Phát triển đề minh họa THPTQG môn Toán năm 2021 - Đề số 3 có lời giải chi tiết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021 Bài thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:……….

Câu 1: Từ các số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?

A. 6 . B. 27 . C. 3 . D. 15 .

Câu 2: Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó

A. a b 2c. B. b c 2a. C. a c 2b. D. a b c. Câu 3: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^2;0



^{. B.}



^2;



^{. C.}



^{0; 2 .}



^D.



^0;



^.

Câu 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên , có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x 3. B. x 5. C. x 2. D. x0.

Câu 5: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên , có bảng xét dấu f x( ) như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{3 2} 3 y x

x

 

 là

A. x3. B. ²

x 3 C. ².

y 3 D. y3.

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA SỐ 3

Câu 7: Hàm số y ^{ax b} cx d

 

 với a0 có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. b0, c0, d 0. B. b0, c0, d0.

C. b0, c0, d0. D. b0,c0,d 0.

Câu 8: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x⁴4x²2 với đường thẳng y2

A. 4 . B. 5. C. 8. D. 2 .

Câu 9: Với a b, là các số thực dương tuỳ ý và a1, ^log a



a b



bằng A. 2 log _ab. B. ¹ log

2 ^ab. C. ¹ log

2 ^ab. D. 2 log _ab. Câu 10: Cho hàm số ^{f x( )ln}



^{x23x2 .}



Bất phương trình



^x1



^{f x( )0} có tập nghiệm là

A.



^{ 2; 1}



^{. B. 3; 1}

2

 

 

 

 . C.



^{1; 0}



^{. D. 2; 3}

2

 

  

 . Câu 11: Nghiệm của phương trình ^{log 3}



^x5



^{2 là}

A. x40. B. x35. C. x36. D. x30. Câu 12: Nghiệm của phương trình 5 ^{2 1}

125

x  là

A. x2. B. x 2. C. x 1. D. x3. Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình



^0,125



^{x25 64 là}

A.



^{ 3; 3}



^{. B. }_^{ 3; 3}_^{. C.}



^3;3



^{. D.}



^{1; 0;1}



^.

Câu 14: Cho



^{f x}

 

^{dx3x22x 3 C. Hỏi f x}

 

là hàm số nào?

A. ^{f x}

 

^{6x2. B. f x}

 

^{x3x23x C .}

C. ^{f x}

 

^{6x 2 C. D. f x}

 

^{x3x23x.}

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )2x3 là

A. x²3x C . B. 3C. C.

2

4

x  x C. D. 3x²6x C .

Câu 16: Cho

 

³

3

F x  x là một nguyên hàm của f x

 

x . Biết ^{f x}

 

có đạo hàm xác định với mọi x0. Tính

 

^{x .}

f x e dx



A. 3x e^{2 x}6xe^x6e^xC. B. 3x e^{2 x}6xe^x e^x C. C. 3x e^{2 x}6xe^x6e^xC. D. x e^{2 x}6xe^x6e^xC. Câu 17: Biết

 

3

1

5 f x dx



^và

 

3

1

7 g x dx 



. Giá trị của

   

3

1

3f x 2g x dx

 

 



^bằng

A. 29. B. 1. C. 29 . D. 31.

Câu 18: Cho hai số phức z₁ 3 4i và z₂  2 i. Số phức trên đoạn z₁iz₂ bằng

A. 22i. B. 53i. C. 22i. D. 53i.

Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết điểm ^M



^{3; 5}



là điểm biểu diễn số phức .z Phần ảo của số phức z2i bằng

A. 2. B. 5. C. 3. D. 5 .

Câu 20: Gọi z₀ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z²4z 8 0. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây biểu diễn số phức iz₀?

A. ^P



^{ 2; 2}



^{. B. Q}



^{2; 2}



^{. C. M}



^2;2



^{. D. N}



^{2; 2}



^.

Câu 21: Thể tích hình chóp theo công thức nào sau đây?

A. ¹

V 6hS B. V hS C. ¹

V 2hS D. ¹

V 3hS

Câu 22: Cho mặt cầu có diện tích là 36. Thể tích của khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu đã cho là

A. 108. B. 81. C. 27 . D. 36.

Câu 23: Cho khối trụ có bán kính đáy r3 và độ dài đường sinh l5. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. 12. B. 36. C. 45. D. 15 .

Câu 24: Cho hình nón có bán kính đáy r 6 và chiều cao h8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. 64. B. 60. C. 120. D. 80 .

Câu 25: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ^A



^{5; 4; 3}



^{đến trục Ox bằng}

A. 25. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A



^4;1;3



^{, B}



^2;1;5



^{và C}



^{4;3; 3}



không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với AB có phương trình là

A. xy  z 3 0. B. x  z 1 0. C. 2x2z 1 0. D. 2x   y z 1 0.

Câu 27: Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu

  

^{S : x2}



^2



^y1



^2



^z3



^{2 25}. Tọa độ tâm của mặt cầu

 

^{S là}

A.



^{2;1; 3}



^{. B.}



^{2; 1;3}



^{. C.}



^2;1;3



^{. D.}



^{  2; 1; 3}



^.

Câu 28: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( )P đi qua điểm ^M



^{2; 5;1}



và song song với mặt phẳng



^Oxz



có phương trình là

A. x  y 3 0. B. y 5 0. C. x  z 3 0. D. x20.

Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số từ 1000 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất chọn được một số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7 là

A. ⁴⁷

1000. B. ³³³

1000. C. ⁸

250. D. ¹⁰⁷

250.

Câu 30: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm là ^{f x( )}



^x2

 

^{2 x1}



³



^x24



^x21



^{với mọi x.} Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 .

Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ^{1 4 1 2} 2021 2020 2020

f x  x  x  trên đoạn



^1;1



^là

A. 1

20214040 B. 2021 ¹

8080. C. 2020. D. 2021. Câu 32: Biết log 12₇ a, log 24₁₂ b. Giá trị của log 168 được tính theo ₅₄ a và b là

A.  

1 8 5 ab

a b



 . B.

 

1 8 5 ab

a b



 . C. ^{2 1}

8 5

ab

a b



 . D. ^{2 1}

8 5

ab a b



 .

Câu 33: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường ^y



^x1

 

^x25x6



và hai trục tọa độ bằng A. 2

 . B. ¹¹

4 . C. ¹¹

4

 . D. ¹

2. Câu 34: Cho hai số phức z₁  1 2i và z₂  3 i. Môđun của số phức



z1z2



z z1 2 bằng

A. 5 34. B. 4 35 . C. 5 43 . D. 5 10 .

Câu 35: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. bằng

A. 12a³. B. 36a². C. 18a². D. 12a². Câu 36: Cho hình chóp tam giác đều S ABC. và có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng ² .

3

a Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

A. 45. B. 30. C. 60. D. 90.

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : ^{3 1 2z 1}

2 3 4

x y

d   

 

 . Véctơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của d?

A. u1



2; 3; 2



. B. u4 



2;3; 4



. C. u3 



2;3; 4



. D. u2 



2; 3; 4



.

Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M



^{3; 4; 2}



và mặt phẳng

 

^{P : 2x5z 3 2 0}. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng

 

^P có phương trình tham số là

A.

3 2 4 5 2 3

x t

y t

z t

  

  



   



. B.

3 2 4

2 5

x t

y

z t

  

 



   



. C.

3 2 4

2 3

x t

y

z t

  

 



   



. D.

3 2 4 5 2 3

x t

y t

z t

  

  



   



.

Câu 39: Cho hàm số bậc bay f x( )có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ^f



^{4x2  x21}



^ ₂₀₂₁^{1 là}

A. 14. B. 10 . C. 24 . D. 12.

Câu 40: Cho hai số thực a1,b1, biết phương trình a b^{x x21}1có hai nghiệm x₁, x₂. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

 

2 1 2

1 2

1 2

x x 4

S x x

x x

 

 

    

A. 4 . B. ³4 . C. 3 4 . ³ D. 3 2 . ³

Câu 41: Cho hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên



^{ 2; 2 \ 0}

  

, thỏa mãn (1)f 0 và



^{( )}



( )

'( ) ^{f x} 2 _{f x}x 0 f x x e

  e  . Giá trị của ¹

f  2

   bằng

A. ln 3. B. ln 6 . C. ln 7 . D. ln 5 .

Câu 42: Cho các số phức z₁ và z₂ thỏa mãn các điều kiện: z₁ i z₁ 1 i và z₂ 1 z₂2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z₁z₂  z₁3  z₁3 ?

A. _min ⁵⁵⁴

P  5 B. _min ³⁷⁰

P  3 C. _min ⁸⁰⁹

P  5 D. _min ⁴⁰⁹

P  3

Câu 43: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a SD, a 3. Mặt bên SAB là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB K, là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và HK bằng

A. ¹⁰⁵ 30

a . B. 105

10

a . C. 105

5

a . D. ¹⁰⁵

20 a .

Câu 44: Một người gửi tiền vào ngân hàng 200 triệu đồng với kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 5,6% một năm theo hình thức lãi kép (sau 1 năm sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 2 năm, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T A(1r) ,ⁿ trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất, n là số kỳ hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được sau

5 năm kể từ khi gửi tiền lần thứ nhất (số tiền lấy theo đơn vị triệu đồng, làm tròn 3 chữ số thập phân) A. 380, 392 triệu đồng. B. 380,391 triệu đồng.

C. 385,392 triệu đồng. D. 381, 329 triệu đồng.

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{ 2; 2;1 ,}



^M



^{1; 2; 3}



và đường thẳng

1 5

: 2 2 1

x y z

  

 . Tìm vecter chỉ phương của đường thẳng d đi qua A vuông góc với đường thẳng

 đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.

A. ^u



^{2; 2; 1}



^{. B. u}



^{1;0; 2}



^{. C. u}



^2;1;6



^{. D. u}



^{25; 29; 6 }



^.

Câu 46: Cho hàm số ^y ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực đại của hàm số ^{g x}

 

^_^f



^2x2x



^_^{2 là}

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn:



^4xy7y



^2x1

 

^{e2xye4x y 7}



^^2x



^2y



^{yy e} ^y.

A. 6. B. 5 . C. 7 . D. 8 .

Câu 48: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành. Xác định để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau.

 

^{H yx24x4}

k

 

^{d A}



^{0; 4}



^k

 

^H

A. . B. . C. . D. . Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z² 4  z²2iz. Tính giá trị nhỏ nhất của P z i .

A. min P 4. B. min P3. C. min P2. D. min P1.

Câu 50: Trong mặt phẳng

 

^ cho hai tia Ox Oy, , góc xOy^60^. Trên tia Ozvuông góc với mặt phẳng

 

^

tại O, lấy điểm S sao cho SO a. Gọi M N, là các điểm lần lượt di động trên hai tia Ox Oy, sao cho OM ON a(a0và M N, khác O). Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của O trên hai cạnh SM SN, . Khi M N, di động trên hai tia Ox Oy, mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

A.

4 2

3

a

. B. a². C. 2a². D.

2

3

a .

---HẾT--- 4

k   k 8 k  6 k  2

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Từ các số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?

A. 6 . B. 27. C. 3 . D. 15 .

Lời giải Số tự nhiên có ba chữ số được tạo là 3 3 3  27.

Câu 2: Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó

A. a b 2c. B. b c 2a. C. a c 2b. D. a b c. Lời giải

Vì a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a c 2 .b Câu 3: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^2;0



^{. B.}



^2;



^{. C.}



^{0; 2 .}



^D.



^0;



^.

Lời giải Ta có ^{f x( )0, x}



^{0; 2}



^{ f x( )} nghịch biến trên



^{0; 2 .}



Câu 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên , có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x 3. B. x 5. C. x 2. D. x0.

Lời giải Ta có f x( ) đi từ dương sang âm khi x đi qua 0.

Câu 5: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên , có bảng xét dấu f x( ) như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Lời giải

Ta có f x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 và từ dương sang âm khi x đi qua 1 và 1.

Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{3 2} 3 y x

x

 

 là

A. x3. B. ²

x 3 C. ².

y 3 D. y3.

Lời giải Tiệm cận đứng của hàm số là ³ 3.

1 y d

c

    

Câu 7: Hàm số y ^{ax b} cx d

 

 với a0 có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. b0, c0, d 0. B. b0, c0, d0.

C. b0, c0, d0. D. b0,c0,d 0.

Lời giải

Đồ thị giao với trục Ox tại điểm có hoành độ âm nên b 0 0 0

x b b

a

       do a0.

Do đó loại C, D.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang a 0 0.

y c

 c    Do đó loại B.

Câu 8: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x⁴4x²2 với đường thẳng y2

A. 4 . B. 5. C. 8. D. 2 .

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm:

4 2 4 2

4 2

4 2 4 2

4 2 2 4 0 0

4 2 2 2

4 2 2 4 4 0

2

x x x x x

x x x

x x x x

x

        

       

        

    

Vậy số giao điểm là 5.

Câu 9: Với a b, là các số thực dương tuỳ ý và a1, ^log a



a b



bằng A. 2 log _ab. B. ¹ log

2 ^ab. C. ¹ log

2 ^ab. D. 2 log _ab. Lời giải

Ta có: ^log a



a b



^{2 loga}



a b



^{2 log} ^aa ^logab¹² ^{2 loga}b^.

     

 

Câu 10: Cho hàm số ^{f x( )ln}



^{x23x2 .}



Bất phương trình



^x1



^{f x( )0} có tập nghiệm là A.



^{ 2; 1}



^{. B. 3; 1}

2

 

 

 

 . C.



^{1; 0}



^{. D. 2; 3}

2

 

  

 . Lời giải

Ta có: ^{f x( )}



^ln



^x23x2

 

^{ } _x²²_^x₃^_x³_2^



^x1



^{f x( )}

 

^x_x^_^{1 2}₁

 

_x^x_^₂³

 

^{ 2}_x^x_^₂^3.

Do đó:



¹



^{( ) 0 2 3 0 2 3.}

2 2

x f x x x

x

 

        



Câu 11: Nghiệm của phương trình ^{log 3}



^x5



^{2 là}

A. x40. B. x35. C. x36. D. x30. Lời giải

Điều kiện: ⁵ x3.

Ta có: ^{log 3}



^x5



^{23x 5 100  x35}(thỏa mãn điều kiện).

Câu 12: Nghiệm của phương trình 5 ^{2 1} 125

x  là

A. x2. B. x 2. C. x 1. D. x3. Lời giải

Ta có: 5 ^{2 1} 5 ² 5 ³ 2 3 1.

125

x x

x x

  

         

Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình



^0,125



^{x25 64 là}

A.



^{ 3; 3}



^{. B. }_^{ 3; 3}_^{. C.}



^3;3



^{. D.}



^1;0;1



^.

Lời giải

Ta có:



^0,125



^{x25 6485x2 82  5 x2 2  3x 3.}

Câu 14: Cho



^{f x}

 

^{dx3x22x 3 C. Hỏi f x}

 

là hàm số nào?

A. ^{f x}

 

^{6x2. B. f x}

 

^{x3x23x C .}

C. ^{f x}

 

^{6x 2 C. D. f x}

 

^{x3x23x.}

Lời giải Ta có: ^{f x( )}

 

^{f x dx}

  

^{ }



^{3x22x 3 C}



^{ 6x2..}

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )2x3 là A. x²3x C . B. 3C. C.

2

4

x  x C. D. 3x²6x C .

Lời giải Ta có:



^{f x dx( ) }

 

^2x3



^{dxx23x C .}

Câu 16: Cho

 

³

3

F x  x là một nguyên hàm của f x

 

x . Biết ^{f x}

 

có đạo hàm xác định với mọi x0. Tính

 

^{x .}

f x e dx



A. 3x e^{2 x}6xe^x6e^xC. B. 3x e^{2 x}6xe^x e^x C. C. 3x e^{2 x}6xe^x6e^xC. D. x e^{2 x}6xe^x6e^xC.

Lời giải Ta có

 

³

3

F x  x là một nguyên hàm của f x

 

x nên

   

f x

F x x

  

 

Hay ³

 

²

   

³

3

f x f x

x x f x x

x x

 

      

  

  , suy ra f

 

x 3x². Do đó:

 

^{. dx 3 2 xd 3}



^{2 x 2 xd}



^{3 2 x 2}



^{x xd}



³



^{2 x 2 x 2 x}



f x e x x e x x e  xe x  x e  xe  e x  x e  xe  e C

   

Câu 17: Biết

 

3

1

5 f x dx



^và

 

3

1

7 g x dx 



. Giá trị của

   

3

1

3f x 2g x dx

 

 



^bằng

A. 29. B. 1. C. 29 . D. 31.

Lời giải

Ta có:

         

3 3 3

1 1 1

3f x 2g x dx3 f x dx2 g x dx    3 5 2 7 29.

 

 

  

Câu 18: Cho hai số phức z₁ 3 4i và z₂  2 i. Số phức trên đoạn z₁iz₂ bằng

A. 22i. B. 53i. C. 22i. D. 53i.

Lời giải Ta có: z1iz2  3 4ii



2i



22 .i

Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết điểm ^M



^{3; 5}



là điểm biểu diễn số phức .z Phần ảo của số phức z2i bằng

A. 2. B. 5. C. 3. D. 5 .

Lời giải

Ta có điểm ^M



^{3; 5}



là điểm biểu diễn số phức z nên z 3 5i z 2i 3 3i. Phần ảo của số phức z2i bằng 3.

Câu 20: Gọi z₀ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z²4z 8 0. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây biểu diễn số phức iz₀?

A. ^P



^{ 2; 2}



^{. B. Q}



^{2; 2}



^{. C. M}



^2;2



^{. D. N}



^{2; 2}



^.

Lời giải Ta có: z²4z 8 0^



^z2



^{2 4i2 2 2}

2 2

z i

z i

  

    . Suy ra z₀  2 2i iz₀ 2i2i²  2 2i.

Vậy điểm biểu diễn số phức iz₀ là ^M



^2;2



^.

Câu 21: Thể tích hình chóp theo công thức nào sau đây?

A. ¹

V 6hS B. V hS C. ¹

V 2hS D. ¹

V 3hS Lời giải

Thể tích hình chóp là ¹ . V 3hS

Câu 22: Cho mặt cầu có diện tích là 36. Thể tích của khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu đã cho là

A. 108. B. 81. C. 27 . D. 36.

Lời giải Gọi R là bán kính mặt cầu, suy ra 4R² 36 R3. Thể tích khối cầu là ^{4 3} 36

V  3R   .

Câu 23: Cho khối trụ có bán kính đáy r3 và độ dài đường sinh l5. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. 12. B. 36. C. 45. D. 15 .

Lời giải Thể tích khối trụ: V r l² 3² 5 45 .

Câu 24: Cho hình nón có bán kính đáy r6 và chiều cao h8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. 64. B. 60. C. 120. D. 80 . Lời giải

Từ giả thiết đề bài ta tìm được đường sinh của hình nón bằng 6²8² 10.

Ta có diện tích xung quanh của hình nón là S_xq rl, trong đó r là bán kính đáy, l là đường sinh.

Do vậy S_xq .6.1060.

Câu 25: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ^A



^{5; 4; 3}



^{đến trục Ox bằng}

A. 25. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Gọi H là hình chiếu của điểm A lên ^OxH



^{5; 0;0 .}



Khi đó khoảng cách từ A đến Ox bằng độ dài OH 5.

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A



^4;1;3



^{, B}



^2;1;5



^{và C}



^{4;3; 3}



không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với AB có phương trình là

A. xy  z 3 0. B. x  z 1 0. C. 2x2z 1 0. D. 2x   y z 1 0. Lời giải

Mặt phẳng

 

^ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra

 

^ đi qua trung điểm ^I



^{3;1; 4}



^{của AB} và nhận véc-tơ pháp tuyến ^{n  AB }



^{2;0; 2}



^.

Do đó phương trình

 

^{ : 2}



^x3



^0



^y1



^2



^z4



^{0x  z 1 0.}

Câu 27: Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu

  

^{S : x2}



^2



^y1



^2



^z3



^{2 25}. Tọa độ tâm của mặt cầu

 

^{S là}

A.



^{2;1; 3}



^{. B.}



^{2; 1;3}



^{. C.}



^2;1;3



^{. D.}



^{  2; 1; 3}



^.

Lời giải Tọa độ tâm của mặt cầu là



^{2;1; 3 .}



Câu 28: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( )P đi qua điểm ^M



^{2; 5;1}



và song song với mặt phẳng



^Oxz



có phương trình là

A. x  y 3 0. B. y 5 0. C. x  z 3 0. D. x20. Lời giải

Ta có phương trình mặt phẳng



^Oxz



^{là y0.}

Vì

  

^{P  Oxz}



^phương trình ( )P : y m 0.

Vì

 

^P đi qua điểm ^M



^{2; 5;1}



  5 m0m5.

Vậy phương trình mặt phẳng

 

^{P là y 5 0.}

Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số từ 1000 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất chọn được một số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7 là

A. ⁴⁷

1000. B. ³³³

1000. C. ⁸

250. D. ¹⁰⁷

250. Lời giải

Số chia hết cho 3 có dạng 3k với k^*. Do đó trong 1000 số đầu tiên có ¹⁰⁰⁰ 333

3

 

 

  số chia hết cho 3.

Số chia hết cho 7 có dạng 7k với k^*. Do đó trong 1000 số đầu tiên có ¹⁰⁰⁰ 142

7

 

 

  số chia hết cho 7.

Số chia hết cho 21 có dạng 21k với k^*. Do đó trong 1000 số đầu tiên có ¹⁰⁰⁰ 47

21

 

 

  số chia hết cho 21.

Số các số chia hết cho 3 hoặc 7 là 333 142 47  428.

Vậy xác suất cần tìm là: ^{428 107}. 1000 250

P 

Câu 30: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm là ^{f x( )}



^x2

 

^{2 x1}



³



^x24



^x21



^{với mọi x.} Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 .

Lời giải

Ta có bảng xét dấu của ^{f x( )}



^x2

 

^{2 x1}



³



^x24



^x21



^{như sau}

Quan sát bảng xét dấu ta có f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm tại x 1. Vậy hàm số có điểm cực đại tại x 1 Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ^{1 4 1 2} 2021

2020 2020

f x  x  x  trên đoạn



^1;1



^là

A. 1

20214040 B. 2021 ¹

8080. C. 2020. D. 2021. Lời giải

Ta có

 

^{1 .4 3 1 .2}



^{2 2 1}



2020 2020 1010

f x  x  x x x  . Cho

 

1 2

0 0

1 2 x

f x x

x

  



   



 

Mặt khác

 

¹

 

⁰

 

^{1 2021 1 2021 1}

2 8080

f f f f  

      

  .

Do đó

 

 

1;1

min 2021 1 f x 8080

  

Câu 32: Biết log 12₇ a, log 24₁₂ b. Giá trị của log 168 được tính theo ₅₄ a và b là

A.

 

1 8 5 ab

a b



 . B.

 

1 8 5 ab

a b



 . C. ^{2 1}

8 5

ab

a b



 . D. ^{2 1}

8 5

ab a b



 . Lời giải

Ta có: ₅₄ ^{12 12 12}

12 12 12

log 168 log 24 log 7

log 168 .

log 54 3log 3 log 2

  



Lại có: log 2₁₂ log₁₂ ²⁴ log 24₁₂ log 12₁₂ 1.

12 b

    

12 12 12 12 ²

 

log 3 log 12 log 12 log 2 1 2 1 3 2

4 b b

       

Khi đó

   

54

1

log 168 1 .

3 3 2 1 8 5

b a ab

b b a b

 

 

   

Câu 33: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường ^y



^x1

 

^x25x6



và hai trục tọa độ bằng A. 2

 . B. ¹¹

4 . C. ¹¹

4

 . D. ¹

2. Lời giải

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi



¹

 

^{2 5 6}



0 0

y x x x

y x

    



 

 



Xét phương trình hoành độ giao điểm:

  

²



1

1 5 6 0 2.

3 x

x x x x

x

 

     



  Diện tích hình phẳng là:

               

           

3 1 2 3

2 2 2 2

0 0 1 2

1 2 3

2 2 2

0 1 2

1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6

1 5 6 1 5 6 1 5 6

9 1 1 11

4 4 4 4

S x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx

x x x dx x x x dx x x x dx

               

           

   

   

  

Câu 34: Cho hai số phức z₁ 1 2i và z₂  3 i. Môđun của số phức



z1z2



z z1 2 bằng

A. 5 34. B. 4 35 . C. 5 43 . D. 5 10 .

Lời giải Ta có:



z1z2



z z1 2 



1 2 i 3 i



1 2 i



3i



25 15 i. Do đó:



z1z2



z z1 2  25 15 i  25²15² 5 34.

Câu 35: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. bằng

A. 12a³. B. 36a². C. 18a². D. 12a². Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC. Vì SBC vuông tại S nên M là tâm của đường tròn ngoại tiếp SBC. Gọi d₁ là đường thẳng vuông góc với (SMC) tại M  mọi điểm d₁ cách đều ba đỉnh SBC. Ta có: ABC đều nên AM BC.

Mà

( ) ( )

( ) ( )

SBC ABC SBC ABC BC AM BC

 

  



 



nên AM (SBC) AM d₁

Trong mặt phẳng (ABC) vẽ đường trung trực d₂ của đoạn AC cắt đường thẳng AM tại I.

Ta có ¹

2

I d IS IB IC

IA IB IC IS I d IA IC

   

    

   



. .

S ABC

 nội tiếp mặt cầu ( ;I IA) (Với I là tâm của tam giác ABC)

Với ^{2 3}. ³ 3

3 2

RIA a a S 4R² 4 .3 a² 12a²(đvdt).

Câu 36: Cho hình chóp tam giác đều S ABC. và có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng ² . 3

a Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

A. 45. B. 30. C. 60. D. 90.

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ^SG^ABC

Do đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy bằng góc SAG cos AG

SAG SA

3 3 2

3 a

 a ³

 2 SAG 30 Vậy góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30.

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : ^{3 1 2z 1}

2 3 4

x y

d   

 

 . Véctơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của d?

A. u1



2; 3; 2



. B. u4 



2;3; 4



. C. u3 



2;3; 4



. D. u2 



2; 3; 4



.

2a 3

a G

C

B A

S

Lời giải Véctơ chỉ phương của d là u2 



2; 3; 4



Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M



^{3; 4; 2}



và mặt phẳng

 

^{P : 2x5z 3 2 0}. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng

 

^P có phương trình tham số là

A.

3 2 4 5 2 3

x t

y t

z t

  

  



   



. B.

3 2 4

2 5

x t

y

z t

  

 



   



. C.

3 2 4

2 3

x t

y

z t

  

 



   



. D.

3 2 4 5 2 3

x t

y t

z t

  

  



   



.

Lời giải

Ta có:

 

^{P : 2x5z 3 2 0}

 

^P có véctơ pháp tuyến là ^{n }



^{2; 0;5}



^.

Do ^{d }

 

^{P nên d nhận n }



^{2; 0;5}



làm véctơ chỉ phương

3 2

: 4

2 5

x t

d y

z t

  

  

   



.

Câu 39: Cho hàm số bậc bay f x( )có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ^f



^{4x2  x21}



^ ₂₀₂₁^{1 là}

A. 14. B. 10 . C. 24 . D. 12.

Lời giải

Ta có: ^{yg x( ) f}



^{4x2  x21}



^{với g x( )} ₂₀₂₁¹

Ta đặt: ^{t 4x2,  x}



^{2; 2}



thì suy ra ^{yg t( ) f t}



^{t23 ,}



^{ t}



^{0; 2}



Suy ra:

2 2

2

3, 0; 3

( ) 3 .

3, 3; 2

t t t h t t t

t t t

    

  

    

 

   

  



Từ đó ta có BBT của hàm số ( )h t như hình vẽ bên:

Đặt u t t²3 thì ta cũng có BBT của unhư sau:

Nhìn vào đồ thị y f x( ) trên ta có được:

3 2

( ) , 0 2

3 0 (1) (2) 0, "(1) 0

f x ax bx cx a

f f f a

    

  

   

 Như vậy ta suy ra ^{( ) 2}



¹



²



f x  3x x x . Mà hàm số đó có cực trị bằng ^{4 3}

 9 tại xx₀ nên suy ra

 

0 0

4 3 3 3

9 3

f x  x 

  

Như vậy: ^{f(3)4, f}

 

^{3  0, 2,f }_^3₃ ^3_^{ 4 3}₉

 

Từ đó, ta phác họa được đồ thị ^{y f u}

 

^{với u t t23 như sau:}

2

0 0

3 3

3

1

0 0

3

3 3 1 3 3

2 0

2

t t² 3 t t² 3

t x

Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình ( ) ¹

g x  2021có tất cả 10 nghiệm phân biệt.

Câu 41: Cho hai số thực a1,b1, biết phương trình a b^{x x21}1có hai nghiệm x₁, x₂. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

 

2 1 2

1 2

1 2

x x 4

S x x

x x

 

 

    

A. 4 . B. ³4 . C. 3 4 . ³ D. 3 2 . ³

Lời giải

Ta có: a b^{x x21}1^logb



^{a bx x21}



^{log 1b x2xlogba 1 0.}

Phương trình có hai nghiệm x₁, x₂theo viet ta có: ^{1 2}

1 2

log

. 1

x x ba

x x

   

  

 .

 

2 1 2

1 2

1 2

x x 4

S x x

x x

 

 

    



^log



^{2 4}

a log

a

b b

  .

Đặt log_abt, t0. Xét ^{S f t}

 

^{t2 4}

  t với t0. Ta có: ^f

 

^{t 2t 4}₂ ^f

 

^{t 0 2t3}₂ ^{4 0 t 32.}

t t

          

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số f t

 

trên khoảng



^0;



bằng ^f

 

^{32 3 43 .}

Vậy giá trị nhỏ nhất của Sbằng 3 4 . ³

Câu 41: Cho hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên



^{ 2; 2 \ 0}

  

, thỏa mãn (1)f 0 và



^{( )}



( )

'( ) ^{f x} 2 _{f x}x 0 f x x e

  e  . Giá trị của ¹

f  2

   bằng