Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 9

Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông A. Lý thuyết

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AB² = BC . BH; AC² = BC . HC.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AH² = BH . HC.

Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AB . AC = BC . AH.

Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: ¹ ₂ ¹₂ ¹₂ AH AB AC . B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm độ dài x, y trong mỗi hình sau:

a)

b)

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Ta có: BH = BC – HC = 16 – 7 = 9 (đvđd).

AB² = BC . BH = 16 . 9 = 144 Suy ra: AB = 12 (đvđd).

Vậy x = 12 (đvđd).

b) Tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK.

Ta có: AH . BC = AB . AC

Suy ra: MK ^{MN.MP 9.12} 7, 2

NP 15

   (đvđd).

Vậy y = 7,2 (đvđd).

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : BC = 3 : 5 và AB + BC = 16 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Theo giả thiết: AB : BC = 3 : 5 nên ^{AB BC} 3  5 . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

AB BC AB BC 16

3 5 3 5 8 2

    

 .

Do đó AB = 2.3 = 6 (cm); BC = 2.5 = 10 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² − AC² = 10² − 6² = 64.

Do đó AC = 8 cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC là: AB = 6 cm; AC = 8 cm; BC = 10 cm.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, BC = 5 cm. AH là đường cao. Tính độ dài các cạnh AC, AH, BH, CH.

Lời giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

 AC² = BC² – AB² = 5² – 3² = 16

 AC = 4 (cm).

Ta có:

+ ¹ ₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ ²⁵ AH  AB AC 3 4 144.

2 144

AH 25

  .

AH 12 2, 4

  5  (cm).

+ AB² = BC . BH Suy ra

2 2

AB 3

BH 1,8

BC 5

   (cm)

+ BC = BH + CH

 CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2 (cm).

Vậy độ dài các cạnh AC = 4 cm, AH = 2,4 cm, BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm.