Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa 1. Véc-tơ−→u gọi là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng∆nếu−→u 6=−→

0 và giá của−→u song song hoặc trùng với∆.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa 2. Cho đường thẳng∆đi quaM₀(x₀;y₀)và có véc-tơ chỉ phương −→u = (u₁;u₂). Phương trình tham số của∆:

ß x=x₀+tu₁

y=y₀+tu₂ (1) (tlà tham số).

4

ß x=x₀+tu₁ y=y₀+tu₂

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Định nghĩa 3. Cho đường thẳng∆đi quaM₀(x₀;y₀)và có véc-tơ chỉ phương−→u = (u₁;u₂), trong đóu₁và u₂6=0. Phương trình chính tắc của đường thẳng∆là

x−x₀

a =y−y₀ b 4. Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa 4. Véc-tơ−→n gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng∆nếu−→n 6=−→

0 và giá của−→n vuông góc với∆.

5. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa 5. Phương trình Ax+By+C=0 (với A²+B²6=0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

4

• Nếu đường thẳng∆có phương tìnhAx+By=Cthì đường thẳng∆có véc-tơ pháp tuyến−→n = (A;B), véc-tơ chỉ phương là−→u = (B;−A)hoặc−→

u⁰ = (−B;A).

171

• Nếu đường thẳng∆đi quaM(x₀;y₀)và có một véc-tơ pháp tuyến−→n = (A;B)thì phương trình đường thẳng∆:A(x−x₀) +B(y−y₀) =0.

• Đường thẳng∆đi qua hai điểmA(a; 0),B(0;b)(vớia.b6=0) thì phương trình đường thẳng∆có dạng:

x a+y

b =1. Đây gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

• Đường thẳng∆đi qua điểmM(x₀;y₀)và có hệ số góckthì phương trình đường thẳng∆là:y−y₀= k(x−x₀). Đây là phương trình đường thẳng theo hệ số góc.

• Nếu đường thẳng∆có véc-tơ chỉ phương−→u = (u₁;u₂)thì nó có hệ số góc làk= u₂

u₁. Ngược lại, nếu đường thẳng∆có hệ số góck= a

b thì một véc-tơ chỉ phương của nó là−→u = (1;k).

II. Các dạng toán

Dạng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng

Để lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M(x₀;y₀)∈∆ và một véc-tơ chỉ phương−→u = (u₁;u₂).

Vậy phương trình tham số đường thẳng∆:

ß x=x₀+tu₁ y=y₀+tu₂

Ví dụ 1. Trong mặt phẳngOxy, viết phương trình tham số đường thẳng∆biết∆đi quaM(1; 2)và có vec-tơ chỉ phương−→u = (−1; 3).

Lời giải. Phương trình tham số đường thẳng∆:

ß x=1−t y=2+3t .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua A(1; 2),B(3; 1). Viết phương trình tham số đường thẳngd.

Lời giải. Đường thẳngd quaA(1; 2)và nhận−→

AB= (2;−1)làm véc-tơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số đường thẳngd:

ß x=1+2t y=2−t .

Ví dụ 3. Trong mặt phẳngOxy, đường thẳng d đi quaM(−2; 3)và song song với đường thẳng EF.

BiếtE(0;−1),F(−3; 0).Viết phương trình đường thẳngd.

Lời giải. −→

EF= (−3; 1).

Phương trình tham số đường thẳngd:

ß x=−2−3t y=3+t .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳngOxy, cho điểmA(3;−4),B(0,6). Viết phương trình tham số của đường thẳngAB.

Lời giải. Ta có:−→

AB= (−3; 10).

Đường thẳng(AB)quaA(3;−4)và nhận−→

AB= (−3; 10)làm véc-tơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng(AB):

ß x=3−3t y=−4+10t .

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểmA(1;−4)có một véc-tơ chỉ phương là→−u = (5; 1).

Lời giải. Phương trình đường thẳng(d):

ß x=1−4t y=5+t .

Bài 3. Trong mặt phẳngOxy, viết phương trình tham số của đường thẳngd đi qua điểmM(1;−1)có một véc-tơ chỉ phương là→−u = (0; 1).

Lời giải. Phương trình đường thẳng(d):

ß x=1

y=−1+t .

Bài 4. Trong mặt phẳngOxy, viết phương trình tham số đường thẳngd đi qua điểmA(0;−4)và song song với đường thẳng∆có phương trình tham số

ß x=2017+2t y=2018−t . Lời giải. Đường thẳng∆:có véc-tơ chỉ phương→−u = (2;−1).

Vì đường thẳngdsong song với đường thẳng∆nênd nhận−→u = (2;−1)làm véc-tơ chỉ phương.

Lại códđi qua điểmA(0;−4)nên phương trình tham số đường thẳngd:

ß x=2m y=−4−m Dạng 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ta cần xác định một điểm M(x₀;y₀)∈∆ và một véc-tơ pháp tuyến−→n = (A;B).

Vậy phương trình đường thẳng∆:A(x−x₀) +B(y−y₀) =0.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng∆:Ax+By=CvớiC=−(Ax₀+By₀).

Ví dụ 4. Trong mặt phẳngOxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng∆đi qua điểmM(−1; 5)và có véc-tơ pháp tuyến−→n = (−2; 3).

Lời giải. Phương trình đường thẳng∆:−2(x+1) +3(y−5) =0⇔ −2x+3y−17=0.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng∆:−2x+3y−17=0.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng∆ đi qua điểmN(2; 3)và vuông góc với đường thẳngABvớiA(1; 3),B(2; 1).

Lời giải. Ta có:−→

AB= (1;−2).

Đường thẳng∆quaN(2; 3)và nhận−→

AB= (1;−2)làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng∆:(x−2)−2(y−3) =0⇔x−2y+4=0.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng∆:x−2y+4=0.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳngd đi quaA(−1; 2)và vuông góc với đường thẳngM:2x−y+4=0.

Lời giải.

Cách 1:

Phương trình đường thẳngdcó dạng:x+2y+C=0.

Vìd đi qua A(−1; 2) nên ta có phương trình: −1+2.2+C=0⇔C=−3. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng của đường thẳngd:x+2y−3=0.

Cách 2:

Đường thẳngMcó một véc-tơ chỉ phương−→u = (1; 2).

Vìdvuông góc vớiMnêndnhận−→u = (1; 2)làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳngd:(x+1) +2(y−2) =0⇔x+2y−3=0.

Ví dụ 7. Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳng ∆:

®x=−2t

y=1+t và ∆⁰:

®x=−2−t⁰

y=t⁰ .Viết phương trình tham số của đường thẳngdđối xứng với∆⁰qua∆.

A.d:

®x=l

y=22−7l. B.

®x=22−7l

y=l . C.

®x=−6+3l

y=4 . D.

®x=−6+7l y=4+l . Lời giải.Chọn đáp án B

GọiM=∆∩∆⁰⇒M(−6; 4) CóA(−2; 0)∈∆⁰khácM.

Tìm tọa độ hình chiếu củaAlên∆làH Å−6

5 ;8 5

ã . Tọa độ điểm đối xứng củaAqua∆làA⁰

Å

−2 5;16

5 ã

. Vậy đường thẳng cần tìm là

®x=22−7l y=l .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 5. Cho đường thẳng∆có phương trình tham số:

®x=1+2t y=−3−t. a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng∆.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểmN(4; 2)và vuông góc với∆.

Lời giải. a) Đường thẳng∆có vecto chỉ phương là−→u = (2;−1)nên có véc-tơ pháp tuyến là−→n = (1; 2).

Chọn tham sốt =0ta có ngay điểmA(1;−3)nằm trên∆.

Phương trình tổng quát của đường thẳng∆là:

1.(x−1) +2.[y−(−3)] =0⇔x+2y−5=0

b) Đường thẳng l vuông góc với ∆ nên có vecto pháp tuyến là−→n_l = (2;−1). Phương trình tổng quát của đường thẳngllà:2(x−4)−1(y−2) =0⇔2x−y−6=0

Bài 6. Trong mặt phảngOxy, cho đường thẳngdcó hệ số góc bằng−3vàA(1; 2)nằm trênd. Lập phương trình tổng quát của đường thẳngd.

Lời giải. Đường thẳngdcó hệ số góc bằng−3nên có vec-tơ pháp tuyến là(3; 1).

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và có vec-tơ pháp tuyến là (3; 1) nên có phương trình tổng quát là:

3(x−1) +1(y−2) =0⇔3x+y−5=0

Bài 7. Trong mặt phẳngOxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳngd đi quaA(2;−5)và nó tạo với trụcOxmột góc60^◦.

Lời giải. Hệ số góc của đường thẳngdlàk=tan 60^◦=

√3 3 . Phương trình đường thẳngdlà:y=

√3

3 (x−2)−5⇔√

3x−3y−15−2√ 3=0

Bài 8. Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳngd:y=2x+1, viết phương trình đường thẳngd⁰đi qua điểm Blà điểm đối xứng của điểmA(0;−5)qua đường thẳngdvà song song với đường thẳngy=−3x+2.

Lời giải. Đường thẳngABvuông góc với đường thẳngdnên ta có:k_AB.2=−1⇔k_AB=−1 2. Phương trình đường thẳngABlà:y=−1

2(x−0)−5⇔y=−1 2x−5.

VìAvà B đối xứng nhau qua đường thẳngd nên trung điểmN của chúng sẽ là giao điểm của hai đường thẳngdvàAB.

Suy ra tọa độ của điểmN là nghiệm của hệ phương trình:







y=2x+1 y=−1

2x−5⇒N Å

−12 5 ;−19

5 ã

. Từ đó ta tính

đượcA Å

−24 5 ;−13

5 ã

. Đường thẳngd⁰song song với đường thẳngy=−3x+2nênk_d0=−3.

Phương trình đường thẳngd⁰là:y=−3 Å

x+24 5

ã

−13

5 ⇔y=−3x−17

Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x−3y+1=0 và điểm A(−1; 3).Viết phương trình đường thẳngd⁰đi qua A và cách điểmB(2; 5)khoảng cách bằng3.

Lời giải. Phương trìnhd⁰có dạng:ax+by=c=0. DoA∈d⁰nên:(−1)a+3b+c=0⇔c=a−3b(1).

Hơn nữad(B,d⁰) =3⇔|2a+5b+c|

√

a²+b² =3(2).

Thay (1) vào (2) ta có: |3a+2b|

√

a²+b² =3⇔5b²−12ab=0⇔



 b=0 b= 12a

5 Vớib=0thay vào (1) ta cóc=a⇒d⁰:ax+a=0⇔d⁰:x+1=0 Vớib=12a

5 ta chọna=5,b=12thay vào (1) ta được:c=5−3.12=−31⇒d⁰: 5x+12y−31=0 Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểmM(2; 5) và cách đềuA(−1; 2) vàB(5; 4).

Lời giải. Gọi phương trình đường thẳngdcần tìm làax+by+c=0 a²+b²6=− (1).

DoM(2; 5)∈d nên ta có:2a+5b+c=0⇔c=−2a−5b. Thayc=−2a−5bvào (1) ta có phương trình đường thẳngdtrở thành:ax+by−2a−5b=0(2).

Vìdcách đều hai điểmAvàBnên:

|(−1)a+2b−2a−5b|

√

a²+b² =|5a+4b−2a−5b|

√

a²+b² ⇔ |3a+3b|=|3a−b| ⇔9a²+18ab+9b²=9a²−6ab+ b²⇔8b²+24ab=0⇔

ñb=0 b=−3a.

Trường hợp 1: Vớib=0thay vào (2) ta được phương trình đường thẳngdlà:

ax+0y−2a−5.0=0⇔ax−2a=0⇔x−2=0

Trường hợp 2: Với b=−3a ta chọn a=1,b=−3 thay vào (2) ta được phương trình đường thẳngd là:

1x−3y−2−5.(−3) =0⇔x−3y+13=0

Dạng 3. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng

Cho các đường thẳng ∆:Ax+By+C=0 và ∆⁰:A⁰x+B⁰y+C⁰ =0. Khi đó ta có −→n = (A,B) và

−

→n⁰ = (A⁰,B⁰)lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của∆và∆⁰.

a) Để xét vị trí tương đối của∆và ∆⁰trước hết ta dựa vào các véc-tơ−→n và−→

n⁰. Nếu các véc-tơ−→n và−→

n⁰ không cộng tuyến thì∆và∆⁰cắt nhau. Nếu véc-tơ−→n và−→

n⁰ cộng tuyến, nghĩa là A A⁰ = B

B⁰ thì∆và∆⁰là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Cụ thể ta có:

∆cắt∆⁰khi và chỉ khi A A⁰ 6= B

B⁰, hơn nữa nếuAA⁰+BB⁰=0thì∆⊥∆⁰.

∆≡∆⁰khi và chỉ khi A A⁰ = B

B⁰ = C C⁰.

∆k∆⁰khi và chỉ khi A A⁰ = B

B⁰ 6= C C⁰.

b) Nếu∆cắt∆⁰và gọiϕ là góc giữa các đường thẳng∆,∆⁰thìcosϕ =|cos(−→n.−→ n⁰)|

Chú ý rằng việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng cũng được xét qua số điểm chung của∆và

∆⁰. Việc xét vị trí tương đối và tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau cũng được thực hiện qua các véc-tơ chỉ phương của∆và∆⁰.

Ví dụ 8. Cho ba đường thẳng:d₁: 2x+y−1=0, d₂:x+2y+1=0, d₃ :mx−y−7=0. Chứng minh rằng các đường thẳngd₁,d₂cắt nhau và tìm giá trị của tham sốmđể ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải. Ta có

®2x+y−1=0 x+2y+1=0 ⇔

®x=1 y=−1. Từ đó suy rad₁,d₂cắt nhau tại điểmA(1;−1).

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khid₃cũng đi qua điểmA, hayA∈d₃, suy ra m.1−(−1)−7=0⇔m=6.

Ví dụ 9. Cho các đường thẳng∆: 2x+3y−5=0,∆⁰: 3x−2y−1=0và điểmM(2; 3).

a) Xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng∆và∆⁰.

b) Biếtdlà đường thẳng đi qua điểmMvà tạo với các đường thẳng∆,∆⁰một tam giác cân. Tính góc giữa các đường thẳng∆vàd.

Lời giải. a) Ta có−→n = (2,3)và−→

n⁰ = (3,−2)là các véc-tơ pháp tuyến của∆và∆⁰. Ta thấy−→n và−→

n⁰ không cùng phương vì 2 3 6= 3

−2, từ đó suy ra∆và∆⁰là các đường thẳng cắt nhau.

b) Ta có−→n.→−

n⁰ =2.3+3.(−2) =0, do đó∆và∆⁰là các đường thẳng vuông góc với nhau.

GọiA=∆∩∆⁰,B=∆∩d,C=d∩∆⁰. Khi đó tam giácABClà vuông tạiAdo đó nếu tam giácABCcân thì Bb=Cb= π

4.

Từ đó suy ra góc giữa các đường thẳng∆vàd bằng π 4.

Ví dụ 10. Cho hai đường thẳng∆:(m+3)x+3y−2m+3=0và∆⁰: 2x+2y+2−3m=0. Tìm giá trị của tham sốmđể

a) Đường thẳng∆song song với∆⁰. b) Đường thẳng∆cắt đường thẳng∆⁰.

Lời giải. a)∆cắt∆⁰khi và chỉ khi m+3 2 6= 3

2⇔m6=0.

b) Theo câu a), để∆song song với∆⁰thì trước hết ta phải cóm=0.

Vớim=0, khi đó dễ dàng nhận thấy∆≡∆⁰. Vậy không tồn tạimđể∆k∆⁰.

Chú ý: Ta có thể làm theo cách sau:∆song song với∆⁰khi và chỉ khi





 m+3

2 =3

2 6= −2m+3 2−3m 2−3m6=0

Hệ trên vô nghiệm, do đó không tồn tạimđể∆k∆⁰.

Ví dụ 11. Tìm các giá trị củakđể góc giữa các đường thẳng∆:kx−y+1=0và∆⁰:x−y=0bằng 60^◦.

Lời giải. Ta có−→n = (k; 1)và−→

n⁰ = (1;−1)là véc-tơ pháp tuyến của các đường thẳng∆và∆⁰. Theo bài ra ta cócos 60^◦=|cos(−→n,−→

n⁰)| ⇔ |k+1|

√

k²+1√ 2 = 1

2⇔2(k+1)²=k²+1. Giải phương trình trên ta được

ñk=−2+√ 3 k=−2−√

3.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 11. Tìmmsao cho hai đường thẳng∆:x+5my−4=0và∆⁰: 2x+3y−2=0song song với nhau.

Lời giải. ∆k∆⁰⇔ 1 2= 5m

3 ⇔m= 3 10.

Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 đường thẳng d₁: 2x+y−4= 0, d₂: 5x−2y+3=0, d₃: mx+3y−2=0. a) Xét vị trí tương đối giữad₁vàd₂.

b) Tìm giá trị của tham sốmđể 3 đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải. a) Nhận thấy 2 5 6= 1

−2, từ đó suy ra các đường thẳngd₁,d₂cắt nhau.

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngd₁vàd₂là nghiệm của hệ phương trình:

® 2x+y−4=0 5x−2y+3=0 ⇔





 x=5

9 y=26

9 .

Vậyd₁vàd₂cắt nhau tại điểmM Å5

9;26 9

ã . Vìd₁,d₂,d₃đồng quy nênM∈d₃, ta có:m.5

9+3.26

9 −2=0⇔m=−12

Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxycho các đường thẳng∆₁:x+2y−√

2=0và∆₂:x−y=0.

Tính côsin của góc giữa các đường thẳng∆1và∆2. Lời giải. Ta có−→n = (1; 2)và−→

n⁰ = (1;−1)là véc-tơ pháp tuyến của các đường thẳng∆và∆⁰. Gọiϕ là góc giữa các đường thẳng∆và∆⁰. Khi đó

cosϕ =|cos(−→n,−→ n⁰)|=

√10 10 .

Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxycho các đường thẳng∆: 3x+5y+15=0và∆⁰:

®x=10−3t y=1+5t . Tính gócϕ giữa∆₁và∆₂.

Lời giải. Ta có−→n = (3; 5)là một véc-tơ pháp tuyến của∆.

−

→u⁰ = (−3; 5)là một véc-tơ chỉ phương của∆⁰, suy ra∆⁰có véc-tơ pháp tuyến−→

n⁰ = (5; 3).

Do−→n.−→

n⁰ =0⇒∆⊥∆⁰.

Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxycho 2 đường thẳng∆:x+2y−5=0,∆⁰: 3x+my−1=0.

Tìmmđể góc giữa hai đường thẳng∆,∆⁰bằng45^◦.

Lời giải. ∆:x+2y−5=0có véc-tơ pháp tuyến−→n = (1; 2),

∆⁰: 3x+my−1=0có véc-tơ pháp tuyến−→

n⁰ = (3;m).

Theo bài ra ta có:cos 45^◦=

−

→n.−→ n⁰

|−→n|.

−

→n⁰

= |3+2m|

√5√

3²+m². Từ đó suy ra

ñm=1 m=−9

Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểmM(x₀;y₀)và đường thẳng∆: Ax+By+C=0. Khi đó, khoảng cách từ điểmMđến đường thẳng∆được tính theo công thức

d(M,∆) = |Ax₀+By₀+C|

√A²+B²

Ví dụ 12. Tìm khoảng cách từ điểmM(1; 2)đến đường thẳng(D): 4x+3y−2=0.

Lời giải. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d(M,D) = |4·1+3·2−2|

√

4²+3² = 8 5.

Ví dụ 13. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng∆: 2x+y−1=0và có khoảng cách đến(D): 4x+ 3y−10=0bằng2.

Lời giải. Giả sử có điểmM∈∆, khi đóM(m; 1−2m).

Theo đềd(M,∆) =2⇔ |4m+3(1−2m)−10|

√4²+3² =2⇔ | −2m−7|=10

⇔

ñ2m+7=10 2m+7=−10 ⇔





 m= 3

2 m=−17

2 .

Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện làM₁ Å3

2;−2 ã

vàM₂ Å

−17 2 ; 18

ã .

Ví dụ 14. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1,−3) và có khoảng cách đến điểm M₀(2,4)bằng1.

Lời giải. Giả sử đường thẳng∆đi qua điểmA(1;−3)có hệ số góck. Khi đó phương trình∆có dạng:

y+3=k(x−1)⇔kx−y−k−3=0.

Theo đề ta cód(M₀,∆) = |2k−4−k−3|

√

k²+1 =1⇔ |k−7|=√

k²+1⇔(k−7)²=k²+1

⇔k²−14k+49=k²+1⇔14k=48⇔k= 24 7 . Vậy phương trình∆: 24x−7y−45=0.

Ví dụ 15. Viết phương trình của đường thẳng(D)song song với(D⁰): 3x+4y−1=0và cách(D⁰) một đoạn bằng2.

Lời giải. Đường thẳng(D)k(D⁰)nên phương trình đường thẳng(D): 3x+4y+c=0.

Lấy điểmM(−1; 1)∈(D⁰), theo đề ta có:

d(D,D⁰) =d(M,D) =2⇔ | −3+4+c|

5 =2⇔ |c+1|=10⇔

ñc=9 c=−11. Vớic=9ta cóD: 3x+4y+9=0.

Vớic=−11ta cóD: 3x+4y−11=0.

Ví dụ 16. Cho điểmA(−1,2)và hai đường(∆): x−y−1=0,(∆⁰): x+2y−5=0. Tìm trên đường thẳng(∆)một điểmMsao cho khoảng cách từMđến(∆⁰)bằngAM.

Lời giải. Ta cóM∈∆, suy raM(m,m−1).

−→AM= (m+1;m−3)⇒AM=p

(m+1)²+ (m−3)²=√

2m²−4m+10.

Theo đề |m+2(m−1)−5|

√5 =√

2m²−4m+10⇔ |3m−7|=p

5(2m²−4m+10)

⇔(3m−7)²=10m²−20m+50⇔m²+22m+1=0⇔m=−11±2√ 30.

Vậy có hai điểm thỏa mãn làM₁(−11−2√

30;−12−2√

30)vàM₂(−11+2√

30;−12+2√ 30).

Ví dụ 17. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểmM(1,1)một khoảng bằng 2và cách điểm M⁰(2,3)một khoảng bằng4.

Lời giải. Giả sử phương trình cần tìm là∆: Ax+By+C=0.

Theo đề ta có:

d(M,∆) =2⇔ |A+B+C|

√A²+B² =2⇔ |A+B+C|=2√

A²+B² (1)

d(M⁰,∆) =4⇔|2A+3B+C|

√

A²+B² =4⇔ |2A+3B+C|=4√

A²+B² (2)

Từ (1) và (2) ta có|2A+3B+C|=2|A+B+C| ⇔

ñ2A+3B+C=2(A+B+C) 2A+3B+C=−2(A+B+C)

⇔

ñB−C=0

4A+5B+3C=0.

ThayB=Cvà (1) ta được|A+2B|=2√

A²+B²⇒3A²−4BA=0⇔



 A=0 A= 4

3B. VớiA=0, chọnB=C=1, ta được đường thẳng∆₁: y+1=0.

VớiA=4

3B, chọnB=3⇒A=4,C=3. Ta có đường thẳng∆₂: 4x+3y+3=0.

Từ4A+5B+3C=0⇒C=−1

3(4A+5B)và (1) ta được

|A+2B|=6√

A²+B²⇒35A²−4BA+32B²=0.

Giải phương trình bậc hai theo ẩnA, ta có

∆⁰=4B²−1020B²=−1016B²≤0.

Trường hợpB=0, ta có∆⁰=0, phương trình có nghiệm képA=0, vô lý.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu.

Dạng 5. Viết phương trình đường phân giác của góc do∆1và∆2tạo thành Cho đường thẳng∆: ax+by+c=0và hai điểmM(x_M;y_M),N(x_N;y_N)6∈∆. Khi đó:

a) M,Nnằm cùng phía so với∆khi và chỉ khi(ax_M+by_M+c)(ax_N+by_N+c)>0.

b) M,Nnằm khác phía so với∆khi và chỉ khi(ax_M+by_M+c)(ax_N+by_N+c)<0.

Để viết phương trình đường phân giác trong của gócBAC‘ta có nhiều cách. Dưới đây là 3 cách thường sử dụng:

Cách 1:

Dựa vào tính chất đường phân giác là tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳngAB:ax+by+c=0 vàAC:mx+ny+p=0, ta có:

|ax+by+c|

√a²+b² = |mx+ny+p|

√m²+n²

Hai đường thu được là phân giác trong và phân giác ngoài của gócABC.‘

Sau đó, ta cần dựa vào vị trí tương đối của hai điểm B,C với hai đường vừa tìm được để phân biệt phân giác trong, phân giác ngoài. Cụ thể, nếuB,Cở cùng một phía thì đó là phân giác ngoài, ở khác phía thì là phân giác trong.

Cách 2:

LấyB⁰,C⁰lần lượt thuộcAB,ACsao cho:

−→AB⁰= 1 AB.−→

AB;−→

AC⁰= 1 AC.−→

AC.

Giả sử−→

AD=−→

AB⁰+−→

AC⁰Khi đó tứ giácAB⁰DC⁰là hình thoi.

Do đó,−→

ADlà vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm.

A

B B⁰

C C⁰

D

Cách 3:

Giả sử−→u = (a;b)là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm. Ta có:

cos(−→

AB,−→u) =cos(−→

AC,−→u)⇔

−→ AB.−→u

−→ AB

=

−→ AC.−→u

−→ AC

Ví dụ 18. Viết phương trình đường phân giác trong gócA của tam giác ABC biếtA(1; 1), B(4; 5), C(−4;−11).

Lời giải. Cách 1.Ta có phương trình các cạnh:

AB: 4x−3y−1=0;AC: 12x−5y−7=0 Phương trình hai đường phân giác gócAlà:







4x−3y−1

5 = 12x−5y−7 13 4x−3y−1

5 =−12x−5y−7 13

⇔

ñ4x+7y−11=0(d₁) 56x−32y−24=0(d₂) Ta có:

(4x_C+7y_C−11) (4x_B+7y_B−11)<0 Do đóB,Ckhác phía so với(d₁)hay(d₁)là đường phân giác cần tìm.

Cách 2.Ta có−→

AB= (3; 4);AB=5;−→

AB⁰= 1 5

−→ AB=

Å3 5;4

5 ã

−→

AC= (−5;−12);AC=13;−→

AC⁰= 1 13

−→ AC=

Å

− 5 13;−12

13 ã

Ta có:−→

AB⁰+−→

AC⁰= Å14

65;− 8 65

ã .

Vậy vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm là:−→u = (7;−4). Do đó phương trình đường phân giác cần tìm là:

4(x−1) +7(y−1) =0⇔4x+7y−11=0 Cách 3.Giả sử−→u = (a;b)là vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm.

Ta có

−→ AB.−→u

−→ AB

=

−→ AC.−→u

−→ AC

⇔ 3a+4b

5 = −5a−12b

13 ⇔a=−7 4b.

Vậy vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm là:−→u = (7;−4). Do đó phương trình đường phân giác cần tìm là:

4(x−1) +7(y−1) =0⇔4x+7y−11=0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng) Bài 16. Tính khoảng cách từ điểmM(3; 5)đến đường thẳng∆: x+y+1=0.

Lời giải. Ta cód(M,∆) = |3+5+1|

√1²+1² = 9

√2 = 9√ 2 2 .

Bài 17. Tính khoảng cách từ điểmM(4;−5)đến đường thẳng∆:

®x=2t y=2+3t. Lời giải. Viết phương trình dưới dạng tổng quát∆: 3x−2y+4=0.

Khi đód(M,∆) = |3·4−2·(−5) +4|

√3²+2² = 26

√13=2√ 13.

Bài 18. Cho tam giácABC. Tính diện tích tam giácABC, với:A(−2; 14),B(4;−2),C(5;−4).

Lời giải. Ta có−→

BC= (1;−2)⇒BC=√

5. Phương trình đường thẳngBCđi quaBcó dạng2(x−4) +1(y+ 2) =0⇔2x+y−6=0.

Đường caoAHcủa tam giácABC:AH= |2(−2) +14−6|

√5 = 4√ 5 5 . Do đóS_ABC= 1

2·AH·BD=4√ 5·√

5

10 =2(đvdt)

Bài 19. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với đường thẳng ∆:

®x=3t

y=2+4t,t ∈R và cách đường thẳng∆một khoảng bằng3.

Lời giải. Vì(D)k∆nên phương trình đường thẳng(D)có dạng:

(D): 4x−3y+c=0.

Chọn điểmM(0; 2)∈∆, theo đề ta có d(M,∆) = |4·0−3·2+c|

5 =3⇔ |c−6|=15⇔

ñc=21 c=−9.

Vậy có hai phương trình thỏa mãn là(D₁): 4x−3y+21=0và(D₂): 4x−3y−9=0.

Bài 20. Viết phương trình đường thẳng∆đi quaA(1; 3)và cách điểmB(−2; 1)một khoảng bằng3.

Lời giải. Giả sử −→n = (a;b),(a²+b²>0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm. Phương trình đường thẳng có dạng:

a(x−1) +b(y−3) =0⇔ax+by−a−3b=0 Khi đó:

d_(B;∆)=3⇔ | −2a+b−a−3b|

√

a²+b² =3⇔5a²−12ab=0⇔





b=0 b=12

5 a

• b=0, chọna=1ta có∆1:x−1=0.

• b=12

5 a, chọna=5,b=12ta có∆₂: 5x+12y−41=0.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:∆₁:x−1=0;∆₂: 5x+12y−41=0.

Bài 21. Cho đường thẳng ∆: 5x−12y+32=0 và hai điểmA(1;−1),B(5;−3). Tìm một điểm Mcách∆ một khoảng bằng4và cách đều hai điểmA,B.

Lời giải. GọiM(x₀;y₀)là điểm cần tìm, ta có hệ







(x₀−1)²+ (y₀+1)²= (x₀−5)²+ (y₀+3)²

|5x₀−12y₀+32|

13 =4

Giải hệ này ta được29x₀−64=±52cho ta hai điểmM(4; 0)vàM⁰ Å12

29;108 29

ã

Bài 22. Cho tam giácABCcóA(4;−13),B(4; 12),C(−8; 3). Viết phương trình đường phân giác trong góc B.

Lời giải. Phương trình cạnhBClà3(x−4)−4(y−12) =0⇔3x−4y+36=0.

Phương trình cạnhBAlàx−4=0.

Phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài của gócBlà

|3x−4y+36|

5 = |x−4|

1 ⇔

ñ3x−4y+36=x−4 3x−4y+36=−x+4⇔

ñx−2y+20=0(d₁) x−y+8=0(d₂) .

Ta thấyAvàCnằm khác phía so với(d₂), suy ra đường phân giác trong gócBlà đườngx−y+8=0.

Dạng 6. Phương trình đường thẳng trong tam giác

Ta có công thức viết nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểmA(x_A;y_A)vàB(x_B;y_B)là:

x−x_A

x_B−x_A = y−y_A y_B−y_A

Chú ý: Công thức phương trình đường thẳng∆quaM(x₀;y₀)và vuông góc với đường thẳngd: Ax+ By+C=0là: B(x−x₀)−A(y−y₀) =0.

Ví dụ 19. Cho tam giácABC có đỉnhA(3;−4)và hai đường caoBH vàCH có phương trình:7x− 2y−1=0và2x−7y−6=0. Hãy tìm phương trình hai cạnhABvàAC.

Lời giải. CạnhAC: là đường thẳng đi quaA(3;−4)và vuông góc vớiBH: 7x−2y−1=0nên có phương trình:2(x−3) +7(y+4) =0⇔2x+7y+22=0.

CạnhAB: là đường thẳng quaA(3;−4)và vuông góc vớiCH: 2x−7y−6=0nên có phương trình: 7(x− 3) +2(y+4) =0⇔7x+2y−73=0.

Ví dụ 20. Cho tam giácABC, biết trung điểm các cạnh làM(−1;−1),N(1; 9),P(9; 1).

a) Lập phương trình các cạnh của tam giácABC.

b) Lập phương trình các đường trung trực của tam giácABC.

Lời giải.

A N

B M C

P

a) CạnhABqua điểmP(9; 1)và song song vớiMNnên nhận véc-tơ−−→

MN= (2; 10)làm véc-tơ chỉ phương.

Phương trình cạnhABlà: x−9

2 =y−1

10 ⇔5x−y−44=0.

Tương tự, ta có phương trình cạnhBClà:x+y−2=0.

Phương trình cạnhAC là:x−5y+44=0.

b) Gọi các đường trung trực kẻ từM,N,Ptheo thứ tự là(d_M),(d_N),(d_P).

Đường thẳng(d_M) qua điểm M(−1;−1) và vuông góc với PN nên nhận véc-tơ−→

PN = (8;−8) làm véc-tơ pháp tuyến.

Ta có phương trình đường thẳng(d_M)là:x−y=0.

Tương tự,(d_N): 5x+y−14=0.

(d_P):x+5y−14=0.

Ví dụ 21. Cho tam giácABC, biết đỉnhA(2; 2), các đường cao xuất phát từ các đỉnhB,Ccó phương trình lần lượt làx+y−2=0và9x−3y−4=0. Hãy lập phương trình các cạnh của tam giácABC.

Lời giải. Theo giả thiết ta có phương trình các đường cao:BH: x+y−2=0,CK: 9x−3y−4=0.

• Lập phương trình cạnhAC.

CạnhAClà đường thẳng quaAvà vuông góc vớiBH nên phương trìnhAC có dạng:x−y+c=0.

DoA(2; 2)∈ACnên2−2+c=0⇔c=0.

Vậy phương trìnhAClà:x−y=0.

• Phương trình cạnhAB.

CạnhABvuông góc vớiCK nên phương trình cạnhABcó dạng:3x+9y+m=0.

DoA(2; 2)∈AB⇔3.2+9.2+m=0⇔m=−24.

Phương trình cạnhABlà:3x+9y−24=0⇔x+3y−8=0.

• Phương trình cạnhBC:

Ta cóC=CK∩ACnên tọa độ điểmClà nghiệm của hệ phương trình:

®x−y =0 9x−3y−4 =0 ⇒C

Å2 3;2

3 ã

.

Lại có:B=AB∩BH nên tọa độ điểmBlà nghiệm của hệ phương trình

®x+y−2 =0 x+3y−8 =0 ⇔

®x =−1

y =3 ⇒C(−1; 3).

Phương trình cạnhBCqua hai điểmBvàCnên có phương trình:

x−x_C

x_B−x_C = y−y_C

y_B−y_C ⇔ x+1 2 3+1

= y−3 2 3−3

⇔7x+5y−8=0.

Ví dụ 22. Tam giácABCcó phương trình cạnhABlà5x−3y+2=0, các đường cao qua đỉnhAvà Blần lượt là4x−3y+1=0;7x+2y−22=0. Lập phương trình hai cạnhAC,BCvà đường cao thứ ba.

Lời giải. Tọa độ điểmAlà nghiệm của hệ phương trình:

®5x−3y+2=0 (AB) 4x−3y+1=0 (AH) ⇔

®x =−1

y =−1 ⇒A(−1;−1)

CạnhACquaA(−1;−1)và vuông góc vớiBH: 7x+2y−11=0có phương trình:

2(x+1)−7(y+1) =0⇔2x−7y−5=0 (AC) Tọa độ điểmBlà nghiệm của hệ phương trình:

®5x−3y+2 =0 7x+2y−22 =0⇔

®x=2

y=4 ⇒B(2; 4) CạnhBCquaB(2; 4)và vuông góc vớiAH: 4x−3y+1=0có phương trình:

3(x−2) +4(y−6) =0⇔3x+4y−22=0 (BC) Tọa độ điểmClà nghiệm của hệ phương trình:

®2x−7y−5 =0 3x+4y−22 =0 ⇔

®x=6

y=1 ⇒C(6; 1) Đường caoCH quaC(6; 1)và vuông góc vớiAB: 5x−3y+2=0có phương trình:

3(x−6) +5(y−1) =0⇔3x+5y−23=0

Ví dụ 23. Lập phương trình các cạnh của tam giácABCbiếtB(2;−1), đường cao và phân giác trong qua hai đỉnhA,Clần lượt là3x−4y+27=0vàx+2y−5=0.

Lời giải.

CạnhBClà đường thẳng quaB(2;−1)và vuông góc với phân giác3x−4y+27=0 nên có phương trình:4(x−2) +3(y+1) =0⇔4x+3y−5=0.

Tọa độ điểmClà nghiệm của hệ phương trình:

®4x+3y−5 =0

x+2y−5 =0⇔C(−1; 3)

A

C

B H

K

Đường phân giác ứng với phương trìnhx+2y−5=0có véc-tơ chỉ phương:−→v = (2;−1).

Ta có:tan(−÷→

CB,−→v) =tan(−→÷v,−→

CA) (1) Biết−→

CB= (−3; 4),−→

CA= (x_A+1;y_A−3).

Do đó(1)⇔ 3−8

−6−4 =2(y_A−3) + (x_A+1) 2(x_A+1)−(y_A−3) ⇔1

2 = x_A+2y_A−5

2x_A−y_A+5 ⇔y_A=3.

Ta có:y_A−y_C=3. Vậy phương trình đườngAC lày=3.

Thayy_A=3vào3x−4y+27=0, ta có:A(−5; 3).

Suy ra−→

AB= (7;−4).

Phương trình cạnhABlà:4(x+5) +7(y−3) =0⇔4x+7y−1=0.

Ví dụ 24. Trong mặt phẳngOxy, cho tam giácABCcó đường phân giác trong(AD): x−y=0, đường cao(CH): 2x+y+3=0, cạnh AC quaM(0;−1), AB=2AM. Viết phương trình ba cạnh của tam giácABC.

Lời giải.

A

C

B D

H

N M

K

GọiN là điểm đối xứng củaM quaAD (theo tính chất của đường phân giác trong), suy raN nằm trên tia AB.

Mặt khác ta có:AN=AM⇒AB=2AN. Suy raN là trung điểm củaAB. DoMN⊥ADnên phương trình MNlà:x+y+m₁=0;

M(0;−1)∈MN⇒ −1+m₁=0⇔m₁=1. Suy ra(MN): x+y+1=0.

GọiK=MN∩AD, tọa độK là nghiệm của hệ phương trình:

®x+y=−1 x−y=0 ⇔







x=−1 2 y=−1 2

⇒K Å

−1 2;−1

2 ã

.

VìKlà trung điểm củaMNnên

®x_N =2x_K−x_M=−1

y_N =2y_K−y_M=0 ⇒N(−1; 0).

DoAB⊥CH nên phương trìnhABlà: 2−2y+m₂=0; N(−1; 0)∈AB⇔ −1+m₂=0⇔m₂=1.

Suy raAB: x−2y+1=0.

VìA=AB∩ADnên tọa độAlà nghiệm của hệ phương trình:

®x−2y =−1 x−y =0 ⇔

®x=1

y=1 ⇒A(1; 1) Suy ra: AC: 2x−y−1.

VìC=AC∩CH nên tọa độClà nghiệm của hệ phương trình:

®2x−y =1 2x+y =−3 ⇔







x=−1 2 y=−2

⇒C Å

−1 2;−2

ã

DoN là trung điểm củaABnên

®x_B=2x_N−x_A=−2

y_B=2y_N−y_A=−1 ⇒B(−3;−1).

Phương trình đường thẳngBCqua hai điểmB(−3;−1)vàC Å

−1 2;−2

ã là:

x+3

−1 2+3

= y+1

−2+1⇔2x+5y+11=0 Vậy BC: 2x+5y+11=0.

Ví dụ 25. Trong mặt phẳngOxy, cho tam giácABC có đỉnhA(−1; 2). Trung tuyếnCM: 5x+7y− 20=0và đường caoBH: 5x−2y−4=0. Viết phương trình các cạnhACvàBC.

Lời giải. DoAC⊥BHnên phương trìnhACcó dạng:2x+5y+m=0.

DoA(−1; 2)∈AC⇔ −2+10+m=0⇔m=−8.

Suy ra AC: 2x+5y−8=0.

DoC=AC∩CM nên tọa độClà nghiệm của hệ phương trình:

®2x+5y=8 5x+7y=20 ⇔

®x=4

y=0 ⇒C(4; 0) ĐặtB(a;b). DoB∈BH nên5a−2b−4=0.

VìMlà trung điểm củaABnên tọa độMlàM

Å−1+a 2 ;2+b

2 ã

∈CM⇔5·−1+a

2 +7·2+b

2 −20=0⇔

5a+7b−31=0

Tọa độMlà nghiệm của hệ:

®5a−2b=4 5a+7b=31 ⇔

®a=2

b=3 ⇒B(2; 3) Phương trình cạnhBClà BC: 3x+2y−12=0.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 23. Lập phương trình các cạnh của tam giácABCnếu choB(−4;−5)và hai đường cao có phương trình là:5x+3y−4=0và3x+8y+13=0.

Lời giải. Đáp số:AB: 3x−5y−13=0;

BC: 8x−3y+17=0;

AC: 5x+2y−1=0.

Bài 24. Cho 4ABC, biết đỉnhC(4;−1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnhA có phương trình tương ứng là(d₁): 2x−3y+12=0và(d₂): 2x+3y=0. Lập phương trình các cạnh của4ABC.

Lời giải.

(d₁) (d₂)

A B

H C

M

• Lập phương trình cạnhBC.

VìBC⊥(d₁)nên phương trình(BC)có dạng:−3x−2y+c=0 (1) VìC∈(BC)nên:(−3).4−2.(−1) +c=0⇔c=10.

Thayc=10vào(1)ta được phương trình(BC): 3x+2y−10=0.

• Lập phương trình cạnhAC.

Ta có điểmA= (d₁)∩(d₂)nên tọa độ điểmAlà nghiệm của hệ:

®2x−3y+12 =0

2x+3y =0 ⇒A(−3; 2) Phương trình đường thẳng(AC)qua hai điểmA(−3; 2)vàC(4; 1)là:

x+3

4+3 = y−2

−1−2⇔(AC): 3x+7y−5=0.

• Lập phương trình cạnhAB.

GọiMlà trung điểm củaBC, khi đó điểmM= (d₂)∩(BC).

Tọa độ điểmMlà nghiệm của hệ phương trình:

®3x+2y−10 =0

2x+3y =0 ⇒M(6; 4).

Tọa độ điểmBđược xác định bởi:

®x_B+x_C =2x_M y_B+y_C =2y_M ⇔

®x_B =2x_M−x_C y_B =2y_M−y_C ⇔

®x_B=8 y_B=−7 Phương trình đường thẳng(AB)qua hai điểmA(−3; 2)vàB(8;−7)là:

x−8

−3−8 = y+7

2+7⇔9x+11y+5=0

Bài 25. Cho tam giácABC, biếtA(1; 3)và hai trung tuyến có phương trình làx−2y+1=0vày−1=0.

Lập phương trình các cạnh của4ABC.

Lời giải.

(d₁) (d₂)

A

C B

G

A⁰

Để có được phương trình các cạnh của4ABCta đi xác định tọa độ điểmB,C.

GọiA⁰là điểm đối xứng vớiAqua trọng tâmGcủa4ABC, khi đó:

®A⁰Bk(d₁) A⁰Ck(d₂) . Suy ra: ĐiểmBlà giao điểm của(A⁰B)và(d₂).

Điểm(C)là giao điểm của(A⁰C)và(d₁).

Vậy ta lần lượt thực hiện theo các bước sau:

• GọiGlà trọng tâm4ABC, khi đó tọa độ củaGlà nghiệm của hệ:

®x−2y+1 =0

y−1 =0 ⇒G(1; 1).

• ĐiểmA⁰là điểm đối xứng vớiAquaG, tọa độ củaA⁰được cho bởi:

®x_A0=2x_G−x_A

y_A0=2y_G−y_A ⇒A⁰(1;−1)

• Tìm tọa độ điểmB.

Đường thẳngA⁰Bqua điểmA⁰(1;−1)và song song với đường thẳngd₁nên nhận véc-tơ−→

CG= (2; 1) làm véc-tơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳngA⁰Blà: x−1

2 =y+1

1 ⇔x−2y−3=0.

ĐiểmB=A⁰B∩d₂, tọa độ điểmBlà nghiệm hệ:

®x−2y−3 =0

y−1 =0 ⇒B(5; 1).

• Tương tự, ta cóC(−3;−1).

• Phương trình đường thẳngACqua hai điểmA(1; 3)vàC(−3;−1)là:

x−1

−3−1 = y−3

−1−3⇔x−y+2=0.

• Tương tự ta có: phương trình cạnhABlà:x+2y−7=0;

Phương trình cạnhBClà:x−4y−1=0.

Bài 26. Cho tam giác ABCcó phân giác của gócAcó phương trình là:d₁: x+y+2=0; đường cao vẽ từ Bcó phương trình làd₂: 2x−y+1=0, cạnhABquaM(1;−1). Tìm phương trình cạnhAC của tam giác.

Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnhC của tam giácABCbiết rằng hình chiếu vuông góc củaC trên đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trìnhx−y+2=0và đường cao kẻ từBcó phương trình4x+3y−1=0.

Lời giải. Phương trình đường thẳngd qua H(−1;−1)và vuông góc với∆: x−y+2=0 có dạng1(x+ 1) +1(y+1) =0.

Giao điểmI củad và∆là nghiệm của hệ phương trình:

®x+y+2=0

x−y+2=0 ⇒I(−2; 0)

GọiK là điểm đối xứng củaHqua∆thìK(−3; 1).

ACquaK và vuông góc với đường cao:4x+3y−1=0.

Phương trìnhAC:3(x+3)−4(y−1) =0⇔3x−4y+13=0.

Tọa độ điểmAlà nghiệm của hệ phương trình:

®3x−4y+13 =0

x−y+2 =0 ⇒A(5; 7) CH quaH và có véc-tơ pháp tuyến−→

HA=2−→n với−→n = (3; 4).

Phương trìnhCH: 3(x+1) +4(y+1) =0.

Tọa độClà nghiệm của hệ phương trình:

®3x+4y+7 =0 3x−4y+13 =0⇒C

Å

−10 3 ;3

4 ã

§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

I. Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Trong mặt phẳng toạ độOxy, phương trình đường tròn nhận điểmI(a;b)làm tâm và có bán kínhRlà (x−a)²+ (y−b)²=R².

2. Dạng khác của phương trình đường tròn

Phương trình dạngx²+y²−2ax−2by+c=0là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi a²+b²−c>0

Khi đó, tâm làI(a;b), bán kính làR=√

a²+b²−c.

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Sau đây, ta có 2 công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn (công thức tách đôi).

• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn(x−a)²+ (y−b)²=R²tại điểmM(x₀;y₀)thuộc đường tròn là

(x₀−a).(x−a) + (y₀−a).(y−a) =R².

• Phương trình tiếp tuyến của đường trònx²+y²−2ax−2by+c=0tại điểmM(x₀;y₀)thuộc đường tròn là

x₀x+y₀y−a(x₀+x)−b(y₀+y) +c=0.

Không dùng công thức tách đôi này, ta vẫn có thể viết được phương trình tiếp tuyến bằng cách tìm toạ đoạ độ véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến này là−→

IM= (x₀−a;y₀−a).

II. Các dạng toán

Dạng 1. Tìm tâm và bán kính đường tròn.

Phương pháp giải:

• Cách 1. Đưa phương trình về dạng: (C):x²+y²−2ax−2by+c=0 (1). Xét dấu biểu thức P=a²+b²−c.

- Nếu√ P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R = a²+b²−c.

- NếuP≤0thì (1) không phải là phương trình đường tròn.

• Cách 2.Đưa phương trình về dạng:(x−a)²+ (y−b)²=P(2).

- NếuP>0thì (2) là phương trình đường tròn có tâmI(a;b)và bán kínhR=√ P.

- NếuP≤0thì (2) không phải là phương trình đường tròn.

Ví dụ 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).

a) x²+y²+2x−4y+9=0(1).

b) x²+y²−6x+4y+13=0(2).

c) 2x²+2y²−6x−4y−1=0(3).

d) 2x²+y²+2x−3y+9=0(4).

Lời giải.

a) Phương trình (1) có dạngx²+y²−2ax−2by+c=0vớia=−1;b=2;c=9.

Ta cóa²+b²−c=1+4−9<0.

Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có:a²+b²−c=9+4−13=0.

Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

c) Ta có:(3)⇔x²+y²−3x−2y−1

2 =0⇔ Å

x−3 2

ã2

+ (y−1)²=5 2. Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâmI

Å3 2; 1

ã

bán kínhR=

√10 2 . d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số củax²vày²khác nhau.

Ví dụ 2. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).

a) x²+y²+2x−6y−15=0(1).

b) 2x²+2y²+4x+8y+14=0(2).

Lời giải.

a) Ta có:







−2a=2

−2b=−6 c=−15

⇒







a=−1 b=3 c=−15

⇒a²+b²−c=25>0.

Vậy phương trình (1) là phương trình của đường tròn(C)có tâmI(−1; 3)và bán kínhR=5.

b) Ta có:(2)⇔x²+y²+2x+4y+7=0⇒







−2a=2

−2b=4 c=7

⇒







a=−1 b=−2 c=7

⇒a²+b²−c=−2<0.

Vậy phương trình (2) không là phương trình của đường tròn.

Ví dụ 3. Cho phương trình x²+y²−2mx−4(m−2)y+6−m=0(1). Tìm điều kiện củamđể(1) là phương trình đường tròn.

Lời giải. Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a²+b²−c> 0, với a=m;b= 2(m−2);c=6−m.

Haym²+4(m−2)²−6+m>0⇔5m²−15m+10>0⇔

ñm>2 m<1.

Dạng 2. Lập phương trình đường tròn.

Phương pháp giải:

• Cách 1.

- Tìm toạ độ tâmI(a;b)của đường tròn(C) - Tìm bán kínhRcủa đường tròn(C)

- Viết phương trình của(C)theo dạng(x−a)²+ (y−b)²=R².

• Cách 2.

- Giả sử phương trình đường tròn(C)là:x²+y²−2ax−2by+c=0(hoặcx²+y²+2ax+ 2by+c=0).

- Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn làa,b,c.

- Giải hệ để tìma,b,c, từ đó tìm được phương trình đường tròn(C).

Chú ý:

• Cho đường tròn(C)có tâmIvà bán kínhR.A∈(C)⇔IA=R.

• (C)tiếp xúc với đường thẳng∆tạiA⇔IA=d(I;∆) =R.

• (C)tiếp xúc với hai đường thẳng∆₁và∆₂⇔d(I;∆₁) =d(I;∆₂) =R.

• (C)cắt đường thẳng∆₃theo dây cung có độ dàia⇔(d(I;∆₃))²+a² 4 =R².

Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn có tâmI(3;−5)bán kínhR=2.

Lời giải. Ta có phương trình đường tròn là(x−3)²+ (y+5)²=2²⇔x²+y²−6x+10y+30=0.

Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đường kínhABvớiA(1; 6),B(−3; 2).

Lời giải. Đường tròn đường kínhABcó:

• TâmI(−1; 4)là trung điểmAB.

• Bán kínhR= AB 2 =2√

2.

Do đó phương trình đường tròn là:

(x+1)²+ (y−4)²=Ä 2√

2ä2

⇔x²+y²+2x−8y+9=0.

Ví dụ 6. Viết phương trình đường tròn(C)có tâmI(−1; 2)và tiếp xúc với đường thẳng∆:x−2y+ 7=0.

Lời giải. Bán kính đường tròn(C)chính là khoẳng cách từItới đường thẳng∆nên R=d(I;∆) =|−1−4−7|

√1+4 = 2

√ 5.

Vậy phương trình đường tròn(C)là:(x+1)²+ (y−2)²= 4 5.

Ví dụ 7. Viết phương trình đường tròn tâmI(−2; 1), cắt đường thẳng∆:x−2y+3=0tại hai điểm A,Bthỏa mãnAB=2.

Lời giải. Gọihlà khoảng cách từIđến đường thẳng∆. Ta có:

h=d(I,∆) = |−2−2+3|

»

1²+ (−2)²

= 1

√ 5. GọiRlà bán kính đường tròn, từ giả thiết suy ra:

R=  

h²+AB² 4 =

  1 5+2²

4 =

…6 5. Vậy phương trình đường tròn là:(x+2)²+ (y−1)²= 6

5.

Ví dụ 8. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:M(−2; 4),N(5; 5),P(6;−2).

Lời giải.

• Cách 1.Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là:x²+y²−2ax−2by+c=0.

Do đường tròn đi qua ba điểmM,N,Pnên ta có hệ phương trình:







4+16+4a−8b+c=0 25+25−10a−10b+c=0 36+4−12a+4b+c=0

⇔





 a=2 b=1 c=−20 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:x²+y²−4x−2y−20=0.

• Cách 2.GọiI(x;y)vàRlà tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra:

IM=IN=IP⇔

®IM²=IN² IM²=IP² . nên ta có hệ

®(x+2)²+ (y−4)²= (x−5)²+ (y−5)² (x+2)²+ (y−4)²= (x−6)²+ (y+2)² ⇔

®x=2 y=1. Suy raI(2; 1), bán kínhIA=5.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm(C):(x−2)²+ (y−1)²=25.

Ví dụ 9. Cho hai điểmA(8; 0)vàB(0; 6).

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácOAB.

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giácOAB.

Lời giải.

a) Ta có tam giácOABvuông ởOnên tâmIcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyềnABsuy raI(4; 3)và bán kínhR=IA=p

(8−4)²+ (0−3)²=5.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácOABlà:(x−4)²+ (y−3)²=25.

b) Ta cóOA=8;OB=6;AB=√

8²+6²=10.

Mặt khác 1

2OA.OB=pr(vì cùng bằng diện tích tam giácABC).

Suy rar= OA.OB

OA+OB+AB =2.

Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là(2; 2).

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giácOABlà(x−2)²+ (y−2)²=4.

Ví dụ 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x−y−5=0 và hai điểm A(1; 2),B(4; 1). Viết phương trình đường tròn(C)có tâm thuộcdvà đi qua hai điểmA,B.

Lời giải.

• Cách 1.GọiIlà tâm của(C). DoI∈dnênI(t; 2t−5).

Hai điểmA,Bcùng thuộc(C)nên

IA=IB⇔(1−t)²+ (7−2t)²= (4−t)²+ (6−2t)²

⇔t=1

Suy raI(1;−3)và bán kínhR=IA=5.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

(C):(x−1)²+ (y+3)²=25.

A

B M

d I

• Cách 2.Gọi M Å5

2;3 2

ã

là trung điểmAB. Đường trung trực của đoạn ABđi qua M và nhận −→ AB= (3;−1)làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình∆: 3x−y−6=0.

Tọa độ tâmI của(C)là nghiệm của hệ

®2x−y−5=0

3x−y−6=0⇒I(1;−3).

Bán kính của đường tròn bằngR=IA=5.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm(C):(x−1)²+ (y+3)²=25.

Ví dụ 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai đường thẳngd₁:x+3y+8=0,d₂: 3x−4y+ 10=0và điểm A(−2; 1). Viết phương trình đường tròn(C)có tâm thuộcd₁, đi qua điểmAvà tiếp xúc vớid₂.

Lời giải.

GọiI là tâm của(C). DoI∈d₁nênI(−3t−8;t).

Theo giả thiết bài toán, ta có

d(I,d₂) =IA⇔ |3(−3t−8)−4t+10|

√

3²+4² =

»

(−3t−8+2)²+ (t−1)²

⇔t=−3.

Suy raI(1;−3)và bán kínhR=IA=5.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là

(C):(x−1)²+ (y+3)²=25.

A

B d₁

I

d₂

Ví dụ 12. Viết phương trình đường tròn(C)có tâm nằm trên đường thẳngd:x−6y−10=0và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trìnhd₁: 3x+4y+5=0vàd₂: 4x−3y−5=0.

Lời giải.

Vì đường tròn cần tìm có tâmK nằm trên đường thẳng d nên gọiK(6a+10;a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d₁,d₂ nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kínhRsuy ra

|3(6a+10) +4a+5|

5 = |4(6a+10)−3a−5|

5

⇔ |22a+35|=|21a+35|

⇔



 a=0 a= −70

43

K d₁ d

d₂

• Vớia=0thìK(10; 0)vàR=7suy ra(C):(x−10)²+y²=49

• Vớia= −70 43 thìK

Å10 43;−70

43 ã

vàR= 7

43 suy ra(C): Å

x−10 43

ã2

+ Å

y+70 43

ã2

= Å 7

43 ã2

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là (C):(x−10)²+y²=49và(C):

Å x−10

43 ã2

+ Å

y+70 43

ã2

= Å 7

43 ã2

.

Ví dụ 13. Viết phương trình đường tròn tâmIthuộc đường thẳngd₁:x−y+1=0, bán kínhR=2 và cắt đường thẳngd₂: 3x−4y=0tại hai điểmA,Bthỏa mãnAB=2√

3.

Lời giải. TâmIthuộc đường thẳngd₁nên suy raI(a;a+1).

d(I,d₂) =  

R²−AB² 4 =

… 4−12

4 =1.

Do đó

|3a−4(a+1)|

»

3²+ (−4)²

=1⇔ |−a−4|=5⇔

ña=1 a=−9

• Vớia=1ta cóI(1; 2), phương trình đường tròn là:(x−1)²+ (y−2)²=4.

• Vớia=−9ta cóI(−9;−8), phương trình đường tròn là:(x+9)²+ (y+8)²=4.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, lập phương trình đường tròn đi qua ba điểmA(−1; 3),B(1; 4), C(3; 2).

Lời giải. Gọi phương trình đường tròn làx²+y²−2ax−2by+c=0. Do đường tròn quaA(−1; 3),B(1; 4),C(3; 2) nên ta có







(−1)²+3²−2(−1)a−2.3.b+c=0 1²+4²−2.1.a−2.4.b+c=0 3²+2²−2.3.a−2.2.b+c=0

⇔







2a−6b+c=−10

−2a−8b+c=−17

−6a−4b+c=−13

⇔













 a=5

6 b=11

6 c=−2

3 .

Phương trình đường tròn làx²+y²−5 3x−11

3 y−2 3 =0.