để đồ thị hàm số y x ⁴2mx² 6 m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

A.



^{2 ; 6}



. B.



^{3 ; 6}



. C.



^{0 ; 2}



. D.



^{ }^{; 3}



. Câu 3. Hỏi hàm số

3 2

2

6 9 1, 0

1, 1 0

4 5, 1

x x x khi x

y x khi x

x x khi x

    

     

    



có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 . B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực ^m để hàm số ysinx 3 cosx mx đồng biến trên khoảng (0;3 ) .

A.



^{2 ; }



. B.



^^{; 2}



. C.



^{ }^{; 2}



. D. ^; ¹ 2

  

 

 .

Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y 2 log (1 ₂ x).

A. ^D^{ }



^{; 2}



. B. ^D^{  }



^3;



. C. ^D^{ }



^{; 1}



. D. ^D^{ }



^{3; 1}



.

Câu 6. Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn: log₄alog₈b³ 2016 và log₈a³log₁₆b²2017. Tính tích .a b.

A. 1

. 4

a b . B. .a b4. C. 1

. 2

a b . D. .a b2.

Câu 7. Biết rằng phương trình 6^x  24 2^x^³ 3^x^¹ có hai nghiệm thực x x₁, ₂ và

1 2 log 32 log 23

x x m n . Tính m n .

A. m n 4. B. m n 3. C. m n 2. D. m n 1.

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực ^m sao cho tập nghiệm của bất phương trình

22 1

2

log x(m2) log x m  3 0 chứa khoảng (1 ; 4) .

A. m1. B. m1. C. m1. D. m1.

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số 1 ( ) sin f x  x.

A. 1₂

( ) sin

f x dx C

  x



^. ^B.



^{f x dx}^{( )} ^¹₂^{ln tan}₂^x ^^C^.

Mã đề thi 002 ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(5)

C.



f x dx( ) ln sinx C ^. ^D.



^{f x dx}^{( )} ^^{ln tan}₂^x ^^C^.

Câu 10. Biết

1 0 2

ln( 2

.ln 2 .ln )

( 3

1)

x dx a b

x   



 ^{. Tính}^{a b}^ ^.

A. 1

a b  2. B. 1

a b  2. C. 3

a b  2. D. 3

a b  2.

Câu 11. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ylnx, đường thẳng x3 và trục hoành là S a ln 3b. Tính a b .

A. a b 0. B. a b 1. C. a b 2. D. a b 5. Câu 12. Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 4

( ) : C y 1

 x

 , đường thẳng 1 ( ) :

d y3x và trục tung. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.

3 2 2

0

4 1

1 3

V x dx

 ^^x ^ ^ ^ ^





      ^. ^B. ³ ²

0

4 1

V 1 3x dx

 x 





    ^. C.

4 2 2

0

4 1

1 3

V x dx

 ^^x ^ ^ ^ ^





      ^. ^D. ³ ² ²

0

1 4

3 1

V x dx

 ^^ ^ ^x ^ ^





      ^.

Câu 13. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD A B C D. ' ' ' ' có diện tích các mặt ABCD, ABB A' ' , ADD A' ' lần lượt là 12 cm², 24cm², 32 cm².

A. V 68cm³. B. V 48cm³. C. V 96cm³. D. V 32 cm³.

Câu 14. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có thể tích bằng V . Gọi , , ,

M N P Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB SBC SCD SDA, , , . Tính thể tích V' của khối chóp .O MNPQ.

A. 2 ' 27

V  V . B. 4

' 27

V  V . C. '

9

V V . D. 2

' 9

V  V .

Câu 15. Cho hình trụ có trục OO' và có chiều cao bằng hai lần bán kính đáy. Trên hai đường tròn đáy ( )O , ( ')O lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và O B' bằng 60 . Biết độ⁰ dài đoạn thẳng AB bằng ^a, tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho.

A. 2 ³

15 5

V  a . B. 2 ³

5 5

V  a . C. 2 ³

9 3

V  a . D. 2 ³

3 3 V  a .

Câu 16. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón.

A. ^{9 2}

xq 2

S _  . B. S_xq 18 2. C. Sxq ⁹. D. S_xq 9 2 .

Câu 17. Một cái phễu dạng hình nón có chiều cao bằng 25cm. Người ta đổ nước vào cái phễu sao cho chiều cao của nước trong phễu bằng 2

3 chiều cao của phễu (mặt nước vuông góc với trục của phễu). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu và úp phễu xuống (xem hình minh họa) thì chiều cao của nước trong phễu bằng bao nhiêu (giá trị gần đúng làm tròn đến hàng phần trăm)?

(6)

A. 6,37 cm. B. 2,76cm. C. 8,33 cm. D. 4,03cm.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 x y z   3 0. Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng ( ) .

A. ( ) :P x2y0. B. ( ) :P x2y0. C. ( ) :P x2z0. D. ( ) :P y z 0.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh (1;1;3)A , (0;1; 2)B  , (3; 2;1)

C  . Viết phương trình tham số của thẳng d chứa đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. A.

1 2

: 1

3 3 .

x t

d y t

z t

  

  

  



B.

1

: 1 2

3 .

x t

d y t

z t

  

  

  



C.

1

: 1 2

3 3 .

x t

d y t

z t

  

  

  



D.

1 2

: 1 3

3 .

x t

d y t

z t

  

  

  



Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm ( 1;0;1), (2; 1; 2), (1; 4; 1)A  B  C  . Trong tất cả các mặt cầu đi qua 3 điểm , ,A B C, hãy tìm tọa độ tâm I của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

A. ²^{; 1 ;}²

3 3

I 

 

 . B. ¹^; ^{1 3}^; 2 2 2

I  . C. ¹^; ^{5 3}^; 2 2 2

I  . D. ^{3 3 1}^{; ;} 2 2 2 I 

 

 .

--- Hết phần Trắc nghiệm khách quan ---

(7)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: TOÁN – Phần Trắc nghiệm tự luận Thời gian: 80 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 25/3/2017

Câu 1 (2,0 điểm).

Cho hàm số 2 3

1 y x

x

  

 có đồ thị ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến này cắt hai trục Ox Oy, lần lượt tại hai điểm ,A B khác O và 5OA4OB.

Câu 2 (2,0 điểm).

Tính tích phân

ln8

ln3

1 1

x

I x e x dx

x e

 





    ^. Câu 3 (1,0 điểm).

Giải phương trình log₂xlog (₃ x 1) log (₄ x 2) log (₅ x3) trên tập số thực.

Câu 4 (2,0 điểm).

Cho hình chóp ^{S ABC}^. có đáy ÂBC là tam giác đều cạnh â. Gọi ^M là điểm thuộc cạnh ^BC sao cho ^MC^²^MB, ^N là trung điểm cạnh ÂC. Hai mặt phẳng (SAM) và (SBN) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60 .⁰

a) Tính thể tích khối chóp S ABC. theo ^a.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo ^a. Câu 5 (2,0 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y z 0 và đường thẳng

1 1 3

: 2 1 1

x y z

d   

  .

a) Mặt cầu ( )S có tâm thuộc đường thẳng ^d, bán kính R 6 và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P . Viết phương trình mặt cầu ( )S .

b) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng ^d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc có số đo nhỏ nhất.

Câu 6 (1,0 điểm).

Cho ba số thực dương , ,a b c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 18

( ) ( 2 )( 2 ) P a b c

a b a c b c

   

   .

--- Hết --- ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(8)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 - 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (10,0 điểm).

Mã đề thi 001

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 1 1 1

2 1 3 1

4 1 5 1

6 1 7 1

8 1 9 2

0

Phương án D C B A B D C A C B A C D B D C A B D A

Mã đề thi 002

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 1 1 1

2 1 3 1

4 1 5 1

6 1 7 1

8 1 9 2

0

Phương án B A D C D B A C D C B A C A B D B A C D

II. PHẦN TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN (10,0 điểm).

Câu Đáp án Điểm

1

(2,0) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C . 2,0 Tập xác định ^{D R}^ ^\

 

^¹ ; ^' ⁵ ₂ ^0, ¹

( 1)

y x

x

     

 . 0,25

Suy ra mọi tiếp tuyến của (C) có hệ số góc âm. 0,25

Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm của (C) và tiếp tuyến  thỏa đề.

Hệ số góc tiếp tuyến  là: 0 2 0

'( ) 5

( 1)

k y x x

  

 . 0,25

Từ giả thiết suy ra  có hệ số góc  5

tan 4

k OAB OB

   OA  . 0,5

Do đó: 0 2 ⁰

0 0

5 5 5 1

'( ) 4 ( 1) 4 3

y x x

x x

 

          0,25

+ Với x₀ 1 thì ₀ 1

y 2  PTTT  là: 5 1

( 1)

4 2

y  x  hay 5 7

4 4

y  x . 0,25

+ Với x₀  3 thì ₀ 9

y  2  PTTT  là: 5 9

( 3)

4 2

y  x  hay 5 33

4 4

y  x . 0,25 Cách khác:

+ Gọi  là tiếp tuyến thỏa đề.

Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) tại M x y( ; )0 0 có dạng:

0 0 0

'( )( )

y y x x x y 2 0 ⁰

0 0

2 3

5 ( )

( 1) 1

y x x x

x x

 

    

  (d). 0,25

+

2

0 0

2 6 3

Ox = A A ;0

5

x x

   

    

  ^0,25

+

2

0 0

2 0

2 6 3

Oy = B B 0;

( 1)

x x

x

    

      ^0,25

+

2 2 2 2

0 0 0 0

4 0

2 6 3 ( 2 6 3)

5OA=4OB 25 16.

5 ( 1)

x x x x

x

      

     ^(*) ^0,25

+ vì A và B không trùng với O nên 2x₀²6x₀ 3 0 _0,25

(9)

Do đó (*) 0 ⁴ ⁰ 0

( 1) 16 1

3 x x

x

 

       ^0,25

+ Với x₀ 1 thì ₀ 1

y 2  PTTT () là: 5 1

( 1)

4 2

y  x  hay 5 7

4 4

y  x . 0,25 + Với x₀  3 thì ₀ 9

y  2  PTTT () là: 5 9 ( 3)

4 2

y  x  hay 5 33

4 4

y  x .

* Nếu học sinh giải ra 4 tiếp tuyến thì trừ 0,5 điểm.

0,25 2

(2,0)

Tính tích phân . 2,0

Ta có:

ln8 ln8 ln8

ln 3 ln 3 ln3

1 1

x x

I x e dx xe dx dx

x e e

 





    







 ^0,25

Tính

ln8

ln 3

M 



xe dxx ^{. Đặt}^^_^{u x}_{dv e}^_ ^x^^^_^{du dx}_{v e}_^^x ^0,25

Khi đó:

ln8 ln8 ln3 ln3

( ^x) ^x

M  xe 



e dx ^0,25

^ln8 ^ln8

ln3 ln 3

(xe^x) e^x 24ln 2 3ln 3 5

     0,25

Tính

ln8 ln8

ln3 ln 3

1 1

1 . 1

x

x x x

N dx e dx

e e e

 

 

 

^0,25

Đặt t e^x  1 t² e^x 1 2tdt e dx ^x ; xln 3 t 2, xln 8 t 3. 0,25 Khi đó:

3 3

2 2 2

2 1 1

1 1

N 1dt dt

t t

t

 





 



     ^0,25

lnt1³₂ln t1³₂ ln 3 ln 2 . Vậy I M N23ln 2 2 ln 3 5  . 0,25

Câu Đáp án Điểm

3

(1,0) Giải phương trình log₂xlog (₃ x 1) log (₄ x 2) log (₅ x3) (1) 1,0 + Điều kiện x0

x2 thỏa phương trình (1). 0,25

+ Xét x2:

2 2 4 2 4

3 3 5 3 5

2 2 2 2

1 log log log log log

2 4 2 4 4 2 4

1 3 1 3 3 1 3

1 log log log log log

3 5 3 5 5 3 5

x x x x x x x

   

       

  

  

         

       

  

  

0,25

2 4

2 3 4 5

3 5

log log ( 2)

log log ( 1) log ( 2) log ( 3) log ( 1) log ( 3)

x x

x x x x

x x

 

           0,25

+ Xét 0 x 2:

2 2 4 2 4

2 2 2 2

0 1 log log log log log

2 4 2 4 4 2 4

x x x x x x x

        

  

  

         

0,25

(10)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x2.

Ghi chú: Nếu học sinh xét trường hợp 0 x 2 trước đúng thì được 0,5 điểm;

trường hợp còn lại 0,25 điểm.

Cách khác:

+ Điều kiện x0

2 3 4 5

log xlog (x 1) log (x 2) log (x3)

2 4 3 5

log x log (x 2) log (x 1) log (x 3) 0

        (*)

-Xét f x( ) log ₂xlog (₄ x 2) log (₃ x 1) log (₅ x3)

1 1 1 1

'( ) .ln 2 ( 2).ln 4 ( 1).ln 3 ( 3) ln 5

f x  x  x  x  x

  

1 1

2 0 2 0 1 1

ln 4 ln 2 0 1 1 .ln 2 ( 2).ln 4

ln 2 ln 4 0

x x x x

x x

  

   

    

    

   



1 1

3 1 0 1 3 0 1 1

ln 5 ln 3 0 1 1 ( 1).ln 3 ( 3) ln 5

ln 3 ln 5 0

x x x x

x x

  

    

     

     

   



Suy ra '( ) 0,f x   x 0. Do đó f(x) đồng biến trên khoảng (0;).

Mà x=2 là nghiệm của phương trình (*). Vậy pt đã cho có một nghiệm duy nhất x=2.

4 (2,0)

a) Tính thể tích khối chóp S ABC. theo ^a. 1,0

Q P

I D

F H M

A N

C

B S

E K

+ Gọi H là giao điểm của AMvà BN. Lập luận được SH (ABC).

+ Dựng HEAB E AB(  ). Chỉ ra được ((^SAB), (ABC))SEH^ 60⁰. 0,25 + Gọi F là trung điểm của MC thì M là trung điểm BF.

^NF^{/ /}^AM (t/c đường trung bình) hay ^NF^{/ /}^HM  H là trung điểm của ^BN 0,25 + Trong tam giác HBE vuông tại E có: _.sin^ ³_{.sin 30}⁰ ³

4 8

a a

HE HB HBE  .

+ Trong tam giác SHE vuông tại H có: .tan^ ³.tan 60⁰ ³

8 8

a a

SH HE SEH   .

0,25

+ Diện tích tam giác ABC: ² ³

ABC a 4

S  .

+ Thể tích khối chóp S.ABC là: _V _¹_S_ABC_._SH _¹_.â² ^{3 3}_. â _ â³ ³ .

0,25

I F

Q

P D

E

M H

N A

B C

(11)

Câu Đáp án Điểm b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ^SA và ^BC theo ^a. 1,0 + Dựng hình thoi ^ABCD.

+ Vì BC/ /(SAD) nên: ^{d BC SA}



^,



^^{d BC SAD}



^,

  

^^{d M SAD}



^,

  

. 0,25

+ Ta có: 4

2 4

AM  NF  HM MA 3HA. Do đó 4

( ,( )) . ( ,( ))

d M SAD  3 d H SAD . 0,25 + Qua H, dựng đường thẳng vuông góc với AD tại P và cắt ^BC tại Q.

Ta có: 3 3 3 3 3 3

4 4 4. 2 8

HP HA a a

HP PQ

QP  MA     0,25

+ Dựng HKSP K SP(  ). Chứng minh HK(SAD)  ( ,(d H SAD))HK. + Trong tam giác SHP vuông tại H có:

2 2

2

2 2 2

1 1 1 8 8 16 3 3

3 3 3 3 3 16

HK a

a a a

HK HS HP

   

 

          .

Vậy

 

⁴ ³

, 3

4 H a

d BC SA  K  .

0,25

5

(2,0) a) Viết phương trình mặt cầu ( )S . 1,0

Goi I là tâm của (S). Vì I  d nên ( 1 2 ; 1 ;3I   t  t t). 0,25 Vì ( )S có bán kính R 6 và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P nên:

| 1 2 2( 1 ) (3 ) | | 3 6 | 0

( ,( )) 6 6

6 6 4

t t t t t

d I P R

t

 

       

       

0,25 t = 0  I(–1;–1;3). Phương trình mặt cầu (S) là (x1)²(y1)² (z 3)² 6 0,25 t = 4  I(7;3;7). Phương trình mặt cầu (S) là (x7)²(y3)² (z 7)² 6 0,25

b) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q . 1,0

P

Q d

a

A

B

H K

+ Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q). Khi đó a đi qua giao điểm A của d và (P), A cố định. Lấy điểm B cố định trên d (B khác A). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (P), H cố định. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên a. Góc giữa (P) và

(Q) là BKH . 0,25

Ta có tan BH

BKH  KH . Mà BH không đổi và KH AH nên:

BKH nhỏ nhất  tanBKH nhỏ nhất  KH lớn nhất  K trùng A hay d a tại A, tức là a nằm trong mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.

0,25 + Một VTPT của (P) là n_P (1;2; 1)

, một VTCP của d là u_d (2;1;1) . + Một VTCP của a là 1

, (1; 1; 1)

a P d

u  n u   

  

. 0,25

(12)

+ Cách khác :

+ Từ phương trình đường thẳng d suy ra : 2 1 0 4 0 x y y z

  

   



+ Mặt phẳng (Q) chứa d nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:

( 2 1) ( 4) 0 ( 2 ) 4 0

a x y b y z   ax b a y bz a   b (a²b² 0). (Học sinh không cần lập luận hay chứng minh )







³ ₂ ₂

cos cos ( ),( ) .

5 5 4 2

P Q b a

a ab b

 

 

  ,

+  bé nhất khi cos² lớn nhất hay ²₂ 2 ²₂

5 4 2

a ab b

H a ab b

 

   lớn nhất

0.25

- Với 1

0 5

b H 

- Với ²

2

0 ( ) 2 1

5 4 2

t t

b H f t

t t

     

  , với a t b

0.25

+ Lập bảng biến thiên suy ra được: 1

max max ( )

H  f t 2 khi t=0 hay a=0. 0,25

Từ 2 trường hợp trêm suy ra: 1

maxH 2 khi a=0, b khác 0.

Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) cần viết phương trình là: y z  4 0.

0,25

(13)

Câu6 Đáp án Điểm (1,0) Cho ba số thực dương a b c, , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 18

( ) ( 2 )( 2 ) P a b c

a b a c b c

   

   . 1,0

2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 ( ) ( 1) ( 1)

2 2 4

a b c   a b  c  a b c   0,25

1 2 2

( ) ( 2 )( 2 ) (3 3 ).( 4 ) ( )

6 3

a b a c b c  a b a b  c  a b c 

2

18 27

(a b) (a 2 )(c b 2 )c (a b c)

 

     .

 ¹₄⁽ ¹⁾² ²⁷ ₂ ¹

( )

P a b c

a b c

     

 

0,25

Đặt x a b c x   , 0. 1 ² 27₂

( 1) 1

P 4 x

   x  Xét hàm số 1 ² 27₂

( ) ( 1) 1

f x 4 x

   x  , với x0.

4 3 3 2

3 3 3

1 54 108 ( 3)( 4 12 36)

'( ) ( 1)

2 2 2

x x x x x x

f x x

x x x

     

    

0,25

Lập BBT suy ra: _(0;min₎ f x( ) f(3) 6 minP 6

     , khi a b c  1. 0,25

Cách khác:

2 2 2 ( )2

3 a b c

a b c  

   (dấu bằng xảy ra khi a=b=c) (a b ) (a2 )(c b2 )c  (a b a b a )(  )( 2 )(c b2 )c

 

⁴ ²

4

4 3 3 3 3 4 1 2

( 2 )( 2 ) . 4( ) ( )

9 2 2 2 2 9 4 3

a b a b

a c b c a b c a b c

  

             

2

18 27

(a b) (a 2 )(c b 2 )c (a b c)

 

     (dấu bằng xảy ra khi a=b=c)

Do đó ⁽ ⁾² ²⁷ ₂ 2 ⁽ ⁾². ²⁷ ₂ 6

3 ( ) 3 ( )

a b c a b c

P a b c a b c

   

   

   

(dấu bằng xảy ra khi a+b+c=3) Vậy minP = 6 khi a=b=c=1 .

(14)