Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi - Phạm Thị Thu Huyền - TOANMATH.com

CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên

Ví dụ 1.1: Cho dãy số

 

un có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19; 29; 41;55;...  Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?

Bài giải:

Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:

Đặt:  u_k u_k1u_k ²u_k  u_k1 u_k

3 2 2

1

k k k

u u _ u

     ……..

Ta lập bảng các giá trị u_k,²u_k,³u_k...nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận u_n là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó.

Lời giải:

Bảng giá trị ban đầu:

uk 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55 uk

 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

2

uk

 2 2 2 2 2 2 2 2

Ta thấy hàng của ²u_k không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:

 

2 0

un an bn c a  (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.

Tìm a b c, , như sau:

Cho n1;2;3 thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau:

1 1

4 2 1 5

9 3 1 5

a b c a

a b c b

a b c c

   

 

       

 

      

 

2 5 5

un n n

   

Số hạng tiếp theo u₁₁71

Ví dụ 1.2: Cho dãy số

 

có dạng khai triển sau:  5; 3;11;43;99;185;307; 471;....

Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo Bài giải:

Bảng giá trị ban đầu

uk -5 -3 11 43 99 185 307 471

uk

 2 14 32 56 86 122 164

2

uk

 12 18 24 30 36 42

3

uk

 6 6 6 6 6

Ta thấy hàng của ³uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba:

 

3 2 0

un an bn cnd a (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.

Tìm a b c d, , , như sau:

Cho n1;2;3;4 thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau:

5 5 1

8 4 2 3 7 3 2 0

27 9 3 11 26 8 2 16 5

64 16 4 43 63 15 3 48 1

a b c d a b c d a

a b c d a b c b

a b c d a b c c

a b c d a b c d

          

  

           

  

           

  

           

  

3 5 1

un n n

   

Hai số hạng tiếp theo là: u₉ 683; u₁₀949

Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau:

     

2 5 5 . 1 2 3

un n  n P n n n n (Của ví dụ 1.1)

     

3 5 1 1 2 3 4

un n  n P n n n n n (của ví dụ 1.2) Với ^{P n}

 

là một đa thức bất kỳ

Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn.

Bài tập tương tự:

Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số 1) 8;14; 20; 26;32;... (Đs: u_n 6n2) 2) 1; 2; 2;1;7;16;28;43;61;...  (Đs: ^{3 2 15} 7

2 2

un  n  n ) 3) 1;6;17;34;57;86;121;... (Đs: u_n 3n²4n2)

4) 2;3;7;14; 24;37;... (Đs: ^{3 2 7} 4

2 2

un  n  n )

5) 3;5;10;18;29;... (Đs: ^{3 2 5} 4

2 2

un  n  n ) 6) 2;1;5;14; 28; 47;71;100;134;173; 217;.... (Đs: ^{5 2 17} 8

2 2

un  n  n ) 7) 2; 2;8; 26;62;122; 212;338;.... (Đs: u_n n³3n²2n2) DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy

 

un biết ¹

1 ,

n n

u a

u _ qu d

 

  



1 n Với q d, là các hằng số thực.

GIẢI:

 Trường hợp 1: Nếu q0 ¹

1 ,

n

u a u _ d

 

   n1  u₁ a, u_n   d, n ^*,n2

 Trường hợp 2: Nếu q1 ¹

1 ,

n n

u a u _ u d

 

    n1



 

un là cấp số cộng với số hạng đầu u₁a và công sai bằng d un  a



n¹



d

 Trường hợp 3: Nếu d 0 ¹

1 ,

n n

u a u _ qu

 

   n1



 

un là cấp số nhân với số hạng đầu u₁a và công bội bằng q u_n a q. ^n1

 Trường hợp 4: Nếu q0,q1,d 0. Đặt dãy

 

vn sao cho

n n 1 u v d

  q

 (1) Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:

1 1 1

n n

d d

v q v d

q q



 

      

1 ,

n n

v _ qv

  n1

 

vn

 là một cấp số nhân với số hạng đầu _{1 1}

1 1

d d

v u a

q q

   

  và công bội

bằng q

1, 1

1

n n

v a d q n

q

  

     

1

1 1 1

n

n n

d d d

u v a q

q q q

  

         

Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

 

un biết:

1) ¹

1

1

n n 3,

u u _ u

  

  

 n1 (Đs: u_n 3n4)

2) ¹

1

1

2 3,

n n

u

u _ u

 

  

 n1 (Đs: u_n 4.2^n13)

Giải:

1) ¹

1

1

n n 3,

u u _ u

  

  

 n1

Vì u_n1 u_n3, n1

 

un

 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ 1 và công sai d 3

   

1 1 1 3 1 3 4

un u n d n n

          2) ¹

1

1

2 3, 1

n n

u

u _ u n

 

   



Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q1,d 3 Đặt dãy

 

vn sao cho: 3

1

n n n

u v d v

  q  

 (1)

Thay (1) vào công thức truy hồi ta được v_n1 3 2



v_n  3



3 v_n1 2v_n



 

vn là cấp số nhân với số hạng đầu v₁    u₁ 3 1 3 4 và công bội q2 v_n 4.2^n1 2^n1

u_n   v_n 3 2^n13 Nhận xét: Câu 1: ¹

1

1

n n 3,

u u _ u

  

  

 n1 Còn có các cách sau:

Cách 2:

Ta có: u₁ 1

2 1 3

u  u

3 2 3

u u 

……..

1 3

n n

u u _ 

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:

1 2 3 ... _n 1 1 2 3 ... _n 1 3( 1) u   u u u    u u  u u _  n

 

1 3 1

un n

    

3 4

un n

   Cách 3:

Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy

 

un là:

1; 2;;5;8;11;14;17;....



uk -1 2 5 8 11 14 17

uk

 3 3 3 3 3 3

 

, 0

un an b a

    (1)

Thay n1 và n2 thay vào (1) ta được: ^{1 3}

2 2 4

a b a

a b b

   

 

     

 

u_n 3n4

Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

 

un biết:

1) ¹

1

1

n n 7,

u u _ u

 

  

 n1 (Đs: u_n 7n6)

2) ¹

1

3

n 2 ,n

u

u _ u

 

 

 n1 (Đs: u_n 2 .3^n1 )

3) ¹

1

1 2 1,

n n

u

u _ u

  

  

 n1 (Đs: u_n  1)

4) ¹

1

5 4

2 3, 4

n n

u

u _ u

 

  

 n1

(Đs:

4 3 2 

 ⁿ

un )

5) ¹

1

1

2 1, 3

n n

u

u _ u

 

  

 ^n1 (Đs:

3 1 2 

 ⁿ

un )

Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì:

- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát.

- Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy số mới

 

vn liên hệ với dãy số

 

un bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số

 

vn mà

 

vn dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân.

- Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa

 

un và

 

vn bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy số

 

vn thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau:

LOẠI 2.1: ¹

1 ,

n n

u a

u _ qu cn d

 

   

 n1 với q c d, , R và q c, 0 GIẢI:

 Trường hợp 1: Nếu q1 ¹

1

n n

u a

u _ u cn d

 

     Cách 1:

Ta có: u₁ a

u₂  u₁ c.1d u₃ u₂c.2d u₄ u₃c.3d ………….

u_n u_n1c n.



 1



d

Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được:

un  a c^.1c^.2c^{.3 ...} c n^.



 ¹

 

n¹



d



¹

  

¹

2

a cn n n d

   

Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền)

 Trường hợp 2: Nếu q1 Đặt dãy

 

vn sao cho:

1

n n

u v cn

  q

 , thay vào công thức truy hồi ta được

 

1

1

1 1

n n

c n cn

v q v cn d

q q



  

       

1 1

n n

v qv d c

 q

   

 Từ đó ta có dãy

 

vn với

1 1

1

1 1 ',

n n n

v u c

q

v qv d c qv d

 q

  

 



     

 



1

n Khi đó dãy

 

vn lại có DẠNG 1

Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

 

un biết:

1) ¹

1

5

3 2,

n n

u

u _ u n

 

   

 n1 (Đs: ^{3 2 7 14}

2

n

n n

u    )

2) ¹

1

11

10 1 9 ,

n n

u

u _ u n

 

   

 n1 (Đs: u_n 10ⁿn)

3) ¹

1

1

3 6 1

n n

u

u _ u n

 

   

 (Đs: u_n 3n 1 3ⁿ)

Bài giải:

1) ¹

1

5

3 2,

n n

u

u _ u n

 

   

 n1

Cách 1:

Ta có:

1 5

u 

2 1 3.1 2 u  u 

3 2 3.2 2 u u  

4 3 3.3 2 u u  

5 4 3.4 2 u u  

…………..

 

1 3. 1 2

n n

u u _  n  Cộng vế với vế ta được:

   

³



¹

  

^{3 2 7 14}

5 3.1 3.2 3.3 .... 3. 1 2 1 5 2 1

2 2

n

n n n n

u n n  n  

              

Cách 2:

Ta có dạng khai triển của dãy số

 

un là:

5;6;10;17; 27; 40;56;75;...

uk 5 6 10 17 27 40 56 75

uk

 1 4 7 10 13 16 19

2

uk

 3 3 3 3 3 3

2

un an bn c

    (*)

Thay n1,n2,n3 vào (*) ta được:

3 5 2

4 2 6 7

9 3 10 7 2

a a b c

a b c b

a b c

c

 

  

 

      

 

    

  



2 2

3 7 3 7 14

2 2 7 2

n

n n

u n n  

    

2) ¹

1

11

10 1 9 ,

n n

u

u _ u n

 

   

 n1

Đặt dãy

 

vn sao cho: u_n  v_n n n, 1 Thay vào công thức truy hồi ta được:

 

1 1 10 1 9

n n

v _   n v n   n

1 10

n n

v _ v

 

 

vn

 là một cấp số nhân với số hạng đầu v₁   u₁ 1 10 và công bội q10 10.10ⁿ 1 10ⁿ

vn ^

  

10ⁿ

un n

  

3) ¹

1

1

3 6 1

n n

u

u _ u n

 

   



Đặt dãy

 

vn sao cho: u_n  v_n 3n, thay vào công thức truy hồi của dãy

 

un ta được:

   

1 3 1 3 3 6 1

n n

v _  n  v  n  n

1 3 2

n n

v _ v

  

 

vn

 được xác định bởi: ^{1 1}

1

3 2

3 2,

n n

v u v _ v

   

  

 n1

Đặt dãy

 

yn sao cho v_n  y_n1,n1, thay vào công thức truy hồi của dãy

 

vn ta được

 

1 1 3 1 2

n n

y _   y  

1 3

n n

y _ y

 

 

yn

 là một cấp số nhân với số hạng đầu y₁      v₁ 1 2 1 3 và công bội q3 3.3ⁿ 1 3ⁿ

yn   ^   3ⁿ 1 vn

   

Vây: u_n    3ⁿ 1 3n

Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

 

un biết:

1) ¹

1

99

2 1,

n n

u

u _ u n

 

   



1

n (Đs: u_n 100n²)

2) ¹ ₃

1

1

n n ,

u

u _ u n

 

  

 ^n1 (Đs: 3 3

 

³



1



²

1 1 2 ... 1

n 2

u n n n 

        

  )

3) ¹ ₂

1

1

2 , 1

n n

u

u _ u n n

 

   

 (Đs: ^{un  1 2 1}



^{2 22 32 ....}



^n1



²



^{ 1}



^n1

 

ⁿ₃^2n1



LOẠI 2.2: Cho dãy

 

un xác định bởi: ¹

1 ⁿ,

n n

u a

u _ qu rc

 

  



1

n với q0 GIẢI:

 Trường hợp 1: Nếu q1 ¹

1 ⁿ,

n n

u a u _ u rc

 

    1

n ta có thể làm bằng phương pháp sau:

Ta có: u₁ a u₂  u₁ rc¹ u₃u₂rc² u₄ u₃rc³ ………..

u_n u_n1rc^n1

Cộng vế với vế ta được:

_{2 3 1}



^{1 1}



( .... )

1

n n

n

c c r

u a c c c c r a

c



 

       



 Trường hợp 2: Nếu cq ¹

1 ⁿ,

n n

u a

u _ qu rc

 

    1 n Đặt dãy

 

vn sao cho: u_n v_n ^rcn

 c q

 , thay vào công thức truy hồi ta được

1 1

n n

n

n n

rc rc

v q v rc

c q c q





 

      

1

n n

v _ qv

 

 

vn

 là một cấp số nhân với số hạng đầu v₁ u₁ ^rc a ^rc

c q c q

   

  và công bội

bằng q

1 n n

v a rc q

c q

  

    

1

n n

n

n n

rc rc rc

u v a q

c q c q c q

  

         

 Trường hợp 3: Nếu cq ¹

,

n

n n

u a u qv rq

 

    ^n1

Đặt dãy số

 

vn sao cho: u_n q vⁿ. _n, thay vào công thức truy hồi của dãy

 

un ta được

 

1 1

n n n

n n

q ^v _ q q v rq

1

n n

v v r

 q

  

 

vn

 là một cấp số cộng với số hạng đầu v₁ ^{u1 a} q q

  và công sai d ^r

q

Ví dụ 2.3: Cho dãy

 

un biết









 











n n

n u

u u

2 1 1

1 1

với nN^*.

Xác định số hạng tổng quát của dãy

 

un (Đs:

1 1

2 2

n

un

  

     ) Bài giải:

Cách 1:

Ta có:

1 1

u 

2 1

1 u  u 2

2

3 2

1 u u     2

3

4 3

1 u u     2

…………

1 1

1 2

n

n n

u u



  

    

Cộng vế với vế ta được:

2 1 1 1

1 1 1 1 2 1

1 ... 2

2 2 2 1 1 2

2

n

n n

un

   

  

       

               Cách 2:

Đặt dãy số

 

vn sao cho:

1

2 2. 1

1 2

2

n

n

n n n

u v v

    

      

   thay vào công thức truy hồi ta được:

1 1

1 1 1

2 2

2 2 2

n n n

n n

v v



               

1

n n

v _ v

 

 dãy

 

vn được xác định bởi: ^{1 1}

1

2 1 1 1 2 2

n v

v u v _ v

      

   

 



1 2, 1

vn v n

    Vậy:

1 1 1

2 2 2

2 2

n n

un

    

        

Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số

 

un với:

1) ¹

1

8

2 3 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n

 

   

 (Đs: u_n 5.2^n13ⁿ)

2) ¹

1

1

5 3 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n

 

   

 (Đs: ^{un 1}₂



^3n5n1



⁾

3) ¹ ₁

1

101

7 7 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u ^ n

 

   

 (Đs: u_n n.7ⁿ 94.7^n1)

4) ¹

1

1

2 6.2 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n

 

   

 (Đs: u_n 3 .2n ⁿ5.2^n1)

5) ¹

1

0

2 .3 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n n

 

   

 (Đs: ^{3 3 1} .3

2

n

n

un n

 

  )

1) ¹

1

8

2 3 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n

 

   



Đặt u_n  v_n 3 ,ⁿ n1 thay vào công thức truy hội của dãy

 

un ta được:

 

1

1 3ⁿ 2 3ⁿ 3ⁿ

n n

v _  ^  v  

1 2

n n

v _ v

 

 

vn

 là một cấp số nhân với số hạng đầu v₁   u₁ 3 5và công bội q2 5.2ⁿ 1

vn ^

 

5.2ⁿ 1 3ⁿ un ^

   2) ¹

1

1

5 3 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n

 

   



Đặt ³

2

n

n n

u  v thay vào công thức truy hồi ta được

1 1

3 3

5 3

2 2

n n

n

n n

v v





 

    

 

1 5

n n

v _ v

 

 

vn

 là một cấp số nhân với số hạng đầu _{1 1} ^{3 1}

2 2

v    u và công bội q5 1 1

2.5

n

vn ^

  

 

1 1

1 1 1

.5 .3 3 5

2 2 2

n n n n

un ^{ }

     

3) ¹ ₁

1

101

7 7 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u ^ n

 

   



Đặt u_n 7ⁿv_n thay vào công thức truy hồi ta được

1 1

7^n v_n1 7.7ⁿv_n7^n

1 1

n n

v _ v

  

 

vn

 là một cấp số cộng với số hạng đầu ₁ ^{1 101}

7 7

v u  và công sai d 1

101 94

7 1 7

vn n n

      .7ⁿ 94.7ⁿ 1

un n ^

  

4) ¹

1

1

2 6.2 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n

 

   



Đặt u_n 2ⁿv n_n, 1 thay vào công thức truy hồi ta được

1

2^n v_n1 2.2ⁿv_n6.2ⁿ

1 3

n n

v _ v

  

 

vn

 là cấp số cộng với số hạng đầu ₁ ^{1 1}

2 2

v u  và công sai d 3

 

1 5

1 3 3

2 2

vn n n

      5 1

3 .2 3 .2 5.2 2

n n n

un  n  n ^

     

 

5) ¹

1

0

2 .3 ,ⁿ 1

n n

u

u _ u n n

 

   



Đặt u_n 3ⁿv n_n, 1 thay vào biểu thức truy hồi của dãy

 

un ta được

1

3^n v_n1 3ⁿv_n 2 .3n ⁿ

1

1 2

3 3

n n

v _ v n

  

 dãy

 

vn xác định bởi

1 1

1

2 0

1 2

3 3 ,

n n

v u

v _ v n

  



  



1 n

Đặt vn  ynn thay vào công thức truy hồi của dãy

 

vn ta được

 

1

1 2

1 3 3

n n

y _   n y n  n

1

1 1

3

n n

y _ y

  

 

yn

 xác định bởi ^{1 1}

1

1 1

1 1,

n 3 n

y v y _ y

   



  



1 n

Đặt ³

n n 2

y  t thay vào công thức truy hồi của dãy

 

yn ta được

1

3 1 3

2 3 2 1

n n

t _   t  

1

1 3

n n

t _ t

 

 

tn

 là một cấp số nhân với số hạng đầu _{1 1} ³ 1 ^{3 1}

2 2 2

t      y và công bội ¹ q3

……….

3 3 1

2 .3

n

n

un n

 

  

LOẠI 2.3: Cho dãy số

 

un xác định bởi:

1

1 ⁿ ,

n

n

u a u cu

q du



 

 

 



n1

GIẢI:

Đặt dãy số

 

vn sao cho: n ¹ n

u v thay vào công thức truy hồi của dãy

 

un ta đươc

1

1 _n

n

n

c v v d

q v







1

1

n n

c v _ qv d

 



1

n n

q d

v v

c c

   

 

¹

1

1 :

,

n

n n

v a

v q d

v v

c c



 

 

  



1 n

quay về DẠNG 1

LOẠI 2.4: Cho dãy số

 

un xác định bởi:

1

1 ⁿ , 1

n

n

u a

u b cu n

p ru



 

 

  

 



GIẢI:

Đặt u_n  v_n ,n1 thay vào công thức truy hồi của dãy

 

un ta được

 

 

1

n n

n

b c v

v p r v

 

 

 

   

 

2 1

n n

n

n

b c cv p rv

v p r v

   

 

    

 

 

   

 

2 1

n n

n

p c b c r v

v p r rv

  

 

      

 

 

 

Để dãy

 

vn trở về loại 2.3, ta chọn  là nghiệm của phương trình

 

2 r c b 0

 

     

Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

 

un sau, biết:

1)

1`

1

1 1 ,

n n

n

u u u

 u

 

 

 

 ^n1

(Đs: u_n ¹

n)

2)

1

1

2 2 ,

n n

n

u u u

 u

 

 

 



n1 (Đs: ¹₂

3.2 1

n n

u  _

 )

3)

1

1

1 2

1 2

n

n

u

u ^ u

 

 

 

(Đs:

1

n

u n

n

 )

4)

1

1

1

1 4 , 1 6

n n

n

u u u

 u

 

 

 

 



n1 (Đs: ₂^{1 1}

2 6 2

n n

u  _ 

 )

Bài giải:

1)

1`

1

1 1 ,

n n

n

u u u

 u

 

 

 

 ^n1

Đặt _n ¹

n

u v thay vào công thức truy hồi của dãy

 

un ta được:

1

1 1

1 1

n n

n

v v

v







1

1 1

n 1 n

v _ v

 



1 1

n n

v_ v

  

Dãy

 

vn là cấp số cộng có số hạng đầu ₁

1

1 1

v u  , công sai d 1

 

1 1 1 1

vn v n d n n

        1

un

  n 2)

1

1

2 2 ,

n n

n

u u u

 u

 

 

 



n1 Đặt _n ¹

n

u v thay vào công thức truy hồi của dãy

 

un ta được:

1

1 1