SBT Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Với các bài toán từ đây trở đi, các kết quả tính độ dài, tính diện tích, tính các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút.

Bài 52 trang 113 SBT Toán lớp 9 tập 1: Các cạnh của một tam giác có độ dài 4cm, 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó.

Lời giải:

Vì các cạnh của tam giác lần lượt là 4cm, 6cm, 6cm nên tam giác đó là tam giác cân. Góc nhỏ nhất của tam giác là góc đối diện với cạnh 4cm.

Giả sử tam giác ABC cân tại A có cạnh bên AB = AC = 6cm và cạnh đáy BC = 4cm. Ta tính góc BAC .

Kẻ đường cao AH⊥BC tại H Xét tam giác cân ABC

AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.

Do đó, H là trung điểm của BC BH CH ^{BC 4} 2

2 2

 = = = = (cm)

Xét tam giác AHC vuông tại H (do AH là đường cao) Ta có: ₂ HC 2 1

sin A

AC 6 3

= = = A₂ 19 28'^o

Mà AH là phân giác của góc A nên BAC=2.A₂ =2.19 28'^o =38 56'^o Vậy góc nhỏ nhất của tam giác bằng 38 56'^o

Bài 53 trang 113 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm, C=40^o. Hãy tính các độ dài

a) AC b) BC

c) Phân giác BD Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AC=AB.cot C=21.cot 40o 25,027(cm) b)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Ta có: AB AB 21 _o

sin C BC 32,670

BC sin C sin 40

=  = =  (cm)

c)

Xét tam giác ABC vuông tại A

o o o o o o

A=90 ABC+ =C 90 ABC=90 − =C 90 −40 =50

Mà BD là phân giác của góc B nên ta có: ABD ¹ABC ¹.50^o 25^o

2 2

= = =

Xét tam giác ABD vuông tại A có :

o

AB AB 21

cos ABD BD 23,171

BD cos ABD cos25

=  = =  (cm)

Bài 54 trang 113 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình 16. Biết: AB = AC = 8cm, CD

= 6cm, BAC=34^o và CAD=42^o. Hãy tính a) Độ dài cạnh BC

b) ADC

c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD

Lời giải:

a)

Kẻ AI⊥BC tại I

Xét tam giác ABC cân tại A (do AB = AC = 8)

AI là đường cao và cũng là đường trung tuyến và đường phân giác Do đó, BI CI ^BC

= = 2 và BAI ¹BAC ¹.34^o 17^o

2 2

= = =

Xét tam giác AIB vuông tại I

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BI=AB.sin BAI=8.sin17o 2,339 (cm) BC=2BI=2.2,339=4,678 (cm)

b)

Kẻ CE⊥AD tại E

Xét tam giác CEA vuông tại E

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

CE=AC.sin CAE=8.sin 42o 5,353 (cm) Xét tam giác CED vuông tại E

Ta có: CE 5,353 ^o

sin ADC 0,8922 ADC 63 9'

CD 6

= = =  =

c)

Kẻ BK⊥AD tại K

Có: BAK=BAC+CAK =34^o +42^o =76^o Xét tam giác ABK vuông tại K

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BK=AB.sin BAK=8.sin 76o 7,762 (cm)

Bài 55 trang 114 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC trong đó AB = 5cm, AC = 8cm, BAC=20^o. Tính diện tích tam giác ABC, có thể dùng các thông tin dưới đây nếu cần: sin 20^o 0,3420, cos20^o 0,9397, tan 20^o 0,3640

Lời giải:

Kẻ BH⊥AC tại H

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

BH=AB.sin A=5.sin 20 1,710 (cm) Diện tích của tam giác ABC là:

ABC

1 1

S BH.AC .1,710.8 6,840

2 2

= = = (cm²)

Bài 56 trang 114 SBT Toán lớp 9 tập 1: Từ đỉnh một ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới góc 30^o so với đường nằm ngang chân đèn (h.17). Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu ?

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ DBC=30o, AB = 38m

Khoảng cách từ đảo đến chân cột đèn biển là AC, chiều cao của cột đèn biển là AB Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

DB // AC BCA=DBC=30^o (hai góc so le trong bằng nhau) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AC=AB.cot C=38.cot 30o 65,818 (m)

Vậy khoảng cách từ đảo đến chân cột đèn biển là 65,818m

Bài 57 trang 114 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong tam giác ABC có AB = 11cm, ABC=38o, ACB=30^o, N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC (h.18). Hãy tính AN, AC.

Lời giải:

Xét tam giác ABN vuông tại N

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AN=AB.sin B 11.sin 38= o 6,772 (cm) Xét tam giác CAN vuông tại N

Ta có: AN AN 6,772_o

sin C AC 13,544

AC sin C sin 30

=  = =  (cm)

Bài 58 trang 114 SBT Toán lớp 9 tập 1: (h.19) Để thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta đã đứng tại điểm P cách chân vách đá một khoảng 45m và nhìn lên một góc 25^o so với đường nằm ngang (góc nhìn lên này được gọi là góc

“nâng”). Hãy tính độ cao của vách đá.

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác APH vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AH=PH.tan APH=45.tan 25o 20,984(m)

Bài 59 trang 114 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tìm x và y trong các hình sau (h.20):

Lời giải:

a) Hình a

Xét tam giác ACP vuông tại P

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

x=CP=AC.sin A=8.sin 30o =4 Xét tam giác BCP vuông tại P

Ta có: CP CP

cos BCP BC

BC cos BCP

=  =

Hay x 4 _o

y BC 6, 223

cos50 cos BCP

= = = 

b) Hình b

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

x=AC=BC.sin B=7.sin 40o 4,500 Xét tam giác ACD vuông tại A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

y=AD=AC.cot D=4,5.cot 60o 2,598

c) Hình c

Xét tứ giác CDPQ có:

DC // PQ (do ABCD là hình thang) DP // CQ (do cùng vuông góc với AB) Do đó, CDPQ là hình bình hành

Có: DPQ=90^o (do DP vuông góc với AB tại P) Do đó, CDPQ là hình chữ nhật

Ta lại có: CD = DP = 4 Do đó, CDPQ là hình vuông

CD DP PQ QC 4

 = = = =

Xét tam giác BCQ vuông tại Q

o

CQ CQ 4

cos BCQ x BC 6, 223

BC cos BCQ cos50

=  = = = 

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BQ=BC.sin BCQ=6, 223.sin 50o 4,767 Xét tam giác ADP vuông tại P

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AP=DP.cot A=4.cot 70o 1, 456

y = AB = AP + PQ + QB = 1,456 + 4 + 4,767 = 10,223

Bài 60 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình 21. Biết: QPT=18^o, PTQ 150= o, QT = 8cm, TR = 5cm. Hãy tính:

a) PT

b) Diện tích tam giác PQR

Lời giải:

a)

Kẻ QS⊥PR

Ta có: QTS 180= ^o −QTO 180= ^o −150^o =30^o Xét tam giác QST vuông tại S

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

QS=QT.sin QTS=8.sin 30o =4 (cm) TS=QT.cos QTS=8.cos30o 6,928 (cm) Xét tam giác QSP vuông tại S

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

SP=QS.cot QPS=4.cot18o 12,311 (cm) PT=SP−TS 12,311 6,928= − =5,383 (cm) b)

Ta có diện tích tam giác QPR là:

QPR

1 1 1

S .QS.PR .QS.(PT TR) .4.(5,383 5) 20,766

2 2 2

= = + = + = (cm²)

Bài 61 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: (h.22) Cho BCD là tam giác đều cạnh 5cm và góc DAB bằng 40^o. Hãy tính

a) AD b) AB

Lời giải:

a)

Kẻ DE⊥BC tại E Xét tam giác DBC đều

DE là đường cao và cũng là đường trung tuyến Do đó, E là trung điểm của BC

BC 5

BE EC 2,5

2 2

 = = = = (cm)

Xét tam giác BDE vuông tại E

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

DE BD.sin DBE 5.sin 60 5 3

= =  = 2 (cm)

Xét tam giác ADE vuông tại E Ta có:

o

5 3

DE DE 2

sin A AD 6,736

AD sin A sin 40

=  = =  (cm)

b)

Xét tam giác ADE vuông tại E

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AE=AD.cos A=6,736.cos 40o 5,160 (cm) AB = AE – BE = 5,160 – 2,5 = 2,660 (cm)

Bài 62 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 25cm, HC = 64cm, tính B , C .

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có chiều cao AH

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

AH2 =HB.HCAH= HB.HC = 25.64 = 1600 =40 (cm) Xét tam giác ABH vuông tại H

Ta có: AH 40

tan B 1,6 B 58

HB 25

= = =   

Xét tam giác ABC vuông tại A

o o o o o

A=90  + =B C 90  =C 90 − =B 90 −68 = 32

Bài 63 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12cm, B=60o, C=40^o. Tính

a) Đường cao CH và cạnh AC b) Diện tích tam giác ABC Lời giải:

a)

Xét tam giác BCH vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

CH=BC.sin B 12.sin 60= o 10,392 (cm) Xét tam giác ABC

Có: BAC+ +B ACB 180= ^o BAC 180= ^o −(B ACB) 180+ = ^o −(60^o +40 )^o =80^o Xét tam giác ACH vuông tại H

Ta có: HC HC 10,392_o

sin HAC AC 10,552

AC sin HAC sin80

=  = =  (cm)

b)

Kẻ AK ⊥BC tại K

Xét tam giác ACK vuông tại K

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AK=AC.sin C 10,552.sin 40= o 6,7827 (cm) Ta có diện tích tam giác ABC là:

2 ABC

1 1

S AK.BC .6,7827.12 40,696(cm )

2 2

= = =

Bài 64 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tính diện tích của hình bình hành có hai cạnh 12cm và 15cm, góc tạo bởi hai cạnh ấy bằng 110^o.

Lời giải:

Xét hình bình hành MNPQ

MN = 12cm, MQ = 15cm, NMQ 110= ^o

Ta có: NMQ+MNP 180= ^o (tính chất của hình bình hành)

o o o o

MNP 180 NMQ 180 110 70

 = − = − =

Kẻ MR ⊥NP tại R

Xét tam giác MNR vuông tại R

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

MR MN.sin MNP 12.sin 70= = o 11,2763 (cm)

Diện tích hình bình hành MNPQ là: S_MNPQ =MR.MQ 11,2763.15 169,145(cm )= = ² Bài 65 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tính diện tích hình thang cân, biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm, góc ở đáy bằng 75^o.

Lời giải:

Xét hình thang ABCD AB = 12cm, CD = 18cm

D=75o

Kẻ AH⊥CD tại H, BK⊥CD tại K AH / /BK



Xét tứ giác ABKH có:

AH // BK (chứng minh trên)

AB // HK (do ABCD là hình thang) Do đó, ABKH là hình bình hành

AB = HK = 12cm

Vì ABCD là hình thang cân nên D=C; AD = BC Xét tam giác vuông ADH và tam giác vuông BCK

D=C AD = BC

Do đó, tam giác vuông ADH bằng tam giác vuông BCK (theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn)

CD HK 18 12

DH CK 3

2 2

− −

 = = = = (cm)

Xét tam giác ADH vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AH=DH.tan D=3.tan 75o 11,196 (cm) Vậy diện tích hình thang ABCD là:

ABCD

1 1

S (AB CD).AH .(12 18).11,196 167,940

2 2

= + = + = (cm²)

Bài 66 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: Một cột cờ cao 3,5m có bóng trên mặt đất dài 4,8m. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu ?

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ

AC là cột cờ, BC là bóng của cột cờ Góc cần tìm là ABC

Xét tam giác ABC vuông tại C

Ta có: tan ABC ^{AC 3,5 35} ABC 36 6'^o BC 4,8 48

= = =  

Vậy góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là 36 6'^o

Bài 67 trang 115 SBT Toán lớp 9 tập 1: Từ đỉnh một tòa nhà cao 60m, người ta nhìn thấy một chiếc ô tô đang đỗ dưới một góc 28^o so với đường nằm ngang. Hỏi chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét ?

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ AB = 60m là tòa nhà

AC là khoảng cách cần tìm BCA=28o

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AC=AB.cot BCA=60.cot 28o =112,844 (m)

Bài 68 trang 116 SBT Toán lớp 9 tập 1: Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 20^o so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 1,5m. Hãy tính chiều cao của tháp.

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ

Xét tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BC=AB.tan CAB 150.tan 20= o 54,596 (m)

Chiều cao của tháp là: CD = DB + BC = 1,5 + 54,596 = 56,096 (m)

Bài 69 trang 116 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hai cột thẳng đứng của hai trại A và B, của lớp 9A và lớp 9B, cách nhau 8m. Từ một cái cọc ở chính giữa hai cột, người ta đo được góc giữa các dây căng từ đỉnh hai cột của hai trại A và B đến cọc tạo với mặt đất lần lượt là 35^o và 30^o (h.23). Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét ?

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ HI = IK = ^{HK 8} 4

2 = =2 (m) Xét tam giác AHI vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AH=IH.tan AIH=4.tan 35o 2,800 (m) Xét tam giác BKI vuông tại K

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BK=IK.tan BIK=4.tan 30o 2,309 (m)

Do AH > BK nên trại A cao hơn và cao hơn là: AH – BK = 2,800 – 2,309 = 0,491 (m)

Bài 70 trang 116 SBT Toán lớp 9 tập 1: Một người trinh sát đứng cách một tòa nhà một khoảng 10m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà là 40^o (h.24).

a) Tính chiều cao của tòa nhà

b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35^o thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét ? Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà ?

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ a)

Xét tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BC=AB.tan CAB 10.tan 40= o 8,391 (m) Vậy chiều cao của tòa nhà là 8,391 m.

b)

Nếu dịch chuyển sao cho góc nâng là 35^o tức là CA 'B=35^othì anh ta đứng tại A’

cách tòa nhà một đoạn A’B Xét tam giác CA’B vuông tại B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BA '=CB.cot CA 'B=8,391.cot 35o 11,984 (m) > 10 m Vậy khi đó anh ta tiến ra xa ngôi nhà.

Bài 71 trang 116 SBT Toán lớp 9 tập 1: Một chiếc diều ABCD có AB = BC, AD

= DC. Biết AB = 12cm, ADC=40^o, ABC=90^o (h.25). Hãy tính a) Chiều dài cạnh AD

b) Diện tích chiếc diều

Lời giải:

a)

Nối A với C

Kẻ DH ⊥AC tại H

Xét tam giác ABC vuông tại B Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2 2 2

AC =AB +BC =12 +12 =288AC= 288=12 2 (cm) Xét tam giác ACD cân tại D

Đường cao DH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác HA HC AC 6 2

 = = 2 = (cm) và ADH ¹ADC ¹.40^o 20^o

2 2

= = =

Xét tam giác ADH vuông tại H

Ta có: sin ADH ^AH AD ^{AH 6 2}_o 24,809 AD sin ADH sin 20

=  = =  (cm)

b)

Diện tích tam giác ABC là: S_ABC ¹AB.BC ¹.12.12 72(cm )²

2 2

= = =

Xét tam giác ADH vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

DH=AH.cot ADH=6 2.cot 20o 23,313 (cm) Diện tích tam giác ADC là:

2 ADC

1 1

S .DH.AC .23,313.12 2 197,817(cm )

2 2

= = =

Diện tích diều là: S_ABCD =S_ABC +S_ACD =72 197,817+ =269,817(cm )² Bài tập bổ sung

Bài 4.1 trang 116 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là ; góc đối diện với cạnh b là  và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng trong các bài (từ 4.1 đến 4.4).

(A) a =csin (B) a=ccos (C) a=c tan (D) a=ccot Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AC = b, B= , AB = a, C= , BC = c

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AB=BC.sin C=BC.cos B =a csin =ccos Vậy ta chọn đáp án (A)

Bài 4.2 trang 116 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là ; góc đối diện với cạnh b là  và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng trong các bài (từ 4.1 đến 4.4).

(A) a =csin (B) a=ccos (C) a =c tan (D) a =c cot Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AC = b, B= , AB = a, C= , BC = c

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AB=BC.sin C=BC.cos B =a csin =ccos Vậy ta chọn đáp án (B)

Bài 4.3 trang 117 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là ; góc đối diện với cạnh b là  và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng trong các bài (từ 4.1 đến 4.4).

(A) a=bsin (B) a= bcos (C) a =b tan (D) a=b cot Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AC = b, B= , AB = a, C= , BC = c

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AB=AC.tan C=AC.cot B =a b tan =b cot Vậy ta chọn đáp án (C)

Bài 4.4 trang 117 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là ; góc đối diện với cạnh b là  và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng trong các bài (từ 4.1 đến 4.4).

(A) a =bsin (B) a =bcos (C) a= b tan (D) a =b cot Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AC = b, B= , AB = a, C= , BC = c

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AB=AC.tan C=AC.cot B =a b tan =b cot Vậy ta chọn đáp án (D)

Bài 4.5 trang 117 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tìm diện tích của tam giác cân có góc ở đáy bằng nếu biết:

a) Cạnh bên bằng b b) Cạnh đáy bằng a Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC cân tại A AB = AC = b

B= = C

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AH=AB.sin =bsin BH=AB.cos =bcos

Diện tích tam giác ABC là: S_ABC ¹AH.BC AH.BH b sin cos²

= 2 = =  

b)

Xét tam giác ABC cân tại A BC = a

B= = C

AH là đường cao nên AH cũng là đường trung tuyến

Do đó, H là trung điểm của BC BH CH ^a

 = = 2 Xét tam giác ABH vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AH BH.tan a.tan

=  = 2 

Diện tích tam giác ABC là:

2 ABC

1 1 a a

S AH.BC . .tan .a .tan

2 2 2 4

= =  = 

Bài 4.6 trang 117 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong hình thang ABCD, tổng của hai đáy AD và BC bằng b, đường chéo AC bằng a, góc ACB bằng . Hãy tính diện tích của hình thang đó.

Lời giải:

Kẻ AH⊥BC tại H

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

AH=AC.sin ACH=a.sin

Diện tích của hình thang ABCD là:

ABCD

1 1 1

S AH.(AD BC) .a.sin .b absin

2 2 2

= + =  = 

Bài 4.7 trang 117 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 7,

ABC=42o, ACB=35^o. Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A. Hãy tính AH (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Lời giải:

Ta có: BC = BH + CH BH=BC−CH = −7 CH (1) Xét tam giác ABH vuông tại H

Ta có: AH AH AH _o

tan ABH BH

BH tan ABH tan 42

=  = = (2)

Xét tam giác ACH vuông tại H

Ta có: AH AH AH _o

tan ACH CH

CH tan ACH tan 35

=  = = (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: AH _o AH _o 1 _o 1 _o

7 AH. 7

tan 42 tan 35 tan 42 tan 35

 

= −   + =

o o

AH 7 2,757

1 1

tan 42 tan 35

 = 

 + 

 

 

(cm)

Bài 4.8 trang 117 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác nhọn MNP. Gọi D là chân đường cao của tam giác đó kẻ từ M. Chứng minh rằng:

a) S_MNP ¹MP.NP.sin P

= 2

b) MN.sin N DP= tan P

c) Tam giác DNE đồng dạng với tam giác MNP, trong đó E là chân đường cao của tam giác MNP kẻ từ P.

Lời giải:

a)

Xét tam giác MDP vuông tại D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

MD=MP.sin MPD

MNP

1 1

S MD.PN MP.NP.sin P

2 2

 = = (đcpcm)

b)

Xét tam giác MDN vuông tại D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

MD=MN.sin N (1)

Xét tam giác MDP vuông tại D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

MD=DP.tan P (2)

Từ (1) và (2) ta có: MN.sin N

MN.sin N DP.tan P DP

tan P

=  = (đcpcm)

c)

Xét tam giác DMN và tam giác EPN D= =E 90o

N chung

Do đó tam giác DMN và tam giác EPN đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc

DN EN

MN PN

 =

Xét tam giác DNE và tam giác MNP N chung

DN EN

MN = PN

Do đó, tam giác DNE và tam giác MNP đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – góc - cạnh.