Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÀ VINH TRƯỜNG THPT PHẠM THÁI BƯỜNG
Chuyên đề:
HÌNH HỌC TRONG ÔN THI TỐT NGHIỆP ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU
LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Hình học trong kỳ thi tốt nghiệp không phải là quá khó đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Nhưng để làm tốt phần hình học đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian: hình chóp, lăng trụ, nón, trụ, cấu, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Sau khi nắm vững các vấn đề được tổng hợp và một số kỹ năng giải hình học trong kỳ thi tốt nghiệp, các em sẽ tự tin hơn trước các dạng có trong đề thi.
Hình học trong ôn thi tốt nghiệp, nhất là không gian toạ độ có rất nhiều dạng toán, nhớ nhiều dạng này đòi hỏi học sinh tốn rất nhiều thời gian.
PHẦN I - THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN NHỮNG YÊU CẦU CHUNG:
- Thuộc lịng cơng thức liên quan như: tỉ số lượng giác, các cơng thức trong tam giác vuơng...
1. Tam giác :
Diện tích của tam giác
* 1. . .sin
ABC 2
S AB AC A
* 1. .
ABC 2
S BC AH
Các tam giác đặc biệt : o Tam giác vuơng :
+ Định lý pitago:BC2 AB2AC2
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuơng Đối
sin Huyền B b
a
Kề cos Huyền
B c
a
Đối tan Kề
B b
c
+ Diện tích tam giác vuơng:
1. .
ABC 2
S AB AC
o Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích
.tan
AH BH B 1. .
ABC 2
S BC AH
A A
B A
C H A
A
A A
B A
C H A
A
A A
B A
C H A
o Tam giác đều
+ Đường cao của tam giác đều
3
. 2 h AH AB
( đường cao h = cạnh x 3
2 ) + Diện tích : ( ) .2 3
ABC 4 S AB
a. Tứ giác
Hình vuông
+ Diện tích hình vuông :
( )2
SABCD AB
( Diện tích bằng cạnh bình phương) + Đường chéo hình vuông
. 2 AC BD AB
( đường chéo hình vuông bằng cạnh x 2) + OA = OB = OC = OD
Hình chữ nhật
+ Diện tích hình chữ nhật :
ABCD .
S AB AD
( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD
2/ Thể Tích Khối Chóp:
+ Thể tích khối chóp
1 3. .
V B h Trong đó : B là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình chóp
h S
A
C H
A A
B A
C H A
A
A
B C
D
A
B C
D
Các khối chóp đặc biệt :
Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều + O là trọng tâm của tam giác đáy
Và AO (BCD)
Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Đa giác đáy là hình vuông tâm O + SO (ABCD)
- Vẽ hình: kích thước hình phải cân đối, không quá lớn cũng không quá nhỏ. Thường là 6 ô tập cho cạnh dài hình bình hành, 3 ô cho cạnh ngắn và 5 ô cho chiều cao SA.
(hoặc SO đối với hình chóp đều)
Vẽ hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
A
C
D O M
O D C
A B
S
B C
A D
S
B C
A D S
A D
Vẽ hình chóp đều
S
B
A C
B
A C
S
B
A C
B C
A D
O
B C
A D
S
O
B C
A D
S
O
B C
A D
S
O
I K
3/ Cách xác định góc
Góc giữa đường thẳng mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ:
o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P) o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/
B A C
O B
A C
O
B A C
S
O
I K
S
B C
A D
Góc giữa SC và đáy
B C
A D
S
O Góc giữa SC và đáy
S
Góc giữa SC và đáy
B A
C
B A C
S
O
I K
Góc giữa SA và đáy
Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ : o Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
o Tìm trong (P) đường thẳng a (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b (d) o Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b
B
A D
S
O
Góc giữa mặt bên và đáy
C S
B A C
O
I
Góc giữa mặt bên và đáy
S
B A
C
Góc giữa (SBC) và đáy
S
B
A C
Góc giữa (SBC) và đáy
S
B A
C
Góc giữa SC và (SAB)
S
B C
A D
Góc giữa (SBC) và đáy
Mặt cầu ngoại tiếp
Hình chóp đều
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
+ SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông đáy
+ Mặt phẳng trung trực đoạn SA (hoặc cạnh bên khác) cắt SO tại I I là tâm mặt cầu cần tìm.
+ Bán kính mặt cầu: R SI SK SA.
SO - Trình bày: thường là có câu thể tích
+ Ghi công thức thể tích + Tính diện tích đáy
+ Tính chiều cao rồi tính diện tích, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (cùng khối chóp.
B C
A D
S
O
I K
B A C
S
O
I K
S
B C
A D S
B A
C
c
I O
A C
B S
BÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
a. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
b. Tính thể tích hình chóp
2. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (TNPHƯƠNG TRÌNH 2009)
3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp.
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
a. Tính thể tích hình chóp SABCD.
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
a. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
b. Tính thể tích hình chóp
6. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp
7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp.
8. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, góc
1200
BAC , biết SA(ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o. Tính thể tích khối chóp SABC.
9. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA
(ABCD), SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a, BC = 4a Tính thể tích khối chóp.
10. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA (ABCD),biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.
11. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB
= BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD.
12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, ACa 2
và SBa 3. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA (ABC), góc
600
ACB BCa SAa 3 . Gọi M là trung điểm của SB. Cm (SAB) (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.
---
14. Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC
15. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.
a. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
b. Tính thể tích khối chóp SABCD.
16. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC
17. Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích hình chóp.
18. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.
a. Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC.
b. Tính thể tích hình chóp SABC
19. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.
20. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.
21. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng
cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp.
22. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o. Tính thề tích hình chóp.
23. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và đường cao bằng a/2.
a. Tính sin của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt bên (SAB ).
b. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối chóp đã cho.
Khối chóp có mặt bên vuông góc đáy
24. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa, ACa 3, mặt bên SBC là tam giác cân tại S với SBSC2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết
a 2 SB
SA và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
26. Cho hình chópS A BCD. có đáyA B CDlà hình chữ nhật. Mặt bênSA Blà tam giác đều cạnh làavà nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp A BCD
( )
.Biếtm p SA C
( )
hợp vớimp A BCD( )
một góc bằng300. Tính thể tích khối chópS A BCD. đã cho.27. Cho hình chópS A BCD. có đáyA B CDlà hình thoi vớiA C = 2BD = 2avàDSA Dvuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp A BCD
( )
. Tính thể tích khối chópS A BCD. .28. Cho hình chópS A BCD. có đáyA B CDlà hình thang vuông tạiAvà
, , 2
D A B = CD = a A B = a. Biết rằngDSA Bđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp A BCD
( )
. Tính thể tích khối chópS A BCD. .29. Cho hình chópS A BCD. có đáyA B CDlà hình vuông cạnha,mp SA B
( )
^ mp A BCD( )
, SA = SB , góc giữa đường thẳngSC và mặt phẳng đáy bằng450. Tính theoathể tích của khối chópS A BCD. .Khối lăng trụ - hộp
30. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’= a 2. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
31. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại A, AC = a, góc ACB bằng 600. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
32. Đáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên hình lăng trụ và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ.
33. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
34. cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’
cách đều 3 điểm A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b. Tính thể tích của khối chóp A.BCC’B’ và khoảng cách từ A đấn mặt phẳng (BCC’B’)
c. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’
35. Cho hình lăng trụ đứngA BC A B C. ' ' ' có đáyA BC là tam giác vuông cân tạiAcó cạnhBC = a 2 và biếtA B' = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đềuA BCD A B C D. ' ' ' 'có cạnh bên bằng4avà đường chéo bằng5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
36 Cho lăng trụ đứngA BC A B C. ' ' 'có đáyA BC là tam giác vuông tạiA, góc
· 0
30 ,
A CB = A A'= 3a, A C = 2a.
a/ Tính thể tích khối lăng trụA BC A B C. ' ' '.
b/ Mặt phẳng
(
A B C')
chia khối lăng trụA BC A B C. ' ' 'thành hai khối đa diện. Tính thể tích của m i khối đa diện.3- HÌNH NÓN, TRỤ, CẦU Các công thức hình nón
xq
2 tp
2 non
S Rl
S Rl R
V 1 R h
3
Các công thức hình trụ
xq
2 tp
2 non
S 2 Rl
S 2 Rl 2 R
V R h
Các dạng bài tập hình nón
1- Hình nón sinh ra bởi quay tam giác vuông
2- Hình nón có thiết diện qua trục: tam giác đều, tam giác vuông cân.
3- Hình nón có góc ở đỉnh BÀI TẬP MẶT NÓN
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b/ Tính thể tích của khối nón
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2a2. Tính thể tích của hình nón
Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9. Tính thể tích của hình nón
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này
Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC
BÀI TẬP MẶT TRỤ
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên
Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Bài tập Mặt cầu
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mặt phẳng (ABC), ABC vuông tại B và
AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = a 2 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a, tam giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc mặt đáy (ABCD). Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = SB = 2a,
SC = 2a 5. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân AB = AC = a, mặt bên SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
PHẦN II – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I- VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG a- Công thức và nắm vững các khái niệm:
- Véctơ:
2
2
2( B A, B A, B A)
B A B A B A
AB x x y y z z
AB AB x x y y z z
- Vectơ chỉ phương: song song hoặc nằm trên (chữ nghiêng là cách nói để học sinh dễ nhớ)
- Véctơ pháp tuyến: vuông góc
- Phương trình mặt phẳng 0( ,0 0, 0) ( 0) ( 0) ( 0) 0 ( , , )
M x y z
A x x B y y C z z
n A B C
- Phương trình đường thẳng
0
0 0 0 0
0 0
( , , )
( , , )
x x at M x y z
y y bt u a b c
z z ct
- 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a, a a ,a a ,a a
b b b b b b b
b- Một số kỹ năng quan trọng:
1 2
u u
là cặp véctơ chỉ phương => n u , u1 2 véctơ pháp tuyến
1 2
n n
là cặp véctơ pháp tuyến => u n , n1 2 véctơ chỉ phương
Giải thích: 2 đối tượng (đường, mặt) khi đề bài cho song song, pháp tuyến của đối tượng này cũng là pháp tuyến của đối tượng kia, chỉ phương của đối tượng này cũng là chỉ phương của đối tượng kia.
Chỉ phương
Pháp tuyến Song song
Chỉ phương Pháp tuyến
Chỉ phương
Pháp tuyến Vuông góc
Pháp tuyến Chỉ phương
Giải thích: 2 đối tượng (đường, mặt) khi đề bài cho vuông góc, pháp tuyến của đối tượng này là chỉ phương của đối tượng kia, chỉ phương của đối tượng này là pháp tuyến của đối tượng kia.
Nếu học sinh không nắm vững nội dung trên, rất khó giải các bài tập, thông thường để giải các bài tập về phương trình đường và mặt học sinh thường phải nhớ các dạng:
Như vậy nếu hoc sinh nắm vững các kỹ năng trên thì không cần phải nhớ khá nhiều dạng bài tập mà vẫn giải được.
Dạng 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG - Phương trình đường thẳng
0
0 0 0 0
0 0
( , , )
cp: ( , , )
x x at Qua M x y z
y y bt vecto u a b c
z z ct
CÁC DẠNG PHỔ BIẾN
Bài toán viết phương trình đường thẳng
Có vectơ cho trước
Quan hệ với đường thẳng cần
tìm
Trở thành véctơ của
đường thẳng cần
tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình
Song song đường thẳng
(d) u Song song u u
Vuông góc với mặt
phẳng cho trước ( ) n
Vuông
góc u u
Vuông góc với 2 đường thẳng cho trước (d1); (d2) (nếu 2 đường thẳng song
song thì thay u1 hoặc u2 bởi M M1 2 )
u1
u2
M M1 2
Vuông góc Vuông
góc
n1
n2
1, 2
u n n
Song song với 2 mặt phẳng cho trước (1);
(2)
n1
n2
Song song Song song
n1
n2
1, 2
u n n
Vuông góc với đường thẳng (d) và song song
với mặt phẳng ( )
u n
Vuông góc Song song
n1
n2
1, 2
u n n
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:
1 2 3 3 4
x t
y t
z t
. Véctơ của đối
tượng cho trước
Quan hệ với đối tượng cần
tìm
Trở thành véctơ của đối tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình
(2,3, 4)
u Song song u(2,3, 4) u(2,3, 4)
Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (): x + y – x + 5 = 0.
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với đối tượng cần
tìm
Trở thành véctơ của đối tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình
(1,1, 1)
n Vuông góc u(1,1, 1) u(1,1, 1)
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1;
3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α).
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với đối tượng cần
tìm
Trở thành véctơ của đối tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình
(0, 1, 1)
AB Vuông góc n(0, 1, 1)
( 3,0,0)
u (0, 2,1)
AC Vuông góc n(0, 2,1)
Bài 4:Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mặt phẳng (): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với đối tượng cần
tìm
Trở thành véctơ của đối tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình
1(6, 2, 2)
n Song song n1(6, 2, 2)
(6,18, 36)
u
2(3, 5, 2)
n Song song n2 (3, 5, 2)
Bài 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: 1 1 2
2 1 3
x y x
và mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d.
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với đối tượng cần
tìm
Trở thành véctơ của đối tượng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình
(2,1,3)
u Vuông góc n1(2,1,3)
(2,5, 3)
u (1, 1, 1)
n Song song n2 (1, 1, 1)
Dạng 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG - Phương trình mặt phẳng
0 0 0 0
0 0 0
( , , )
( ) ( ) ( ) 0
vecto pt ( , , ) Qua M x y z
A x x B y y C z z
co n A B C
CÁC DẠNG PHỔ BIẾN
Bài toán viết phương trình mặt phẳng
Có vectơ cho trước
Quan hệ với đường thẳng cần
tìm
Trở thành véctơ của
đường thẳng cần
tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình
Song song mặt phẳng
( ) n Song song n n
Vuông góc với đường
thẳng cho trước (d) u Vuông
góc n u
Vuông góc với 2 mặt phẳng cắt nhau cho
trước (1); (2)
n1
n2
Vuông góc Vuông
góc
u1
u2
1, 2
n u u
Song song với 2 đường thẳng cho trước (d1); (d2) (nếu 2 đường thẳng song
song thì thay u1 hoặc u2 bởi M M1 2 )
u1
u2
Song song Song song
u1
u2
1, 2
n u u
Song song với đường thẳng (d) và vuông góc
với mặt phẳng ( )
u n
Vuông góc Song song
u1
u2
1, 2
n u u Bài 1: Cho điểm M(2; –1; 3) và mặt phẳng () có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng () đi qua M và song song với mặt phẳng ().
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với mặt phẳng cần
tìm
Trở thành véctơ của mặt phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình mặt phẳng
(2, 1,3)
n Song song n(2, 1,3) n(2, 1,3)
Bài 2: Cho điểm M(0; –1;2) và đường thẳng (d) có phương trình
2 1 3
x t
y t
z t
. Lập phương trình mặt phẳng () đi qua M và vuông góc với (d)
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với mặt phẳng cần
tìm
Trở thành véctơ của mặt phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình mặt phẳng
(1, 1,3)
u Vuông góc n (1, 1,3) n (1, 1,3)
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mặt phẳng : 2x – z + 1 = 0 và
y = 0.
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với mặt phẳng cần
tìm
Trở thành véctơ của mặt phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình mặt phẳng
1(2,0, 1)
n Vuông góc u1(2,0, 1)
1, 2 (1,0, 2)
n u u
2 (0,1,0)
n Vuông góc u2 (0,1,0)
Bài 4: Hãy lập phương trình mặt phẳng () đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz.
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với mặt phẳng cần
tìm
Trở thành véctơ của mặt phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình mặt phẳng
( 2, 4, 1)
MN Chứa u1 ( 2, 4, 1)
1, 2 (4, 2, 0)
n u u
(0,0,1)
k Song song u1(0,0,1)
Bài 5: ViếT phương trình mặt phẳng () chứa (d): 21 2 3
x t
y t
z
và vuông góc (): x + y + 2z –10 = 0.
Véctơ của đối tượng cho
trước
Quan hệ với mặt phẳng cần
tìm
Trở thành véctơ của mặt phẳng cần tìm
Véctơ cần có để viết được phương trình mặt phẳng
1(2, 1,0)
u Chứa u1(2, 1,0)
1, 2 ( 2, 4,3)
n u u
(1,1, 2)
n Vuông góc u2(1,1, 2)
II- HÌNH CHIẾU – ĐIỂM ĐỐI XỨNG
1- Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng – Điểm đối xứng a/ Hình chiếu của điểm lên trục toạ độ, lên mặt phẳng toạ độ
Hình chiếu của M(a,b,c) lên:
- Trục Ox: M’(a,0,0) - Trục Oy: M’’(0,b,0) - Trục Oz: M’’’(0,0,c) - Mặt Oxy: M’(a,b,0) - Mặt Oxz: M’(a,0,c) - Mặt Oyz: M’(0,b,c)
a/ Điểm đối xứng qua trục toa độ, mặt phẳng toạ độ Điểm đối xứng của M(a,b,c) qua:
Ghi chú: thấy “chữ gì” thì ghi lại vị trí đó, còn lại ghi 0”
- Trục Oy: M’’(-a,b,-c) - Trục Oz: M’’’(-a,-b,c) - Mặt Oxy: M’(a,b,-c) - Mặt Oxz: M’(a,-b,c) - Mặt Oyz: M’(-a,b,c)
2/ Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng bất kỳ - Điểm đối xứng a/ Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) – Điểm đối xứng
Cách giải:
- Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc (P) - Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P), suy ra hình chiếu cần tìm - Dùng công thức trung điểm để tìm toạ độ điểm đối xứng ứng dụng:
- Tìm hình chiếu của điểm lên mặt
- Xác định tâm của đường tròn giao (mặt phẳng và mặt cầu) - Tìm toạ độ tiếp điểm
b/ Hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d) – Điểm đối xứng Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc (d) - Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d), suy ra hình chiếu cần tìm - Dùng công thức trung điểm để tìm toạ độ điểm đối xứng ứng dụng:
- Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng - Toạ độ chân đường cao của tam giác III- MẶT CẦU
1- Phương trình mặt cầu - Mặt cầu có tâm và bán kính
Xác định tâm I(a;b;c) và bán kính R của mặt cầu .Khi đó phương trình là:
(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R2. - Mặt cầu qua nhiều điểm
Ghi chú: thấy “chữ gì” thì ghi lại vị trí đó, còn lại đổi dấu”
Viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng : x2 +y2 +z2-2ax-2by-2cz+d=0,Tìm hệ số a,b,c,d
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau : a/ (S) có tâm là I(1;2;3) và bán kính R=5
b/ (S) có tâm I(-1;2;3) và đi qua điểm M(1;0;1).
c/ Có đường kính là AB với A(6;2;-5),B(-4;0;7)
d/ Có tâm I(3;-5;-2) và tiếp xúc với mp(P):2x-y-3z+11=0
Bài 2: Trong không gian cho tứ diện ABCD biết A(1;1;1),B(1;2;1),C(1;1;2),D(2;2;1).
a/ Hãy lập phương trình của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
b/ Tìm tâm và bán kính .
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ dộ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mạt phẳng (P): x+y+z-2=0.Viết phương trìnhy mặt cầu đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mp (P).
Bài 4: Trong không gian cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 và đường thẳng
( ) : 1
1 1 1
x y z
d
1/ Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mp (P) với các mặt phẳng toạ độ .Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết A,B,C là giao điểm tương ứng của (P) với các trúc Ox,Oy,Oz ,D là giao điểm của (d)với mặt phẳng Oxy.
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qau 4 điểm A,B,C,D .Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
Bài 5: Trong không gian cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2),D(4;-1;2).
1/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng .
2/ Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy .Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A’,B,C,D.
3/ Víêt phương trình tiếp diện (P) của (S) tại A’.
Bài 6: Trong không gian cho 3 điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z-2=0 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Bài 9:Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) .
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC.Tìm Tìm toạ độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
1- Mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu (S) tâm I và bán kính R, H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng (d).
* (d) cắt (S) IH<R
* (d) tiếp xúc (S) IH=R.
* (d) không có điểm chung với (S) IH>R.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2-2x-4y+6z-2=0.Xét vị trí tương đối của (S) đối với các đường thẳng (d) khi:
a/ (d): (x=1-2t;y=2+t;z=3+t) b/(d)(x=1-t;y=2-t;z=4) c/(d)(x=1+2t;y=2-2t;z=3)
Bài 2: Tìm vị trí tương đối của : a/ Đường thẳng ( ) : 1 2
2 1 1
x y z
d
với mặt cầu (S):x2 +y2 +z2-2x+4z+1=0.
b/ Đường thẳng ( ) : 2 1 0
2 3 0
x y z
d x z
với mặt cầu (S):(x-1)2 +(y-2)2 +z2 =16.
3- Mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).Gọi Ilà tâm .R là bán kính của (S) ,H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).
* IH>R mặt phẳng (P) và (S) không có điểm chung .
* IH=R mặt phẳng (P) và (S) có một điểm chung H,mp(p)gọi là mặt phẳng tiếp diện, H là tiếp điểm
*IH<R mặt phẳng (P) và (S) có một đường tròn chung tâm H bán kính
2 2
r R IH
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho mặt phẳng (P):2x+2y+z+1=0 và mặt cầu (S) có phương trình :x2 +y2 +z2- 12x+4y-6z+24=0.
a/ Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).
b/ Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
Bài 2: Cho mặt cầu (S) :x2 +y2 +z2=4 và mặt phẳng (P):x+z=2. CMR (P) cắt (S) .Xac định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn giao tuyến (C) của (P) và (S).
Bài 3: Trong không gian cho ba điểm A(1;0;-1),B(1;2;1),C(0;2;0),Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
1/ Viết phương trình đường thẳng OG.
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O.A,B,C.
3/ Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 4: Trong không gian cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2-2x+4y+2z-3=0 và mặt phẳng (P):2x-y+2z-14=0.
1/ Viết phương trình mặt phẳng chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
