Bài tập và đáp án chuyên đề chóp có sẵn chiều cao - Nguyễn Thức Thuận

(1)

1

Chúc các em học tốt ! BÀI TẬP THỂ TÍCH

KHÓA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12

CÁC BÀI TẬP NHẬN BIẾT

Bài 1: Cho tứ diện OABC. OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Tính VOABC

A.

3

2

a B. a³ C. 2a³ D. 3a³ Lời giải:

1 1 1 3

. . .3 . . .2

3 3 2

OABC OAB

V = OC S_ = a a a=a . Chọn B.

Bài 2: Cho tất cả các cạnh hình lập phương tăng lên 2 lần thì thể tích hình lập phương tăng:

A. 4 lần B. 6 lần C. 8 lần D. 16 lần

Lời giải:

Cạnh tăng 2 lần thì V tăng 2³ =8 lần.

Chọn C.

Bài 3: Chóp S.ABC, ^SA^⊥

(

^ABC

)

^, ^^ABC đều, AB = a, . Tính VS.ABC

A.

3 3

8

a B.

3

8

a C.

3 3

2

a D.

3

3 a Lời giải:

(2)

2

Chúc các em học tốt !

* Vẽ

* Xét tam giác vuông SAE: tan 60⁰ ³ 3 2

2

SA a

=  =

*

3 .

1 1 3 3

. . . .

3 2 2 8

S ABC

a a

V = SA a =

Chọn A.

Bài 4: Chóp S.ABCD, ^SA^⊥

(

^ABCD

)

^, ^SA⁼³^a , ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Tính VSOBC

A. a³ B.

3

2

a C.

3

a D.

3

*

1 2

4 4

ABOC ABCD

S = S = a

*

2 3

1 1

. .3 .

3 3 4 4

SOBC BOC

a a V = SA S_ = a = Chọn D.

Bài 5: Chóp đều S.ABCD, AB = a, . Tính VS.ABCD

A.

6 3

6

a B.

3

6

a C.

3

2

a D.

3

(3)

3

*

* Xét tam giác vuông SAH:

0 2 6

tan 60 3.

2 2

SH a a

AH SH

=  = =

*

3 2

.

1 1 6 6

. . .

3 3 2 6

S ABCD ABCD

a a

V = SH S = a = .

Chọn A.

CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 6: Chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, AB = a, đáy, ACBD=O, . Tính VS.ABCD

A.

3 3

12

a B.

3 5

12

a C.

3 6

12

a D.

3 7

* đều

; 3

2 2

a a

OA OB

 = =

* Vẽ ÔH^⊥ÂB^ÔH^⊥

(

^SAB

)

* Xét tam giác vuông AOB: ¹ ₂ ⁴₂ ⁴₂ ³

3 4

OH a OH = a + a  =

* Xét tam giác vuông SHO:

0

3 4 3 sin 30

1 2

2 a

OH a

SO SO

=  = =

Xét tam giác vuông SAO:

2 2

2 2 3 2

4 4 2

a a a SA= SO −AO = − =

3 .

1 1 2 1 3 6

.2 . .2. . .

3 3 2 2 2 12

S ABCD ABC

a a a

V = SA S_ = a =

(4)

4

Chúc các em học tốt ! Chọn C.

Bài 7: Chóp đều S.ABCD, H là tâm đáy, AB = a,

(

^;

)

²

5

d AD SB = a .Tính V_{S ABCD}_. .

A.

3

2

a B.

3

a C.

3

4

a D.

3

* Ta có (SBC) chứa SB và song song với AD

(

^;

) (

^;

( ) )

²

(

^;

( ) )

² ²

5 5

d AD SB d D SBC d H SBC HK a

HK a

 = = = =

 =

* Xét tam giác vuông SHE có : ¹ ₂ ¹₂ ¹ ₂ HK = SH +HE

2 2 2 2 2 2

1 1 1 5 4 1

SH a

SH HK HE a a a

 = − = − =  =

3 .

1. .

3 3

S ABCD d

V SH S a

 = = .

Chọn B.

Câu 8: Hình chóp S.ABC, ABC đều, AB = a, M là trung điểm của AB, H là trung điểm của MC.

. Tính VS.ABC

A.

3 7

13

a B.

3 7

14

a C.

3 7

15

a D.

3 7

16 a

Lời giải:

*

* Xét : ³ ³

2 4

a a

ABC CM HM

 =  =

* Xét tam giác vuông BMH:

2 2

2 2 3 7

16 4 4

a a a BH = HM +BM = + =

* Xét tam giác vuông SHB:

0 7 21

. tan 60 . 3

4 4

a a

SH =BH = =

(5)

5

*

1 1 21 1 3 3 7

. . . . .

3 ^ABC 3 4 2 2 16

a a a

V = SH S_ = a =

Chọn D.

Bài 9: Chóp SABC có SA = SB = SC = a. Tính thể tích hình chóp SABC.

A.

2a3

12 B.

2a3

7 C.

2a3

6 D.

2a3

5 Lời giải:

+) Nhận xét:  ABC có AB²+AC² =2a² =BC²  ABC vuông ở A

2

2 2 2

2

2 3

SABC

BC a 2

) R 2 2

2a a 2

) h SA R a

4 2

1 a

)S AB.AC

2 2

1 1 a 2 a 2a

) V .h.S . .

3 3 2 2 12

+ = =

+ = − = − =

+ = =

+ = = =

đ

Chọn đáp án A

Bài 10: Cho hình chóp SABC có các mặt bên cùng tạo với đáy góc 60^o. Tam giác ABC cân tại A, AB = a, Tính thể tích chóp SABC.

Lời giải:

(6)

6

Chúc các em học tốt ! +) Vẽ ^SI^⊥

(

^ABC

)

^ I là tâm đường tròn nội tiếp  ABC.

+) Vẽ

+) Ta có:

2 2 2 o 2 2

BC =AB +AC −2AB.AC.cos120 BC =3a BC=a 3

+) Nửa chu vi tam giác ABC: a a a 3 ^a

(

³ ²

)

p 2 2

+ + +

= =

( ) ( )

2

o 2

ABC

2 ABC

o o

2 3

SABC ABC

1 1 3 3a

) S .a.a.sin120 a .

2 2 2 4

3a

S 4 3a

) r IM

p a 3 2 2 3 2

2

3a 3a

) h SI IM.tan 60 r.tan 60 . 3

2 3 2 2 3 2

1 1 3a 3a 3a

) V .h.S . .

3 3 2 3 2 4 8 3 2



+ = = =

+ = = = =

+ +

+ = = = = =

+ +

+ = = =

+ +

Bài 11: Chóp SABCD có ^SA^⊥

(

^ABCD

)

, SA = 2a. ABCD là hình vuông. AB = a, M là trung điểm của SB, N thuộc CD. Tính thể tích chóp ABMN.

A.

a3

4 B.

a3

5 C.

a3

6 D.

a3

7 Lời giải :

+) S _SAB ¹SA.AB ¹.2a.a a²

2 2

 = = =

+) Chọn MAB làm đáy của hình chóp AMBN:

2 SAB MAB

S a

S 2 2

 =  =

+) Chiều cao h của chóp AMBN:

( )

( ) ( ( ) )

h=d N, MAB =d N, SAB =NH=BC=a +)

2 3

ABMN MAB

1 1 a a

V .h.S .a.

3 3 2 6

= = =

Chọn đáp án C.

(7)

7

Bài 12: Tứ diện đều ABCD có AB = 8. Ở 4 đỉnh của tứ diện người ta cắt đi 4 tứ diện đều nhỏ cạnh là x. Phần còn lại có thể tích bằng ³

4 thể tích tứ diện ABCD. Tính x.

A.³30 B. ³31 C. ³32 D. ³ 33

Lời giải:

+) Gọi tứ diện đều cắt đi ở đỉnh A là AMNP

 AM = AN = AP = x +)

3 3

AMNP

AMNNP

3 3

ABCD

V x x x x x

. . V V

V =8 8 8 =8  = 8

+) Thể tích phần còn lại sau khi cắt 4 góc là:

3 3

2

x 3 x 3

V 4. .V V 1 x 32 x 32

8 4 8 .2 4

− =  − =  =  =

Chọn đáp án C

Bài 13: Chóp SABC có ^SA^⊥

(

^ABC

)

, SA = 2a. Tam giác ABC vuông ở B. AB = a, BC=a 3. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC tại H, K. Tính thể tích ABCHK.

A.

3a3

2 B.

3a3

3 C.

3a3

4 D.

3a3

5 Lời giải:

+) Vẽ

( )

AH SC, AK SB AK SBC

AK SC AHK SC

⊥ ⊥  ⊥

 ⊥  ⊥

+) Tam giác SAC vuông cân tại A  H là trung điểm của

SC ^SH ¹

SC 2

 =

+) Trong  vuông SAB: ^SK ^SA₂² ⁴ SB = SB =5

SAHK

SAHK SABC

SABC

3 2

ABCHK SABC

V 1 4 2 2

) . V V

V 2 5 5 5

3 3 1 1 3a

V V . .2a. a 3

5 5 3 2 5

+ = =  =

 = = =

Chọn đáp án D

(8)

8

Bài 14: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’. Tính thể tích A’MNB’C’.

A.^V

5 B. ^V

6 C. ^V

7 D. ^V

8 Lời giải:

ABCDA ' B ' C ' D ' A ' B ' C ' ABC

A ' BCC ' B ' A ' B ' C ' ABC

A ' BCC ' B ' A ' B ' C ' MN

) V V V V

2

2 2 V V

) V V .

3 3 3 3

V

V 3 V

) V 2 2 6

+ =  =

+ = = =

Chọn đáp án B

Bài 15: Cho hình chóp SABCD có thể tích là V. ABCD là hình bình hành. G là trọng tâm tam giác SAB. H là trung điểm BC. Tính thể tích SGAH

A.^V

12 B.^V

11 C.^V

10 D^V

9 Lời giải:

+) H là trung điểm của BC  S _HAB ^S ^ABC ^S^ABCD

2 4

 =  =

SABH SABCD

1 1

V V

4 4V

 = =

+) G là trọng tâm tam giác SAB S _SGA ^S ^SAB 3

 

 =

HSGA HSAB

1 1 V V

V V .

3 3 4 12

 = = =

Chọn đáp án A

Bài 16: Tứ diện ABCD có AB = x, CD = y. Tất cả các cạnh còn lại bằng a. Tính thể tích tứ diện ABCD

A.^axy

12 B.^xy. 4a² x² y²

12 − − C. ^xy. 4a² y²

12 − D. ^axy

6

(9)

9

Chúc các em học tốt ! Lời giải:

+) Vẽ M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

( )

AN CD

CD NAB

BN CD

 ⊥

 ⊥  ⊥

( )

ABCD DNAB CNAB DNAB NAB

2 2 v

2 2

2 v

2 2 2 2

2 2

NAB

2 2

2

ABCD NAB

) MN AB

) V V V 2V 2. .ND.S1

3 ) BNC : BN a y

4

y x

) BMN : MN a

4 4

1 1 y x x

ACD BCD c.

y x

)S MN.AB . a . x . a

c.c AN B

2 2 4 4 2 4 4

1 1 y x y x

) V 2. .ND.S 2. . . . a

3 3 2 2 4 4

x

N



  ⊥

+ = + = =

+  = −

+  = − −

+ = = − − = − −

+ = = − −

+ =  

=

2 2 2

y. 4a x y

12 − −

Chọn đáp án B.

Bài 17: Tam giác ABC cân ở A. BC=2a 6. Đường cao AE=a 2. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy M, N trái phía với mặt phẳng (ABC) sao cho tam giác NAB đều, tam giác NBC vuông cân tại N. Tính thể tích MNBC.

A. 3a³ B. 2 3a³ C. 3 3a³ D. 4 3a³

Lời giải:

+) Nhận xét: V_MNBC =V_MABC+V_NABC

( )

2 2 2 2

v

2 2

v

2 2 2 2 2 2 2 2

v

2 2 2 2

v

2 ABC

2 3

MNBC ABC

) AEB :AB AE BE 2a 6a a 8 ) MAC : MA 24a 8a 4a

) NBC : NB NC 2NB BC 2a 6 24a NB 12a ) NAB : NA NB AB 12a 8a 2a

1 1

)S AE.BC .a 2.2a 6 2 3a

2 2

1 1

) V MN.S .6a.2 3a 4 3a

3 3



+  = + = + =

+  = − =

+  + = = = =  =

+  = − = − =

+ = = =

Chọn đáp án D.

(10)

10

Bài 18: Cho hình chóp SABC có ^SA^⊥

(

^ABC

)

. SA= a. Tam giác ABC vuông cân ở B, AC=a 2. G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC tại M, N. Tính V_SAMN.

A.

2a3

27 B.

a3

27 C.

2a3

15 D.

2a3

25 Lời giải:

+) Qua G vẽ MN song song với BC ^

( ) (

^P ^ ^AMN

)

+)SM SB =SN

SC =SG SP = 2

3 +)V_SAMN

V_SABC = 2 3.2

3= 4 9

+)DABC : AB²+BC² =AC² Û2AB² =

( )

a 2 ²^Þ^AB⁼^BC⁼^a V_SABC =1

3.SA.S_DABC =1 3.SA.1

2.AB.BC= 1 6a³ ÞV_SAMN = 4

9.V_SABC= 4 9.1

6.a³= 2a³ 27 Chọn đáp án A.

Bài 19: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bẳng 9a³, M thuộc CC’ sao cho MC = 2MC’. Tính thể tích AB’C’M.

A. a³ B. 2a³ C. 3a³ D. 4a³

Lời giải:

+) Ta có: CC’ = 3C’M S _{B'C 'M} ^S ^{B'C 'C} ^S^{BCC 'B'}

3 6

 

 = =

3 3

AB ' C ' M ABCC ' B ' ABCA ' B ' C '

1 1 2 1

) V .V . .V .9a a

6 6 3 9

+ = = = =

Chọn đáp án A.

Bài 20: Cho lăng trụ ABCA’B’C’. Tam giác ABC đều, AB = a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AC, Tính thể tích lăng trụ.

(11)

11

Chúc các em học tốt ! A.

a3

16 B.

3a3

16 C.

3 3a3

16 D.

3a3

+) Vẽ

+) Vẽ CE AB MH ^CE ^{a 3}

2 4

⊥  = =

+)  vuông A’HM có:

o a 3 3a

A 'H MH.tan 60 . 3

4 4

= = =

+) Thể tích lăng trụ là:

3 LT

3a 1 a 3 3 3a V . .a.

4 2 2 16

= =

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG

Bài 21: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có thể tích bằng V. Tính thể tích ACB’D’.

A.^V

5 B. ^V

3 C. ^V

6 D. ^V

7 Lời giải:

+) ABCDA ' B ' C ' D ' ACDA ' C ' D '

V V V V

=  = 2

+) Do đó 4 khối sau: BACB’, C’B’CD’, DD’AC và AA’B’D’ đều có thể tích ^V

6

+) V_{ACB'D '} V 4.^V ^V

6 3

= − = Chọn đáp án B.

Bài 22: Chóp đều SABCD. H là tâm đáy. SH = AB = a. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.

Mặt phẳng (P) chia chóp thành hai phần. Tính thể tích phần chứa S.

A.

a3

18 B.

a3

17 C.

a3

16 D.

a3

(12)

12

Chúc các em học tốt ! +) Vẽ AK⊥SC, AKSH=I

+) Qua I vẽ MN BD,

dễ thấy ^MN^⊥^SC^

( ) (

^P ^ ^AMKN

)

+) Tam giác vuông SHC:

2

2 2 2 2a a 6

SC SH HC a

4 2

= + = + =

+) SAC:

SAC

1 1

S SH.AC AK.SC

2 2

SH.AC a.a 2 2a

AK SC a 6 3

2

 = =

 = = =

2 2

v

6a 4a a

) SK SA AK

S 4

3 6

a

SK 6 1

SC a 6 3 2

 AK : = − = − =

 = =

+

+)  SKI đồng dạng với SHC

a 6 a SI SC SI SC.SK 2 . 6 a

SK SH SH a 2

 =  = = =

SMNK

SMNK SBCD

SMNA

SMNA SABD

3 SAMKN

SM SN SI 1 SB SD SH 2

V 1 1 1 1 1 V V

) . . V .

V 2 2 3 12 12 2 24

V 1 1 1 1 V V

) . V .

V 2 2 4 4 2 8

V V 4V V a

) V 24 8 24 6 18

 = = =

+ = =  = =

+ = + = = =

Bài 23: Cho hình chóp SABCD. ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD= 10, SA = SB, SC = SD.

(

^SAB

) (

⊥ ^{SCD .S}

)

_SAB+^S_SCD =^2. Tính thể tích SABCD.

A. 2 B. 1 C. ³

2 D.¹

2 Lời giải:

(13)

13

Chúc các em học tốt ! +) Vẽ ^SH^⊥

(

^ABCD

)

+) Ta có: ^SA ^SB ^HA ^HB

SC SD HC HD

=  =

+) Vẽ M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD HM AB, HN CD MN AD 10

 ⊥ ⊥  = =

Bài 24: Lăng trụ ABCA’B’C’. Tam giác ABC đều. AB = a. G là trọng tâm tam giác ABC.

( )

A'G⊥ ABC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng ^{a 3}.

4 Tính thể tích của lăng trụ.

A.

3a3

12 B.

3a3

11 C.

3a3

10 D.

3a3

9 Lời giải:

( )

BC AM

) BC A ' AM

BC A 'G

 ⊥

+  ⊥  ⊥

+) Vẽ ^MH^⊥^AA'^^{d A'A,BC}

( )

⁼^MH

+) Đặt A’G = x > 0

2 2 2

2 v

A 'AM

2 2

3a 9x 3a

) A ' AG : A ' A x

9 3

1 1

) S A 'G.AM .MH.AA '

2 2

a 3 a 3 9x 3a a

x. . x

2 4 3 3



+  = + = +

+ = =

 = +  =

(14)

14

Chúc các em học tốt ! +) Thể tích lăng trụ là:

3 LT

a 1 a 3 3a V . a.

3 2 2 12

= =

Bài 25: Chóp đều SABCD. AB = a. M đối xứng với C qua D. N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN) chia chóp thành hai phần. Tính thể tích phần chứa C.

A.

a3

72 B.

6a3

72 C.

5a3

72 D.

5 6a3

+) MNSD=P, BMAD=Q

 Thiết diện là tứ giác BNPQ +) Đặt V_SABCD V V_DSBC ^V

=  = 2 +) So sánh V₁=V_MBCN và V₂ =V_DSBC

1 2

S 1S

V V

2 h 2h

 =  =

 =



+) SMC có P là trọng tâm ^MP ² MN 3

 =

+) ^MPQP _MPQD

MBCN

V 1 1 2 1 1 V V

. . V .

V = 2 2 3 = 6 =6 2 =12

+) Thể tích cần tính là:

3

V V 5V 5 1 a 6 2 5 6a . . .a

2 −12 = 12 =12 3 2 = 72 Chọn đáp án D.

Bài 26: Chóp SABC có SA = SB = SC = a. Tam giác ABC vuông tại A, AB = a.

Tính cos để V_{SABC max}. A. ⁵

8 B. ³

8 C. ⁷

8 D. ¹

8 Lời giải:

(15)

15

Chúc các em học tốt ! +) Vẽ ^SH^⊥

(

^ABC

)

^ H là trung điểm của BC.

+)

+) Trong tam giác vuông SHA:

sin SH SH a sin

 = a  = 

( )

2 2 2 2

2 SABC

3 2 2

cos AH AH a cos BC 2a cos a

AC a 4a cos a 4 cos 1

1 1 1

) V SH. .AB.AC .a.sin .a.a 4 cos 1

3 2 6

1a . sin 4 cos 1 6

 =  =   = 

 = +  =  −

+ = =   −

=   −

+) Đặt ^cos²^{ =}^{t 0}

(

^{ }^t ¹

)

^{. Ta có:}

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2

sin 4 cos 1 f t 1 t 4t 1 4t 5t 1

b 5 5

f t max t TM 0 t 1 cos

2a 8 8

  − = = − − = − + −

 = − =     =

Bài 27: Cho chóp SABC. ^SA^⊥

(

^{ABC .}

)

Tam giác ABC vuông cân tại B. SB = a.

Tính sin để thể tích chóp SABC lớn nhất.

A. ¹

5 B. ¹

3 C. ¹

2 D. ¹

7 Lời giải:

+) Vì 0^o   90 .^o Đặt sin =   t 0 t 1 Xét ^sin^{ −}^sin³^{ =}^{f t}

( )

^{= −}^t ^t³

( )

²

( )

² ¹

f ' t 3t 1 f ' t 0 3t 1 0 t 3

= − +  =  − + =  = (Vì t > 0)

(16)

16

Chúc các em học tốt ! Để ^{f t max}

( )

^t ¹ ^sin

3

 = = 

Bài 28: Chóp SABCD. ABCD là hình thoi. AB = a,

. M là trung điểm của AD. Mặt phẳng (P) chứa BM và song song SA cắt SC tại N. Tính thể tích NBCDM.

A.

3a3

4 B.

3a3

5 C.

3a3

6 D.

3a3

7 Lời giải:

+) ABC cân tại B, có đều

ABM ABD ABC

2

BCDM ABC

1 1

)S S S

2 2

3 3 1 a 3 a 3 3

S S . .a.

2 2 2 2 8

  



+ = =

 = = =

+) Tam giác ABD có I là trọng tâm

AI 2 AI 1 CI 2

AH 3 AC 3 CA 3

 =  =  =

+) Qua I vẽ IN // SA ^

( ) (

^P ^ ^BMN

)

+) Vẽ ^{NK SH}^^NK^⊥

(

^{ABCD .}

)

2 3

NBCDM

NK CN CI 2 2 4a

NK SH NK SH

SH CS CA 3 3 3

1 4a 3 3a 3a

) V . .

3 3 8 6

 = = =  = =

+ = =

Bài 29: Cho chóp đều SABCD. H là tâm đáy. SH = a. Tính thể tích SABCD theo a và α A.a tan³  B. a tan³ ² C.^a³

(

^tan²^{ −}¹

)

^D.¹^a³

(

^tan² ⁴

)

3  −

Lời giải:

(17)

17

Chúc các em học tốt ! +) Vẽ SM⊥BC M là trung điểm của BC.

+) Đặt BC = x > 0 HM BM ^x

 = = 2

( ) ( )

( )

2

2 2 2

v

2 2 2

1 ; 2 2 2 2

2 2 2

2 3 2

SABCD

) SHM : SM HM SH a x 1

4 ) SMB : SM atan 2

2

x a x a

a tan a tan

4 2 4 4

x a tan 4

1 1

) V SH.x a tan 4

3 3

+  = + = +

+  = 

⎯⎯⎯→ + =   + = 

 =  −

+ = =  −

Chọn đáp án D.

Bài 30: Lăng trụ ABCA’B’C’. M là trung điểm của AA’. NBB' sao cho ^{B' N} ¹, P CC '

BB' = 3  sao cho C 'P 2

CC '= 3. Cho thể tích ABCA’B’C’ = V. Tính thể tích A’B’C’MNP.

A.^V

3 B. ^V

2 C. ^V

4 D. ^V

6 Lời giải:

+) Công thức tổng quát (Đọc giải tự chứng minh) Đặt ^{A 'M} x,^{B' N} y,^{C 'P} z

AA ' = BB' = CC ' = Ta có: A ' B ' C ' MNP

ABCA ' B ' C '

V x y z

V 3

= + +

+) Áp dụng ta có: A ' B ' C ' MNP

A ' B ' C 'MNP ABCA ' B ' C '

1 1 2

V 2 3 3 1 V 1V

V 3 2 2

= + + =  =

Bài 31: Hình lập phương ABCDA’B’C’D’. AB = a, MAB để AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành 2 phần. Thể tích phần chứa D gấp hai phần còn lại. Tính x

A.^a

3 B.^{a 3}

(

⁵

)

2

−

C.^{a 4}

(

⁵

)

2

−

D.^a

2

(18)

18

+) Qua M vẽ ^{MN AC A'C'}^

( ) (

^P ^ ^{A'C' NM}

)

( )

²

2

A ' B ' C ' MBN

a x

)S S a ;S' S

2 2

 

+ = = = = −

+) Tính thể tích chóp cụt

( ) (

² ²

)

MBNA 'B'C'

3 ABCDA 'B'C'D '

1 a

V h S S' SS' x 3ax 3a

3 6

V a

3 3

= + + = − +

= =

( )

3

2 2 2 2

a a

x 3ax 3a x 3ax a 0

6 3

3a a 5

x 2 a 3 5

x 2

3a a 5

x Loai

2

 − + =  − + =

 −

 = −

  =

 = +



Bài 32: Tứ diện gần đều ABCD. AB = CD = 4, AC = BD = 5, AD = BC = 6. Tính thể tích ABCD.

A.^{15 6}

7 B. ^{15 6}

2 C. ^{15 6}

4 D. ^{15 6}

6 Lời giải:

+) Công thức tổng quát:

(

² ² ²

)(

² ² ²

)(

² ² ²

)

ABCD

V 1 a b c b c a c a b

= 6 2 + − + − + −

+) Ta có: ABCD

( )( )( )

1 15 6

V 16 25 36 25 36 16 16 36 25

6 2 4

= + − + − + − =

BÀI TẬP BỔ SUNG THỂ TÍCH

Bài 33: Tứ diện ABCD. AB = CD = BC = 2, AC = BD = 1, AD= 3. Tính thể tích ABCD A.¹

4 B.¹

5 C.¹

6 D.¹

3 Lời giải:

(19)

19

+) Theo pitago đảo ta có: tam giác ADB vuông tại D và tam giác DAC vuông tại A.

+) Vẽ thêm 2 hình chữ nhật ADBE và DACF ta có lăng trụ đều AECBDF.

+) Đặt V = Vlăng trụ 1 3 3 3. .1.

2 2 4

= =

BACD BDACF

1 1 2V V 1

) V V .

2 2 3 3 4

+ = = = =

Bài 34: Tứ diện đều ABCD có AB = a. M, N là trọng tâm tam giác ABD và tam giác ABC. E đối xứng B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia tứ diện thành 2 phần. Tính thể tích phần chứa A.

A.

9a3

32 B.

9a3

320 C.

2a3

320 D.

9 2a3

(20)

20

Chúc các em học tốt ! +) Nối EMAB=I, EMAD=P, nối INAC=Q

 Thiết diện của mặt phẳng (MNE) với tứ diện là tam giác IPQ.

+) BDK: Theo định lí Mênêlauýt có: ^{EB MD IK}. . 1 ^IK ¹ ED MK IB =  IB =4 +) ABD: Theo định lí Mênêlauýt có: ^{EB PD IA}. . 1 ^PD ¹ ^QC

ED PA IB = PA = =3 QA

APQI ABCD

2 2 3

2 APQI

V AP AQ AI 3 6 3 27

) . . . .

V AD AC AB 4 10 4 80

27 1 a 3 a 3 9 2a

V . . . a

80 3 4 3 320

+ = = =

 

 = −  =

Bài 35: Chóp SABC có ^SA^⊥

(

^{ABC . SA}

)

^{= }^{a. ABC} đều. Góc Tính thể tích SABC.

A.

3a3

12 B.

3a3

24 C.

3a3

16 D.

3a3

+) Vẽ ^BH^⊥^AC^^BH^⊥

(

^SAC

)

+) Đặt AB = x. Đk x > 0.

( )

( ) ( )

2 2

v

o v

1 , 2 2 2

3 SABC

) SAB : SB a x 1 x 3

) SHB : sin 30 2 SB x 3 2 SB

) a x x 3 x a

2

1 1 a a 3 3a

) V a. . . .

3 2 2 2 2 24

+  = +

+  =  =

+ ⎯⎯⎯→ + =  =

+ = =

Bài 36: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có thể tích bằng V. M là trung điểm của AN. N thuộc DD’

sao cho ^{D ' N} ¹, P CC'

DD ' =4  sao cho ^{C 'P} ¹.

CC ' =3 Mặt phẳng (MNP) chia hình hộp thành hai phần. Tính thể tích phần chứa A’.

A.^V

3 B.^3V

5 C.^7V

12 D.^5V

12

(21)

21

+) Sử dụng công thức giải nhanh ta có:

( )

A 'B'C'D 'MNPQ ABCDA 'B'C'D '

A 'B'C'D 'MNPQ

A ' M C ' P D ' N B 'Q 1 1 1 B 'Q 1 : AA ' CC ' DD ' BB ' 2 3 4 BB '

B 'Q 7 BB ' 12

A ' M B 'Q C ' P D ' N

V AA ' BB ' CC ' DD '

2 : V 4

A ' M C ' P 1 1 AA ' CC ' 2 3 5

2 2 12

V 5 V

12

+ = +  + = +

 =

+ + +

=

+ +

= = =

 =

Bài 37: Chóp SABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a, Tính thể tích SABC.

A.

a3

3 B.

a3 6

2 C.

a3

3 D.

a3

6 2

2 −

Lời giải:

+) Đặt

Sử dụng công thức giải nhanh:

2 2 2

V 1SA.SB.SC. 1 2cos cos cos cos cos cos

= 6 +    −  −  −  +) Ta có:

(22)

22

o o o 2 o 2 o 2 o

3

V 1a .2a .3a . 1 2cos30 cos 45 cos 60 cos 30 cos 45 cos 60 6

3 2 1 3 2 1 V a 1 2. . .

2 2 2 4 4 4

V a 6 2

2

= + − − −

 = + − − −

 = −

CÁC BÀI TOÁN HỌC SINH TỰ GIẢI

Bài 38: Cho lăng trụ đều ABCDA’B’C’D’ có AA’ = 2a. Diện tích tam giác ACD’ bằng a2 5

2 . Tính thể tích lăng trụ.

Đáp số: 4a³

Bài 39: Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’ có AB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60o. M là trung điểm của AA’. Tính thể tích CABB’M.

Đáp số:^{3 3a}³ 16

Bài 40: Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a. Góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (A’BC) bằng 30^o. Tính thể tích lăng trụ.

Đáp số:^32a³ 9

Bài 41: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A’C = a. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 30^o và góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABB’A’) là 45 .^o Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’.

Đáp số:

a3 2 8

Bài 42: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’. Tam giác ABC vuông tại A. AC = a, Góc giữa đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’) bằng 30 .^o Tính thể tích lăng trụ.

Đáp số: a³ 6

Bài 43: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. ABCD là hình thoi. AB = a,

( )

B'O⊥ ABCD , BB'=a. Tính thể tích hình hộp Đáp số:

3a3

V= 4

Bài 44: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích DABC’D’.

Đáp số:^V 3

Bài 45: Cho tứ diện ABCD có AB = x. Tất cả các cạnh còn lại bằng 2 3. Tìm x để thể tích ABCD lớn nhất.

(23)

23

Chúc các em học tốt ! Đáp số:x=3 2

Bài 46*: Cho hình chóp SABC có:

Tính thể tích SABC.

Đáp số:

a3 6 6

Gợi ý: Dựng D đối xứng B qua AC. Chứng minh ^SD^⊥

(

^ABCD

)

Bài 47*: Cho hình chóp SABC có ^SA^⊥

(

^{ABC .}

)

Tam giác ABC vuông cân tại A. ^{d A; SBC}

( ( ) )

⁼^3.

Góc . Tính giá trị lớn nhất của thể tích SABC.

Đáp số:^{27 3} 2

Bài 48: Cho hình chóp SABC. Các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) cùng tạo với đáy góc bằng nhau. AB=25, BC=17, AC=26. Góc Tính thể tích SABC.

Đáp số:V=600

Bài 49: Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a, Tính thể tích khối chóp SABC.

Đáp số: ^2a³ 2

Bài 50: Cho hình chóp đều SABCD có AB = 2a. Góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 .^o K là hình chiếu của tâm O lên SD. Tính thể tích KDAC.

Đáp số:^{4 3a}³ 15

Bài 51: Cho tứ diện ABCD có V = 12. G là trọng tâm tam giác DBC. Tính thể tích GABC.

Đáp số: 4

Bài 52: Cho hình chóp SABC. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) lần lượt tạo với đáy góc

o o o

30 , 45 ,60 . Tam giác ABC đều, AB = a. Biết chân đường cao vẽ từ S ở trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp SABC

Đáp số:

( )

3a3

8 4+ 3

Gợi ý: Vẽ ^SH^⊥

(

^{ABC .HM}

)

^⊥^{AB; HN}^⊥^{BC; HP}^⊥^CA có HM + HN + HP = Đường cao tam giác ABC = ^{a 3}

2

(24)

24