Hướng dẫn giải các dạng toán sự đồng biến và nghịch biến của hàm số – Đặng Việt Đông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và ^{y f x}

 

là một hàm số xác định trên K.

Ta nói:

+ Hàm số ^{y f x}

 

được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

   

1, 2 , 1 2 1 2

x x K x x  f x  f x + Hàm số ^{y f x}

 

được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

   

1, 2 , 1 2

x x K x x  f x  f x



^;





x a b . Ta có nhận xét sau:

4. Định lí 2.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu ^{f '}

 

^{x 0, x K} thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu ^{f '}

 

^{x 0, x K} thì hàm số f nghịch biến trên K.

c) Nếu ^{f '}

 

^{x 0, x K} thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

1 2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Nhận xét.

a. Nhận xét 1.

Nếu hàm số f



^x



^{và g}



^x



cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f



^x



^g



^x



^{cũng đồng}

biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f



^x



^g



^x



^.

b. Nhận xét 2.

Nếu hàm số f



^x



^{và g}



^x



là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f



^x



^.g



^x



cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f



^x



^,g



^x



không là các hàm số dương trên D.

c. Nhận xét 3.

Cho hàm số uu



^x



, xác định với x



^a;b



^{và u}



^x



^



^c;d



^{. Hàm số f} _^u



^x



_ cũng xác định với i.Giả sử hàm số uu



^x



đồng biến với x



^a;b



. Khi đó, hàm số f u



^x



_ đồng biến với

x



^a;b



^{ f}



^u



đồng biến với u



^c;d



^.

ii.Giả sử hàm số uu



^x



nghịch biến với x



^a;b



. Khi đó, hàm số f u



^x



_ nghịch biến với x



^a;b



^{ f}



^u



nghịch biến với u



^c;d



^.

3. Định lí 1.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '



^x



^{0,xK.}

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '



^x



^{0,xK.}

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn



^{a b;}



^{và f '}

 

^{x 0, x}



^{a b;}



thì hàm số f đồng biến trên đoạn



^{a b;}



^.

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

1 2 1 2 B.Với mọi x x1, 2R f x

 

1  f x

 

2 . C. Với mọi _{1 2 1 2} D.Với mọi x1 x2R f x

 

1  f x

 

2 .

   

1 2 1 2

x x  f x  f x .

Câu 2: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ 2x33x23x và 0ab}. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Hàm số nghịch biến trên . C. ^{f b}

 

^0.

B. ^{f a}

 

^{ f b}

 

^{. D. f a}

 

^{ f b}

 

^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có : ^f

 

^{x  6x26x3  0 x }Hàm số nghịch biến trên  .

     

0a b 0 f 0  f a  f b .

Câu 3: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên



^{a b;}



. Phát biểu nào sau đây là đúng ?

a) Nếu f '



^x



^{0,xK và f '}



^x



^0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu f '



^x



^{0,xK và f '}



^x



^0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

B - BÀI TẬP

DẠNG 1: TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y f



^x



+) f '



^x



^0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f '



^x



^0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc:

+) Tính f '



^x



, giải phương trình f '



^x



^0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f '



^x



^.

+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Câu 1: Cho hàm số f



^x



đồng biến trên tập số thực , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Với mọi x x R f



^x



^{ f}



^x



^.

x,x R f



^x



^{ f}



^x



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có : f



^x



đồng biến trên tập số thực .

A. Hàm số y f x( ) khi và chỉ khi ^{f x( )0, x}



^{a b;}



^.

B.Hàm số y f x( ) khi và chỉ khi ^{f x( )0, x}



^{a b;}



^.

C. Hàm số y f x( ) khi và chỉ khi ^{f x( )0, x}



^{a b;}



^.

D. Hàm số y f x( ) đồng biến khi và chỉ khi ^{f x( )0, x}



^{a b;}



^{và f x( )0} tại hữu hạn giá trị



^;



 x a b . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Theo định lý mở rộng (SGK Đại số và giải tích 12 ban cơ bản trang 7)

Câu 4: Cho hàm số

 

^{C :y f x}

 

có đạo hàm trên khoảng K. Cho các phát biểu sau:

(1). Nếu ^{f '}

 

^{x 0, x K và f '}

 

^{x 0} tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

(2). Nếu ^{f '}

 

^{x 0, x K và f '}

 

^{x 0} có hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K.

(3). Nếu hàm số đồng biến trên K thì ^{f '}

 

^{x 0, x K.}

(4). Nếu hàm số nghịch biến trên K thì ^{f '}

 

^{x 0, x K.}

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?

A. 1 B.3 C.2 D.4

Hướng dẫn giải:

A. 2 B.3 C.1 D. 4

Hướng dẫn giải:

A. hàm số ^{f x}

 

^{g x}

 

đồng biến trên khoảng K.

B.hàm số ^{f x}

 

^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng K.

C. đồ thị của hàm số (C) và (C’) có nhiều nhất một điểm chung.

D. đồ thị của hàm số (C) và (C’) có đúng một điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Các phát biểu là (1), (2), (3) đúng. Phát biểu (4) sai vì f đồng biến trên K tuy nhiên phương trình f(x) = 0 có thể vô nghiệm trên K. Chẳng hạn hàm

 

^{C' :yx21} đồng biến trên khoảng



^0;



^,

tuy nhiên x² 1 0 lại vô nghiệm trên



^0;



^.

Chọn đáp án A.

Chỉ có phát biểu (3), (4) đúng.

Các phát biểu (1) , (2) sai vì nếu f '



^x



^{0,xK} thì f không đồng biến và cũng không nghịch biến.

Câu 5: Giả sử hàm số



^C



^{:y f}



^x



có đạo hàm trên khoảng K. Cho các phát biểu sau:

(1). Nếu f '



^x



^{0,xK} thì hàm số f đồng biến trên K.

(2). Nếu f '



^x



^{0,xK} thì hàm số f nghịch biến trên K.

(3). Nếu hàm số



^C



đồng biến trên K thì phương trình f



^x



^0 có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc K.

(4). Nếu hàm số



^C



nghịch biến trên K thì phương trình f



^x



^0 có đúng một nghiệm thuộc K.

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên.

Chọn đáp án C.

Các phát biểu đúng là (1), (2).

Câu 6: Giả sử hàm số



^C



^{:y f}



^x



nghịch biến trên khoảng K và hàm số



^C'



^:yg



^x



đồng biến trên khoảng K. Khi đó

Câu 7: Hàm số yax³bx²cxd a, 0 có khoảng đồng biến chứa hữu hạn số nguyên nếu A. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . B. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . C. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . D. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến nếu cắt nhau thì chỉ có thể cắt nhau tại một điểm.

Câu D sai vì không nhất thiết hai hàm số này phải cắt nhau. Câu A, B hiển nhiên sai.

Câu 8: Hàm số yax³bx²cxd a, 0 có khoảng nghịch biến chứa hữu hạn số nguyên nếu A. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . B. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . C. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . D. ₂ 0

3 0

 

  

 a

b ac . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Hàm số yax³bx²cxd a, 0 có khoảng đồng biến chứa hữu hạn số nguyên thì chỉ được đồng biến trong khoảng



x x1; 2



với x x₁, ₂ là nghiệm của phương trình 'y 0. Tức là phải có bảng xét dấu y’ như sau: Vậy ₂

'

0 0

0 3 0

 

 

 

    

 ^y

a a

b ac .

Chú ý: Các em nên nắm vững cách xét dấu tam thức bậc hai thì phần này sẽ thấy nhẹ nhàng và sẽ giải quyết bài toán rất nhanh.

Câu 9: Chọn phát biểu đúng khi nói về tính đơn điệu của hàm số yax⁴bx²c a, 0.

A. ₂ 0 3

 

  a

b ac . B.  ₂0

 

 a

b ac . C. ₂ 0 3

 

 

 a

b ac . D. ₂ 0 3

 

 

 a

b ac . Hướng dẫn giải:

A. Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành nhiều nhất một điểm có hoành độ thuộc



^{a b;}

 

^{ c d;}



^.

B.Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành nhiều nhất một điểm có hoành độ thuộc



^{a b;}

 

^{ c d;}



^.

C. Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành nhiều nhất hai điểm có hoành độ thuộc



^{a b;}

 

^{ c d;}



^.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{a b;}

 

^{ c d;}



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Hàm số yax³bx²cxd a, 0 luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi

2

2

' 3 2 0, 0

3 0

 

       

 

 y ax bx c x R a

b ac . A.Hàm số có thể đơn điệu trên R.

B.Khi a > 0 thì hàm số luôn đồng biến.

C.Hàm số luôn tồn tại đồng thời khoảng đồng biến và nghịch biến.

D.Khi a < 0 hàm số có thể nghịch biến trên R.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Lập luận tương tự câu 5.

Câu 10:Hàm số yax³bx²cxd,a0 luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi



 0 0 0 0

Chọn đáp án C.

Vì y'4ax³2bx luôn đổi dấu khi a0 .

Câu 11: Cho hàm số y f



^x



đồng biến trên các khoảng



^a;b



^và



^c;d



^,



^{abcd}



^{. Phát biểu}

nào sau đây là đúng khi nói về hàm số đã cho.

Câu 12: Cho hàm số

 

^{C :y f x}

 

có đạo hàm trên khoảng K và các phát biểu sau:

(1). Nếu ^{f '}

 

^{x 0, x K} thì hàm số f đồng biến trên K.

(2). Nếu ^{f '}

 

^{x 0, x K} thì hàm số f nghịch biến trên K.

(3). Nếu hàm số đồng biến trên K thì ^{f '}

 

^{x 0, x K.}

(4). Nếu hàm số nghịch biến trên K thì ^{f '}

 

^{x 0, x K.}

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?

A. 2 B.3 C.4 D.1

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Câu D và các câu còn lại nói chung không đúng. Xem hình minh họa bên trái. Nói chung ta không chắc hàm số sẽ đồng biến trên



^{a b;}

 

^{ c d;}



^{. Vì với} x1x2 thì vẩn có thể f x

 

1  f x

 

2 . Hàm số luôn đồng biến trên khoảng

A.



^1;3



^và



^3;



^.

C.



^;3



^và



^3;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có y 3x²6x9 nên 1 3 y x

x . Bảng xét dấu của y là

x  1 3 

y  0  0 

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

+ TXĐ: DR. + y' 6x²6 .x

+ ² 0

' 0 6 6 0 .

1

 

       

y x x x

x + Bảng biến thiên:

(a;b) thì nếu có nghiệm thuộc (a;b) thì đó là nghiệm duy

nhất. Tuy nhiên, cũng không nhất thiết phải có nghiệm trong khoảng (a;b).

Câu 13: Hàm số yx³3x²9x1 đồng biến trên mỗi khoảng:

B.



^;1



^và



^1;3



^.

D.



^;1



^và



^3;



^.

  

 0 

 

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



^;1



^và



^3;



^.

Câu 14: Cho hàm số y 2x³3x²2 . Khẳng định nào sau đây là đúng về tính đơn điệu của hàm số A.Hàm số đồng biến trên khoảng



^;0



B.Hàm số nghịch biến trên khoảng



^;0



^và



^1;



C.Hàm số nghịch biến trên khoảng



^0;1



D.Hàm số nghịch biến trên khoảng



^;1



^và



^0;



^.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên



^;0



_.

Câu 15: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y2x³9x²12x4

A. (1; 2). B. (;1). C. (2;3). D. (2;).

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có ^{y'6x218x126}



^x23x2



^{0 1}

2

 

   x x Bảng biến thiên.

x  1 2



y + 0 _ 0

+ y

Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{1; 2 .}



Câu 16: Các khoảng đồng biến của hàm số yx³3x²2 là:

A.



^;0



^{. B.}



^{0; 2 .}



^C.



^{; 0}

 

^{ 2;}



^{. D.}



^;0



^và



^2;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có y 3x² 6x. 0

0 2

 

     y x

x

Xét dấu y suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng



^;0



^và



^2;



^.

Câu 17: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số yx³3x²9x

A. ( ; 3). B. (1;). C. ( 3;1) . D.

( ; 3)(1;). Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

3 2 6 9

   

y x x ,

 

^{0 3}

1

  

     f x x

x . Bảng biến thiên

x  3 1 



y + 0  0 +

y



27

5



y

Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên



^3;1



^.

Câu 18: Các khoảng nghịch biến của hàm số y x³3x²1 là:

A.



^{; 0 ; 2;}

 

^



^{. B.}



^{0; 2}



^{. C.}



^1;



^{. D. .}

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có y' 3x²6x, 0

0 2

 

     y x

x . Bảng biến thiên

x  0 2 

y _ 0 _ 0 

y ^

1



3



Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng



^{; 0 ; 2;}

 

^



^.

Câu 19: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?

A. y x³3x². B. y x³3x1. C. y x³3x²3x2. D. yx³. Hướng dẫn giải:

Câu 20: Hỏi hàm số ^{1 3} 2 ² 5 44

 3   

y x x x đồng biến trên khoảng nào?

A.



^{ ; 1}



^{. B.}



^;5



^{. C.}



^5;



^{. D.}



^1;5



^.

Hướng dẫn giải:

2 4 5

    

y x x

0 1

5

  

     y x

x Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^1;5



^.

Câu 21: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y x³3x²9x4

A.



^3;1



^{. B.}



^3;



^{. C.}



^{ ; 3}



^{. D.}



^1;3



Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

3 2

3 9 4

    

y x x x . TXĐ: D.

x -1 5

y 0 0

y Chọn đáp án C

yx³3x² y 3x²6x. Loại A

y x³3x1  y  3x²33 . Loại B

y x³3x²3x2  y  3x²6x3 3



^x1



^{2 0.}

Chọn đáp án D

2 1

3 6 9 0

3

  

         y x x x

x

Dựa vào bảng xét dấu tam thức bậc hai thấy ^{y    0 x}



^1;3



^.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^1;3



^.

Câu 22: Hàm số y x³3x²2 đồng biến trên khoảng nào?

A.



^{0; 2 .}



^B.



^2;



^{. C.}



^{ ;}



^{. D.}



^{; 0 .}



Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A 3 2 6

   

y x x

0 0

2

 

     y x

x Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^{0; 2 .}



Câu 23: Cho hàm số

 

3 2

6 3

3 2 4

 x  x  

f x x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



^2;3



^{. B.}Hàm số nghịch biến trên khoảng



^2;3



^.

C. Hàm số nghịch biến trên



^{ ; 2}



^{. D.}Hàm số đồng biến trên



^{ 2;}



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Tập xác định D.

Ta có ^f

 

^{x x2 x 6,}

 

²

3, 87

0 6 0 4

2, 169 12

   

       

   



x y

f x x x

x y

Bảng biến thiên

x  2 3 _

y _ 0  0 _

y



169 12

87

 4



Câu 24: Hỏi hàm số yx³3x nghịch biến trên khoảng nào ?

A.



^;0



^{. B.}



^1;1



^{. C.}



^{0; }



^{. D.}



^{  ;}



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Ta có y 3x²3 ; y 0 x 1.

x 0 2

y 0 0

y

2

6

Hàm số yx³3x nghịch biến trên khoảng



^1;1



^.

Câu 25: Cho hàm số y x³x²5x4. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên ⁵;1 3

 

 

 . B.Hàm số đồng biến trên ⁵;1

3

 

 

 . C. Hàm số đồng biến trên ; ⁵

3

 

  

 . D.Hàm số đồng biến trên



^1;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

3 2 2

1

3 2 5 0 5

3

5 4

 

 

      

  



    

x

y x x

y x x x x

x 5

3 1 _

y   0  0 

Hàm số đồng biến trên ⁵;1 3

 

 

 .

Câu 26: Hỏi hàm số y2x³3x²5 nghịch biến trên khoảng nào?

A.



^{ ; 1 .}



^B.



^{1; 0 .}



^C.



^0;



^{. D.}



^{3;1 .}



Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Có ² 0

' 6 6 0

1

 

       y x x x

x

Hàm số nghịch biến trong khoảng giữa.

Câu 27: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên tập xác định của nó?

A.

1

 2

y x . B. y x³2. C. yx^{2 5}. D. yx³3x. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

1

 2

y x . TXĐ:^D



^0;



1

1 2

' 0,

2



   

y x x D  Hàm số đồng biến trên trập xác định . Câu 28: Hàm số yx³x² x 3 nghịch biến trên khoảng:

A. ; ¹ 3

 

  

 và



^1;



^{. B. ; 1}

3

 

  

 . C. ¹;1

3

 

 

 . D.



^1;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Xét hàm số yx³x² x 3 trên  '3 2 2 1

y x x

Cho ²

1

' 0 3 2 1 0 1

3

 

     

  

 x

y x x

x BBT:

x -  ¹

3 1

+

y’ + 0 - 0 +

y +

-

Vậy hàm số nghịch biến trên ¹;1 3

 

 

 

Câu 29: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?

A. y x³3x²3x2. B. y x³3x²3x2. C. yx³3x²3x2. D. yx³3x²3x2. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

3 2

3 3 2

    

y x x x .

2 2

' 3 6   3 3( 1) 0, 

y x x x x . Nên hàm số nghịch biến trên.

Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?

A. y x³3x²3x2. B. y x³3x²3x2. C. yx³3x²3x2. D. yx³3x²3x2. Hướng dẫn giải:

B.Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên



^1;0



^.

D.Hàm số ^{f x}

 

không đổi trên . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có: y f x( )x³3x. Tập xác định: D.

'( )3 2 3 0  

f x x x .

Suy ra hàm số đồng biến trên .

Câu 32: Hàm số yx³3x²9x2017đồng biến trên khoảng

A.



^;3



^{. B.}



^{ ; 1}



^và



^3;



^.

C.



^{ 1;}



^{. D.}



^1;3



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Hàm số yax³bx²cxd (a0) nghịch biến trên  thì a0 suy ra loại C,D. y x³3x²3x2 .

y' 3x²6x3. .

'99180. suy ra A không thoả yêu cầu bài toán.

Câu 31:Cho hàm số y f



^x



^x33x. Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Hàm số f



^x



đồng biến trên .

C. Hàm số f



^x



nghịch biến trên



^;0



^.

Chọn đáp án B.

3 2 2 1

3 9 2017 3 6 9 0 .

3

  

           

y x x x y x x x

x

x 1 3 ^

y ^ 0 _ 0 ^

Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ ; 1}



^và



^3;



^.

Câu 33:Hàm số yx³3x² nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A.



^1;1



^{. B.}



^;1



^{. C.}



^{0; 2 .}



^D.



^2;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C

3 2 2

3  3 6

    

y x x y x x; ²

0 3 6 0 0

2

 

       

y x x x

x ; y  0 3x²6x00x2 Câu 34: Tìm các khoảng đồng biến hàm số ^{1 3} 2 ² 3 1

3   

y x x x

A.



^;3



^{. B.}



^1;



^.

C.



^{1;3 .}



^D.



^;1



^và



^3;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

' 2 4 3

' 1

3

  

 

   

y x x

y o x x

Ta có bảng biến thiên:

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng



^;1



^và



^3;



_.

Câu 35: Cho hàm số ^{1 3 1 2} 12 1

3 2

   

y x x x . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng



^4;



^.

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ 3;}



^.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{; 4}



^.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{3; 4}



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

' 2 12 y x x

2 3

' 0 12 0

4

  

       

y x x x

x

1 3

0 0

Vậy hàm số đồng biến trên



^{ ; 3}



^và



^{4; }



Câu 36: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên .

A. y x³2x² x 1. B. ^{1 3 2} 3 1

3   

y x x x .

C. ^{1 3 2}

 3  

y x x x. D. y x³3x1.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

3 2

2 1

    

y x x x ^{ y 3x24x 1}



^x1



^3x1



^.

3 2

1 3 1

3   

y x x x ^{ yx22x 3}



^x1



^{22  0 x .}

3 2

1

 3  

y x x x^{ y x22x  1}



^x1



^{2 0, x .}

Vậy hàm số ^{1 3 2}

 3  

y x x x nghịch biến trên .

Câu 37: Hàm số yx³3x²2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây.

A.



^{0; 2 .}



^B.



^{; 2}



^{. C.}



^2;



^{. D. .}

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Tập xác định: D

Ta có y'3x²6x; 0 ' 0

2

 

    y x

x

Hàm số đồng biến trên các khoảng



^;0



^và



^2;



^.

Câu 38: Cho hàm số yx³3x²3x1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên tập . B.Hàm số đạt cực trị tại x1.

C. Cực trị của hàm số là 1. D. y'0, với mọi x. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Tập xác định D.



²



3 1 0

      

y x x x .

Suy ra hàm số đồng biến trên . Câu 39: Hàm số

3 2

 x3  

y x x đồng biến trên khoảng nào?

A. . B.



^;1



^.

C.



^1;



^{. D.}



^;1



^và



^1;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Tập xác định D.

Ta có y x²2x 1 0  x . Vậy hàm số đồng biến trên .

Câu 40: Hàm số y x⁴4x² 2 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?

A.



^{ 2; 0}



^và



^2;



^{. B.}



^{ 2; 2}



^.

C.



^2;



^{. D.}



^{ ; 2}



^và



^{0; 2 .}



Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có: y  4x³8x

3 0

0 4 8 0

2

 

       

   x

y x x

x Bảng biến thiên:

x   2 0 2 

y _ 0  0 _ 0 

y

Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{ 2;0 ,}

 

^2;



^.

Câu 41: Cho hàm số ^{1 4} 2 ² 3

 4  

y x x . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{2; 0}



^và



^{2; }



^.

B.Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ ; 2}



^và



^2;



^.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ ; 2}



^và



^{0; 2 .}



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^;0



^.

Hướng dẫn giải:

B.



^1;0



^và



^1;



^.

D. .

Ta có ^{3 2}

0

4 4 0 1

1

 

     



  

 x

y x x y x

x . Ta có bảng xét dấu của đạo hàm :

x –∞ 0 +∞

y – 0 + 0 – 0 +

y +∞

2 2

+∞

Chọn đáp án C.

Ta có y'x³4xx



^x24



^{; y'0  x0 , x 2 .}

Hàm số nghịch biến trên khoảng



^;2



^và



^{0; 2}



^.

Hàm số đồng biến trên khoảng



^{2; 0}



^và



^2;



^.

Do đó mệnh đề đúng là: Hàm số nghịch biến trên khoảng



^;2



^và



^{0; 2}



^.

Câu 42: Cho hàm số yx⁴2x²3 . Tìm các khoảng đồng biến của hàm số A.



^;1



^và



^0;1



^.

C.



^;0



^và



^1;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

TXD: 

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{ 1 ; 0;1}

  

^.

Câu 43: Hàm số y x⁴4x² 1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?

A.



^{ 2; 2}



^{. B.}



^{ 3; 0}



^;



^2;



^.

C.



^{ 2;0 ;}

 

^2;



^{. D. ( 2;).}

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp C.

Ta có : y  4x³8x . 0

0 2

2

 

   

  

 x

y x

x

. Bảng biến thiên :

 Hàm số nghịch biến trên



^{ 2;0 ;}

 

^2;



^.

Câu 44: Hàm số y x⁴2x²1 đồng biến trên khoảng nào sau đây:

A. Đồng biến trên R. B. ( ; 1);(0;1). C. ( 1;0);(0;1) . D. ( 1;0);(1; ). Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D 4 3 4

  

y x x

0 0

1

 

      y x

x . Hàm số đồng biến trên



^1;0



^và



^1;



^,

Câu 45: Cho hàm số ^{1 4} 2 ² 1

 4  

y x x . Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng



^{2; 0}



^và



^2;



^.

B.Hàm số đồng biến trên các khoảng



^{ ; 2}



^và



^{0; 2 .}



C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{ ; 2}



^và



^2;



^.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{2; 0}



^và



^2;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

3 4

   y x x.

 

 

 

3

0 1

0 4 0 2 5 .

2 5

  



        

    



x y

y x x x y

x y

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng



^{2; 0}



^và



^2;



và nghịch biến trên các khoảng



^{ ; 2}



^và



^{0; 2 .}



Câu 46: Hàm sốyx⁴2x²3 đồng biến trên các khoảng nào?

A. . B. ( 1;0) và (0;1) .

C. ( ; 1)và (0;1) . D. ( 1;0) và (1;). Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

4 2 3

2 3  4 4

     

y x x y x x.

3 0

0 4 4 0

1

 

        

y x x x

x .

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; 0) và (1;). Câu 47: Hàm số yx⁴2x²1 đồng biến trên khoảng nào sau đây:

A. ( ; 1)và (0;1). B. ( 1;0) và (0;1). C. ( 1;0) và (1;). D. Đồng biến trên

. Hướng dẫn giải:

1 0 1

  

 



  x x x

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; 0) và (1;). Câu 48: Hàm số yx⁴2x²3 đồng biến trên khoảng nào ?

A.



^{ ; 1}



^và



^{0;1 .}



^B.



^1;0



^{. C.}



^1;



^{. D.}



^1;0



^và



^1;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

x –∞ 0 +∞

y – 0 + 0 – 0 +

y

+∞ +∞

Chọn đáp án C.

Ta có y 4x³4x. y 04x³4x0 Lập bảng biến thiên

3 3 0

' 4 4 , ' 0 4 4 0

1

 

         

y x x y x x x

x Xét dấu 'y

x

 1 0 1 

' y

 0 + 0  0 +

 

'0 khi  1, 0

y x và



^1;



Câu 49: Cho hàm số yx⁴ 2x²1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số A. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 0) và nghịch biến trên khoảng (0 ; ). B.Hàm số nghịch biến trên khoảng (  ; ).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 0) và đồng biến trên khoảng (0 ; ). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; ).

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Ta có ^{y 4x34x4x x}



^21



^.

Khi đó y 0 khi ^x



^0;



^{và y 0 khi x }



^{; 0}



^.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^0;



và nghịch biến trên khoảng



^;0



^.

Câu 50: Cho hàm số y x⁴8x²4. Các khoảng đồng biến của hàm số là:

A.



^{2; 0}



^và



^2;



^{. B.}



^{2; 0}



^và



^{0; 2 .}



C.



^{ ; 2}



^và



^{0; 2 .}



^D.



^{ ; 2}



^và



^2;



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có: y'4x³16x 0

' 0 2

2

 

   



  x

y x

x

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng



^{2; 0}



^và



^2;



Câu 51: Cho hàm số yx⁴2x²3. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ ; 1}



^{. B.}Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{0;1 .}



C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^1;0



^{. D.}Hàm số đồng biến trên khoảng



^{1; }



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

TXĐ:D .

3 0

' 4 4 0

1

 

       y x x x

x

x –∞ 0 +∞

y – 0 + 0 – 0 +

y +∞

-20 -20

+∞

BXD

x  -1 0 1



y - 0 + 0 - 0 + Khẳng định C là sai .

Câu 52: Hàm số y2x²x⁴ nghịch biến trên những khoảng nào?

A.



^1;0



^{. B.}



^{1;0 ; (1;}



^{). C.}



^{ ; 1 ; 0;1}

  

^{. D.}



^1;1



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Ta có: y  4x³4x . 0

0 1

 

      y x

x .

Từ bảng biến thiên suy ra ^{y    0 x}



^{1; 0}

 

^{ 1;}



^ Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{1;0 ; (1;}



^)_.

Câu 53: Cho hàm số y x⁴2x². Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( ; ). B.



^1;



^{. C. ( ; 1). D. (0; 2).}

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Hàm số y x⁴2x²có ³ 1

' 4 4 , ' 0

0 1

  

        y x x y x

x Vậy hàm số đã cho đồng biến trên ( ; 1).

Câu 54: Hàm số y x⁴4x² 1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?

A.



^{ 2; 0}



^và



^2;



^{. B.}



^{ 2; 2}



^.

C. ( 2;). D.



^{ 2;0}

 

^{ 2;}



^.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có: ³

0

4 8 0

2

 

      

   x

y x x

x .

Bảng biến thiên

Câu 55: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên các khoảng xác định của chúng

x –∞ 0 +∞

y + 0 – 0 + 0 –

y

1 1

–∞ 0 +∞

+ 0 – 0 + 0 –

0

A. yx³3x. B. ² 1

 

 y x

x . C. ^{2 3}

3 5

 

 y x

x . D.

4 2

2 3

   

y x x .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Ta có ^{2 3}

3 5

 

 y x

x

 

²

1 0

3 5

 

  

 y

x , ⁵

 x 3

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của chúng Các đáp án khác bị loại vì

3 3

 

y x x y3x² 3 0,  x  2

1

 

 y x

x

 

²

1 0

1

  

 y

x ,  x 1

4 2

2 3

   

y x x ^{y 4x34x 4x x}



^21



^{. ( 'y} đổi dấu khi qua nghiệm x0).

Câu 56: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của chúng A. y ²

x . B. ^{2 3}

1

 

 y x

x . C.



^1;1



^{. D. yx10}

x . Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Ta nhận thấy hàm số



^1;1



^có

 

²

1 1 0, 1

1

     



y x

x , do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 57: Hàm số nào sau đây đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó:

A. ¹

2

 

 y x

x B. ¹

2

 

 y x

x C. ^{2 1}

2

 

 y x

x D. ^{2 5}

2

 

 y x

x Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

2

1 1

' 0 2

2 ( 2)

 

     

 

y x y x

x x nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2

1 3

' 0 2

2 ( 2)

       

 

y x y x

x x nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2

2 1 3

' 0 2

2 ( 2)

 

     

 

y x y x

x x nên h�