Ôn tập chương 1 A. Lý thuyết
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: AB2 = BC . BH; AC2 = BC . HC.
2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: AH2 = BH . HC.
Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: AB . AC = BC . AH.
Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: 1 2 12 12 AH AB AC .
3. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có C .
Khi đó: sin AB
BC; cos AC
BC; tan AB
AC; cot AC
AB . Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì:
0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có C .
Khi đó: 0 sin AB 1
BC ; 0 cos AC 1
BC ; tan AB 0
AC ; cot AC 0
AB .
Chú ý: Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β (hoặc cos α = cos β, hoặc tan α
= tan β, hoặc cot α = cot β) thì α = β vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = AC, đường cao AH. MN là đường trung bình của tam giác ABH. Chứng minh AMN C .
Lời giải:
Vì AH là đường cao của ∆ABC nên AHBC hay AHBH (1) Mà MN là đường trung bình của ∆AMN nên:
+ AB = 2AM; AH = 2AN.
+ MN // BH (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNBH (tính chất từ vuông góc đến song song).
Xét ∆AMN vuông tại N (vì MNBH) nên: sin AMN AN
AM . Xét ∆ACH vuông tại H nên: sin C AH AH 2AN AN
AC AB 2AM AM
.
Ta thấy: sin AMN sin C AN
AM . Do đó AMN C (đpcm).
4. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có B ; C .
Khi đó, α + β = 90° (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau).
Ta có: sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β.
Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt:
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 16, C30o. Tính độ dài AB.
Lời giải:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: sin C AB
BC. Hay sin 30o AB 1
16 2
.
Suy ra AB 16 8
2 . Vậy AB = 8 (đvđd).
Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu " ^ " đi.
Ví dụ 6. Góc A là góc nhọn thì ta viết sin A thay cho sin A . 5. Các hệ thức trong tam giác vuông:
Định lí. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với côtang của góc kề.
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
Khi đó, a là độ dài cạnh huyền;
b và c là độ dài hai cạnh góc vuông.
Do đó: b = a.sin B = a.cos C; c = a.sin C = a.cos B;
b = c.tan B = c.cot C; c = b.tan C = b.cot C.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm độ dài x, y trong mỗi hình sau:
a)
b)
Lời giải:
a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Ta có: BH = BC – HC = 16 – 7 = 9 (đvđd).
AB2 = BC . BH = 16 . 9 = 144 Suy ra: AB = 12 (đvđd).
Vậy x = 12 (đvđd).
b) Tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK.
Ta có: AH . BC = AB . AC
Suy ra: MK MN.MP 9.12 7, 2
NP 15
(đvđd).
Vậy y = 7,2 (đvđd).
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : BC = 3 : 5 và AB + BC = 16 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Theo giả thiết: AB : BC = 3 : 5 nên AB BC 3 5 . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
AB BC AB BC 16
3 5 3 5 8 2
.
Do đó AB = 2.3 = 6 (cm); BC = 2.5 = 10 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go, ta có:
BC2 = AB2 + AC2
Suy ra AC2 = BC2 − AC2 = 102 − 62 = 64.
Do đó AC = 8 cm.
Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC là: AB = 6 cm; AC = 8 cm; BC = 10 cm.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, BC = 5 cm. AH là đường cao. Tính độ dài các cạnh AC, AH, BH, CH.
Lời giải:
Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2
AC2 = BC2 – AB2 = 52 – 32 = 16
AC = 4 (cm).
Ta có:
+ 1 2 12 12 12 12 25 AH AB AC 3 4 144.
2 144
AH 25
.
AH 12 2, 4
5 (cm).
+ AB2 = BC . BH Suy ra
2 2
AB 3
BH 1,8
BC 5
(cm)
+ BC = BH + CH
CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2 (cm).
Vậy độ dài các cạnh AC = 4 cm, AH = 2,4 cm, BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC60o và BC = 12. Tính độ dài cạnh AC.
Lời giải:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: sin B AC
BC.
Hay o AC 3
sin 60
12 2
.
Suy ra 12 3
AC 6 3
2 . Vậy AC 6 3 (đvđd).
Bài 5. Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có: sin2 α + cos2 α =1.
Lời giải:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
AC AB
sin B ; cos B
BC BC
.
2 2
2 2 AC AB
sin B cos B
BC BC
2 2 2
2 2
2 2
AC AB BC
sin B cos B 1
BC BC
.
Vậy sin2 α + cos2 α =1 (đpcm).
Bài 6. Biết sin 3
5. Tính cos α, tan α và cot α.
Lời giải:
Xét ΔABC vuông tại A có B . Ta có: sin AC 3
BC 5
.
Đặt AC BC k 3 5 .
Suy ra: AC = 3k, BC = 5k.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 AB2 = BC2 − AC2
AB2 = (5k)2 – (3k)2 = 25k2 – 9k2 = 16k2.
Suy ra: AB = 4k.
Do đó: cos AB 4k 4 BC 5k 5
; tan AC 3k 3 AB 4k 4
; AB 4k 4
cot AC 3k 3. Vậy cos 4
5; tan 3
4; cot 4
3.
Bài 7. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 7. Hãy giải tam giác vuông ABC.
Lời giải:
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
2 2 2 2
BC AB AC 4 5 416, 4. Mặt khác, tan C AB 4 0,8
AC 5
. Suy ra C22o.
∆ABC vuông tại A nên B C 90o. Suy ra B90o C 90o 22o 68o. Vậy BC 6,4; B 68 ; Co 22o.
Bài 8. Cho tam giác vuông MNP vuông tại M có MP = 2,1; P56o. Hãy giải tam giác vuông MNP.
Lời giải:
∆MNP vuông tại M nên N P 90o. Suy ra N90o P 90o 56o 34o.
Theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:
+ tan P MN
MP
MN = MP . tan P = 2,1 . tan 56o ≈ 3,11.
+ cos P MP
NP
o
MP 2,1
NP 3,76
cos P cos56
.
Vậy N34o; MN ≈ 3,11; NP ≈ 3,76.
Bài 9. Cho tam giác ABC có C45o, AB.AC32 6, AB 6
AC 3 . Tính độ dài BC, B và SABC.
Lời giải:
Kẻ AH BC (H BC) .
Ta có AB 6 AB AC 6 AC 3 3
AC2 6 AB.AC
3
Theo giả thiết thì AB.AC32 6 AC2 6
3 32 6
AC2 = 96 AC 4 6
AB AC 6 8
3
Xét ∆AHC vuông tại H nên:
+ AH = AC. sin C
o 1
AH 4 6 .sin 45 4 6 . 4 3
2 .
+ HC = AC. cos C
o 1
AH 4 6 .sin 45 4 6 . 4 3
2 .
Xét ∆ABH vuông tại H nên:
AH 4 3 3 sin B
AB 8 2
.
B 60o
Ta có: BH = AB. cos B = 8. cos 60o = 4;
BC = BH + HC = 44 3
Do đó SABC 1 . BC.AH 8 3 24
2
Vậy BC = 4 4 3 , B60o, SABC 8 324.