Toán 11 Bài 2: Dãy số | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

Bài 2: Dãy số A. Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (n) 1 , n *

=2n 1 

− . Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Lời giải:

1 1 1

f (1) 1

2.1 1 2 1 1

= = = =

− −

1 1 1

f (2)

2.2 1 4 1 3

= = =

− −

1 1 1

f (3)

2.3 1 6 1 5

= = =

− −

1 1 1

f (4)

2.4 1 8 1 7

= = =

− −

1 1 1

f (5)

2.5 1 10 1 9

= = =

− −

Hoạt động 2 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa.

Lời giải:

+ Hàm số cho bằng bảng Ví dụ:

+ Hàm số cho bằng công thức Ví dụ: 2x 1

y x

= +

Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu: 1 1 1 1 1

; ; ; ; 1 3 5 7 9 Số hạng tổng quát của dãy số: 1

2n 1−

(

)

b) Năm số hạng đầu: 1; 4; 7; 10; 13

Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1

(

)

Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Lời giải:

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi là: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.

Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số (un) và (vn) với

n n

u 1 1; v 5n 1

= + n = − . a) Tính un+1, vn+1.

b) Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi n *. Lời giải:

a) _{n 1} 1

u 1

+ = + n 1 +

vn+1 = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4 b)

+ Ta có: _{n 1 n} 1 1

u u 1 1

n 1 n

+ − = + +    − + 

1 1

n 1 n

= −

+

( )

n (n 1) 1

0, n n(n 1) n n 1

− + −

= =   

+ +

Suy ra un+1 – un < 0 Vậy un+1 < un , n  *

+ Lại có: vn+1 – vn = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0 Suy ra vn+1 – vn > 0

Vậy vn+1 > vn , n *.

Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức

2

n 1

n 1 2 + và

n2 1

1, n * 2n

+    . Lời giải:

Ta có:

( )

( )

2

2 2

2n n 1

n 1

n 1 2 2 n 1

− +

+ − = +

( )

2 2

n 2n 1

2 n 1

− + −

= +

( )

( )

2 2

n 2n 1

2 n 1

− − +

= +

( )

2

2 *

(n 1) 2 n 1 0; n

= − −    +

Vì 2(n² + 1) > 0 và − −(n 1)²   0, n * Vậy ₂n 1

; n *

n 12   +

Lại có:

2 2

n 1 n 1 2n

2n 1 2n

+ − = + − (n 1)²

0; n * 2n

= −   

Vì 2n > 0 và (n 1)− ²   0, n N^* Vậy

2

n 1 * 2n 1, n

+    B. Bài tập

Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy số hạng tổng quát un cho bởi công thức.

a) _{n n}n u = 2 1

− b)

n

n n

2 1

u 2 1

= − + c)

n n

u 1 1 n

 

= +  d) _n

2

u n

n 1

= +

Lời giải:

a) _{n n}n u = 2 1

−

1 1

u 1 = 1

2 1

= − , _{2 2} 2

u 2

2 1= 3

= − , _{3 3} 3

u 3

2 1=7

= −

4 4

u 4

15 4

2 1=

= − , _{5 5} 5

u 31

5

2 1

= =

−

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là u1 = 1, ₂ 2

u = 3, ₃ 3

u = 7, ₄ 4

u =15, ₅ 5 u =31. b)

n

n n

2 1

u 2 1

= − +

1

1 1

2 1 1

u 2 1 3

= − = + ,

2

2 2

2 1 3

u 2 1 5

= − = + ,

3

3 3

2 1 7

u 2 1 9

= − = + ,

4

4 4

2 1 15

u 2 1 17

= − = + ,

5

5 5

2 1 31

u 2 1 33

= − = +

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là ₁ 1

u =3, ₂ 3

u =5, ₃ 7

u =9, ₄ 15

u =17, ₅ 31 u =33.

c)

n n

u 1 1 n

 

= + 

1 1

u 1 1 2

1

 

= +  = ,

2 2

1 9

u 1

2 4

 

= +  = ,

3 3

1 64

u 1

3 27

 

= +  = ,

4 4

1 625

u 1

4 256

 

= +  = ,

5 5

1 7776

u 1

5 3125

 

= +  =

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là u1 = 2, ₂ 9

u = 4, ₃ 64

u = 27, ₄ 625 u = 256,

5

u 7776

=3125. d) _n

2

u n

n 1

= +

1 2

1 1

u 1 1 2

= =

+ , ₂

2

2 2

u 2 1 5

= =

+ , ₃

2

3 3

u 3 1 10

= =

+ ,

4 2

4 4

u 4 1 17

= =

+ , ₅

2

5 5

u 5 1 26

= =

+

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là u₁ ¹

= 2 , ₂ 2

u = 5, ₃ 3

u = 10, ₄ 4 u = 17 ,

5

u 5

= 26 .

Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết:

u1 = – 1, un+1 = un + 3 với n 1 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 Lời giải:

a) u1 = – 1

u2 = u1 + 3 = – 1 + 3 = 2 u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5 u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8 u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: u1 = – 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11.

b) Chứng minh un = 3n – 4 (*) bằng phương pháp quy nạp:

Do u1 = – 1 = 3.1 – 4 nên (*) đúng với n = 1

Giả sử (*) đúng với n k,k 1=  , tức là chứng minh uk+1 = 3(k + 1) – 4 Thật vậy, từ giả thiết un+1 = un + 3, suy ra:

uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = (3k + 3) – 4 = 3(k + 1) – 4 Hay uk+1 = 3(k + 1) – 4

Do đó (*) đúng với n = k + 1

Vậy hệ thức đúng với mọi n *.

Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dãy số (un) cho biết:

2

1 n 1 n

u =3, u ₊ = 1 u , n 1+  .

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) Ta có:

2 2

2 1

u = 1 u+ = 1 3+ = 10

2 2

3 2

u = 1 u+ = 1 ( 10)+ = 11

2 2

4 3

u = 1 u+ = 1 ( 11)+ = 12

2 2

5 4

u = 1 u+ = 1 ( 12)+ = 13

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 3, u₂ = 10 , u₃ = 11,u₄ = 12, u5 = 13

b) Ta có:

u1 = =3 9 = 1 8+

u2 = 10 = 2 8+ u3 = 11= 3 8+ u4 = 12 = 4+8

u5 = 13= 5 8+

Từ trên ta dự đoán u_n = n+8, với n *(1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

Giả sử (1) đúng với n k 1=  , tức là có u_k = k+8 với k 1 , ta cần chứng minh uk 1₊ = (k 1) 8+ +

Theo công thức dãy số, ta có: u_{k 1+} = 1 u+ ²_k = 1 ( k+ +8)² = 1 k+ +8 (k 1) 8

= + +

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:

a) _n 1

u 2

= −n b) _n n 1

u n 1

= − +

c) un = (- 1)ⁿ (2ⁿ + 1)

d) _n 2n 1

u 5n 2

= + + Lời giải:

a) Ta có:

n 1 n

1 1

u u 2 2

n 1 n

+ − = − − + +

1 1 1

n 1 n n(n 1) 0

= − = − 

+ +

n 1 n, *

u ₊ u  n

Vậy (un) là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi n *ta có:

n 1 n

1 1

u 2 2 u

n 1 n

+ = −  −  +

Do đó (un) là dãy số giảm.

b) Xét hiệu _{n 1 n} n 1 1 n 1

u u

n 1 1 n 1

+

+ − −

− = −

+ + +

n n 1

n 2 n 1

= − −

+ +

n(n 1) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) + − − +

= + +

( )

2 2

n n n n 2n 2

(n 1)(n 2) + − − + −

= + +

( )

2 2

n n n n 2

(n 1)(n 2) + − + −

= + +

2 2

n n n n 2

(n 1)(n 2) + − − +

= + +

2 0

(n 1)(n 2)

= 

+ +

Suy ra u_{n 1+} u_n, n

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

Với mọi n * ta có:

n

n 1 n 1 2 2

u 1

n 1 n 1 n 1

− + −

= = = −

+ + +

un 1 1 1

(n 1 2

1 1

1

) n

+ = − = −

+ + +

Ta có:

1 1

n 2 n

 2

+ +

n 1 1

n

2

 − 2 −

+ +

1 1 2

n 1

2 n 1

 −  −

+ +

Suy ra u_{n 1+} u_n, n * Vậy (un) là dãy số tăng.

c) Ta có: u1 = -3; u2 = 5; u3 = - 9 suy ra u₁u₂ u₃

Nên (un) là dãy số không tăng, không giảm.

d) Với n *, u_n 0 ta có:

n 1 n

u 2n 3 5n 2

u 5n 7 2n 1

+ = +  +

+ +

2 2

10n 19n 6 10n 19n 7 1

+ +

= 

+ + Suy ra u_{n 1+} u_n, n *

Vậy (un) là dãy số giảm.

Cách khác: _{n 1 n} 2(n 1) 1 2n 1

u u

5(n 1) 2 5n 2

+

+ + +

− = −

+ + +

2n 3 2n 1

5n 7 5n 2

+ +

= −

+ +

( )( ) ( )( )

( )( )

2n 3 5n 2 2n 1 5n 7 5n 7 5n 2

+ + − + +

= + +

( ) ( )

( )( )

2 2

10n 15n 4n 6 10n 5n 14n 7

5n 7 5n 2

+ + + − + + +

= + +

(

)(

)

=   

+ +

Suy ra u_{n 1+} −u_n   0, n * Suy ra u_{n 1+} u_n, n *

Vậy (un) là dãy số giảm.

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

a) un = 2n² – 1

b) _n 1

u = n(n 2) + c) _{n 2}1

u = 2n 1

−

d) un = sin n + cos n Lời giải:

a) Ta có n 1 suy ra n² 1 suy ra 2n²  2 Suy ra 2n² − 1 1

Suy ra u_n   1, n *

Do đó (un) bị chặn dưới bởi 1

Ngoài ra (un) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để 2n2 − 1 M, n  *.

b) Dễ thấy u_n   0, n * Mặt khác, vì:

n 1 n2 1 2n 2

   

 



n(n 2) n2 2n 1 2 3

 + = +  + =

1 1

n n( 2) 3

 

+

n

u 1, n *

   3

n

0 u 1

  3 với mọi n *.

Vậy dãy số bị chặn.

c) Dễ thấy _{n 2}1

u 0

2n 1

= 

− với mọi n * Ta có:n²  1 2n²  2 2n²−  1 1 0 Suy ra ₂1

0 1, n *

2n 1

   

−

Vậy 0u_n   1, n *tức dãy số bị chặn.

d) Ta có: 1 1

sin n cos n 2 sin n cos n

2 2

 

+ =  +  2 sin n cos cos n sin

4 4

 

 

=  + 

 

2 sin n 4

 

=  + 

Vì 1 sin n 1

4

 

−   + 

Suy ra 2 2 sin n 2

4

 

−   + 

 

Suy ra − 2sin n+cos n 2, n  *

Vậy − 2u_n  2 n  *, tức là dãy số là dãy số bị chặn.