Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Trần Quốc Nghĩa - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

(2)

(3)

GV.

GV. TTTTRRRRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và Biên tm và Biên tm và Biên tậậậập)m và Biên t p)p)p) 1111

Ll20202020v ,.

LƯỢNG GIÁC

Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số

y

= = = = sin

x

và

y====cosx

sin

y

= = = =

x y====cosx

Tập xác định D=ℝ D=ℝ

Chu kỳ T =2

π

T =2

π

Tính chẵn lẻ Lẻ Chẵn

Sự biến thiên

HSĐB trên: 

− + +

 

 k2 ; k2 

2 2

π π

HSNB trên:^ + + ^

 

k2 ;3 k2

2 2

π π

HSĐB trên:

(

⁻^π ⁺^{k 2}^π ^{; k 2}^π

)

HSĐB trên:

(

^{k 2}^π ^;^π ⁺^{k 2}^π

)

Bảng biến thiên

x

– π

2

−

π

0 2

π π

sin

y = x

₀ –1

0 1

0

x

– π

₀

π

cos y= x

–1

1

–1

Đồ thị

2. Hàm số

y

= = = = tan

x

và

y

= = = = cot

x

tan

y

= = = =

x y

= = = = cot

x

Tập xác định

\ ,

D π 2 k k



π



=



+ ∈



 

ℝ ℤ ^D⁼^ℝ^\

{

^k

π

^,^k^∈^ℤ

}

Tập giá trị ℝ ℝ

Chu kỳ T =

π

T =

π

Tính chẵn lẻ Lẻ Lẻ

Sự biến thiên Đồng biến trên

;

2 k 2 k

π π

 

− + +

 

 

Nghịch biến trên mỗi khoảng:

(

k

π π

^; +k

π )

Bảng biến thiên

x

2

−

π

2

π

tan y = x

–∞

+∞

x

0

π

cot y = x

+∞

–∞

Đồ thị

Chuyênđề 1

(4)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– CHCHCHCHỦỦỦỦ ĐĐĐỀĐỀỀỀ 1: L1: L1: L1: LƯƯƯỢƯỢỢỢNG GIÁCNG GIÁCNG GIÁC NG GIÁC 2222

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tập xác định của hàm số y= f x

( )

là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa.

• ( )

( ) y f x

= g x có nghĩa ⇔ g x( )≠0

• y=²ⁿ f x( ) có nghĩa ⇔ f x( )≥0, (n∈ℕ)

• y=²ⁿ⁺¹ f x( ) có nghĩa ⇔ f x

( )

có nghĩa (n∈ℕ)

• y=tan ( )f x có nghĩa ⇔ cosf x

( )

≠0 ⇔ ( ) ,( )

f x π2 k k π

≠ + ∈ℤ

• y=cot ( )f x có nghĩa ⇔ ^sin f x

( )

≠⁰⇔ f x( )≠kπ, (k∈ℤ)

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1.

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a)

^{1 cos} sin

= − x

y x

b) 1 sin

1 cos

= − + y x

x c) tan

3



π



=



−



 

y x d) cot

6



π



=



+



 

y x

...

(5)

GV.

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y = sin 3 x b)

cos

= 2x

y

c)

³

2 cos y=

x

d)

cos ²

= 1

− y x

x

e)

y= 3 sin− x

f) tan 2

3



π



=



+



 

y x g)

y=cos x

h) cot 2

4



π



=



−



 

y x

D. BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 2. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) 1

sin 1

= +

− y x

x b) sin 2

cos 1

= +

+ y x

x c)

^cot

cos 1

= −

y x

x

d)

tan

= 3x y

e)

sin ₂¹

= 1 y −

x

f)

²

cos cos 3

= −

y x x

g) y = tan x + cot x h)

₂ ³ ₂

sin cos

= −

y x x

Bài 3. Tìm m để hàm số sau xác định

∀ ∈x ℝ

: y = sin

⁴

x c + os

⁴

x − 2 sin cos m x x Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = 2 + tan

²

x − cos x b)

y= sin 2x−sinx+3

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

• Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác. x∀ ∈ℝ: − ≤1 sinx≤1, − ≤1 cosx≤1 0≤sin²x≤1,0≤cos²x≤1

⁰^≤ ^sin^x ^≤¹^, ⁰^≤ ^cos^x ^≤¹ ⁰^≤ ^sin^x ^≤¹^,⁰^≤ ^cos^x^≤¹^(khisinx≥0, cosx≥0)

• Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức:

_a≤b⇔b≥a ^a ^b a c

b c

≤ 

⇔ ≤

≤ 

_a≤b⇔a+ ≤ +c b c (cộng 2 vế với c) ^a ^b a c b d c d

≤ 

⇔ + ≤ +

≤ 

a≤b⇔a c. ≤b c. (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a≤b⇔a c. ≥b c. (nếu c < 0: đổi chiều)

⁰ . .

0 a b

a c b d c d

> > 

⇔ >

> >  a b 0 ¹ ¹

a b

> > ⇔ <

a>b>0⇔a²ⁿ >b²ⁿ (n∈ℕ^*) a>b⇔a²ⁿ⁺¹ >b²ⁿ⁺¹ (n∈ℕ^*)

• Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, …

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 2.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a)

y=2 cosx+1

b) y = 3 – 2sin x c) 2cos 3 3



π



=



+



+

 

y x d) y = 1 sin( − x

²

) 1 −

...

(6)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– CHCHCHCHỦỦỦỦ ĐĐĐỀĐỀỀỀ 1: L1: L1: L1: LƯƯƯỢƯỢỢỢNG GIÁCNG GIÁCNG GIÁC NG GIÁC 444 4 ...

...

C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a)

1 4 cos

2

3

= + x

y b)

y=4sin x

c)

y= 2(1 cos ) 1+ x +

d) y = cos

²

x + 2 cos 2 x e) y = + 2 3cos x f) y = 3 – 4sin

²

x cos

²

x g) y = 2sin

²

x – cos 2 x h)

y=3 – 2 sinx

i) y = 3 – 4sin x

j) 3sin 2

6



π



=



−



−

 

y x k) y = 5 2 cos −

²

x sin

²

x l) cos cos

3



π



= +



−



 

y x x

D. BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

a)

y= sinx+ cosx

b)

^y⁼^sin^x

(

^{1 2 cos 2}⁻ ^x

)

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = cot

⁴

x + cot

⁴

y + 2 tan

²

x tan

²

y + 2 . Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y = sin x trên đoạn 2 3 ; 3 π π

 



−



 

.

b) cos 2 cos 2

4 4

y



x π

 

x π



=



+



−



−



   

trên đoạn ;

3 6



π π





−



 

.

Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số

y= f x

( ) xác định trên

D

:

a)

Hàm số chẵn trên

D

nếu

( ) ( )

x D x D

f x f x

∀ ∈ ⇒− ∈



− =

 b)

Hàm số lẻ trên

D

nếu

( ) ( )

x D x D

f x f x

∀ ∈ ⇒− ∈



− = −



c)

Hàm số không chẵn, không lẻ trên

D

nếu:

⁰ ⁰

0 : ( 0) ( 0) ( 0)

x D x D

x D f x f x f x

∀ ∈ ⇒− ∉



∀ ∈ − ≠ ≠ −



Nhận xét:

Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung

Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Chú ý:

_x = −_x

₍_a−_b₎²ⁿ =₍_b−_a_{) ,}²ⁿ _n∈ℝ

₍_a−_b₎²ⁿ⁺¹= −₍_b−_a₎²ⁿ⁺¹_,_n∈ℝ

(7)

GV.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 3.

Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:

a) y = x – sin x b) y = 3sin – 2 x c) y = sin – cos x x d) y = sin cos x x + tan x e)

=^cosx

y x

f)

y= 1 cos− x

...

(8)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Bài 9. Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:

a)

^tan ^cot

1 sin 2

= +

−

x x

y x

b)

^{1 cos}

1 cos

= +

− y x

x

c) y = x

³

sin 2 x

d) y = cos3 x e) tan

5



π



=



+



 

y x f)

3

sin

cos 2

= x − x

y x

g)

=sin tan + y x

x x

h)

6

2 2

sin 1

4

cos 1

1

− − −

= −

x x

y x

Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số

Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

Hàm số

^y⁼ ^{f x}

( ) xác định trên tập

D

được gọi là hàm số tuần hoàn nếu

0

∃ ≠T

sao cho

( ) ( )

,

x D x T D

f x T f x x D

∀ ∈ ⇒ ± ∈



+ = ∀ ∈



.

Nếu tồn tại số

T >0

nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì

T

được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn

^y⁼ ^{f x}

( ) .

Chú ý:

● y=sin

(

ax+b

) có chu kỳ

T₀ ² a

= π

.

● y=cos

(

ax+b

) có chu kỳ

T₀ ² a

= π

.

● y=tan

(

ax+b

) có chu kỳ

T₀ a

= π

.

● y=cot

(

ax+b

) có chu kỳ

T₀ a

= π

.

● y= f₁

( )

x

có chu kỳ

T₁

và

y= f₂

( )

x

có chu kỳ

T₂

thì hàm số

y= f₁

( )

x ± f₂

( )

x

có chu kỳ

T₀

là bội chung nhỏ nhất của

T₁

và

T₂

.

C. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 4.

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau

a) y = + 1 sin 2

²

x . b)

¹

sin 2 y= x

.

...

(9)

GV.

GV. TTTTRRRRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và Biên tm và Biên tm và Biên tậậậập)m và Biên t p)p)p) 7777 ...

...

Ví dụ 5.

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau

a)

y = + x sin x

. b)

y = sin 2

²

x + cos 2

²

x

.

...

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 10. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau (

a≠0

):

a)

^y⁼^sin

(

^{ax b}⁺

) b)

^y⁼^cos

(

^{ax b}⁺

) c)

^y⁼^tan

(

^ax⁺^b

) d)

^y⁼^cot

(

^{ax b}⁺

)

Bài 11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số:

a)

y=cos 3 . 1 cosx

(

+ x

) b) y = sin

⁶

x c + os

⁶

x c)

sin(

2

)

y = x

(10)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– CHCHCHCHỦỦỦỦ ĐĐĐỀĐỀỀỀ 1: L1: L1: L1: LƯƯƯỢƯỢỢỢNG GIÁCNG GIÁCNG GIÁC NG GIÁC 88 88

Dạng 5. Sử dụng đồ thị

• Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra.

• Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 6.

Hãy xác định giá trị của x trên đoạn 3

; 2 π π

 



−



 

để hàm số y = tan x nhận giá trị:

a) bằng

0

. b) bằng

1

. c) dương. d) âm.

...

Ví dụ 7.

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , tìm những giá trị của x trên đoạn 3 2 ; 2 π π

 



−



 

để hàm số đó:

a) Nhận giá trị bằng

–1

. b) Nhận giá trị âm.

...

(11)

GV.

B. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 12. Dựa vào đồ thị hàm số

y=cosx

, tìm các giá trị của x để

cos ¹

x= 2

. Bài 13. Cho các hàm số

f x

( )

=sinx

,

g x

( )

=cosx

,

h x

( )

=tanx

và các khoảng:

1

; 3

J 2 π



π



=

 

 

,

₂

;

4 4

J



π π



= −

 

 

,

₃

31 33

4 ; 4

J



π π



=

 

 

,

₄

452 610

3 ; 4

J



π π



= −



−



 

Hỏi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khoảng J

₁

? Trên khoảng J

₂

? Trên khoảng J

₃

? Trên khoảng J

₄

? (Trả lời bằng cách lập bảng biến thiên)

Bài 14. Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?

a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến thì hàm số

y=cosx

nghịch biến.

b) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin

²

x đồng biến thì hàm số y = cos

²

x nghịch biến.

Bài 15. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x hãy vẽ đồ thị hàm số

y= sinx

. Bài 16. Cho hàm số

y= f x

( )

=2 sin 2x

a) Chứng minh rằng với số nguyên dương

k

tùy ý, luôn có

^{f x}⁽ ⁺^k

π

⁾⁼ ^{f x}

( ) với mọi x .

b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2 x trên đoạn ;

2 2

π π

 



−



 

.

c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2 x

Bài 17. CMR: sin 2 ( x + k π ) = sin 2 x với mọi số nguyên

k

. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2 x . Bài 18. CMR:

cos¹( 4 ) cos

2 2

x+k

π

= x

với mọi số nguyên

k

. Từ đó vẽ đồ thị hàm số

cos 2

y= x

rồi suy ra đồ thị hàm số cos

2

y = x .

(12)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1. Phương trình cơ bản

Chú ý:

Khi gặp dấu trừ ở trước thì:

( )

– sinx=sin –x ^{– cos}x⁼^cos

( π

^–x

)

^{– tan}x⁼^{tan –}

(

x

)

^{– cot}x⁼^{cot –}

(

x

)

Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (

⁰

).

(13)

GV.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 8.

Giải các phương trình sau:

a) 3

sin x = − 2 b) 2

cos 3

6 2



π



− = −

 



x



c)

tan 3 – 30

(

x ° =

)

–1

d) 3

cot 3 3



π



+ =

 



x



e)

sin ¹

= 4

x

f)

cos

(

3

)

¹

+ =3 x

...

(14)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 19. Giải các phương trình sau:

a)

sin

(

– 60

)

¹

x ° =2

b)

sin 2x=–1

c)

cos

(

– 2

)

²

=5 x

d) 1

cos 2

3 2



π



+ = −

 



x



e)

^{cos 2}

(

⁵⁰

)

¹

x+ ° =2

f) cot 4 3

6



π



− =

 



x



g) tan tan

2 4 8

π π

 

− =

 

 

x h) 3

cot 20

3 3



x



+ ° = −

 

 

i)

tan 2 tan²

7

=

π

x

j)

sin 4 ²

=3

x

k) cos 3 – 45 ( ) 3

x ° = 2 l) 3

sin 3 –

= 2 x m) sin 2 – 15 ( ) 3

x ° = − 2 n) 1

sin 10

2 2



x



+ ° = −

 

 

o) 3

sin 2

= 2 x

Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác

Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng:

+ =0

asinx b ; acosx b+ =0; atanx b+ =0; acotx b+ =0

Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 9.

a)

3sin 4x=2

b)

2sin 2x− =1 0

c) 3 cot 1 0 3



π



+ − =

 



x



d) 2 cos ( x + 50 ° = − ) 3 e) 2cos – 3 x = 0 f) 3 tan 3 – 3 x = 0

...

(15)

GV.

GV. TTTTRRRRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và Biên tm và Biên tm và Biên tậậậập)m và Biên t p)p)p) 1313 1313 Ví dụ 10.

a) cos 2 .cot 0

4



π



− =

 

 

x x b) cot 1 cot 1 0

3 2

  

− + =

  

  

x x

c) (

^{1 2 cos}⁺ ^x

)(

^{3 – cos}^x

)

⁼⁰

d) (

^cot^x⁺^{1 .sin 3}

)

^x⁼⁰

...

Ví dụ 11.

a)

cos 3 – sin 2x x=0

b)

tan . tan 2x x=–1

...

(16)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

a)

sin 2 .cotx x=0

b)

tan

(

x– 30 .cos 2 –150°

) (

x ° =

)

0

c) ( 2 cos 2 –1 2 sin 2 x ) ( x – 3 ) = 0 d) ( 3 tan x + 3 ) ( 2 sin – 1 x ) = 0

e)

^{tan 2}

(

^x⁺^{60 cos}^°

) (

^x⁺⁷⁵^{° =}

)

⁰

f) (

^{2 cos}⁺ ^x

)(

^{3cos 2 – 1}^x

)

⁼⁰

g) ( sin x + 1 2 cos 2 – 2 ) ( x ) = 0 h) (

sin 2 – 1 cosx

)(

x+1

)

=0

C. BÀI TẬP NÂNG CAO

a)

sin 3x=cos 2x

b)

cosx=– sin 2x

c)

sin 3x+sin 5x=0

d)

cot 2 .cot 3x x=1

e)

sin – cosx

(

x+60° =

)

0

f)

cos

(

x–10° +

)

sinx=0

g) sin sin 2

3 4

x π x π

   

+ = − −

   

   

h) cos 2 cos

x π 4 x

 

− = −

 

 

i)

tan 3x+tanx=0

f)

tan 3x+tan 2 – 45

(

x ° =

)

0

k)

sin 2x+cos 3x=0

l)

tan . tan 3x x=1

m)

^{cot 2 cot}^x

(

^x⁺⁴⁵^°

)

⁼¹

n)

^{tan 3}

(

^x⁺²

)

⁺^{cot 2}^x⁼⁰

o) cos 2 sin 0

4 3

π π

   

− − − =

   



x

 

x



p) cos 2 cos

3 6

x π x π

   

+ + −

   

   

q) ( sin x + 1 2 cos 2 – 2 ) ( x ) = 0 r) (

sin 2 – 1 cosx

)(

x+1

)

=0

a)

sin² ¹

=4

x

b) 4cos

²

x – 3 = 0 c) sin 3 – cos

²

x

²

x = 0 d)

^sin²

(

^x^{– 45}^{° =}

)

^cos²^x

e) 8cos

³

x –1 = 0 f)

^tan²

(

^x⁺¹

)

⁼³

Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn cho trước

Bước 1. Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)

Bước 2. Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoảng, đoạn đề cho và tìm k

(

^k^∈^ℤ

)

Bước 3. Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiệm tương ứng.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 12.

a) sin 2 – 15 ( ) 2

x ° = 2 với

–120°<x<90°

b) tan 3

2 4 3



π



+ = −

 



x



với

0<x<

π

...

(17)

GV.

...

C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 23. Giải các phương trình sau:

a)

^{cos 2}

(

¹⁰

)

¹

x+ =2

với – π < x < π b) 1

sin 2

3 2

x π

 

− = −

 

 

với

0<x<2

π c)

sin – ¹

x= 2

với

–

π

< x<0

d) cos ( – 2 ) 2

x = 2 với x ∈ [ 0 ; π ] e)

^tan

(

^x^{– 10}^{° =}

)

¹

với

^–15° <x<¹⁵°

f) sin 1

x π 4

 

+ =

 

 

với x ∈ [ π ; 2 π ] C. BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 24. Tìm nghiệm thuộc đoạn [

^0;14

] của phương trình:

cos 3x−4 cos 2x+3cosx− =4 0

Bài 25. Tính giá trị của ; 0

x



π 2



∈ −

 

 

thỏa mãn phương trình:

cot ^{sin 2} ^{cos 2} 2 sin 2

x x

= − +

Bài 26. Tìm nghiệm thuộc (

0; 2

π ) của phương trình: cos 3 sin 3

5 sin cos 2 3

1 2 sin 2

x x

x



+



+ = +

 



+



(18)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác

Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (

^a^≠⁰

) :

•

••

•

^{asin u}² ⁺⁺⁺⁺^bsinu⁺⁺⁺⁺^c⁼⁼⁼⁼^{0 1}

(((( )))) •

^{acos u}² ⁺⁺⁺⁺^bcosu^{+ =}^{+ =}^{+ =}^{+ =}^c ^{0 1}

(((( ))))

Đặt t=sinu Đặt

t = cosu

Điều kiện: –1≤ ≤t 1 Điều kiện: –1≤ ≤t 1

( )

¹ ^⇔^at²⁺^bt^{+ =}^c ⁰

( )

¹ ^⇔^at² ⁺^bt^{+ =}^c ⁰

•

â^tan²û⁺⁺⁺⁺^b^tanû⁺⁺⁺⁺^c⁼⁼⁼⁼^{0 1}

(((( )))) •

^{acot u}² ⁺⁺⁺⁺^bcotu⁺⁺⁺⁺^c⁼⁼⁼⁼^{0 1}

(((( ))))

Điều kiện: cosu≠0

.

Điều kiện:sinu≠0 Đặt t=tanu, Đặt t=cotu,

( )

1 ⇔at²+bt+ =c 0

( )

1 ⇔at² +bt+ =c 0

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 13.

a) 2sin

²

x + 3sin x − = 2 0 b) 3cot

²

x + 3cot x − = 2 0 c) 3cos

²

x − 5cos x + = 2 0 d)

3 tan²x−2 3 tan x + 1 = 0

...

(19)

GV.

GV. TTTTRRRRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và Biên tm và Biên tm và Biên tậậậập)m và Biên t p)p)p) 1717 1717 Ví dụ 14.

a) tan

³

x – 3 tan

²

x – 2 tan x + = 4 0 b) 4sin

³

x + 4sin

²

x – 3sin x = 3

...

a) 2cos

²

x + 2 cos – 2 x = 0 b) 2cos

²

x – 3cos x + = 1 0

c) 6sin

²

x – 5sin – 4 x = 0 d) 3 tan

²

x − ( 1 + 3 tan ) x + = 1 0

e) tan 3

²

x + ( 1 − 3 tan 3 ) x − 3 = 0 f)

^4cot² ²

(

^{3 1 cot}

)

³ ⁰

3− − 3− =

x x

g)

^4cos² ²

(

^{2 1 cos}

)

² ⁰

2x− + 2x+ =

h)

2sin² 2 sin 2 0 2x+ 2x− =

i) 2sin

²

x − 3sin x − = 5 0 j) 2 tan

²

x + 3 tan x + = 1 0 Bài 28. Giải các phương trình sau:

a) sin

²

x – 2 cos x + = 2 0 b) cos

²

x + sin x + = 1 0

c)

2cos 2x+4sinx+ =1 0

d) 2cos 2 – 2 x ( 3 + 1 ) cos x + 3 + = 2 0

e)

cos 2x+9 cosx+ =5 0

f) cos5 .cos x x = cos 4 .cos 2 x x + 3cos

²

x + 1

g) cot

⁴

x – 4 cot

²

x + = 3 0 h) 5

cos 2 4co

2 s 6

3

π

 

−

+ +



=

 

 

 



x

x i)

tan² – ⁴ 5 0

cos + =

x x

j)

¹₂ – 1 tan – 3 tan

(

1

)

0

cos + x x+ =

x

k)

tanx−2 cotx+ =1 0

l)

2 2

1 tan

cos 4 – 3 2 0

1 tan

− + =

+ x x

x C. BÀI TẬP NÂNG CAO

a)

⁴ ⁴ ⁴

9

sin sin cos

4 4 8

π π

   

+



+



+



+



=

   

x x x

b) cos 2 cos 2 4 sin 2 2 1 sin ( )

4 4

π π

   

+ + − + = + −

   



x

 

x



x x

Bài 30. Giải các phương trình sau:

a)

³

1

₂

tan –1 2 cot 3

cos 3



π



+ +



−



=

 

x x

x b) 2sin

²

x = + 1 sin 3 x

c)

1 sin 3+ x=sinx+cos 2x

d)

^tan²^x⁺^cot² ^x⁺^{2 tan}

(

^x⁺^cot^x

)

⁼⁶

e)

cos² ¹₂ cos ¹ ⁷ 0

cos cos 4

+ + − − =

x x

f)

¹₂ cot² ⁵

(

tan cot

)

2 0

cos + x+2 x+ x + =

x

(20)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x (Phương trình cổ điển)

sin cos

a x++++b x====c

( )

¹

với a b c , , ∈

^ℝ

, và a

²

+ b

²

≠ 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

a

²

+ b

²

≥ c

²

Chia 2 vế phương trình cho

a²+b²

, ta được:

2 2

.s inx +

2 2

.cos =

2 2

+ + +

a b c

x

a b a b a b

Vì

2 2

2 2 2 2

1

   

+ =

   

+ +

   

a b

a b a b

nên đặt

2 2

cos α = + a

a b

, sin α =

2 2

+ b

a b

Khi đó ta được: ( )

2 2

sin + α = + x c

a b

rồi giải như phương trình cơ bản.

Chú ý: Nếu a=b

có thể dùng công thức sau để giải:

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

π π

   

± =



±



= ±

 

   ∓ 

x x x x

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 15.

a) sin x + 3 cos x = 1 b) cos – 3 sin x x = 2

c)

3sin 3 – 4cos 3x x=5

d) 2sin x + 2 cos x − 2 = 0

...

(21)

GV.

GV. TTTTRRRRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và Biên tm và Biên tm và Biên tậậậập)m và Biên t p)p)p) 19191919 Ví dụ 16.

a) cos – 3 sin x x = 2 cos 3 x b) sin 9 x + 3 cos 7 x = sin 7 x + 3 cos9 x

...

a) 6

sin – cos

x x = 2 b) 3 cos x + sin x = – 2

c) sin 4 x + cos 4 x = 3 d) 2sin – 9 cos x x = 85 e) 3sin x + 3 cos x = 1 f)

2 cos – 3sinx x+2=0

g)

cosx+4sinx+ =1 0

h) 2 sin 2 x + 3cos 2 x = 4 i)

^{cos 2 – 15}

(

^x ^{° +}

)

^{sin 2 – 15}

(

^x ^{° =}

)

^–1

j) sin 2 – 3 cos 2 x x = 1 k)

5 cos 2x+12sin 2x=13

l) 2sin x + 2 cos x = 2

C. BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 32. Giải các phương trình sau:

a) 2sin 2

²

x + 3 sin 4 x = –3 b) cos 3 sin 2 cos 3



π



+ =



−



 

x x x

c) 3 2

2sin sin

4 4 2

π π

   

+ + − =

   



x

 

x



d) 5 2

2cos 3cos

6 3 2

π π

   

+ + − =

   



x

 

x



e)

sin 2 sin² ¹ + = 2

x x

f) 2sin

²

x + 3 sin 2 x = 3

g) 3cos

²

x – sin

²

x – sin 2 x = 0 h) 4sin cos x x = 13 sin 4 x + 3cos 2 x i)

2cos 2 – sin 2x x=2 sin

(

x+cosx

) j) 2sin17 x + 3 cos5 x + sin 5 x = 0 k) sin 5 x + cos5 x = 2 cos13 x l)

8sin² – 3sin 4 0

2x x– =

m)

^{1 sin} ¹

1 cos 2

+ =

+ x

x

n)

^{1 cos 4} ^{sin 4}

2sin 2 1 cos 4

− =

+

x x

Bài 33. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:

a)

y=2sinx+ 3 cosx+1

c) y = 2sin

²

x + 4sin cos x x + 3

b) y = sin

²

x + cos 2 – 2 x d)

^sin ^cos ¹

sin cos 3

+ −

= − +

x x

y x x

(22)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin x và cos x (Phương trình đẳng cấp)

2 2

sin sin cos cos 0

a x

+ + + +

b x x

+ + + +

c x

= = = = ( )

¹

Hoặc a

′ ′ ′ ′ sin

²x

+ + + +

b

′ ′ ′ ′ sin cos

x x

+ + + +

c

′ ′ ′ ′ cos

² x

= = = =

d

( )

²

( )

²

⇔ a ′ sin

²

x + b ′ sin cos x x + c ′ cos

²

x = d ( sin

²

x + cos

²

x )

((((

^a ^–^d

))))

^sin²^x ^b ^{sin cos}^x ^x

((((

^c ^–^d

))))

^cos² ^x ⁰

⇔⇔

⇔⇔ ′′′′ ++++ ′′′′ ++++ ′′′′ ====

( )

²^′

Phương trình ( )

²^′

cũng là dạng ( )

¹

, nên ta chỉ xét dạng ( )

¹

. Nếu gặp dạng ( )

²

thì ta đưa về dạng ( )

1

như trên.

Sau đây là cách giải dạng ( )

1

:

Nếu

a=0

và b c , ≠ 0 thì ( )

1 ⇔cos .x b

(

sinx+ccosx

)

=0

cos 0

sin cos 0



=

⇔



+ =



x

b x c x

Nếu

c=0

và b a , ≠ 0 thì ( )

1 ⇔sin .x a

(

sinx b+ cosx

)

=0

sin 0

sin cos 0



=

⇔



+ =



x

a x b x

Nếu a b c , , ≠ 0 :

Kiểm tra xem với

cosx=0

thì ( )

¹

có thỏa hay không? (

cosx=0

thì

sinx= ±1

). Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là ( )

2

π π

= + ∈ℤ

x k k

.

Với

_cos_x_≠₀

, chia 2 vế của ( )

¹

cho cos

²

x , ta được phương trình:

tan

2

tan 0

a x

+ + + +

b x

+ = + = + = + =

c

( ) 1 ′

( )

¹^′

là phương trình bậc 2 theo tanx , ta đã biết cách giải (Xem phần 2).

Nghiệm của ( )

1

là nghiệm của ( )

1′

và

2

π π

= +

x k

(nếu có).

Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa

( )

¹

về dạng phương trình bậc nhất theo

sin 2x

và

cos 2x

(Phần 3). Với:

2 1 cos 2

sin 2

= − x

x

,

cos² ^{1 cos 2}

2

= + x

x

,

sin .cos ¹sin 2

= 2

x x x

☺ Phương trình đẳng cấp bậc 3: a sin

³

x b + sin

²

x cos x + c .sin cos x

²

x + d cos

³

x = 0 Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 17.

a) 2sin

²

x − 5sin cos x x − cos

²

x = − 2 b) 4sin

²

x – 3 3 sin 2 – 2 cos x

²

x = 4 c) 3 sin 2 x + 2cos

²

x –1 = 0 d) 2 cos

²

x + 3sin 2 – 8sin x

²

x = 0

...

(23)

GV.

...

(24)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

a) 2sin

²

x + sin cos – 3cos x x

²

x = 0 b) 3sin

²

x – 4 sin cos x x + 5 cos

²

x = 2 c)

sin² sin 2 – 2 cos² ¹

x+ x x= 2

d) 2 cos

²

x + sin 2 – 4 sin x

²

x = –4 e) sin

²

x –10 sin cos x x + 21cos

²

x = 0 f) cos

²

x – 3sin cos x x + = 1 0 g) cos

²

x – 3 sin 2 – sin x

²

x = 1 h) 2 cos

²

x – 3sin cos x x + sin

²

x = 0 i) 3sin

²

x – 2 3 sin cos x x + cos

²

x –1 = 0 j) 3cos

²

x + sin cos x x + 2sin

²

x = 2 k) 3cos

²

x + 3sin cos x x + 2 sin

²

x = 1 l) 3 cos

²

x – sin 2 – 3 sin x

²

x = 1 m) 3 sin 2 x + 2 cos

²

x – 1 0 = n) 2 cos

²

x + 3sin 2 – 8sin x

²

x = 0

a) sin

³

x + cos

³

x = sin x + cos x b) sin

³

x + 2sin

²

x cos – 3cos x

³

x = 0 c) 3cos

⁴

x − 4cos

²

x sin

²

x − sin

⁴

x = 0 d) sin x − 4sin

³

x + cos x = 0

e) 2 2 cos

³

3cos sin 0

4



π



− − − =

 



x



x x

Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng

Dạng 1: a

((((

^sinx++++^cosx

))))

++++b^{sin cos}x x====c

(1)

Đặt

sin cos 2 sin

4



π



= + =



+



 

t x x x , Điều kiện: – 2 ≤ ≤ t 2

2

1 2 sin cos

⇔ t = + x x

2

1

sin cos

2

⇔ = t −

x x

( )

2

1

1 .

2 + − =

⇔ t

at b c ⇔ bt

²

+ 2 at – – 2 b c = 0 ( )

²

Giải phương trình ( )

²

, chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ ≤ t 2 Giải phương trình sin

4



π



+ =

 



x



t để tìm x .

Dạng 2: sin – cosa

((((

x x

))))

++++bsin cosx x====c

( )

1

Đặt

sin – cos 2 sin –

4



π



= =

 

 

t x x x , Điều kiện: – 2 ≤ ≤ t 2

2

1 2sin cos

⇔ t = − x x

1

2

sin cos

2

⇔ = − t

x x

( )

1

2

1 .

2 + − =

⇔ t

at b c ⇔ bt

²

− 2 at – b + 2 c = 0 ( )

²

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ ≤ t 2 Giải phương trình sin

4



π



− =

 



x



t để tìm x .

Dạng 3: a sinx±±±±cosx ++++bsin cosx x====c

( )

1

Đặt

sin cos 2 sin

4



π



= ± =



±



 

t x x x

Điều kiện:

0 ≤ ≤ t 2

Giải tương tự như trên.

(25)

GV.

GV. TTTTRRRRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm và Biên tm và Biên tm và Biên tậậậập)m và Biên t p)p)p) 2323 2323

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 18.

a)

5sin 2 – 12 sin – cosx

(

x x

)

+12=0

b)

3 sin

(

x+cosx

)

– sin 2 – 3x =0

...

a) (

cos – sinx x

)

+2 sin 2 – 1 0x =

b)

2 sinx+cosx +3sin 2x=2

c)

sin – cosx x +4sin 2x=1

d) tan x + cot x = 2 sin ( x + cos x )

e) (

^{1 sin 2}⁺ ^x

)(

^{cos – sin}^x ^x

)

⁼^{cos 2}^x

f)

^{2sin 4}^x⁺^{3 sin 2}

(

^x⁺^{cos 2}^x

)

^{+ =}³ ⁰

g)

cos ¹ sin ¹ ¹⁰

cos sinx 3

x x

+ x+ + =

h) sin 2 – 2 sin 1 0

x



x π 4



+ + =

 

 

Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác không mẫu mực

a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm: ⁰ ⁰ ⁰

0 0

A B A

A B B

≥ ∧ ≥ =

 

 ⇔ 

+ = =

 

b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập: ^A ^M ^B ^A ^M

A B B M

≤ ≤ =

 

 ⇔ 

= =

 

c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất: ^A ^{M va B} ^N ^A ^M

A B M N B N

≤ ≤ =

 

 ⇔ 

+ = + =

 

(26)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

•

sinu+sinv=2 sin 1

sin 1

u v

 =

⇔

 =

•

sin – sinu v=2 sin 1

sin 1

u v

 =

⇔

 = −

•

sinu+sinv=–2 sin 1

sin 1

u v

 = −

⇔

 = −

•

sin – sinu v=–2 sin 1

sin 1

u v

 = −

⇔

 = −

• Tương tự cho các trường hợp:

cosu±cosv= ±2

và

cosu±sinv= ±2 d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất:

. .

A M va B N A M A M

A B M N B N B N

≤ ≤ = = −

  

⇔ ∨

  

= = = −

  

•

sinu sinv. =1 sin 1 sin 1

sin 1 sin 1

u u

v v

= = −

 

⇔ ∨

= = −

 

•

sinu sinv. =–1 sin 1 sin 1

sin 1 sin 1

u u

v v

= − =

 

⇔ ∨

= = −

 

• Tương tự cho các trường hợp:

cos .cosu v= ±1

,

sin .cosu v= ±1

,

cos .sinu v= ±1

. B. BÀI TẬP

a) sin 5

²

x + = 1 cos 3

²

x b) sin

²

x – 2sin x + 2 = sin 3

²

x c) sin x + cos x = 2 2 – sin 3 ( x ) d) 2 cos

²

x = 3sin 5

²

x + 2 e) ( cos 4 – cos 2 x x )

²

= + 4 cos 3

²

x f)

sinx+cosx=tanx+cotx

g)

cos 5 .sin 3x x=1

h)

sin 2x+sin 3x+sin 4x=3

Dạng 9. Phương trình lượng giác có tham số

A. BÀI TẬP Bài 38. Tìm m để các phương trình sau:

a)

msin – 2x m+ =1 0

có nghiệm b)

^m^{cos – 2}^x ^m^{+ =}¹

(

²^m^{– 1 cos}

)

^x

có nghiệm c)

m^sinx^{+ =}¹ ^{2 sin}

(

x⁺m

) vô nghiệm d) cos

²

x – sin .cos – 2sin x x

²

x = m có nghiệm e) (

m+2 sin – 2 cos

)

x m x=2

(

m+1

) có nghiệm f)

^m^{cos 2}^x⁺

(

^m⁺^{1 sin 2}

)

^x⁼^m⁺²

có nghiệm

g)

sinx+mcosx=1

vô nghiệm

h) (

m+2 sin

)

x+mcosx=2

vô nghiệm i) ( m

²

+ 2 cos )

²

x – 2 sin 2 m x + = 1 0 có nghiệm

j)

sin 2 – 4 cos – sinx

(

x x

)

=m

có nghiệm

Bài 39. Xác định m để phương trình: 2(sin

⁴

x + cos

⁴

x ) cos 4 + x + 2sin 2 x − m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0 ;

2



π



 

 

.

Bài 40. Cho phương trình:

^2sin ^cos ¹ sin 2cos 3

+ +

− + =

x x

x x a

( )

1

a) Giải phương trình (1) khi

¹

=3

a

b) Tìm a để phương trình ( )

¹

có nghiệm.

(27)

GV.

Bài 41. Cho phương trình:

6 6

2 2

cos sin

tan 2

cos sin

+ =

−

x x

m x

x x ( )

1

a) Giải phương trình ( )

¹

khi

¹³

= 8

m

b) Tìm m để phương trình ( )

¹

vô nghiệm.

Dạng 10. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương pháp biến đổi đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 19.

Giải phương trình

a)

2

sin cos 3 cos 2

2 2

x x

  x

+ + =

 

 

. b) (

2 cosx−1 sin

)(

x+cosx

)

=1

.

...

(28)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

2. Phương pháp biến đổi về dạng tích

A B. ====0⇔⇔⇔⇔ A====0

hoặc

B====0

.

Ví dụ 20.

a) sin 3 3 2 sin 2 cos 2 3sin 2

x



x π 4



x x

+



+



= + +

 

. b)

sin 2x−cos 2x=2sinx−1

.

...

3. Phương pháp biến đổi đưa về tổng hai bình phương

² ² 0 ⁰ 0 A B A

B

=

 =



+ = ⇔

++ == ⇔⇔ + = ⇔

=

 =



.

Ví dụ 21.

a) 3 ta