Hướng dẫn giải Ta có:

.

1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.

Bài 1. Cho dãy số

 

un xác định bởi : ¹

1

11

10 1 9 ,

n n

u

u _ u n n N

 

     

 . Xác định số hạng tổng quát của

dãy đã cho.

Hướng dẫn giải Ta có:.

1 2 3

11 10 1

10.11 1 9 102 100 2 10.102 1 9.2 1003 1000 3 u

u u

  

     

     

.

Dự đoán: un ¹⁰ⁿn ¹

 

. Chứng minh theo quy nạp ta có.

1 1 11 10 1

u    , công thức

 

1 đúng với n1. Giả sử công thức

 

1 đúng với nk ta có u_k 10^k k. Ta có: ^{uk 1 10 10}



^kk



^{ 1 9k10k1}



^k1



^.

Công thức

 

1 đúng với n k 1. Vậyu_n 10ⁿ n,  n N..

Bài 2. Cho dãy số(u_n) biết ¹

1

2

3 1, 2

n n

u

u u _ n

  

    

 . Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Hướng dẫn giải

1 1 1

1 3 1 1

3 1 3 3( )(1)

2 2 2 2

n n n n n n

u  u _  u   u _  u   u _  .

Đặt ¹ _{1 1} ^{1 5}

2 2 2

n n

v u     v u  . (1)v_n 3v_n1, n 2.

Dãy ( ) là v_n cấp số nhân với công bội là q3. Nên ₁. ^{1 5}.3 ¹

2

n n

vn v q ^  ^ .

Do đó ^{1 5}3 ^{1 1}, 1, 2,...

2 2 2

n

n n

u v    ^   n .

Bài 3. Cho dãy số

 

un xác định bởi ₁ 1; u ₁ ³ ₂ ⁴ , ^*

2 3 2

n n

u u n n

n n



  

         .Tìm công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số theo n.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Với mọi n ^*, ta có.

1 1

4 2 3

2 3( ) 2 3( )

( 1)( 2) 2 1

n n n n

u u n u u

n n n n

 

      

    .

1 1

3 3 3 3 3

2( ) 3( ) ( ).

2 1 2 2 1

n n n n

u u u u

n n n n

 

       

    .

Dãy số ( ), ³

n n n 1

v v u

 n

 là cấp số nhân có công bội ³

q 2 và ₁ ¹ v  2.

1 1

* *

3 1 3 1 3

. , ,

2 2 1 2 2

n n

n n

v n u n

n

 

     

                .

Bài 4. Cho hàm số f Z: ^Z^ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:.

(1) ^{f n}



^{ 1}



^{f n}

 

^{,  n Z..}

(2) ^{f }_^{f n}

 

^_^{ n 2000,  n Z..}

a/Chứng minh: ^{f n}



^{ 1}



^{f n}

 

^{,  n Z..}

b/Tìm biểu thức ^{f n}

 

^.

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a.

Vì ^{f n}

 

^Z nên từ giả thiết (1) ta được: ^{f n}



^1



^{ f n}

 

^{1,  n Z..}

Kết hợp giả thiết (2) ta được  n Z^..

     

2001 1 2000 1 1 2001

n  n   f f n  f f n   n do đó: ^{f n}



^{ 1}



^{f n}

 

^{1,  n Z..}

Câu b.

   

^{1 –1,}

  

¹

  

¹

 

^{1 –1}

f n  f n  n Z^ f f  f  f ,.

Suyra:^{1 2000 2  f}

 

^{1 –1 f}

 

^{1 1001 f n}

 

^{ n 1000, n Z.}

Thử lại thỏa các điều kiện, nên ^{f n}

 

^{ n 1000, n Z..}

Bài 5.

a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.

b)Cho dãy số

 

un có ¹

 

1

16

15 . 1

14 , 1

1

n n

u

u n u n

 n

 

 

   

 



. Tìm số hạng tổng quát u_n. Hướng dẫn giải

a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.

Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là ad a a, , d. Theo giả thiết ta có hệ:

 

^{2 2}

 

²

9

125 a d a a d

a d a a d

    



    

 .

2 2

3 9

3a 2d 125

3 7 a

a d

 

   

 

   

.

Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4.

b)Cho dãy số

 

un có ¹

 

1

16

15 . 1

14 , 1

1

n n

u

u n u n

 n

 

 

   

 



. Tìm số hạng tổng quát u_n.

Ta có: 1

  

1

   

15 . 1

14 14 1 15 . 1

1

n

n n n

u n u u n n u

 n 

       

 .



n 1



u_n1 15nu_n 14n 1

     (1).

Đặt v_n nu_n



 v1 16



.

(1) trở thành: v_n1 15v_n14n 1 v_n1



n 1



15



v_nn



(2).

Đặt w_n   v_n n



w115



.

(2) trở thành: w_n1 15w_n 

 

w_n là csn có w₁15,q15w_n 15ⁿ. Từ đó ta có: ¹⁵

n n

u n

n

  .

Bài 6. Cho dãy số

 

un xác định bởi : u₁1;u₂ 4;u_n2 7u_n1u_n  2, n *. Chứng minh : u_n là số chính phương với mọi n nguyên dương.

Hướng dẫn giải Ta có u₁1;u₂ 4;u₃ 25.

Đặt ²

n n 5

u v  thì ₁ ³; ₂ ¹⁸; ₃ ¹²³

5 5 5

v  v  v  .

Khi đó u_n2 7u_n1u_n   2, n * ₂ 2 ₁ 2 2

7 2, *

5 5 5

n n n

v_ v_  v  n

           

2 7 1 , *

n n n

v_ v _ v n

     .

Ta có : v_n2.v_nv_n²_1(7v_n1v_n).v_nv_n²_1v_n1(7v_n v_n1)v_n² v v_{n1 n1}v_n².

Suy ra : ₂. ²_{1 1 1} ² _{3 1 2}^{2 9}; *

n n n n n n 5

v_ v v_ v _v _ v  v v v   n .

Suy ra :

2

2 1

2 2 2 9

5 . 5 5 5

n n n

u _ u u _

         

     

      2



2



²1 1

2 4 4 4 9

5 25 5 25 5

n n n n n n

u _ u u _ u u _ u _ 

       

 

²

2 1 1 1

2 4 9

7 2

5 5 5

n n n n n

u _ u u _ u _ u _

      u_n2u_n u_n²_12u_n1 1 (u_n11) ;²  n *.

Từ hệ thức u_n2u_n (u_n11) ;²  n * và u u₁; ₂ là các số chính phương suy ra u_n là số chính phương với mọi n nguyên dương.

Bài 7. Cho dãy số

 

an n^_1 tăng, a_n   0 n 1, 2, 3,....và  0. Xét dãy số

 

xn n^_1 xác định bởi

1

1 1

n

i i

n

i i i

a a

x a a^



 





 . Chứng minh rằng tồn tại lim _n

n x

 . Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy rằng dãy

 

xn n^_1 tăng ngặt.

Trường hợp 1. Nếu  1.

1

1

1 1 1

1 1 1 1

i i

i i i i i i i

a a

a a^ a^ a a^ a^ a^





  

    

1

1 xn

a^

  vậy dãy

 

xn n^_1. bị chặn trên do đó tồn tại lim _n

n x

 . Trường hợp 2. Nếu 0  1.

 

1

1 1

1 1 1

i i *

i i i i

a a

a a^_ ^  a^ a^_

 

    

  thật vậy

 

^* ai^_1^1



ai_1ai



ai^_1ai^.

 

1 1

1 1

i i **

i

i i

a a

a a a

  

 ^

 



  

 . Ta chứng minh (**).

Xét hàm số ^{f x}

 

^x Trên đoạn



a a_i; _i1



rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số c



a a_i; _i1



thoả mãn ^'

 

^{1 1 1} 1^{1 1}

1 1 1

i i i i i i

i

i i i i i i

a a a a a a

f c c a

a a a a a a

     

 

 ^  ^

  



  

  

    

   đpcm.

Từ đó ta có.

1

1 xn

a^

  dãy

 

xn n^_1 bị chặn trên do đó tồn tại lim _n

n x

 . Bài 8. Cho dãy số

 

xn được xác định bởi : x₄ 1 và.

       

1 1 2 2 3 3 4 2 1,

n n

x _ x  n  n  n   n với mọi n4.. Tính giới hạn lim ₄ⁿ.

n

x

n .

Hướng dẫn giải Ta có: ¹



^n2

 

^{2 n 3}

 

^{3 n 4}



^...



^{n2 .1}



^.



^{n 1}



^{1 2}



^{n 1 2}



³



^{n 1}



^{3 ...}



^{n 2}

 

^{n 1}

 

^{n 2}



                  .



n 1 1 2 3 ...

 

n 2



1² 2² 3² ...



n 2



²

               .

=

  

²



¹

 

²



^{1 2}



³

 

¹



²



1 . 2 6 6

n n n n m n n n

n       

   .

Do đó ta suy ra : 1

  

³

 

1 2

6 *

n n n n

n n n

x _ x   x C

    .

Ta chứng minh x_n C_n⁴. Thật vậy với n4, ta có x₄  1 C₄⁴. Giả sử với n4 ta có : x_n C_n⁴.

Ta có : x_n1x_nC_n⁴ theo (*) hay x_n1 x_n C_n³C_n⁴C_n³ C_n⁴ trong.

 

4 4

! 1

lim lim .

4! 4 ! 6

n

n n

x n

n n n

   

 .

Bài 9. Cho hàm số ^{f : 0;}



^{ }

 

^0;



thỏa mãn điều kiện

 

^{3 1}

 

^{2 2}

f x  f 2 f x  x với mọi x0 . Chứng minh rằng ^{f x}

 

^{x với mọi x0.}

Hướng dẫn giải

Ta có: (3 ) ¹ (2 ) 2 (1) f x  f 2 f x  x .

Từ (1) suy ra 1 2 2 2

( ) ( ) , 0

2 3 3 3

x x x

f x  f  f    f x   x (2).

Khi đó 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 4 2

( ) .

2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 27 3

x x x x x x

f x  f  f    f    f     x. Xét dãy (a_n),



^{n1, 2,}



được xác định như sau: ₁ ²

a  3 và ₁ ^{1 2 2}

3 3

n n

a_  a  . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n ^* luôn có.

( ) _n

f x a x với x0 (3).

Thật vậy, khi n1 thì theo (2), ta có ngay (3).

Giả sử mệnh đề (3) đúng với nk. Khi đó.

1.

1 2 2 1 2 2 1 2 2

( ) . . .

2 3 3 2 3 3 2 3 3

2 2

3 . ^{k x}

x x x x x x

f x f f a f a a

k k k

ak x a _

    

   

    

 

     

  

.

Vậy (3) đúng với n k 1.

Tiếp theo ta chứng minh lima_n 1. Thật vậy, ta thấy ngay a_n   1 n ^*. Do đó:

1

1( 1)( 2) 0

n n 3 n n

a_ a  a  a   , suy ra dãy (a_n) tăng ngặt.

Dãy (a_n) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lima_n l thì ^{1 2 2}

3 3

l l  với l1, suy ra l1. Vậy lima_n 1.

Do đó từ (3) suy ra f x( )x với mỗi x0 (đpcm).

Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.

1. ^{f x}



^y



^{ f x}

 

^{ f y}

 

^{với mọi x y,  .}

2. ^{f x}

 

^{ex1 với mỗi x .}

Hướng dẫn giải



⁰

    

⁰

 

^{0 0}

f x  f x  f  f  và bởi vì ^f

 

^{0 e0 1 0 cho nên f}

 

^{0 0.}

           

⁰

 

¹

f x x  f x  f  x f x  f  x .

 

^{2 2 1}

2 2

x x x

f x  f     f     e  .

 

^{2 2 1}

 

^{4 4 1}

2 2

x x

x x

f x  e   f x  f     f     e  .

Dùng quy nạp theo n1, 2,... ta CM được ^{f x}

 

^2n^{e2xn 1}

 . Cố định x₀ ta có

 

0 2 ²⁰ⁿ 1

x

f x ne 

   

 . Xét dãy

0

2 2ⁿ 1

x n

an e 

   

  ta có:.

0

2

0 0

0

lim lim 1.

2

n

x

n

n

a e x x

x

 

  

  

 

 

.

Vậy f x

 

0 x0  x0

 

2 .

Vậy ^{f x}

 

^{ f}

 

^{    x x}

 

^{x 0}

 

^{3 .}

Kết hợp (1) và (3) ta được ^{f x}

 

^{ f}

 

^{ x 0.}

Từ (2) ^{ f}

 

^{   x x f x}

 

^x

 

⁴ . Kết hợp (2) và (4) ta được ^{f x}

 

^{  x x . Thử lại f x}

 

^x

ta thấy đúng. Vậy ^{f x}

 

^{ f}

 

^{    x x}

 

^{x 0}

 

^{3 .}

Kết hợp (1) và (3) ta được ^{f x}

 

^{ f}

 

^{ x 0.}

Từ (2) ^{ f}

 

^{   x x f x}

 

^x

 

⁴ . Kết hợp (2) và (4) ta được ^{f x}

 

^{  x x . Thử lại f x}

 

^x

ta thấy đúng.

Bài 11. Cho dãy số xác định bởi

1

2 1

2015 2016

, 1

n

n n

x

x x x n

 n

 

  

    

  



. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn

hữu hạn.

Hướng dẫn giải

Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có x_n 0  n 1 và dãy số đã cho là dãy tăng.

Ta có :.

2

2 1 1 1

2 2 2

3 2 1 1 1

2 ;

2 3 ;

4

x x x x

x x x x x x

  

     .

Giả sửx_k kx₁với k 1. Ta có:

2

2

1 ^k2 1 1 ( 1) 1

k k

x x x kx x k x

  k     .

Theo nguyên lý quy nạp ta có x_n nx₁  n 1.

Ta có : x_m    m 1 m 2017thật vậy :

 

1 1

1

1 1

1 1 1 2016

1 2015

1 2016

mx m m x m m m

       x    

 

;.

Do đó x_mmx₁ m1.

Ta có với  n 2thì

2 1 2

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

( 1) 1

n

n n n

n n n n n n n

x

x x n x

x x x x x x n x n n n n n



   

        

  .

Do đó  n 2018 thì

2018

2017 0 2017 2018

1 1 ⁿ 1 1

n i i i

x x x x



  

 

    

 



2018

0

1 1 1 1 1

2016 2017 2016 1 2016

n

i i i n





    

    

 



^.

Suy ra ²⁰¹⁷

2017 2017

2016

1 1 1

2016 0 ⁿ 2016

n

x x

x  x     x

 .

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

Bài 12. Cho dãy số(u_n)xác định như sau

1 2

1 1

1; 2

3 1

2 2 2

n n n

u u

u _ u u _ n

 



    

 .

a) Xác định số hạng tổng quát u_n. b) Tính lim _n

n

u

 .

Hướng dẫn giải

Biến đổi ta được: 1



1



1

n n 2 n n

u _ u  u u _ với v_n1u_n1u_n khi đó: ₁ ¹ , 2

n 2 n

v _  v  n . nghĩa là dãy v v₂, ,... ,...₃ v_n là một cấp số cộng của ₂ 1; ¹

v  q2.

1

1 1 2

1 2 3

2 2 1

2 2

... ...

1 1 1

1 1 ... 3

2 2 2

n n n

n n n

n n

n n

n

v u u

v u u

u u v v v

v u u

u



  

 

  

       



  

     

            .

1 2

lim lim 3 3

2

n

x un x



 

   

      .

Bài 13. Cho dãy số

 

un được xác định như sau.

 

2

1 2011; _n 1 _n 1 _n

u  u _ n u _ u ,.

với mọi n ^*,n2. Chứng minh rằng dãy số

 

un có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi của dãy ta được.

   

1 2 2 2 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 ... 1 1 ... 1

1 1 2

n n n

u u u u

n ^ n n ^ n n

   

       

                   .

Do đó

    

 

²

2 2 2

1 1 2 4.2 3.1 1

. ... . .2011 .2011

3 2 2

n 1

n n n n n

u n n n

   

 

 . Từ đó lim ²⁰¹¹

n 2

u  .

Bài 14. Cho dãy số

 

un xác định bởi

 

1 1 3 ^{4 2 *}

2014, 2013 ,

4026

n n

n n

u u u n

u u



    

  .

Đặt ₃ ^*

1

1 ,

2013

n n

k k

v n

 u

  



 ^{. Tính limvn.}

Hướng dẫn giải

Cho dãy số

 

un xác định bởi

 

1 1 3 ^{4 2 *}

2014, 2013 ,

4026

n n

n n

u u u n

u u



    

  .

Đặt ₃ ^*

1

1 ,

2013

n n

k k

v n

 u

  



 ^{. Tính limvn.}

Ta có

   

 

4 2 3

1 3 2

2013 2013

2013 2013 2013

4026 1 4026

n n

n n

n n n n

u u

u u

u u u u



 

    

    .

Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được u_n 2013, n ^*.

   

  

³

  

1 3

2013 2013

2013 1

2013 2013

n n

n

n n

u u

u

u u



 

 

   .

Từ

 

^{1 suy ra} _{3 3}

1 1

1 1 1 1 1 1

2013 2013 2013 2013 2013 2013

n n n n n n

u _ u u u u u _

      .

Do đó

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2013 2013 2013 2013 1 2013

n n

k k k n n

v _ u u _ u u _ u _

 





           ^. Ta chứng minh limu_n  .

Thật vậy, ta có ^{2 2}

 

² *

1 3 3

4026 2013 2013

4026 4026 0,

n n n

n n

n n n n

u u u

u u n

u u u u



  

     

    .

Suy ra

 

un là dãy tăng, ta có 2014u₁u₂....

Giả sử ngược lại

 

un bị chặn trên và

 

un là dãy tăng nên limu_n   a thì a2014. Khi đó

4 2

3

2013 4026 a a

a a

 

   a 20132014 (vô lý). Suy ra

 

un không bị chặn trên, do đó limu_n  . Vậy

1

lim lim 1 1 1

n 2013

k

v u _

 

     .

Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 

un biết.

 

1

2

2 3 2

1 2

1 2 673

2( 2) ( 4 5 2)

, 1

3

n n

n

u u

n u n n n u

u n n

n

 

 

 

     

   

 



.

Hướng dẫn giải

Vì

2 3 2

1 2

2( 2) ( 4 5 2)

3

n n

n

n u n n n u

u n

 

    

  nên ta có:.

2 2

2 1

(n3)u_n 2(n2) u_n  (n 2)(n1) u_n.

2

2 1

3 2( 2) ( 1)

2 ^{n n n}

n u n u n u

n ^{ }

     

 .

2

2 1 1

3 ( 3) ( 1) ( 1) .

2 ^{n n n n}

n u n u n u n u

n ^{  }

       

 .

Đặt u_n n v! _n, n ,n1 thu được.

2 1 1

(n3)v_n (n3)v_n  (n 1)v_n  (n 1)v_n.

2 1 1

(n 3)(v_n v_n) (n 1)(v_n v_n).

      .

Đặt w_n v_n v_n1, n ,n2 thu được.

(n1)w_n (n1)w_n1.

(n 1)nw_n n n( 1)w_n1

    .

Do đó.

1 2 2

2 1

( 1) ( 1) ( 1)( 2) ... 3.2.

6( ) 2016.

n n n

n nw n n w n n w w

v v

 

       

   .

Như vậy ²⁰¹⁶ 2016 ^{1 1}

( 1) 1

wn

n n n n

 

      ,n ,n2. Từ đó, với n ,n1, ta có.

1

1 1 1

2016 2016

2 1 1

n

v v n

n n

  

       . 4033 4031

2( 1)

n

v n

n

  

 . Vậy !^{4033 4031},

2( 1)

n

u n n

n

 

 n ,n1.

Bài 16. Cho dãy số

 

un xác định bởi ₁ 1; u ₁ ³ ₂ ⁴ , ^*

2 3 2

n n

u u n n

n n



  

         . Tìm công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số theo n.

Hướng dẫn giải

Vì ₁ 3 ₂ 4

uⁿ 2 ⁿ 3 2

u n

n n



  

      nên.

  

1 2

3 4 1,5 6

2 u .

2 3 2 1 2

3 _n

n

n n

n n

u n n



  

  

   

 .

1

1, 5 1, 5

2 u 2. .

3 2 3

n 1

n u n

   n

    .

1

1, 5 1, 5

2 u 2. 3.

2 3

n 1

n n u

   n

 

  .

1

1,5 3 1,5

u 3.

2 2 1

n un

n n



    

     

  

 

 .

Đặt ^{1, 5}

n n 1 v u

 n

 , khi đó ta có: ₁ ³

n 2 n

v _  v . Lại có: _{1 1} ^{1, 5 1}

2 4

v  u  .

Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy

 

vn là:

3 1 1 2 .4

n

vn

  

    .

Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy

 

un

là:

 

1,5 3 1 1 3

1 2 .4 2 1

n

n n

u v

n n

  

        .

Bài 17. Cho dãy số

 

un xác định bởi u₁ 1 và u_n1 3u_n²2 với mọi n1. a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số

 

un .

b) Tính tổng S u₁²u₂²u₃² ... u₂₀₁₁² .

Hướng dẫn giải a) Dễ thấy u_n   0, n N^*.

Từ u_n1 3u_n² 2 u_n²_1 3u_n²2.

Đặt v_n u_n² thì có: v_n13v_n 2 v_n1 1 3



v_n1



.

Đặt x_n v_n1 thì ta có:x_n13x_n. Từ đây suy ra

 

xn là cấp số nhân với x₁2, công bội là 3.

Nên: x_n 2.3^n1v_n 2.3^n1 1 u_n  2.3^n11. b) S 2.3⁰2.3¹2.3² ... 2.3²⁰¹⁰2011.



^{0 1 2 2010}



2 3 3 3 ... 3 2011

      .



²⁰¹¹



2 3 1

3 1 2011

  



32011 2012

  .

Bài 18. Cho dãy số

 

un được xác định bởi u₁ 1 và u_n1u_n2ⁿ với mọi n1. a) Chứng minh rằng: u_n 2ⁿ1.

b) Tính tổng S  u₁ u₂  u₃ ... u_n theo n.

Hướng dẫn giải a) Khi n1: u₂  u₁ 2¹  1 2 2²1 đúng.

Giả sử u_k 2^k1 đúng với k1,kN . Ta chứng minh: u_k12^k11.

Thật vậy: u_k1u_k2^k 2^k 1 2^k 2^k11.

b) ^{S }



^{21 1}

 

^{22  1}



^...



^{2n   1}



^{21 22 ... 2nn.}

2 1 1

2. 2 2

2 1

n

S    n n^  n

 .

Bài 19. Cho dãy số(u_n) xác định như sau:

1

1

2

2 1 ( 1, )

1 ( 2 1)

n n

n

u

u u n n

 u

 

  

   

  



.

a) Chứng minh: tan 2 1 8

   .

b) Tính: u₂₀₁₅.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2

2 tan 1 tan tan 8

4 8 8 1 tan

8

   

  

     

tan2 2 tan 1 0

8 8

 

    .

tan 2 1

8

tan 2 1

8





  

 

   



tan 2 1

8

    (Vì tan 8

 dương).

b) Đặt u₁ 2tana, ta có: ₂

tan tan

8 tan( )

1 tan . tan 8 8 a

u a

a

 



   



, ₃

tan( ) tan

8 8 tan( 2. )

1 tan tan( ) 8

8 8

a

u a

a

 



 

 

  

 

.

Ta chứng minh: tan( ( 1) ), 1,

n 8

u _ a_{ }n  _{ }n n_

(*).

Với n1: u₁ tana đúng.

Giả sử (*) đúng với nk, k1, hay ta có: tan( ( 1) )

k 8

u _ a_ k_  .

Ta có: ₁

tan( ( 1) ) tan

2 1 8 8 tan( . )

1 ( 2 1) 1 tan( ( 1) ). tan 8

8 8

k k

k

a k

u u a k

u a k

 



 



  

 

   

    

.

Vậy (*) đúng với n k 1. Vậy tan( ( 1) ), 1,

n 8

u _ a_{ }n  _{ }n n_ .

Cho n2015, ta có: ₂₀₁₅ tan( 2014. ) tan( ³ 251 ) tan( ³ )

8 4 4

u  a   a     a  .

tan( ) 2 1

4 2 1

a  

  



2 2

( 2 1) tan 8

    .

Bài 20. Cho dãy số thực

 

un với

1 2

2 1

1 1

n 2 n n

u u

u _ u _ u

 

  

  



(nN*).

a) Chứng minh u_n  3 2n với mọi nN^*. b) Tính tổng S  u₁ u₂ ... u₂₀₁₂.

Hướng dẫn giải a) Dùng phương pháp qui nạp.

1 1 3 2.1

u    , u₂  3 2.2 1.

Giả sử u_k  3 2k



^{k 3}



^.

Ta có: u_k12u_ku_k1 2(3 2 ) (3 2( k   k1)). 1 2k 3 2(k 1)

     .

Vậy u_n  3 2n với mọi nN^*.

b)S (3 2.1) (3 2.2) ... (3 2.2012)   . 3.2012 2(1 2 ... 2012)

     6036 2013.2012  4044120.

Bài 21. Cho dãy số

 

vn với

1

* 2

2 1

8

34 ( )

8 1996

n n n

v

v n N

v _ v _ v

 

  

  



.

Tìm số dư khi chia v₂₀₁₃ cho 2011 .

Hướng dẫn giải

Xét dãy số

 

un với

1

* 2

2 1

8

34 ( )

8 15

n n n

u

u n N

u _ u _ u

 

  

  



.

Ta có vn un



^{mod 2011}



với mọi nN^*. Xét phương trình đặc trưng:t² 8t 150. Phương trình trên có nghiệmt5,t3.

 

un có dạng u_n  A.5ⁿB.3ⁿ. Vì u₁5,u₂ 13 nên 5 3 8

25 9 34

A B

A B

 

  

 .Ta có:A B 1.

Ta có: u_n 5ⁿ3ⁿ.

Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có:^{520101 mod 2011}

 

^.

 

32010 1 mod 2011 .

Suy ra ⁵²⁰¹³125 mod 2011

 

,³²⁰¹³ 27 mod 2011

 

. Vậy khi chia u₂₀₁₃ cho 2011 ta được số dư là 152 . Suy ra khi chia v₂₀₁₃ cho 2011 ta được số dư là 152 . Bài 22. Cho dãy số

   

1

* 1

: 1

3 2 2, ( )

n n

n n

u u

u _ u n

 

    

 .

a) Chứng minh dãy số

 

un là