50 bài tập về Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – Toán 11

(1)

Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác 1. Lý thuyết

a. Hàm số y = sinx - Tập xác định: D = - Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx - Tập xác định: D = - Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: D \ k , k 2

 

     

 

- Tập giá trị:

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định:

D  \ k ,k    

- Tập giá trị:

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác - Phương pháp giải:

   

y f x

 g x

xác định khi

g x    0

 

y  f x

xác định khi

f x    0

 

y f x g x



xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi

u x   k , k

2

    

y = cot[u(x)] xác định khi

u x      k ,k

sin x  0

khi

x    k  k 

cos x  0

khi

x k  k 

2

    

- Ví dụ minh họa:

(2)

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau a) y tan 3x

3

 

   

b) y 2 sin x

Lời giải

a)

sin 3x y tan 3x 3

3 cos 3x 3

 

 

   

      

Điều kiện xác định: cos 3x 0 3

  

 

 

3x k , k

3 2

       

3x k , k 6

     

x k , k

18 3

 

   

.

Vậy tập xác định của hàm số là D \ k , k 18 3

 

 

    

 

b) Điều kiện xác định:

2 sin x   0 sin x 2

 

(đúng

  x

) vì

  1 sin x 1 x   

Vậy tập xác định của hàm số là D = R.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau

a)

2

y  sin x cos x



b)

y tan 3x cot x 1  

2sin x 1

  



Lời giải

a) Điều kiện xác định:

sin x  cos x  0  sin x  cos x

(*)

+ Trường hợp 1: cosx = 0. Ta có sin²x + cos²x = 1

 sin x 1

²

  sin x   1

. Hiển nhiên

sin x  cos x

.

+ Trường hợp 2:

cos x  0

. Chia cả hai vế cho cosx

(3)

(*)

sin x cos x 1

   tan x 1  x k ;k 4

     

^.

Vậy tập xác định của hàm số là D \ k ;k 4

 

     

 

b) Vì

sin 3x

tan 3x

cos3x



và

   

 

cos x 1 cot x 1

sin x 1

  



Điều kiện xác định:

 

cos3x 0 sin x 1

2 sin x 1 0



  

 

 

  



3x k

2

x k2

6 x 7 k2

6 x 1 k

   



    

 

   



   



x k

6 3

x k2

6 x 7 k2

6 x 1 k

 

  



    

 

   



   



x k

(k )

6 3

x 1 k

 

  

 

   



Vậy tập xác định của hàm số là k

D \ ;1 k ;k

6 3

 

 

      

 ^.

Dạng 2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác - Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

 

1 sin u(x) 1

  

;

0 sin u(x) 

²

   1; 0  sin u(x)    1

 

1 cos u(x) 1

  

;

0  cos u(x)

²

   1; 0  cos u(x)    1

Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = 2sin3x – 5

b) y 2sin² x² 5

12

  

    c) y = |cos(3x-2)| + 4

Lời giải

(4)

a) Ta có:

  1 sin3x 1 x    2 2sin3x 2 x

      7 2sin3x 5 3 x

       

Vậy tập giá trị: T = [-7;-3].

b) Ta có: 0 sin² x² 1 x 12

  

     

2 2

0 2sin x 2 x

12

  

      

2 2

5 2sin x 5 7 x

12

  

       

Vậy tập giá trị: T = [5;7].

c) Ta có:

0  cos 3  x  2     1 x

  4

cos

4 3x 2 5 x

      

Vậy tập giá trị: T = [4;5].

Ví dụ 2. Tìm tập giác trị của các hàm số sau:

a) y sin x 1 2 b) y = cos2x + 4sinx +1

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

sin x 1 0    sin x     1 x

. Tập xác định D = R.

Ta có:

  1 sin x 1 x    0 sin x 1 2 x

      0 sin x 1 2 x

     

2 sin x 1 2 2 2 x

        

. Vậy tập giá trị: T  2; 22^.

b) y = cos2x + 4sinx +1 = 1 - 2sin²x + 4sinx +1 = -2sin²x + 4sinx + 2 = -2(sinx – 1)² + 4.

Ta có:

  1 sin x 1 x    2 sin x 1 0 x

      

(5)

 

²

0 sin x 1 4 x

     

 

²

8 2 sin x 1 0 x

       

 

²

4 2 sin x 1 4 4 x

        

. Vậy tập giá trị: T = [-4;4].

Dạng 3. Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R - Phương pháp giải:

       

x a;b

m f x x a;b m max f x

    



       

x a;b

m f x x a;b m max f x

    



       

x a;b

m f x x a;b m min f x

    



       

x a;b

m f x x a;b m min f x

    



Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y sin xm xác định trên R.

Lời giải

Để hàm số xác định trên R thì

sin x        m 0 x m sin x x  

. Mà ta có

  1 sin x 1 x        1 sin x 1 x   

Nên

m 1 

.

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số

y  sin x

²

 2sin x  m

xác định trên R.

Lời giải

Ta có:

y  sin x

²

 2sin x  m   sin x 1  

²

  m 1

Hàm số xác định trên R khi

 sin x 1  

²

     m 1 0 x    m 1  sin x 1  2  x

Ta có:

  1 sin x 1 x    2 sin x 1 0 x

      

 

²

0 sin x 1 4 x

     

 

²

4 sin x 1 0 x

       

(6)

 

²

3 1 sin x 1 1 x

       

Vậy

m 1 

.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tập xác định của hàm số y cot 2x 3

 

   ^là

A. k

D \ ;k

6 2

 

 

    

  ^B.

D \ 5 k ;k 12

  

     

 

C. D \ k ;k

2

 

     

  ^D.

5 k

D \ ;k

12 2

 

 

    

 

Câu 2. Tập xác định của hàm số

y  tan x  cot x

là

A. B.

\ k ;k    

^C. ^\ ^{k ;k}

2

   

 

 ^D.

\ k ;k 2

   

 

 

Câu 3. Tập xác định của hàm số y sin x 1 ^là:

A.

D     1; 

^{B. D = R}

C. D \ k ;k

2

 

     

  ^D.

D     ; 1 

Câu 4. Tập xác định của hàm số

3sin x y  2cos x 3



^là:

A. D \ k2 ;k 6

 

     

  ^B.D \ k2 ;k

3

 

     

 

C. D \ k2 ;k 6

  

     

  ^D.

D \ k2 ;2 k2 ;k

3 3

 

 

       

 ^.

Câu 5. Tập xác định của hàm số

2021

²

y sin x

1 tan x

 



^là

A. D \ k ; k2 ;k

4 2

 

 

       

  ^B.D \ k ; k ;k

4 2

 

 

       

 

(7)

C. D \ k ;k 4

 

     

  ^D.

D \ k ; k ;k

4 2

 

 

        

 

Câu 6. Tập xác định của hàm số

2 2

y 2x 1

sin x cos x

 



^là

A. D \ k ;k

4

 

     

 ^. ^B.D \ k ;k

2

 

     

 ^.

C. D \ k ;k

4 2

 

 

    

 ^. ^D.

D \ 3 k2 ;k

4

  

     

 ^.

Câu 7. Tập xác định của hàm số

1 cos3x y 1 sin 4x

 



^là

A. D \ k , k

8 2

 

 

    

  ^B.

D \ 3 k , k

8 2

 

 

    

 

C. D \ k , k

4 2

 

 

    

  ^D.D \ k , k

6 2

 

 

    

 

Câu 8. Hàm số nào dưới đây có tập xác định là R?

A. y = sinx + cot5x B.

2

tan 3x y  sin x 1



^C.^y^^{2cos x} ^D.^y^ ^{1 sin 2x}^ Câu 9. Tập giá trị của hàm số y = 1 – 2|sin2x| là

A. [1;3] B. [-1;1] C. [-1;3] D. [-1;0]

Câu 10. Tập giá trị của hàm số

y   3 1 sin 3x 

² là

A. [2;3] B. [1;2] C. [2;4] D. [3;4]

Câu 11. Tập giá trị của hàm số y = 2 + sinxcosx có dạng T = [m,M]. Giá trị của m là:

A.

5

2

^B.

3

2

^C.

2

3

^{D. 1}

Câu 12. Tập giá trị của hàm số y = 2sin3x +1 là

A. [-1;1] B. [-5;7] C. [0;2] D. [-1;3]

Câu 13. Tìm m để hàm số

2 y  sin x m



xác định trên R.

A.

m       ; 1   1; 

B.

m       ; 1   1; 

(8)

C.

m 1 

D.

m     1;1

Câu 14. Hàm số

2 sin 2x y 2cos x m 1

 

 

có tập xác định R khi và chỉ khi:

A. m > 3 B. m < -1 C.

m  3

D.

m   1

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y  sin x

2

 4cos x  2m 1 

có tập xác định là R.

A.

3

m   2

^B.

5

m  2

C. Không có m thỏa mãn D.

m  5

Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A D B C B C A D B D B D A A B