Hướng dẫn giải các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

1

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

cos sin

O

+

A(1; 0) A⁰(−1; 0)

B(_{0; 1})

B⁰(0;−1) (I) (II)

(III) (IV)

Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV

sinα + + − −

cosα + − − +

tanα + − + −

cotα + − + −

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin²x+cos²x =1 1+tan²x = ¹

cos²x 1+cot²x= ¹

sin²x tanxcotx =1 3 Cung góc liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kémπ cos(−α) =cosα cos(π−α) = −cosα cos(α+π) = −cosα sin(−α) =−sinα sin(π−α) =sinα sin(α+π) = −sinα tan(−_α) =−tanα tan(_π−_α) = −tanα tan(_α+_π) = tanα cot(−_α) =−_{cotα cot}(π−_α) = −_{cotα cot}(α+π) = cotα

Cung phụ nhau Cung hơn kém π 2 cosπ

2 −α

=sinα cosπ 2 +α

=−sinα sinπ

2 −α

=cosα sinπ 2 +α

=cosα tanπ

2 −α

=cotα tanπ 2 +α

=−cotα cotπ

2 −_α=tanα cotπ 2 +α

=−_tanα

23

4 Công thức cộng

sin(a+b) =sinacosb+sinbcosa cos(a+b) = cosacosb−sinasinb sin(a−b) =sinacosb−sinbcosa cos(a−b) = cosacosb+sinasinb

tan(a+b) = ^tana+tanb

1−_tanatanb tan(a−b) = ^tana−tanb 1+_tanatanb tanπ

4 +x

= ¹+_tanx

1−tanx tanπ

4 −x

= ¹−_tanx 1+tanx 5 Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc

sin 2α =_{2 sinαcosα sin}²_α = ¹−cos 2α 2 cos 2α =_cos²_α−_sin²_α =_{2 cos}²_α−₁=₁−_{2 sin}²_{α cos}²_α = ¹+cos 2α

2 tan 2α = ^{2 tanα}

1−_tan²_α ^tan

2α = ¹−cos 2α 1+cos 2α cot 2α = ^cot

2α−1

2 cotα cot²α = ¹+cos 2α

1−cos 2α Công thức nhân 3

"

sin 3α =3 sinα−4 sin³α

cos 3α =_{4 cos}³_α−_{3 cosα} ^{tan 3α} = ^{3 tanα}−tan³α 1−3 tan²α 6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa+cosb=2 cos a+b

2 cos a−b

2 cosa−_cosb =−_{2 sin} ^a+b

2 sin a−b 2 sina+_sinb=_{2 sin} ^a+b

2 cos a−b

2 sina−_sinb =_{2 cos}^a+b

2 sina−b 2 tana+_tanb= ^sin(a+b)

cosacosb tana−_tanb = ^sin(a−b) cosacosb cota+cotb = ^sin(a+b)

sinasinb cota−cotb = ^sin(b−a) sinasinb Đặt biệt

sinx+cosx =√ 2 sin

x+^π 4

=√

2 cos x−^π

4

sinx−cosx =√ 2 sin

x− ^π 4

=−√

2 cos x+ ^π

4

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa·cosb = ¹

2[cos(a−b) +cos(a+b)]

sina·sinb = ¹

2[cos(a−b)−cos(a+b)]

sina·cosb = ¹

2[sin(a−b) +sin(a+b)]

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

độ 0^◦ 30^◦ 45^◦ 60^◦ 90^◦ 120^◦ 135^◦ 150^◦ 180^◦ 360^◦

rad 0 π

6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π

6 π 2π

sinα 0 1

2

√2 2

√3

2 1

√3 2

√2 2

1

2 0 0

cosα 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −¹

2 −

√2

2 −

√3

2 −1 1

tanα 0

√3

3 1 √

3 kxđ −√

3 −1 −

√3

3 0 0

cotα kxđ √

3 1

√3

3 0 −

√3

3 −1 −√

3 kxđ kxđ

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M ( cos α, sin α )

x y

0^◦ 30^◦ 60^◦ 90^◦

120^◦ 150^◦ 180^◦

210^◦ 240^◦

270^◦ 300^◦ 330^◦

360^◦

π 6 π 4 π 3 π

2π 2 3π 3

4 5π

6

π

7π 6

5π 4 4π

3 3π

2

5π 3

7π 4

11π 6

2π ^√

3 2 ,¹₂ ^√

2 2 ,

√2 2

1

2,

√ 3 2

−

√3 2 ,¹₂ −

√2 2 ,

√2 2

−¹₂,

√ 3 2

−

√3 2 ,−¹₂ −

√2 2 ,−

√2 2

−¹₂,−

√ 3 2

^√

3 2 ,−¹₂ ^√

2 2 ,−

√2 2

1

2,−

√ 3 2

(−1, 0) (1, 0)

(0,−1) (_{0, 1})

BÀI 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất của hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số y = f(x)có tập xác định làD gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ _D thì−x ∈ _D và f(−x) = f(x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm số y = f(x) có tập xác định làD gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ _D thì

−x ∈ _D và f(−x) = −f(x). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng.

b) Hàm số đơn điệu

Cho hàm sốy= f(x)xác định trên tập(a;b) ⊂_R.

Hàm sốy = f(x)gọi là đồng biến trên(a;b)nếu∀x1,x2 ∈ (a;b)cóx1 < x2 ⇒ f (x₁)< f (x₂).

Hàm sốy = f(x)gọi là nghịch biến trên(a;b)nếu∀x1,x2∈ (a;b)cóx1 <x2⇒ f (x₁)> f (x₂).

c) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợpD, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ _D ta có (x+T) ∈ _D và (x−T) ∈ _D và

f(x+T) = f(x).

Nếu có số dươngTnhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thìTgọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.

2 Hàm sốy=sinx

Hàm sốy=sinxcó tập xác định làD =_R⇒y =sin[f(x)]xác định⇔ f(x)xác định.

Tập giá trịT = [−1; 1], nghĩa là−1≤sinx≤1⇒

◦ 0≤ |sinx| ≤ 1

◦ 0≤sin²x ≤1.

Hàm số y = f(x) = sinx là hàm số lẻ vì f(−x) = sin(−x) = −sinx = −f(x). Nên đồ thị hàm sốy=sinxnhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng.

Hàm số y = sinxtuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa làsin(x+k2π) = sinx.

Hàm sốy=sin(ax+b)tuần hoàn với chu kìT0 = ^2π

|a|^. Hàm sốy = sinx đồng biến trên mỗi khoảng

−^π

2 +k2π;π

2 +k2π

và nghịch biến trên mỗi khoảng

π

2 +k2π;3π

2 +k2π

vớik ∈_Z.

Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt

◦ _sinx=₁⇔ x= ^π

2 +k2π

◦ sinx=0⇔ x=kπ

◦ _sinx=−₁⇔ x=−^π

2 +k2π , k∈ _Z.

Đồ thị hàm số

x y

−_π π

−^π₂

π 2

3 Hàm sốy=cosx

Hàm sốy =cosxcó tập xác địnhD =_R⇒ y = cos[f(x)]xác định⇔ f(x)xác định.

Tập giá trịT = [−1; 1], nghĩa là−1≤cosx≤1⇒

®0≤ |_cosx| ≤₁ 0≤_cos²x ≤_1.

Hàm sốy =cosxlà hàm số chẵn vì f(−x) = cos(−x) = cosx = f(x)nên đồ thị của hàm số nhận trục tungOylàm trục đối xứng.

Hàm số y = _cosx tuần hoàn với chu kìT₀ = 2π, nghĩa làcos(x+_2π) = _cosx.

Hàm sốy=cos(ax+b)tuần hoàn với chu kì T₀ = ^2π

|a|^.

Hàm số y = cosxđồng biến trên các khoảng(−π+k2π;k2π),k ∈ _Zvà nghịch biến trên các khoảng(k2π;π+k2π),k ∈ _Z.

Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt

◦ cosx=1⇔ x=k2π

◦ cosx=−1⇔ x=_π+k2π

◦ cosx=0⇔ x= ^π 2 +kπ

, k∈ _Z.

Đồ thị hàm số

x y

−_π −^π_{2 π}

π 2

4 Hàm sốy=tanx

Hàm sốy=tanxcó tập xác địnhD =_R\^nπ

2 +kπ,k∈ _Z^o, nghĩa làx6= ^π 2 +kπ

⇒hàm sốy=tan[f(x)]xác định⇔ _f(x)6= ^π

2 +kπ; (k∈ _Z).

Tập giá trịT =_R.

Hàm số y = _tanx là hàm số lẻ vì f(−x) = _tan(−x) = −_tanx = −f(x) nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độO.

Hàm sốy =tanxtuần hoàn với chu kìT₀ = _π ⇒ y =tan(ax+b) tuần hoàn với chu kìT0 = ^π

|a|^.

Hàm sốy=tanxđồng biến trên các khoảng

−^π

2 +kπ;π

2 +kπ

,k ∈Z.

Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt

◦ tanx =1 ⇔x = ^π 4 +kπ

◦ tanx =−1 ⇔x =−^π 4 +kπ

◦ tanx =0 ⇔x =kπ

, k∈ _Z.

Đồ thị hàm số

x y

O

−_π

π

−^π₂

π 2

5 Hàm sốy=cotx

Hàm số y = y = cotx có tập xác địnhD = R\ {_kπ,k∈ _Z}, nghĩa là x 6= _kπ ⇒ hàm sốy =cot[f(x)]xác định⇔ f(x) 6=kπ; (k∈ _Z).

Tập giá trịT =_R.

Hàm sốy=_cotxlà hàm số lẻ vì f(−x) =_cot(−x) =−_cotx =−f(x)nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độO.

Hàm sốy =y=cotxtuần hoàn với chu kìT₀ = _π ⇒y =cot(ax+b)tuần hoàn với chu kìT0= ^π

|a|^.

Hàm sốy=y=cotxnghịch biến trên các khoảng(kπ;π+kπ),k ∈_Z.

Hàm sốy =y=cotxnhận các giá trị đặc biệt

◦ cotx=1⇔x = ^π 4 +kπ

◦ cotx=−1⇔x =−^π 4 +kπ

◦ cotx=0⇔x = ^π 2kπ , k∈ _Z.

Đồ thị hàm số

x y

O

−_π

π

−^π₂

π

−^3π₂ 2

3π 2

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

{DẠNG 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp giải: Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

1 y=tanf(x) = ^{sin f}(x)

cos f(x); Điều kiện xác định:cos f(x) 6=0⇔ f(x) 6= ^π

2 +kπ,(k∈ _Z). 2 y=cotf(x) = ^{cos f}(_x)

sin f(x); Điều kiện xác định:sin f(x)6=0 ⇔ f(x)6=kπ,(k ∈_Z). 3 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

y = ¹

P(x), điều kiện xác định làP(x)6=0.

y = ^2np_P(_x), điều kiện xác định làP(_x≥₀)_.

y = ¹

2np

P(x), điều kiện xác định làP(x) >0.

4 Lưu ý rằng:−1≤sin f(x); cosf(x) ≤1vàA·B6=0 ⇔

®A 6=0 B6=0.

5 Vớik∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:











sinx =₁ ⇔x = ^π

2 +k2π sinx =0 ⇔x =kπ sinx =−₁ ⇔x =−^π

2 +k2π









cosx =1⇔x =k2π cosx =0⇔x = ^π

2 +kπ cosx =−1 ⇔x =π+k2π











tanx=₁⇔ x= ^π 4 +kπ tanx=0⇔ x=kπ tanx=−₁⇔ x=−^π

4 +kπ













cotx =1⇔ x= ^π 4 +kπ cotx =0⇔ x= ^π

2 +kπ cotx =−1⇔ x=−^π

4 +kπ

VÍ DỤ 1. Tìm tập xác định của hàm số:y = f(x) = ^{sin 3x} tan²x−1 +

…2−cosx

1+_cosx. ĐS:

D =_R\ⁿ±^π

4 +kπ; π

2 +kπ;π+k2πo . L Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số:















tan²x−1 6=0 cosx6=0 2−cosx 1+cosx ≥0 cosx6=−1.

Do−₁≤_cosx≤₁nên ⇐

®1≤2−cosx≤3

0≤₁+_cosx≤₂. Từ đó suy ra:2−_cosx

1+cosx ≥_0,∀_x∈ _R.

Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi











x6=±^π 4 +kπ x6= ^π

2 +kπ x6=π+k2π.

, nênD =_R\ⁿ±^π

4 +kπ; π

2 +kπ;π+k2πo .

VÍ DỤ 2. Tìm tập xác định của hàm số:y = f(x) =

√4π²−x²

cosx . ĐS:

D =ⁿ−_2π ≤_x ≤_2π;x6= ^π

2 +kπo . L Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số:

®4π²−_x² ≥₀ cosx6=0 ⇔







−2π ≤x ≤2π x 6= ^π

2 +kπ. . VậyD =ⁿ−2π ≤x≤2π;x 6= ^π

2 +kπo .

1

BÀI 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y=cos 4

x. ĐS:D =R\ {₀}.

1 cos√

2x. ĐS:D = [0;+∞). 2

y= ¹+cosx

sinx ĐS:D =_R\ {kπ}.

3 y = ^{tan 2x}

1+cos²x. ĐS:D =_R\ ßπ

4 + ^kπ 2

™ . 4

y= ^{tan 2x}

sinx−1. ĐS:

D =_R\ ßπ

4 +^kπ 2 ; π

2 +k2π

™ .

5 y =

…cosx+4

sinx+1. ĐS:

D =_R\ⁿ−^π

2 +k2πo . 6

y=

…cosx−2

1−sinx. ĐS:D =∅^. 7

Lời giải.

1 Điều kiện xác định:x6=0.

2 Điều kiện xác định:2x≥0⇔x ≥0.

3 Điều kiện xác định:sinx6=0⇔x 6=kπ.

4 Điều kiện xác định:cos 2x6=0⇔2x 6= ^π

2 +kπ ⇔ x6= ^π 4 +^kπ

2 .

5 Điều kiện xác định:

®cos 2x 6=0 sinx 6=1 ⇔





 x6= ^π

4 +^kπ 2 x6= ^π

2 +_k2π.

6 Điều kiện xác định:







cosx+4 sinx+1 ≥0 sinx+16=0.

Do−1≤sinx; cosx ≤1nên cosx+4

sinx+1 ≥0;∀x∈ _R.

Vậy hàm số xác định khix 6=−^π

2 +k2π.

7 Điều kiện xác định:







cosx−2 1−sinx ≥0 1−sinx6=0.

Do−1≤sinx; cosx ≤1nên cosx−2

1−sinx ≤0;∀x∈ _R.

Vậy tập xác định của hàm số là:∅^.

BÀI 2. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y=

√

π²−x²

sin 2x . ĐS:D =

ß

−π ≤ x≤π;x 6= ^kπ 2

™ . 1

y=√

π²−4x²+tan 2x. ĐS:D =

ß

−^π

2 ≤x ≤ ^π

2;x 6= ^π 4 + ^kπ

2

™ . 2

tan

2x− ^π 4

…

1−sin x− ^π

8

. ĐS:D =_R\

ß3π 8 +^kπ

2 ; 5π

8 +k2π

™ . 3

y=

tan x− ^π

4 1−_cosx+^π 3

. ĐS:D =_R\

ß3π

4 +kπ;−^π

3 +k2π

™ . 4

Lời giải.

1 Điều kiện xác định:

®

π²−x² ≥0 sin 2x 6=0 ⇔







−_π ≤ x≤_π

x6= ^kπ 2 .

2 Điều kiện xác định:

®

π²−_4x² ≥₀ cos 2x 6=0 ⇔







−^π

2 ≤x ≤ ^π 2 x6= ^π

4 +^kπ 2 .

3 Điều kiện xác định:





 cos

2x−^π 4

6=0 1−sin

x−^π 8

>0

⇔





 cos

2x−^π 4

6=0 1−sin

x−^π 8

6=0

⇔







x 6= ^3π 8 + ^kπ

2 x 6= ^5π

8 +k2π.

4 Điều kiện xác định:





 cos

x−^π 4

6=₀ 1−cos

x+^π 3

6=0

⇔







x6= ^3π 4 +kπ x6=−^π

3 +k2π.

2

BÀI 3. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y=

…2+sinx

cosx+1. ĐS:D =_R\ {_π+k2π}

1 y = √ ^{cot 2x}

1−cos²x. ĐS:D =_R\ ßkπ

2

™ 2

y=

…1−sinx

1+cosx. ĐS:D =_R\ {π+k2π}

3 y =

√x

sinπx. ĐS:D = [0;+_∞)\_Z 4

y= ^{cos 2x}

1−sinx +tanx. ĐS:

D =_R\^nπ

2 +kπo

5 y = ^x

2+1

xcosx. ĐS:D =_R\^nπ

2 +kπ; 0o 6

y= √^{tan 2x}

sinx+1. ĐS:

D =_R\ ßπ

4 +^kπ 2 ;−^π

2 +k2π

™ 7

BÀI 4. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

y=

1+_tan^π 4 −x

cosx−2 . ĐS:D =_R\ⁿ−^π

4 +kπo . 1

y=

√3−sin 4x

cosx+1 . ĐS:D =_R\ {π+k2π}.

2

y= ³

cosx−cos 3x. ĐS:D =_R\

ß

kπ; kπ 4

™ . 3

y=cot

2x+ ^π 3

·tan 2x. ĐS:D =_R\

ß

−^π 6 + ^kπ

2 ;π 4 + ^kπ

2

™ . 4

y=√

2+sinx− ¹

tan²x−1. ĐS:D =_R\ⁿ±^π

4 +kπo . 5

y= ⁴

sin²x−cos²x. ĐS:D =_R\

ßπ 4 + ^kπ

2

™ . 6

y=cot x+ ^π

6

+

…1+cosx

1−_cosx. ĐS:D =_R\ⁿ−^π

6 +kπ;k2πo . 7

y=

1+cotπ 3 +x tan²

3x−^π 4

. ĐS:D =_R\ ß

−^π

3 +kπ; π 12+ ^kπ

3 ;π 4 + ^kπ

3

™ . 8

{DẠNG 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn

◦ −1≤sinx ≤1⇒

"

0≤ |_sinx| ≤ ₁

0≤sin²x≤1 hoặc−1≤cosx ≤1⇒

"

0≤ |_cosx| ≤₁ 0≤cos²x ≤1.

◦Biến đổi đưa về dạngm≤_y ≤_M.

Kết luận:maxy= Mvàminy=m.

1

VÍ DỤ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = 4

p5−_{2 cos}²xsin²x. ĐS:miny= ⁴

√5

5 ,maxy = ⁴

√2 3 L Lời giải

Ta có

y = f(x) = _p ⁴

5−2 cos²xsin²x = _… ⁴ 5−¹

2(2 cosxsinx)²

= _… ⁴ 5−¹

2sin²2x .

Do0≤_sin²_2x ≤₁nên5≥₅−¹

2sin²2x ≥ ⁹

2. Suy ra 4√ 5

5 ≤_y= _… ⁴

5−¹

2sin²2x

≤ ⁴

√2 3 .

◦y = ⁴

√5

5 khisin 2x =0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạn x=0.

◦y = ⁴

√2

3 khisin 2x =1hoặcsin 2x =−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4. Vậyminy = ⁴

√5

5 vàmaxy= ⁴

√2

3 .

VÍ DỤ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) = 3 sin²x+5 cos²x−4 cos 2x−2.

ĐS:miny=−1,maxy=5 L Lời giải

Ta có

f(x) = 3 sin²x+5 cos²x−4 cos 2x−2

= 3

sin²x+cos²x

+2 cos²x−4

2 cos²x−1

−2

= 5−6 cos²x.

Do0 ≤_cos²x≤₁nên5 ≥ f(x) = ₅−_{6 cos}²x≥ −1.

◦ f(x) =5khicosx=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 2.

◦ f(x) = −₁khicos²x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

Vậymaxf(x) =5vàmin f(x) = −1.

VÍ DỤ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(_x) = _sin⁶_x+_cos⁶_x+2, ∀_x ∈ h−^π

2;π 2

i. ĐS:miny = ⁹

4,maxy=₃ L Lời giải

Ta có

f(x) = _sin⁶x+_cos⁶x+₂=_sin²x+_cos²x3

−_{3 sin}²xcos²x

sin²x+_cos²x +₂

= ₁−³

4(_{2 sin}xcosx)²+₂=₃−³

4sin²2x.

Do0 ≤sin²2x≤1nên3≥ f(x) ≥ ⁹ 4.

◦ f(x) =3khisin 2x=0⇔ x=±^π

2 hoặcx =0

dox ∈ ^h−^π 2; π

2 i

.

◦ f(x) = ⁹

4 khisin²2x=1⇔ x=±^π 4

dox∈ ^h−^π 2; π

2 i. Vậymaxf(x) =₃vàmin f(x) = ⁹

4.

2

BÀI 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

y=5√

3+cos 2x+4 ĐS:miny =5√

2+4,maxy=14 1

y=√

1−cos 4x ĐS:miny =0,maxy=√

2 2

y=3 sin²2x−4 ĐS:miny =−4,maxy=−1

3

y=4−5 sin²2xcos²2x ĐS:miny= ¹¹

4 ,maxy=4 4

y=3−2|sin 4x| ĐS:miny =1,maxy=3

5

Lời giải.

Do−1≤cos 2x ≤1nên2≤3+cos 2x≤4. Suy ra5√

2+4≤y=5√

3+cos 2x+4≤14.

◦y =5√

2+4khicos 2x=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 2.

◦y =14khicos 2x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

Vậyminy =5√

2+4vàmaxy=14.

1

Do−₁≤cos 4x ≤₁nên√

2≥y =√

1−cos 4x ≥0.

◦y =√

2khicos 4x=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4.

◦y =0khicos 4x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

Vậymaxy=√

2vàminy =0.

2

Do0≤sin²2x≤1nên−4≤y=3 sin²2x−4≤ −1.

◦y =−4khisin 2x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =−1khisin²2x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 4. Vậyminy =−4vàmaxy =−1.

3

Ta có

y=4−5 sin²2xcos²2x=4− ⁵

4(2 sin 2xcos 2x)² =4−⁵

4sin²2x.

Do0≤sin²2x≤1nên4≥y≥ ¹¹ 4 .

◦y =4khisin 2x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y = ¹¹

4 khisin²2x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4. Vậymaxy=₄vàminy = ¹¹

4 . 4

Do0≤ |sin 4x| ≤1nên3 ≥y =3−2|sin 4x| ≥ 1.

◦_y =3khisin 4x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =1khi|sin 4x|=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 8. Vậymaxy=3vàminy =1.

5

BÀI 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

y=−sin²x−cosx+2 ĐS:miny= ³ 4, maxy=3

1 y =sin⁴x−2 cos²x+1 ĐS:miny=−1,

maxy =2 2

y=cos²x+2 sinx+2 ĐS:miny=0, maxy=4

3 y =sin⁴x+cos⁴x+4 ĐS:miny = ⁹

2, maxy =5

4

y=^p2−cos 2x+sin²x ĐS:miny=1, maxy=₂

5 y =sin⁶x+cos⁶x ĐS:miny = ¹

4, maxy =1

6

y=sin 2x+√

3 cos 2x+4 ĐS:miny=2, maxy=6

7

Lời giải.

Ta có

y=−sin²x−cosx+2=−1−cos²x

−cosx+2=cos²x−cosx+1 =

cosx−¹ 2

2

+³ 4. Do−1≤cosx≤1nên−³

2 ≤cosx−¹ 2 ≤ ¹

2. Suy ra0≤

cosx−¹ 2

2

≤ ⁹ 4 ⇔ ³

4 ≤y ≤3.

◦y = ³

4 khicosx = ¹

2, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 3.

◦_y =3khicosx=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=π.

Vậyminy = ³

4 vàmaxy=3.

1

Ta có

y=sin⁴x−2 cos²x+1=sin⁴x−2

1−sin²x

+1 =sin⁴x+2 sin²x−1 =sin²x+12

−2.

Do0≤sin²x≤1nên1≤sin²x+1≤2.

Suy ra1≤ _sin²x+₁² ≤₄⇔ −₁≤y≤2.

◦y =−1khisinx=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =2khisin²x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 2. Vậyminy =−1vàmaxy =2.

2

Ta có

y=cos²x+2 sinx+2=1−sin²x

+2 sinx+2 =−sin²x+2 sinx+3=4−(sinx−1)². Do−₁≤_sinx ≤₁nên−₂≤_sinx−₁≤0.

Suy ra0≤(sinx−1)² ≤4⇔4 ≥y ≥0.

◦y =4khisinx=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 2.

◦_y =0khisinx=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=−^π 2. Vậymaxy=4vàminy =0.

3

Ta có

y=sin⁴x+cos⁴x+4=sin²x+cos²x2

−2 sin²xcos²x+4 =1−¹

2(2 sinxcosx)²+4=5−¹

2sin²2x.

Do0≤sin²2x≤1nên5≥y≥ ⁹ 2.

◦y =5khisin 2x=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y = ⁹

2 khisin²2x=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 4. Vậymaxy=5vàminy = ⁹

2. 4

Ta có

y² =2−cos 2x+sin²x =2−1−2 sin²x

+sin²x =3 sin²x+1⇒y =

»

3 sin²x+1.

Do0≤_sin²x≤₁nên1≤_{3 sin}²x+₁≤4.

Suy ra1≤y≤2.

◦y =1khisinx=0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx=0.

◦y =2khisin²x =1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = ^π 2. Vậyminy =1vàmaxy =2.

5

Ta có

y = sin⁶x+cos⁶x =sin²x+cos²x3

−3 sin²xcos²x

sin²x+cos²x

= 1−³

4(2 sinxcosx)² =1−³

4sin²2x.

Do0≤sin²2x ≤1nên1≥y ≥ ¹ 4.

◦y =1khisin 2x=0⇔x =0hoặcx =±^π 2

dox ∈ ^h−^π 2;π

2 i

.

◦y = ¹

4 khisin²2x=1⇔x =±^π 4

dox ∈ ^h−^π 2; π

2 i. Vậymaxy=1vàminy = ¹

4. 6

Ta có y 2 = ¹

2sin 2x+

√3

2 cos 2x+2 =cosπ

3 −2x

+2⇒ y=2 cosπ

3 −2x +4.

Do−1≤cosπ

3 −2x

≤1nên2≥y ≥6.

◦y =2khicosπ

3 −2x

=−1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= −π 3 .

◦y =6khicosπ

3 −2x

=1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx= ^π 6. Vậyminy =₂vàmaxy =6.

7

BÀI 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y=sin 2x,∀x ∈ ^h0;π 2 i

ĐS:miny =0,maxy=1 1

y=cos x+^π

3

,∀x ∈

−^2π 3 ; 0

ĐS:miny= ¹

2,maxy=1 2

y=sin

2x+^π 4

,∀x ∈ ^h−^π 4; π

4 i

ĐS:miny=−

√2

2 ,maxy=1 3

Lời giải.

Dox ∈ ^h0; π 2 i

nên2x ∈ [0;π]. Suy ra0≤y =sin 2x ≤1

◦y =0khix =0hoặcx = ^π 2.

◦y =6khix = ^π 4.

Vậyminy =0vàmaxy =1.

1

Dox ∈

−^2π 3 ; 0

nênx+ ^π

3 ∈ ^h−^π 3;π

3

i. Suy ra 1

2 =_cos^π

3 ≤y =_cosx+ ^π 3

≤₁

◦y = ¹

2 khix=−^2π

3 hoặcx =0.

◦y =1khix =−^π 3. Vậyminy = ¹

2 vàmaxy=1.

2

Dox ∈ ^h−^π 4; π

4

i nên2x+^π 4 ∈

−^π 4; 3π

4

. Suy ra−

√2

2 ≤y=sin

2x+^π 4

≤1.

◦y =−

√2

2 khix=±^π 4.

◦y =1khix =−^π 8. Vậyminy =−

√2

2 vàmaxy=1.

3

3

BÀI 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y=^p4−2 sin⁵2x−8 ĐS:miny =−8+√

2,maxy=−8+√ 6 1

y=y = ⁴

1+3 cos²x ĐS:miny =1,maxy=4

2

y= _p ⁴

5−_{2 cos}²xsin²x ĐS:miny =,maxy=

3

y=

√2

p4−2 sin²3x ĐS:miny= √¹

2,maxy=1 4

y= ³

3−√

1−cosx ĐS:miny=1,maxy= ⁹−3√

2 5 7

4

…

2−cos x− ^π

6

+3

ĐS:miny=−²

√6

3 ,maxy=₂ 6

y= √ ²

3 sin 2x+cos 2x ĐS:miny =−1,maxy=1

7

BÀI 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y=cos²x+2 cos 2x ĐS:miny =−2,maxy=3 1

y=2 sin²x−cos 2x ĐS:miny =−1,maxy=3

2

y=2 sin 2x(sin 2x−4 cos 2x) ĐS:miny =1−√

17,maxy=1+√ 17 3

y=3 sin²x+5 cos²x−4 cos 2x ĐS:miny =1,maxy=7 4

y=4 sin²x+√

5 sin 2x+3 ĐS:miny =2,maxy=8

5

y= (2 sinx+cosx)(3 sinx−cosx) ĐS:miny =5−⁵

√2

2 ,maxy=5+⁵

√2 6 2

y=sinx+cosx+2 sinxcosx−1 ĐS:miny=−⁹

4,maxy=√ 2 7

y=1−(sin 2x+cos 2x)³ ĐS:miny =1−2√

2,maxy=1+2√ 2 8

y=|5 sinx+12 cosx−10| ĐS:miny =0,maxy=23

9

y=2 sinx+√

2 sinπ 4 −x

−1 ĐS:miny =−1−√

2,maxy=−1+√ 2 10

y=2

cos 2x+cos

2x+^2π 3

+3 ĐS:miny =1,maxy=5 11

BÀI 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau y=sin⁴x+cos⁴x,∀x∈ ^h0;π

6

i ĐS:miny= ⁵

8,maxy=1 1

y=2 sin²x−cos 2x,∀x ∈^h0; π 3 i

ĐS:miny =−1,maxy=2 2

y=cot x+ ^π

4

, ∀x∈

−^3π 4 ;−^π

4

ĐS:miny =−_∞,maxy=0 3

{DẠNG 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Bước 1.Tìm tập xác địnhDcủa hàm số lượng giác.

Nếu∀x∈ Dthì−x∈ D ⇒Dlà tập đối xứng và chuyển sang bước 2.

Bước 2.Tính f(−x), nghĩa là sẽ thayxbằng−x, sẽ có 2 kết quả thường gặp sau – Nếu f(−x) = f(x) ⇒ f(x)là hàm số chẵn.

– Nếu f(−x) =−f(x) ⇒ f(x)là hàm số lẻ.

!

Nếu không là tập đối xứng (∀x ∈ D ⇒ −x ∈/ D) hoặc f(−x)không bằng f(x) hoặc

−f(x)ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể cos(−a) = cosa,sin(−a) =−sina,tan(−a) =−tana,cot(−a) = −cota.

1

VÍ DỤ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

f(x) = _sin²2x+cos 3x ĐS: f(x)là hàm số chẵn

1 f(x) =_cos√

x²−_{16 ĐS:} f(x)là hàm số chẵn

2

L Lời giải

Tập xác địnhD =_R.

∀x ∈R⇒ −x ∈ D =Rnên ta xét

f(−x) =sin²(−2x) +cos(−3x) = sin²2x+cos 3x = f(x). Vậy f(x)là hàm số chẵn.

1

Tập xác địnhD = (−_∞;−4]∪[4;+_∞).

∀x ∈(−_∞;−4]∪[4;+_∞)⇒

"

x∈ (−_∞;−4] x∈ [4;+_∞) ⇒

"

−x ∈ [4;+_∞)

−x ∈ (−_∞;−4] ⇒ −x∈ D Xét f(−x) =cosp

(−x)²−16=cos√

x²−16= f(x). Vậy f(_x)là hàm số chẵn.

2

2

BÀI 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

y= f(x) =tanx+cotx ĐS: f(x)là hàm số lẻ

1

y= f(x) =tan⁷2x·_{sin 5x ĐS: f}(x)là hàm số chẵn

2

y= f(x) =sin

2x+^9π 2

ĐS: f(x)là hàm số chẵn 3

Lời giải.

Tập xác địnhD =_R\ ßkπ

2 : k ∈_Z

™ .

∀x ∈_R\ ßkπ

2 : k ∈_Z

™

⇒x 6= ^kπ

2 ⇒ −x 6=−^kπ

2 ⇒ −x ∈ D Xét f(−x) =tan(−x) +cot(−x) = −tanx−cotx=−f(x). Vậy f(x)là hàm số lẻ.

1

Tập xác địnhD =_R\ ßπ

4 + ^kπ

2 : k∈ _Z

™ .

∀x ∈ _R\ ßπ

4 + ^kπ

2 : k∈ _Z

™

⇒ x 6= ^π 4 + ^kπ

2 ⇒ −x 6= −^π 4 − ^kπ

2 = ^π

4 + −(k+1)_π

2 ⇒

−x ∈ D

Xét f(−x) =tan⁷(−2x)·sin(−5x) = −tan⁷2x

·(−sin 5x) =tan⁷2x·sin 5x = f(x). Vậy f(x)là hàm số chẵn.

2

Tập xác địnhD =_R.

∀x ∈_R⇒ −x ∈ _Rnên ta xét f(−x) =_sin

−2x+^9π 2

=_sin

−2x−^9π 2 +_9π

=−_sin

−2x−^9π 2

=_sin

2x+^9π 2

= f(x)_. Vậy f(x)là hàm số chẵn.

3

3

BÀI 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau y= f(x) = −_{2 cos}³3x+^π

2

ĐS: f(x)là hàm số lẻ.

1

y= f(x) =sin³(3x+5π) +cot(2x−7π) ĐS: f(x)là hàm số lẻ.

2

y= f(x) =cot(4x+5π)tan(2x−3π) ĐS: f(x)là hàm số chẵn.

3

y= f(x) =sin√

9−x² ĐS: f(x)là hàm số chẵn.

4

y= f(x) =sin²2x+cos 3x ĐS: f(x)là hàm số chẵn.

5

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Vớik∈ Z, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau sina =sinb ⇔

"

a=b+k2π a=π−b+k2π.

cosa=_cosb ⇔

"

a =b+k2π a =−b+k2π.

tanx=tanb ⇔a =b+kπ.

cotx =_cotb ⇔a =b+kπ.

Nếu đề bài cho dạng độ(_α^◦)thì ta sẽ chuyểnk2π →_k360^◦,kπ →_k180^◦, vớiπ =₁₈₀^◦. Những trường hợp đặc biệt

sinx =1⇔x = ^π

2 +k2π.

sinx =0⇔x =kπ.

sinx =−1⇔x =−^π

2 +k2π.

tanx =0⇔x =kπ.

tanx =1⇔x = ^π 4 +kπ.

tanx =−1⇔x =−^π 4 +kπ.

cosx=1⇔ x=k2π.

cosx=₀⇔ x= ^π 2 +kπ.

cosx=−₁⇔ x=_π+k2π.

cotx =₀⇔ x= ^π 2 +kπ.

cotx =1⇔ x= ^π 4 +kπ.

cotx =−1⇔ x=−^π 4 +kπ.

1

VÍ DỤ 1. Giải các phương trình

1 sin 2x =−¹

2. ĐS:







x =−^π 12 +kπ x =−^7π

12 +kπ

(k∈ _Z)

2 cos x− ^π

3

=−1. ĐS:x = ^4π

3 +k2π(k∈ _Z) 3 tan(2x−30^◦) = √

3. ĐS: x=45^◦+k90^◦(k∈ _Z)

4 cot(x−^π

3) = 1. ĐS:x = ^7π

12 +kπ(k∈ _Z) L Lời giải

1 sin 2x =−¹ 2 ⇔







2x =−^π

6 +k2π 2x =−^7π

6 +k2π

⇔







x =−^π 12 +_kπ x =−^7π

12 +kπ

(k∈ _Z).

2 cos x−^π

3

=−₁⇔x− ^π

3 =_π+k2π ⇔x = ^4π

3 +k2π(k ∈_Z). 3 tan(2x−30^◦) =√

3⇔2x−30^◦ =60^◦+k180^◦ ⇔x =45^◦+k90^◦ (k ∈_Z). 4 cot

x−^π 3

=1⇔ x−^π 3 = ^π

4 +kπ ⇔x = ^7π

12 +kπ(k ∈_Z).

2

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau

1 sinx =sin2π

3 . ĐS:







x= ^2π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k ∈ _Z)

2 sin

2x−^π 6

= ¹

2. ĐS:





 x= ^π

6 +kπ x= ^π

2 +kπ

(k ∈ _Z)

3 sin

2x+^π 6

=−1. ĐS: x=−^π

3 +kπ (k ∈ _Z)

4 cos

2x+^π 3

=cosπ

4. ĐS:







x=−^π 24+kπ x=−^7π

24 +kπ

(k ∈ _Z)

5 cosx=−¹

2. ĐS: x=±^2π

3 +k2π (k ∈ _Z)

6 cos x+^π

6

=1. ĐS: x=−^π

6 +k2π (k ∈ _Z) Lời giải.

1 sinx =_sin^2π

3 ⇔







x= ^2π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k ∈_Z).

2 sin

2x−^π 6

= ¹ 2 ⇔







2x−^π 6 = ^π

6 +k2π 2x−^π

6 = ^5π

6 +k2π

⇔





 x = ^π

6 +kπ x = ^π

2 +kπ

(_k∈ _Z).

3 sin

2x+^π 6

=−1⇔2x+^π

6 =−^π

2 +k2π ⇔ x=−^π

3 +kπ (k∈ _Z).

4 cos

2x+^π 3

=_cos^π 4 ⇔







2x+^π 3 = ^π

4 +k2π 2x+^π

3 =−^π

4 +k2π

⇔







x =−^π 24+kπ x =−^7π

24 +kπ

(k ∈_Z).

5 cosx=−¹

2 ⇔x =±^2π

3 +k2π(k∈ _Z). 6 cos

x+^π 6

=1⇔x+ ^π

6 =k2π ⇔x =−^π

6 +k2π(k ∈_Z).

3

1 2 sin(x+30^◦) +√

3=0. ĐS:

"

x=−₉₀^◦+k360^◦

x=−150^◦+k360^◦ (k ∈ _Z) 2 cot(4x+35^◦) = −1. ĐS:x =−20^◦+k45^◦ (k ∈ _Z)

3 2 cos x−^π

6

+√

3=0. ĐS:





x=π+k2π x=−^2π

3 +k2π (k ∈ _Z)

4 (1+2 cosx)(3−cosx) = 0. ĐS: x=±^2π

3 +k2π (k ∈ _Z) 5 tan(x−₃₀^◦)_cos(2x−₁₅₀^◦) = 0. ĐS:x =₃₀^◦+k180^◦ (k ∈ _Z)

6 √

2 sin 2x+2 cosx=0. ĐS:













 x= ^π

2 +kπ x=−^π

4 +k2π x= ^5π

4 +k2π

(k ∈ _Z)

7 sinx+√ 3 sinx

2 =0. ĐS:





x=k2π x=±^5π

6 +k4π (k ∈ _Z)

8 sin 2xcos 2x+¹

4 =0. ĐS:







x =−^π 24 +^kπ

2 x = ^7π

24 +^kπ 2

(k ∈ _Z)

9 sinxcosxcos 2xcos 4xcos 8x = ¹

16. ĐS:x = ^π

32 +^kπ

8 (_k ∈ _Z)

B MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

{DẠNG 3.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos(−a) =cosa sin(π−a) = sina sinπ

2 −a

=cosa sin(−a) =−sina cos(π−a) = −cosa cosπ

2 −a

=sina tan(−a) =−tana tan(π−a) = −tana tanπ

2 −a

=cota cot(−a) = −cota cot(π−a) =−cota cotπ

2 −a

=tana

Cung hơn kémπ Cung hơn kém π

2 sin(π+a) = −sina sinπ

2 +a

=cosa cos(π+a) = −cosa cosπ

2 +a

=−sina tan(π+a) =tana tanπ

2 +a

=−cota cot(π+a) = cota cotπ

2 +a

=−tana Tính chu kỳ

sin(x+k2π) =sinx cos(x+k2π) = cosx

sin(x+π+k2π) =−sinx cos(x+π+k2π) = −cosx tan(x+kπ) =tanx cot(x+kπ) =cotx

1

VÍ DỤ 1. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)

1 sin 2x =cos x− ^π

3

. ĐS:







x = ^5π

18 +^k2π 3 x = ^π

6 +k2π

(k ∈ _Z).

2 tan

2x−^π 3

=cot x+^π

3

. ĐS:x = ^π

6 +^kπ

3 (k ∈ _Z). L Lời giải

1 Ta có phương trình tương đương sin 2x =_sin^hπ

2 −x−^π 3

i⇔sin 2x =_sin 5π

6 −x

⇔









2x= ^5π

6 −x+k2π 2x=_π−

5π 6 −x

+k2π

(k ∈_Z) ⇔







x= ^5π

18 +^k2π 3 x= ^π

6 +k2π

(k ∈_Z).

Vậy phương trình có nghiệm là







x = ^5π

18 +^k2π 3 x = ^π

6 +k2π

(k ∈ _Z).

2 Điều kiện:2x− ^π 3 6= ^π

2 +kπ, x+ ^π

3 6=kπ (k∈ _Z). Phương trình tương đương

tan

2x−^π 3

=_tan^hπ

2 −x+^π 3

i

⇔ tan

2x−^π 3

=tanπ 6 −x

⇔ 2x− ^π 3 = ^π

6 −x+kπ (k∈ _Z)

⇔ 3x = ^π

2 +kπ(k ∈_Z) ⇔x = ^π 6 +^kπ

3 (k∈ _Z). Vậy phương trình có nghiệm làx= ^π

6 +^kπ

3 (k ∈_Z).

VÍ DỤ 2. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)

1 sin 3x+_cos^π

3 −_x =0. ĐS:







x =−^π 24 +^kπ

2 x =−^5π

12 +kπ

(_k∈ _Z)

2 tanx·tan 3x+1=0. ĐS:x =−^π

4 +^kπ

2 (k ∈ _Z). L Lời giải

1 Ta có phương trình tương đương cosπ

3 −x

=−sin 3x ⇔cosπ 3 −x

=cosπ

2 +3x

⇔





 π

3 −x= ^π

2 +3x+k2π π

3 −x=−^π

2 −3x+k2π

(k ∈_Z) ⇔







x=−^π 24− ^kπ

2 x=−^5π

12 +kπ

(k ∈ _Z).

Vậy phương trình có nghiệm







x=−^π 24−^kπ

2 x=−^5π

12 +kπ

(k ∈_Z).

2 Điều kiện:

®cosx 6=0 cos 3x 6=0 ⇔





 x 6= ^π

2 +kπ x 6= ^π

6 + ^kπ 3

⇔x 6= ^π 6 + ^kπ

3 (k ∈_Z). Xéttan 3x=0không là nghiệm, khi đó phương trình tương đương

tanx

cot 3x +1 =0

⇔ _tanx =−cot 3x

⇔ tanx =tan

3x+ ^π 2

⇔ x =3x+^π

2 +kπ ⇔ x=−^π 4 − ^kπ

2 (k ∈Z). Vậy phương trình có nghiệmx =−^π

4 +^kπ

2 (k∈ _Z).

2

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định).

1 sin 2x =cosπ 6 −x

. ĐS:





 x= ^π

3 +_k2π x= ^2π

9 + ^k2π 3

(k∈ _Z).

2 cos

2x+^π 4

=sinx. ĐS:







x = ^π

12+^k2π 3 x =−^3π

4 +k2π

(k∈ _Z).

3 cos

4x+^π 5

−sin 2x =0. ĐS:







x = ^π 20+^kπ

3 x =−^7π

20 +kπ

(k∈ _Z).

4 cot

2x− ^3π 4

=tan x−^π

6

. ĐS: x= ^17π

36 +^kπ

3 (k∈ _Z). Lời giải.

1 Ta có phương trình tương đương sin 2x =sinhπ

2 −^π

6 −xi

⇔sin 2x =sinπ 3 +x

⇔







2x = ^π

3 +x+k2π 2x =_π−^π

3 +x

+k2π

(k ∈_Z) ⇔





 x = ^π

3 +k2π x = ^2π

9 +^k2π 3

(k ∈_Z).

Vậy phương trình có nghiệm là





 x = ^π

3 +k2π x = ^2π

9 +^k2π 3

(k ∈ _Z).

2 Ta có phương trình tương đương

cos

2x+^π 4

=cosπ 2 −x

⇔







2x+^π 4 = ^π

2 −x+k2π 2x+^π

4 = x−^π

2 +k2π

(k ∈_Z)

⇔







x= ^π

12+ ^k2π 3 x=−^3π

4 +k2π

(k ∈ _Z).

Vậy phương trình có nghiệm 3 Ta có phương trình tương đương

cos

4x+^π 5

=cosπ

2 −2x

⇔







4x+^π 5 = ^π

2 −2x+k2π 4x+^π

5 =2x−^π

2 +k2π

(k ∈_Z)

⇔







x = ^π 20+ ^kπ

3 x =−^7π

20 +kπ

(k∈ _Z).

Vậy phương trình có nghiệm







x= ^π 20+^kπ

3 x=−^7π

20 +kπ

(k ∈_Z).

4 Điều kiện







2x−^3π 4 6=kπ x−^π

6 6= ^π 2 +lπ

⇔







x 6= ^3π 8 +^kπ

2 x 6= ^2π

3 +lπ

(k,l ∈_Z).

Ta có phương trình tương đương cot

2x−^3π 4

=cot 2π

3 −x

⇔ 2x−^3π

4 =−x+^2π

3 +kπ(k∈ _Z)

⇔ x= ^17π 36 + ^kπ

3 (k ∈_Z). Vậy phương trình có nghiệmx = ^17π

36 +^kπ

3 (k∈ _Z).

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định).

cos(3x+45^◦) =−cosx. ĐS:

"

x =33,75^◦+k90^◦

x =−112,5^◦+k180^◦ (k ∈ _Z). 1

sin x−^π

4

=−_sin2x−^π 6

. ĐS:







x = ^5π

36 +^k2π 3 x =−^13π

12 −k2π

(k ∈ _Z)_. 2

tan

3x−^π 3

=−_tanx. ĐS:x = ^π

12 +^kπ

4 (k ∈ _Z)_. 3

cos

3x−^π 3

+cosx=0. ĐS:





 x= ^π

3 +^kπ 2 x=−^π

3 +kπ

(k ∈ _Z). 4

sin

2x+^π 4

+cosx =0. ĐS:







x =−^3π

4 +k2π x = ^5π

12 +^k2π 3

(k ∈ _Z). 5

tan

3x+^π 4

+tan 2x =0. ĐS:x =−^π

20 +^kπ

5 (k ∈ _Z). 6

Lời giải.

1 Phương trình tương đương

cos(3x+45^◦) = cos(180^◦−x)

⇔

"

3x+45^◦ =180^◦−x+k360^◦

3x+45^◦ =x−180^◦+k360^◦ (k ∈_Z)

⇔

"

x =33,75^◦+k90^◦

x =−112,5^◦+k180^◦ (k∈ _Z). Vậy phương trình có nghiệm

"

x =33,75^◦+k90^◦

x =−112,5^◦+k180^◦ (k ∈ _Z). 2 Phương trình tương đương

sin x−^π

4

=sinπ

6 −2x

⇔





 x−^π

4 = ^π

6 −_2x+k2π x−^π

4 =π−^π

6 −2x

+k2π

(k ∈_Z)

⇔







x= ^5π

36 +^k2π 3 x=−^13π

12 −k2π

(k ∈ _Z).

Vậy phương trình có nghiệm







x= ^5π

36 +^k2π 3 x=−^13π

12 −_k2π

(k ∈_Z).

3 Phương trình tương đương tan

3x−^π 3

=_tan(−x)⇔3x−^π

3 =−x+kπ ⇔ x= ^π 12+^kπ

4 (k∈ _Z)_. Vậy phương trình có nghiệmx = ^π

12 +^kπ

4 (k∈ _Z). 4 Phương trình tương đương

cos

3x−^π 3

=cos(π−x)⇔







3x− ^π

3 =π−_x+k2π 3x− ^π

3 = x−π+k2π

(k∈ _Z)

⇔





 x = ^π

3 +^kπ 2 x =−^π

3 +kπ

(k ∈_Z).

Vậy phương trình có nghiệm





 x= ^π

3 + ^kπ 2 x=−^π

3 +kπ

(k ∈_Z).

5 Phương trình tương đương

sin

2x+ ^π 4

=sin x− ^π

2 ⇔







2x+ ^π

4 =x−^π

2 +k2π 2x+ ^π

4 =π−x−^π 2

+k2π

(k∈ _Z)

⇔







x =−^3π

4 +k2π x = ^5π

12 +^k2π 3

(k∈ _Z).

Vậy phương trình có nghiệm







x=−^3π

4 +k2π x= ^5π

12 +^k2π 3

(k ∈_Z).

6 Phương trình tương đương

tan

3x+^π 4

=tan(−2x)

⇔ 3x+^π

4 =−2x+kπ

⇔ x=−^π 20+ ^kπ

5 (k ∈_Z). Vậy phương trình có nghiệmx =−^π

20 +^kπ

5 (k ∈ _Z).

BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau

sin 4x−2 cos²x+1=0. ĐS:







x = ^π

12+^k2π 3 x = ^π

4 +kπ

(k ∈ _Z). 1

2 cos 5x·cos 3x+sinx =cos 8x. ĐS:





 x = ^π

2 +k2π x =−^π

6 +^k2π 3

(k ∈ _Z). 2

cosπ 2 −x

+sin 2x =0. ĐS:





x = ^k2π 3 x =π+k2π

(k ∈ _Z). 3

2 sin² x

2 =cos 5x+1. ĐS:





 x = ^π

6 +^kπ 3 x =−^π

4 +^kπ 2

(k ∈ _Z). 4

sin 4π

9 +x

+cosπ 18−x

=√

3. ĐS:







x=−^π

9 +k2π x= ^2π

9 +k2π

(k ∈ _Z). 5

Lời giải.

1 Phương trình tương đương

sin 4x =cos 2x ⇔sin 4x =sinπ

2 −2x

⇔







4x = ^π

2 −2x+k2π 4x =π− ^π

2 +2x+k2π

(k∈ _Z)⇔



