Các dạng toán về Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và cách giải | Toán lớp 7

(1)

DẠNG 6: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

I. LÝ THUYẾT:

1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c a c a c

(b d).

b d b d b d

 

    

 

Từ dãy tỉ số bằng nhau a c e

b d f ta suy ra:

a c e a c e a c e

b d f b d f b d f

   

   

    (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

2. Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c tức là ta có x y z a  b c. Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 6.1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên.

1. Phương pháp giải:

- Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số.

- Thực hiện phép chia phân số.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:

2,05 : 1,2 Giải:

Ta có: 2,05 : 1,2 = 41 6 41 5 41

: . .

20 5  20 6  24

Vậy tỉ số giữa hai số hữu tỉ 2,05 : 1,2 bằng tỉ số giữa hai số nguyên 41: 24 Dạng 6.2: Tìm hai số biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Để tìm hai số x và y biết tổng x + y = s hoặc hiệu x – y = d và tỉ số ^x ^a

y  b ta làm như sau ^x ^a ^x ^y

y   b a b

(2)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

x y x y s s s

x .a ; y .b;

a b a b a b a b a b

      

   

x y x y d d d

x .a ; y .b.

a b a b a b a b a b

      

   

Ví dụ 2: Tìm x, y biết:

a) x + y =60 và x y 9 11. b) y – x = 24 và x y

4  7. Giải:

a) x + y =60 và x y 9 11.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

x y x y 60

9 11 9 11 20 3.

    



x 3

9   x = 3.9 = 27.

y 3

11 x = 3.11 = 33.

Vậy giá trị cần tìm là x = 27, y = 33.

b) y – x = 24 và x y 4  7.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

x y y x 24

4 7 7 4 3 8.

    



x 8

4   x = 8.4 = 32.

y 8

7   x = 8.7 = 56.

Vậy giá trị cần tìm là x = 32, y = 56.

(3)

Dạng 6.3: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

Giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Ta làm như sau:

x y z x y z S

a b c a b c a b c

     

    Do đó,

S S S

x .a ; y .b; z .c

a b c a b c a b c

  

     

Ví dụ 4: Các cạnh của một tam giác có độ dài tỉ lệ với các số 3; 5; 7. Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác, biết chu vi của nó bằng 40,5 cm.

Giải:

Gọi độ dài các cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (cm, 0 < a, b, c < 40,5).

Vì độ dài các cạnh của tam giác lần lượt tỉ lệ với 3; 5; 7 nên a b c 3 5 7 Theo đề bài, ta có: a + b + c = 40,5.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a b c a b c 40,5

3 5 7 15 15 2,7

      

a 2,7

3  a = 2,7.3 = 8,1 (thỏa mãn) b 2,7

5  b = 2,7.5 = 13,5 (thỏa mãn) c 2,7

7   c = 18,9 (thỏa mãn)

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 8,1 cm; 13,5 cm; 18,9 cm.

Dạng 6.5: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.

(4)

Giả sử phải tìm hai số x, y biết x.y = P và ^x ^a. y  b Đặt x y

a  b k, ta có x = k.a, y = k.b.

Do đó x.y = (k.a).(k.b) = k².ab = P  ² P

k .

 ab Từ đó tìm được k rồi suy ra x và y.

Ví dụ 5: Tìm hai số x và y, biết rằng:

x y

3  4 và xy = 48.

Giải:

Đặt x y

k x 3k; y 4k.

3    4 

Vì x.y = 48 nên x.y = 3k.4k = 12k² = 48 k  2.

Với k = 2, ta có x = 3.2 = 6; y = 4.2 = 8.

Với k = –2, ta có x = 3.(–2) = –6; y = 4.(–2 )= –8.

Vậy cặp số x và y thỏa mãn bài toán là x = 6, y = 8; x = –6, y = –8.

Dạng 6.6: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Cho tỷ lệ thức a c

b  d. Cần chứng minh tỷ lệ thức ^x ^m

y  n theo k, ta thường làm các phương pháp sau:

Phương pháp 1. Chứng tỏ rằng: ad = bc.

Phương pháp 2: Đặt k là giá trị chung của a c

; .

b d Tính ^{x m};

y n theo k.

Phương pháp 3: Dùng biến đổi đại số và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.

Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: a c

b  d. Chứng minh:

(5)

a) a b c d

a c .

  

b)

a b 2 ab c d cd.

   

  

  Giải:

a) a b c d

a c .

 



(Áp dụng phương pháp 1)

Xét tích: (a – b)c = ac – bc; (1) a(c – d) = ac – ad. (2) Từ a c

b d ad = bc (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: (a – b)c = a(c – d) Do đó: a b c d

a c .

  

b)

a b 2 ab c d cd.

   

  

 

(Áp dụng phương pháp 2) Đặt a c

b  d ka = bk, c = dk.

2 2 2 2 2

2 2

a b bk b b (k 1) b

c d dk d d (k 1) d (1)

  

      

        

     

ab (bk).b b 2

cd (dk).d d (2)

    

  Từ (1) và (2) ta có

a b 2 ab c d cd.

   

  

  III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tìm x, y biết:

a) x y

9 11 và x + y =60

(6)

b) x y

4  7 và y – x = 24 Bài 2:Tìm các số x, y, z biết:

a) –x + y – z = 11 và 9x = 5y = 15z.

b) 3 8 6

x y z; 2x y z 6

7 13 19     .

Bài 3: Tìm diện tích của một hình chữ nhật có tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng 2 3và chu vi bằng 40cm.

Bài 4: Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số 3, 5, 7. Tính mỗi cạnh của tam giác, biết chu vi của nó bằng 40,5 cm.

Bài 5:Tìm x, y, z trong mỗi trường hợp sau:

a) x y z

3 12 5 và xyz = 0,225.

b) x y z

2  3 5 và xyz = 810 Bài 6: Cho a b c

b  c a . Chứng minh rằng: a = b = c Bài 7: Tìm hai phân số tối giản biết tổng của chúng là 29

36, các tử số theo thứ tự tỉ lệ với 7 và 5; các mẫu số theo thứ tự tỉ lệ với 3 và 2.

Bài 8: Ba lớp 7 có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng ⁸

9 số học sinh lớp 7A. Số học sinh lớp 7C bằng ¹⁷

16 số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Bài 9: Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ dương và a c b  d. Chứng minh rằng: (a + 2c) (b + d) = (a + c) (b + 2d) Bài 10: Cho a b c

b  c d. Chứng minh rằng:

a b c 3 a

b c d d

    

   

  .

Hướng dẫn giải:

(7)

Bài 1: Đáp án:

a) x = 27; y = 33 b) x = 32, y =56.

Bài 2:

a) x y z x y z 11

9x 5y 15z 495

1 1 1 1 1 1 1

9 5 15 9 5 15 45

  

       

  

 x = 55; y = 99; z = 33.

b) x = 112; y = 78; z = 152.

Bài 3:

Gọi chiều rộng, chiều dài là x, y Ta có ^x ^y;2x 2y 40

2  3   x 8, y 12

  

Diện tích hình chữ nhật là: 8.12 = 96 (cm²) Bài 4:

Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c Ta có a b c a b c 40,5

3 5 7 15 15 2,7

      

Suy ra a, b, c lần lượt là 8,1; 13,5; 18,9 (cm) Bài 5:

a) x y z

3 12 5 và xyz = 0,225.

3 3

x y z

3 12 5 k

x 3k, y 12k, z 5k

xyz 180k 22,5 k 0,125 k 0,5

  

   

      

3 5

x , y 6, z .

2 2

   

(8)

b) x y z

2  3 5 và xyz = 810

x y z x 3 x y z xyz 810

. . 27

2 3 5 2 2 3 5 30 30

         

x 3

 3

x 6, y 9, z 15.

   

Bài 6: Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức:

a b c a b c

b c a b c a 1

a b c

     

 

  

Bài 7: Gọi hai phân số cần tìm là x, y.

Từ giả thiết ta có: 7 5

x : y : 14 :15

 3 2  . Hai phân số là : 7 5

x ; y

18 12

 

Bài 8: Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là: a, b, c (0 < a, b, c < 153)

8 a b

b a

9 9 8

17 b c

c b

16 16 17

a b c

18 16 17.

  

  

Từ đó tính được: a = 54, b = 48, c = 51.

Bài 9:

a c a c

b d b d

  



a 2c a 2c

b 2d b 2d

   



a c a 2c

b d b 2d dpcm

 

  

 

Bài 10:

(9)

a b c a b c

b c d b c d

    

 

a b c 3 a b c a b c d b c d. . d

   

     

Vậy

a b c 3 a

b c d d.

    

   

 

(10)