Tóm tắt ký thuyết ôn thi quốc gia môn Toán

(1)

1

TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 1. Phương trình bậc 2: ax²+bx+c = 0

với x1, x₂ là nghiệm thì

 ax²+ bx + c = a(x-x1)(x-x2);

 với =b²- 4ac (’=b’²-ac với b’=b/2)







    





 

a x b

2 ' '

2 ¹^,²

2 , 1

 Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= c/a;

 Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – c/a;

 Định lý vi-et:

S= x₁+ x₂= – b/a; P = x₁.x₂= c/a 2. Tam thức bậc hai f(x)= ax²+bx+c

 <0 thì f(x) cùng dấu a

 





 

 0

0 0 )

( a

x

f

 





 

 0

0 0 )

( a

x f

1 2

0 . 0

0

0 0

0

x x a c

x x S

P

x x S

P

    

 

    

 

 

    

 

3. Phương trình bậc ba: ax³+bx²+cx+d = 0

 Nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;

dùng Hoocner ta có:

ax³+ bx²+ cx+ d = (x-1)(ax² + x + ) = 0 với = a+b; = +c

 Nếu a- b+ c- d=0 thì x1= -1 BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất của bất đẳng thức:

a. A > B và B > C  A > C b. A > B  A + C > B + C

c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC d. Nếu C < 0 thì A > B  AC < BC 2. Các hệ quả:

a. ^A ^B A C B D

C D

 

   

 

Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều

b. ^A ^B ⁰ A.C B.D

C D 0

  

 

  



c. Với A.B 0 ta có A>B ¹ ¹

A B

  

d. Với A, B ≥ 0, nN : A^  B A²ⁿ B²ⁿ e. Với A, B và nN : A^  B A^{2n 1}^ B^{2n 1}^ f. A > B ≥ 0  A  B

g. A > B  ³A ³ B

3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số không âm:

Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: ^a ^b ab 2

  . Dấu “=” xảy ra  a = b.

4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm:

Cho ba số a 0 , b 0 , c 0   ta có :^a ^b ^c ³abc

3

   . Dấu “=” xảy ra  a = b = c.

* Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si :

1 1

(1) (a b) 4 , a, b 0

a b

1 1 4 1 1 1 1

hay hay

a b a b a b 4 a b

 

     

 

        Dấu “=” xảy ra  a = b

1 1 1

(2) (a b c) 9 , a, b, c 0 a b c

1 1 1 9 1 1 1 1 1

hay hay

a b c a b c a b c 9 a b c

 

       

 

           

Dấu “=” xảy ra  a = b = c 5. Bất đẳng thức Bunhiacopski:

a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số:

Với 4 số thực bất kỳ ^a ^b c d

 

 

  ta có:

2 2 2 2 2

(a b )(c d )(ac bd) . Dấu “=” xảy ra  ^a ^b

c d

b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số:

(2)

2 Với 6 số thực bất kỳ ^a ^b ^c

x y z

 

 

  ta có:

2 2 2 2 2 2 2

(a b c )(x y z )(axby cz) D ấu “=” xảy ra  ^a ^b ^c

x  y z

c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski

(1)a² b²



^a ^b



²

, a, b R và x, y 0

x y x y

     

 (2)

 

²

2 2 2 a b c

a b c

x y z x y z ,

( a, b, c R và x, y, z 0)

    

 

  

7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Với hai số A, B tùy ý, ta có:

a. A B A  B. b. A  B  AB . Dấu “=” xảy ra  A.B ≥ 0.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

a. Công thức cơ bản :

2 2

sin a cos a 1 tan a.cot a 1

sin a 1

tan a 1 tan a

cos a cos a

cos a 1

cot a 1 cot a

sin a sin a

  

  

b. Công thức cộng:

 cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b

 cos(a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b

 sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b

 sin(a-b)=sin a.cos b - cos a.sin b

 tan(a+b) = ^tan ^tan 1 tan . tan

a b





 tan (a - b )= ^tan ^tan 1 tan . tan

a b





 cot ( a + b) =^{cot .cot} ¹ cot cot

a b

b a





 cot ( a – b )=^{cot .cot} ¹ cot cot

a b

b b



 c. Công thức nhân đôi:

 sin 2a = 2 sin a.cos a

 cos 2a = cos²a - sin²a

= 2 cos²a-1 = 1-2sin²a

 tan 2a = ^{2 tan}₂ 1 tan

a

 a

 cot 2a =

cot2 1 2 cot

a a



d. Công thức hạ bậc:

 cos²a =^{1 cos 2} 2

 a

 sin²a = ^{1 cos 2} 2

 a

 tan²a = ^{1 cos 2} 1 cos 2 a a





e. Công thức biến đổi tổng thành tích:

 cos a + cos b = 2 cos 2 ab

.cos 2 ab

 cos a–cos b =2sin 2 ab

. sin 2 ab

 sin a + sin b=2 sin 2 ab

.cos 2 ab

 sin a – sin b = 2 cos 2 ab

.sin 2 ab

 ^sin

 

tan tan

cos .cos a b

a b

  

 ^sin

 

cot cot

sin .sin b a

a b

  

sinx+cosx= 2sin x 4

  

 

 = 2cos(x- 4

 )

sinx–cosx= 2sin(x–

4

 )= – 2cos x 4

  

 

 

f. Công thức biến đổi tích thành tổng

   

cos .cos 1 cos cos

a b 2 ab  a b 

   

sin .sin 1 cos cos

a b 2 a b  a b 

   

cos .sin 1 sin sin

a b2 ab  a b 

   

sin .cos 1 sin sin

a b2 ab  a b  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình LG cơ bản:

(3)

3

* sin x sin

x k2

* sin x m ( m 1) x arcsin m k2 x arcsin m k2

* sin u(x) sin v(x) u(x) v(x) k2 u(x) v(x) k2

* sin x 0 x k

* sin x 1 x k2 2

* sin x 1 x k2

2

 

   

       

 

  

      



  

      

   

    

      

* cos x cos

x k2

* cos x m ( m 1) x arccos m k2 x arccos m k2

* cos u(x) cos v(x) u(x) v(x) k2 u(x) v(x) k2

* cos x 0 x k

2

* cos x 1 x k2

 

   

     

 

  

     



  

     

    

   

      

* tan x tan

x k

* tan x m x arctan m k

* tan u(x) tan v(x) (1) ÐK : cos u(x) 0

(1) u(x) v(x) k

 

    



   





   

* cot x cot

x k

* cot x m x arc cot m k

* cot u(x) cot v(x) (1) ÐK : sin u(x) 0

(1) u(x) v(x) k

 

    



   





   

trong đó k  Z

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

asin²x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1t1) acos²x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1t1) atan²x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx)

acot²x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx)

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) với a²b² 0

* Chia hai vế pt(1) cho a²b² ta được:

2 2 2 2 2 2

a b c

sin x cos x

a b a b a b

 

  

(2)

* Ta xác định  [0; 2 ) sao cho:

2 2 2 2

a b

sin , cos

a b a b

   

 

Khi đó ta được phương trình:

2 2

sin sin x cos cos x c

a b

cos(x ) c (3)

a b

   



   



Điều kiện để pt(3) có nghiệm là a²b²c²

4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

2 2

a sin x b cos x c.sin x.cos x d   0 (1)

* Với cosx = 0: ta kiểm tra x k , k Z 2

    có phải là nghiệm của pt (1) không.

* Với cosx  0: chia 2 vế pt (1) cho cos²x ta được pt: a tan x²  b c tan xd(1 tan x) ² 0 Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì sin x =1 ²

5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

a. Dạng của phương trình đối xứng:

a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) b. Dạng tương tự:

a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2) PP:

Giải (1): Đặtt sin x cos x 2 sin(x ) 4

   

  2 t 2 và t² 1 2sin x.cos x Giải (2): Đặt t = sin x cos x 2 sin(x )

4

  

  2 t 2 và t² 1 2sin x.cos x QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, …, Ak. Mỗi phương án Ai (i = 1, 2,

…, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n₁ + n₂ +… + n_k cách.

2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn A1, A₂, …, Ak. Mỗi công đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1. n₂ … n_k cách.

Lưu ý:

* Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng phương án) ta được số cách thực hiện công việc.

* Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho

(4)

4 từng bước) ta được số cách thực hiện công việc.

3. Hoán vị.

a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A.

(Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán vị của n phần tử)

b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:

Pn n! n(n 1)(n  2)...2.1 4. Chỉnh hợp.

a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n).

b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

k n

A n(n 1)(n 2)...(n k 1) n!

(n k)!

     



5. Tổ hợp.

a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là tổ hợp chập k của A)

b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử là:

k

k n

n

A n!

C  k!  k!(n k)!

 Chú ý: Aⁿ_n P_n

Quy ước: 0! 1 ; A ⁰_n 1 ; C⁰_n 1 Với quy ước này ta có: A^k_n ^n!

(n k)!

  ;

k n

C n!

(n k)!k!

  đúng với 0 k n

Tính chất 1. C^k_n C^{n k}_n^ (0 k n)

Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal):

k k k 1

n 1 n n

C _ C C ^ (1 k n) NHỊ THỨC NEWTON

1) Công thức nhị thức Newton:

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k

n n n n

n 1 n 1 n n

n n

(a b) C a C a b C a b ... C a b

... C ab C b (1)

  

 

     

  

n

n k n k k

n k 0

(a b) C a ^ b



 



Nhận xét:

- Trong công thức (1) có n + 1 số hạng.

- Số hạng thứ k + 1 là C a^k_n ^{n k}^ b^k

- Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất C^k_n C^{n k}_n^

- Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n.

2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton:

n 0 1 2 2 n n

n n n n

n 0 1 2 2 n n n

n n n n

n 0 n 1 n 1 2 n 2 n

n n n n

n n 0 1 2 n

n n n n

n 0 1 2 n n

n n n n

(1 x) C C x C x ... C x

(1 x) C C x C x ... ( 1) C x

(x 1) C x C x C x ... C

2 (1 1) C C C ... C

0 (1 1) C C C ... ( 1) C

 

     

      

     

      

        XÁC SUẤT

Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A

* Nếu A  B =  thì n(AB) = n(A) + n(B)

* Nếu A  B ≠  thì:

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 1. Phép thử và không gian mẫu.

* Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành động mà:

- Kết quả của nó không thể dự đoán trước được.

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó.

* Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là KGM của T và kí hiệu là .

2. Biến cố.

- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.

- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

* Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập .

* Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập 

3. Xác suất.

* Xác suất của biến cố A là:  n( A ) P( A )

n() * Chú ý: 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P() = 1, P() = 0

(5)

5 a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu AB được gọi là hợp của hai biến cố A và B.

Ta có: A  B   b. Biến cố xung khắc.

- Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B này được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Vậy: AB =  c. Biến cố đối.

- Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của biến cố A. Ta nói A và A là hai biến cố đối nhau.

- Ta có: _A \ _AP( A ) 1 P( A ) Lưu ý: Nếu hai biến cố đối nhau thì xung khắc.

d. Biến cố giao.

- Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A và B cùng xảy ra” , kí hiệu AB (hay AB) được gọi là giao của hai biến cố A và B.

e. Hai biến cố độc lập.

* Hai biến cố được gọi là ĐỘC LẬP với nhau nếu việc xay ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia.

* Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: A và B ; B và A ; A và B cũng là hai biến cố độc lập.

f. Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc.

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì : P(AB) = P(A) + P(B).

g. Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập : Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì : P(A.B) = P(A).P(B)

ĐẠO HÀM : 1. Qui Tắc:

1. (u  v)’ = u’  v’

2. (u.v)’ = u’v + v’u

3. ₂

'

v u ' v v ' u v

u  



 





4. (ku)’ = ku’ (k:const) 2. Công thức:

(xⁿ)’ = nx^n-1 (uⁿ)’ = nu^n-1u’

' 2

1 1

x x

   

  

' '

2

1 u

u u

   

  

' 1

( x )

 2 x

'

' u

( u )

2 u



(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tanx)’ =

x cos

1

2 (tanu)’ =

u cos

' u

2 (cotx)’ =

x sin

1

 2 (cotu)’ =

u sin

' u

 2 (e^x)’ = e^x (e^u)’ = u’e^u

(a^x)’ = a^x.lna (a^u)’ = u’a^u.lna (lnx)’ =

x

1 (lnu)’ =

u ' u

(logax)’ = a ln x

1 (logau)’ = a ln u

' u

II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM và BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ :

1. Phương trình tiếp tuyến: (pttt)

@ Loại 1: Pttt tại M(x0,y0)  (C) : y = f(x) Tính : y’=

y’(x₀)=

pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0

@ Loại 2: Pttt có hệ số góc k cho trước.

 Gọi M(xo, y_o) là tiếp điểm.

 Tính f’(x)

 Giải phương trình f’(xo) = k => xo, yo.

 Viết pttt: y = k(x-x0) + y₀ Chú ý :

 pttt // y = ax+ b có hệ số góc k = a

 pttt  y = ax+ b có hệ số góc k = -1/a.

@ Loại 3: Pttt của đồ thị hàm số (C): y= f(x) biết tt qua M(x0,y₀)

 Ptđt d qua M có hệ số góc k là:

y = k(x-x0)+ y0

 Điều kiện tiếp xúc : Hệ pt











 (2)

(1) k

x f

y x x k x f

) ( '

) (

)

( ₀ ₀

có nghiệm Giải hệ: thay (2) vào (1) Giải pt này tìm được x. Thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên.

2. Giao điểm của 2 đường:

Cho y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2)

+ Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C1) và (C2)

+ Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 dựa vào đồ thị:

 Biến đổi về dạng f(x)=g(m)

 Đặt y = f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //Ox.

(6)

6

 Từ đĩ biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.(chú ý đến giá trị CT và CĐ)

+ Để f(x) tiếp xúc g(x) ta cĩ:







 (x) ' ) ( '

) ( ) (

g x f

x g x f

cĩ nghiệm. Giải hệ, tìm hồnh độ tiếp điểm xo

3. Đơn điệu:

Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến (tính đơn điệu hay sự biến thiên) của hàm số

PP : Cho hàm số y = f(x) + Tìm TXĐ của hàm số

+ Tính y’ ( hay f’(x) ) và giải pt: y’ = 0 + Lập BBT

+ Kết luận

Đặc biệt: f(x) = ax² + bx + c. Ta cĩ +









 





 0

0 0 )

( a

R x x

f

+









 





 0

0 0 )

( a

R x x

f

Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước

PP :

+ f(x) đồng biến trên D  f ’(x) ≥ 0 , x  D + f(x) nghịch biến trên D  f ’(x) ≤ 0 ,x  D

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại 1 số hữu hạn điểm trên miền D)

Lưu ý:

*** Hàm số y = ax³+bx²+cx+d - Để hs tăng trên R

' 0,

y x R

   

'

0

y 0 a

   - Để hs giảm trên R

' 0,

y x R

   

'

0

y 0 a

  

***Hàm số ax b y cx d

 

 , D = R\{ d

 c} - Hàm số đồng biến trên từng khoảng xđ

' 0,

y x D

     ad – cb >0

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xđ ' 0,

y x D

     ad – cb <0 4. Cực trị:

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số:

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm CT : 1/ Quy tắc 1:

 B1: Tìm tập xác định D

 B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)

 B3: Tìm các điểm xi thoả mãn điều kiện: xi  D và là nghiệm của y' hoặc làm cho y' khơng xác định.

 B4: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận.

2/ Quy tắc 2:

 B1: Tìm tập xác định D

 B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)

 B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm x_i

 B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f ’’(x) ; tính f''(xi) và nhận xét dấu :

+ Nếu f ’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x₀ và yCĐ = f(x₀) + Nếu f ’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và y_CT = f(x₀)

Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x_o

 Tìm y’

 ycbt → y’(xo) = 0( 1)

 giải (1) = > tìm m = mo

 Thử lại:

Cách 1: (Sử dụng BBT) Với m = mo, ta lập BBT, nhận xét cực trị từ đĩ kết luận

Cách 2: (Sử dụng y”).Tìm y”, với m = mo, ta tính y’’(xo).

Nếu y’’(xo) > 0 thì hs đạt cực tiểu Nếu y’’(xo) < 0 thì hs đạt CĐ

Từ đĩ kết luận

(Chú ý: nếu y’’(xo) = 0 thì thử lại bằng cách lập BBT)

Dạng 3: Tìm m để hàm số cĩ cực trị Một số hàm đặc biệt:

Loại 1: hàm bậc 3 cĩ 2 cực trị + Tìm D và y’

+ ycbty’= 0 có 2 nghiệm và y’

đổi dấu khi qua nghiệm 0 c bx ax²   

 cĩ 2 nghiệm pb









  0 a

0 → giải, tìm m

(Chú ý: nếu ycbt là tìm m để hàm số cĩ cực trị thì xét thêm trường hợp a = 0)

Loại 2: hàm bậc 4 cĩ 3 cực trị + Tìm D và y’

+ y’= 0(xx₀)(ax²bxc)0

(7)

7









 

2 0

0

c bx ax

x x

+ ycbty’= 0 có 3 nghiệm và y’

đổi dấu khi qua nghiệm

2   0

ax bx c có 2 no pb khác xo















0 ) x ( g

0 a

0

→ giải, tìm m

Loại 3: Hàm số

ax2 bx c

y x

dx e dx e

  

 

   

 

cĩ 2 cực trị

+ Tập xác định D=R\

 

ed

+ Tính

y’=

   

²

2 2

.

e dx

p nx mx e

dx d



 

 



+ Để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu

 y^/ = 0 cĩ hai nghiệm pb thuộc D

 phương trình g(x)= mx² + nx + p = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác ^e

d

' 0

( ) 0

y

g e d

 

 

 



5. GTLN, GTNN:

a. Trên (a,b)

 Tính y’

 Lập bảng biến thiên trên (a ; b )

 KL:

 ;

max  _CD

a b y y ,

 ;

min _CT

a b y y b. Trên [a;b]

 Tính y’

 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ^x₀^

 

^{a b}^;

 Tính y (x₀ ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M ,KL:

 ^;

max

a b yM Chọn số nhỏ nhất m , KL:

 ^;

mina b ym III. KHẢO SÁT HÀM SỐ:

1. Hàm bậc ba y = ax³+bx²+cx+d và Hàm trùng phương y = ax⁴+bx²+c:

 Tập xác định: D = R

 Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0 x = ?

lim ?

x y

  lim ?

x y

 

 Bảng biến thiên:

 Các khảng đồng biến , nghịch biến , điểm cực đại , điểm cực tiểu .

 y’’ = . . . . . y’’= 0 x = ?

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:

y y p x'. ( )AxB.

- Đường thẳng y = Ax + B là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

- Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu.

- Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax³+bx²+cx+d=0 cĩ 3 nghiệm lập thành csc  y’=0 cĩ 2 nghiệm pb và điểm uốn I thuộc Ox.

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng phương:

- Đt nhận Oy làm trục đối xứng.

- Hàm số cĩ 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 cĩ 3 n₀pb (hoặc 1 n0)

- Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb  >0; P>0; S>0.

- Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb lập thành csc 

>0; P>0; S>0; t2 = 9t₁ ( t = x² ) sử dụng đlý Vi-et.

2 . Hàm nhất biến ax b y cx d

 



 Tập xác định D=R\

 

dc

 Tính

 

²

'

d cx

bc y ad



 

 TCĐ

dc x

( lim ( )

x c d

 y



   lim ( )

x c d

 y



  )

 TCN ac

y ( lim

x

y a

  c)

 Bảng biến thiên

 Điểm đặc biệt (4điểm)- Tìm giao điểm với trục Ox, Oy

 Đồ thị (nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng)

3. Hàm hữu tỷ ( nâng cao ):

ax2 bx c

y x

dx e dx e

  

 

   

 

 Tập xác định D = R\

 

ed

 Tính y’=

   

²

2 2

.

e dx

p nx mx e

dx d



 

 



(8)

8

 y' = 0 tìm 2 cực trị (hoặc không có.)

 TCĐ

d

xe ( lim ( )

x e d

 y



  , lim ( )

x e d

 y



  )

 TCX y x

 Bảng biến thiên

 Điểm đặc biệt (4 điểm)

 Đồ thị

* Một số kết quả quan trọng:

- Đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

- Nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là d

b y_i axⁱ 

 2

. Suy ra phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.

- Đthị cắt Ox tại 2 điểm pb  ax²+bx+c=0 có 2 nghiệm pb e

 d

IV. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT:

1. Công thức lũy thừa:

Với a>0, b>0; m, n  R ta có:

aⁿa^m=a^n+m ; ⁿ ^m

m n

a a

a   ; ( ¹_n

a =a^n ; a⁰=1; a^1= a 1 );

(aⁿ)^m=a^nm; (ab)ⁿ=aⁿbⁿ;

n n

n

a a

b b

  

   ;

n m

a

a  .

2. Công thức logarit:

log_ab = c  a^c= b (0< a1; b>0) Với 0< a1, 0<b1; x, x₁, x₂>0; R:

loga(x1x2) = logax1+logax2 ; loga

2 1

x

x = logax1logax2;

a^log^a^x x; logax^= logax;

x

x _a

a 1log

log ^ ^ ; (logaa^x=x);

log_ax=

a x

b b

log

log ; (log_ab=

b a log

1 ) logba.logax=logbx; a^logbx

=x^logba

. 3. Hàm số mũ và hàm số logarit

 Hàm số mũ: y = a^x

1/ Tập xác định: D = R

2/ Đạo hàm: (a^x) 'a^xln .a , và (e^x)'e^x, Hàm hợp: (a^u)'u'.lna.a^u

u

u u e

e )' '.

( 

3/ Tính chất: a > 1: hsố tăng 0 < a < 1: hsố giảm

 Hàm số lôgarit: y = loga x 1/ Tập xác định:D = (0; + ∞)

2/ Đạo hàm:

a x x

a .ln

)' 1

(log  và

x 1x )' (ln  Hàm hợp:

a u u u

a .ln

)' ' (log 

u u u'

)' (ln 

3/ Các tính chất: a > 1: hsố tăng 0 < a < 1: hsố giảm 4. Phương trình mũ – logarit:

 Dạng cơ bản: a^x= b ( a> 0 , a1 ) b0 : pt vô nghiệm

b>0 : a^x   b x log_ab

 Một số phương pháp giải:

1, Đưa về cùng cơ số:

a^f(x)= a^g(x) f(x) = g(x) ( a>0, a1) 2, Đặt ẩn phụ:

 A a. ²^xB a. ^x C 0 Đặt t = a^x, đk t>0

 A a. ²^xB ab.( )^xC b. ²^x 0. Đặt t ^a ^x

b

     , đk t>0

 A a. ^xB b. ^x C 0 [(ab)^x 1]

Đặt t = a^x, đk t>0, x 1 b t 3. Phương pháp logarit hóa.

4, Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số.

 Dạng cơ bản: log_a xb(a> 0 , a1) Điều kiện : x > 0

log_a x  b x a^b

 Một số phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số:

loga f(x) = loga g(x)  f(x) = g(x) ( điều kiện f(x) > 0 hay g(x) > 0)

(9)

9 Các phương pháp còn lại như ptrình mũ

5. Bất PT mũ – logarit:

 Dạng a^x > b ( a> 0 , a1) b0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 :

 a^x  b x log_ab , khi a>1

 a^x   b x log_ab, khi 0 < a < 1

 Dạng logax > b ( a> 0 , a1, x>0 )

 log_ax  b x a^b , khi a >1

 log_a x  b x a^b , khi 0 < a < 1 Lưu ý:

▪ Nếu a > 1 thì:

 a^{f x}^{( )} a^{g x}^{( )}  f x( )g x( )

 log ( ) log ( ) ^{( )} ^{( )} ( ) 0

a a

f x g x

g x ì >

> Û íïïïïî >

▪ Nếu 0 < a < 1 thì:

 a^f(x) > a^g(x) f(x)<g(x).

 log ( ) log ( ) ^{( )} ^{( )} ( ) 0 f x g x

f x g x

a a

f x

> Û <

>

ìïïí ïïî

V. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

1.Định nghĩa: F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

 F^/

   

x  f x , ^x

 

^a^;^b

 Nguyên hàm của hàm số sơ cấp:

C e dx e / 4

C x ln xdx / 1 3

C 1x

dx 1 x / 2

C x dx / 1

x x

1









 

 



























C x xdx

a C dx a a

x x

cos sin

/ 7

sin cos

/ 6

/ ln 5

2 2

8 / 1 (1 tan ) tan

cos

9 / 1 (1 cot ) cot

sin

dx x dx x C

x

dx x dx x C

x

   

    

 

10/ ₂ ₂ 1

ln , 0

2

dx x a

x a a x a C a

   

 



11/ tan



xdx ln cosx C 12/



cotxdxln sinx C

 Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

1 ( ) 1

1 / ( ) .

( 1)

ax b dx ax b C

a

 



 

  





2 / dx 1ln

ax b C

ax b a  





3 / e^{ax b}dx 1e^{ax b} C a

   



4 / cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

 a  



5 / sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a

    



2

6 / 1

( ) .( )

dx C

ax b a ax b

  

 



2 2

7 / 1 (1 tan ( ))

cos ( )

1tan( )

  



  



_{ax b} ^dx



^{ax b dx}

ax b C a

2 2

8 / 1 (1 cot ( ))

sin ( )

1cot( )

  



   



_{ax b} ^dx



^{ax b dx}

ax b C a

2. Các phương pháp tính tích phân:

Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức.

*******Phương pháp đổi biến số : ^



^b



^

  

^

   

a

x d x x

f

A . ^/ .

 Đặt : t = 

 

x  ^dt^/

   

^x^.^d ^x

 Đổi cận:

 



 



















a t a x

b t b

x

(10)

10

 Do đó:

     

_{ }^{ }

 



 



 

 ^b

a

b

t a

F dt t f

A .

Các dạng đặc biệt cơ bản:

1. ^I ^



^a_a ^dx__x

0

2 2

 Đặt: x= a.tant 



 



  2

2 t

2 2 . .(1 tan ).

cos

dx a dt a t dt

  t  

 Đổi cận

2. J a x dx

a

.

0

2



2 ^



 Đặt sin

2 2

xa t  t  

 dx = a.cost dt

 Đổi cận

MỘT SỐ DẠNG ĐỔI BIẾN THƯỜNG GẶP:

Dạng nguyên hàm cần tìm

Cách đặt biến số



^sin



^cos

f x xdx



^t^^sin^x^{ }^t ^m^sin^x^ⁿ



^cos



^sin

f x xdx



^t^^cos^{x t}^{ }^m^cos^{x n}^

 

^ln ¹

f x dx



x ^t^^ln^x^{ }^t ^m^ln^x^ⁿ



^tan



¹₂

f x cos dx



x ^t^^tan^x^{ }^t ^m^tan^{x n}^



^cot



¹₂

f x sin dx



x ^t^^cot^x^{ }^t ^m^cot^{x n}^

 

^k ^k ¹

f x x ^dx



^t^^x^k^{ }^t ^mx^k^^m

 

^x ^x

f e e dx



^t^{  }^e^x ^t ^me^x^ⁿ

Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn

 

ⁿ thì thường ta đặt : tⁿ

****Phương pháp tính tích phân từng phần Loại 1:

A= dx

Cosx Sinx e x P

b

a

x

. ).



(

















( Trong đó P(x) là hàm đa thức ) PP :

 Đặt u = P(x)  du = P’(x).dx

dv =















Cosx Sinx e^x

.dx  v = ...

 Áp dụng công thức tích phân từng phần A =

  

^^b

a b

a vdu

v

u. .

Loại 2: B =



^b ^

a

dx b ax Ln x

P( ). ( ).

PP:

 Đặt u = Ln(ax+b)  dx b ax du a .

 

dv = P(x).dx  v = ...

 Áp dụng công thức tích phân từng phần : B =

  

^^b

a b

a vdu

v

u. .

3. Diện tích hình phẳng:

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = f(x), trục Ox và hai đường x= a; x= b PP:

 DTHP cần tìm là:

S f x dx

b

a

. )



(

 (a < b)

 Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0

 Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm không thuộc đoạn

 

a;b thì:

^



^b

a

dx x f S ( ).

 Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn

 

a;b . Giả sử x =  , x = thì

S f x dx f x dx f x dx

b

a

. ) ( .

) ( .

)

(

 







  



^



^

a

dx x f

S ( ). +



^



dx x

f( ). +



 b

dx x f( ).

(11)

11

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):

y =f(x) và trục hoành:

PP :

HĐGĐ của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 







 

b x

a x

^



^



^b

a b

a

dx x f dx x f

S ( ). ( ).

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường (C1): y = f(x) và (C₂): y = g(x) và hai đường x

= a; x = b:

PP:

 DTHP cần tìm là:

dx x g x f S

b

a

. ) ( )



( ^



 HĐGĐ của hai đường (C1) và (C2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 Lưu ý:

+ Dạng 2 và dạng 3 lập luận giống dạng 1.

+ Có thể dùng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng

4. Thể tích vật thể:

a) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b;

trục Ox và y = f(x) liên tục trên đoạn

 

a;b . Khi (H) quay quanh trục Ox tạo ra vật thể

có thể tích:



^f ^x



^dx

V

b

a

. ) ( .

2







b) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b;

trục Oy và x = g(x) liên tục trên đoạn

 

a;b . Khi (H) quay quanh trục Oy tạo ra

vật thể có thể tích:



^g ^y



^dy

V

b

a

. ) ( .

2





 .

VI. SỐ PHỨC:

1. Các khái niệm :

 Số i : i² = -1

 Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR ( a : phần thực, b : phần ảo )

 Modun của số phức : z  a² b²

 Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi

' . ' .

; ' '

; z z z z zz zz

z

z     ;

z z

 

  

   0

z  với mọi z , z   0 z 0. z  z ; zz  z z; ^z ^z

z z

 

 ; zz  z z

z là số thực  z z ; z là số ảo  zz 2. Các phép toán :

 a+ bi = c + di ^a ^c b d

 

  

 (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

 (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

 (a + bi)(c + di)

  

2 2

a bi c di a bi

c di c d

 

 

 

 i¹i, i²  1, i³  i, i⁴ 1.

4 4 1 4 2 4 3

1, , 1,

n n n n

i  i ^ i i ^   i ^  i.



¹^ⁱ



² ^²ⁱ^;



¹^ⁱ



² ^{ }²ⁱ^.

3. Căn bậc hai của số phức: z = a + bi (a,bR) ( nâng cao)

+ Đặt w = x + y i.

Vì w² = z nên







 b xy

a y x 2

2 2

+ Giải hệ, tìm x và y Lưu ý :

Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a 4. Giải phương trình bậc hai :

a) ax² + bx + c = 0 ( a  0 ;a b c, , R) Đặt  b² 4ac

 Nếu  = 0 thì phương trình có một nghiệm kép (thực) : x =

2 b a



(12)

12

 Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : _1,2

2 x b

a

  



 Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : _1,2

2 b i

x a

  



 Định lý Viet :

Nếu phương trình bậc hai az²bz c 0

(a b c, ,  ,a0) có hai nghiệm z z₁, ₂ thì :

1 2

z z b

  a và z z_{1 2} ^c

a.

 Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số z z₁, ₂ có tổng z₁z₂ S và

z z1 2 P thì z z₁, ₂ là nghiệm của phương trình :z²Sz P 0.

b) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0 ;a b c, ,  ) ( nâng cao)

 Tính ∆

 Tìm căn bậc hai của ∆

 a

z b

2 2

, 1





  (với  là một căn bậc hai của ∆)

5. Dạng lƣợng giác của số phức (nâng cao) a/ Argumen: là góc  sao cho:











r b r a



 sin cos

với r  a² b² b/ Dạng lượng giác: zr(cosi.sin) c/ Nhân, chia dưới dạng lượng giác:

)]

sin(

. ) [cos(

.

. ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

1 z r r   i  

z

)]

sin(

. )

[cos( ₁ ₂ ₁ ₂

2 1 2

1    i  

r r z z

d/ Công thức Moivre:

) sin (cos

)]

sin (cos

[r i  ⁿ rⁿ ni n e/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:



 



 

 sin 2

cos2  i r

(13)

13 Lý thuyết Hình Học 12

TÓM TẮT GIÁO KHOA HÌNH HỌC I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. sin



= AB

BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos



= AC

BC (KỀ chia HUYỀN) 3. tan



= AB

AC (ĐỐI chia KỀ) 4. cot



= AC

AB (KỀ chia ĐỐI) II. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. BC² = AB² + AC² (Định lí Pitago) => AB² = BC² - AC² 2. AB² = BH.BC 3. AC² = CH.BC

4. AH² = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. ¹₂ ¹₂ ¹₂ AH  AB AC III. ĐỊNH LÍ CÔSIN

1. a² = b² + c² – 2bccosA 2. b² = a² + c² – 2accosB 3. c² = a² + b² – 2abcosC IV. ĐỊNH LÍ SIN ^a ^b ^c 2R

sin A sin Bsin C V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC

a) ^AM ^AN ^MN

AB  AC  BC ; b) ^AM ^AN MB  NC VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường:

a) S = 1

2ah b) S = p(p a)(p b)(p c)   (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2. Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S = a2 3

4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông:

a) S = 1

2 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2 a² (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5. Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30^o hoặc 60^o



H C

B

A

M N

C B

A

60^o 30^o B C

A