50 bài tập về Các bài toán về Tỉ số lượng giác của góc nhọn (có đáp án 2022) - Toán 9

Các bài toán về tỉ số lượng giác của góc nhọn A. Lí thuyết.

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

sin= cạnh đối / cạnh huyền = AC BC cos= cạnh kề / cạnh huyền = AB

BC tan= cạnh đối / cạnh kề = AC

AB cot= cạnh kề / cạnh đối = AB AC

Cách nhớ gợi ý: Sin đi học (đối / huyền) , Cos không hư (kề / huyền), Tan đoàn kết (đối / kề) , Cot kết đoàn (kề / đối).

Các tính chất:

(1) Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Tức là: Cho hai góc , , biết:    90^o Khi đó, ta có:

sin cos ;sin  cos tan cot ;tan  cot

(2) Nếu hai góc nhọn , , có sin sin hoặc cos cos thì    . Nếu : sin sin    ; sin sin    

cos cos    ;cos cos    

tan tan    ;tan tan     cot cot    ;cot cot     (3) Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

0 sin  1;0 cos  1 tan 0;tan 0

2 2

sin  cos  1;tan .cot  1

sin cos

tan ;cot

cos sin

 

   

 

2 2

2 2

1 1

1 tan ;1 cot

cos sin

     

 

*Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Tính toán các tỉ số lượng giác, độ dài các cạnh trong tam giác.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Có AC = 10cm, 1 cos BAC

2. Tính sin BAC và độ dài AB, BC.

Giải:

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 2

sin BAC cos BAC 1 

2 2

sin BAC 1 cos BAC

  

sin BAC 1 cos BAC2

  

Thay số 1

cos BAC

 2 ta có:

1 2

sin BAC 1 2

     

sin BAC 3

  2 (do sin BAC0 vì góc BAC nhọn)

+) Ta lại có AB

cos BAC

AC AB AC.cos BAC

 

Thay số 1

cos BAC

 2, AC =10cm ta có:

AB 10.1 5

 2  (cm)

+) Mà BC

sin BAC

 AC

BC AC.sin BAC

 

Thay số 3

sin BAC

 2 , AC = 10cm ta có:

BC 10. 3

 2 5 3(cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính sin ABC, cos ABC , tan ABC, cot ABC .

Giải:

+) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có :

2 2 2

BC AB AC

Thay số AB = 6cm, AC = 8cm ta có:

2 2 2

BC  6 8 BC2 100

 

BC = 100 = 10 (cm)

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

sin ABC =AC 8 4 BC 10  5

cos ABC AB 6 3

BC 10 5

  

tan ABC AC 8 4

AB 6 3

  

cot ABC AB 6 3

AC 8 4

  

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác, các góc.

Phương pháp giải :

Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại, áp dụng tính chất nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia và so sánh dựa trên các tính chất:

Nếu hai góc nhọn , , có sin sin hoặc cos cos thì    . Nếu sin sin    ; sin sin    

cos cos    ;cos cos     tan tan    ;tan tan     cot cot    ;cot cot     Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hai góc nhọn  , . Biết sin 0,7và 3

cos  2 . So sánh và . Giải :

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 2

sin  cos  1

2 2

cos 1 sin

    

cos 1 sin2

    

 

cos 1 0,7

   

cos 0,714

  

+) Có cos 0,714 < 3

cos  2 0,866   

Bài 2: Cho , là hai góc nhọn. Biết sin cos = 0,5. So sánh , . Giải:

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 2

2 2

2

2

sin cos 1

sin 1 cos sin 1 cos

sin 1 0,5 0,866

   

    

    

    

+) Ta có: sin 0,5 sin  0,866   

Dạng 3: Rút gọn, tính toán các biểu thức lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

0 sin  1;0 cos  1 tan 0;tan 0

2 2

sin  cos  1;tan .cot  1

sin cos

tan ;cot

cos sin

 

   

 

2 2

2 2

1 1

1 tan ;1 cot

cos sin

     

 

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Rút gọn và tính toán biểu thức:

o o o o

A sin15 sin 60 cos30 cos75 5 Giải:

+) Ta có:

o o o o

A sin15 sin 60 cos30 cos75 5

o o o o

A (sin15 cos75 ) (cos30 sin 60 ) 5

     

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

o o o o o

15 75 90 sin15 cos75

o o o o o

60 30 90 sin 60 cos30

o o o o

sin15 cos75 0;cos30 sin 60 0

    

A = 0 + 0 + 5 = 5

Bài 2: Rút gọn và tính toán biểu thức: A sin 82 ^{2 o} cot 24 .cot 66^{o o} cos 82^{2 o}

Giải:

+) Ta có:

2 o o o 2 o

A sin 82 cot 24 .cot 66 cos 82

2 o 2 o o o

A (sin 82 cos 82 ) cot 24 .cot 66

   

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 o 2 o

sin 82 cos 82 1

o o o o o o o o o

24 66 90 cot 66 tan 24 cot 24 .cot 66 cot 24 .tan 24 1

A = 1 + 1 = 2

Dạng 4: Chứng minh biểu thức, đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

2 2

sin  cos  1;tan .cot  1

sin cos

tan ;cot

cos sin

 

   

 

2 2

2 2

1 1

1 tan ;1 cot

cos sin

     

 

Đối với bài chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của góc thì cần phải biến đổi sao cho không còn tồn tại các góc trong biểu thức.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hai góc nhọn , . Chứng minh rằng: sin⁴ cos⁴ sin² cos² Giải:

+) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

4 4 2 2 2 2

VT sin  cos  (sin  cos )(sin  cos ) +) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 2

sin  cos  1

2 2 2 2

VT (sin cos ).1 sin cos VP

          (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Cho hai góc nhọn  , . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của  , : B cos ².cos² cos².sin² sin²

Giải:

+) Ta có:

2 2 2 2 2

B cos .cos  cos .sin  sin 

2 2 2 2

B cos (cos sin ) sin

       

+) Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

2 2

cos  sin  1

2 2

cos  sin  1

2 2

B cos .1 sin

    

2 2

B cos sin 1

     

Hoàn toàn không phụ thuộc vào giá trị của , (điều cần phải chứng minh) C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=6cm, BC=10cm. Tính sin ABC , sin ACB , cos ABC , cos ACB .

Đáp án: 4 3 3 4

sin ABC ;sin ACB ;cos ABC ;cos ACB

5 5 5 5

   

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB=3cm, AC=4cm. Tính tan ABC, tan ACB, cot ABC , cot ACB .

Đáp án: 4 3 3 4 tan ABC ; tan ACB ;cot ABC ;cot ACB

3 4 4 3

   

Bài 3: Cho tam giác ABC. Có đường cao AH ứng với cạnh BC. AH=5cm, AB=7cm. Tính sin ABH , cos ABH .

Đáp án: 5 2 6

sin ABH ;cos ABH

7 7

 

Bài 4: So sánh các tỉ số lượng giác của hai góc 67 và^o 54 (không dùng máy ^o tính)

Đáp án: sin 67^o sin54 ;cos67^{o o} cos54 ;tan 67^{o o} tan54 ;cot 67^{o o} cot 54^o Bài 5: Cho hai góc nhọn  , . Biết cot cot. So sánh số đovà. Đáp án:   

Bài 6: Cho hai góc nhọn , . Nhận định nào sau đây là đúng ? A. sin sin    

B. sin sin     C. tan tan     D. cot cot     Đáp án: A

Bài 7: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

2 o 2 o 2 o

2 o

A 1 tan 67 sin 34 1 cos 34

cos 67

    

Đáp án: A = 1

Bài 8: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

2 o o o

2 o

B 1 cot 76 tan88 .tan 2 1 10 sin 76

    

Đáp án: B = 11

Bài 9: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

o

2 o 2 o o

o

cos50 C 16 cos 60 cos 30 3.tan 50 .

sin 50

   

Đáp án: C = 20

Bài 10: Cho hai góc nhọn  , . Chứng minh đẳng thức:

4 2 2 2 2

sin  cos .sin  sin  2sin 

Đáp án: VTsin²(sin² cos² ) sin² 2sin² VP Bài 11: Cho hai góc nhọn  , .Chứng minh đẳng thức:

4 2 2 o 4 2 2

sin cos  cos (90   ) cos   1 2sin cos  Đáp án:

4 4 2 2 2 2 2

2 2

VT sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 2sin cos VP

          

    

Bài 12: Cho hai góc nhọn  , . Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị , .

2 2

A(tan cot ) (tan cot ) Đáp án:

   

A (tan cot ) (tan cot ) . (tan  cot ) (tan cot )  4