Công thức lượng giác chi tiết và cách giải bài tập | Toán lớp 10

(1)

Dạng 3: Công thức lượng giác 1. Lý thuyết

a. Công thức cộng:

sin(a+b)=sin a.cos b+sin b.cosa sin(a−b)=sin a.cos b sin b.cos a− cos(a+b)=cos a.cos b −sin a.sin b cos(a−b) =cosa.cos b+sin a.sin b

tan a tan b tan(a b)

1 tan a.tan b + = +

−

tan a tan b tan(a b)

1 tan a.tan b

− = − +

b. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

* Công thức nhân đôi:

sin 2 =2sin .cos 

2 2 2 2

cos 2 =cos  −sin  = 2cos  − = −1 1 2sin 

2

2 tan tan 2

1 tan

 = 

− 

* Công thức hạ bậc:

2

1 cos 2

sin 2

1 cos 2

cos 2

1 cos 2 tan 1 cos 2

− 

 =

+ 

 =

− 

 = + 

* Công thức nhân ba:

3

c 3

sin 3 3sin 4si o

n os3 4c s 3cos

  

 = −

−



=



(2)

c. Công thức biến đổi tích thành tổng:

 

cos a cos b 1 cos(a b) cos(a b) 2

sin a sin b 1 cos(a b) cos(a b) 2

sin a cos b 1 sin(a b) sin(a b) 2

= + + −

= − + − −

= + + −

d. Công thức biển đổi tổng thành tích:

a b a b

cos a cos b 2cos .cos

2 2

+ −

+ =

a b a b

cosa cos b 2sin .sin

2 2

+ −

− = −

a b a b

sin a sin b 2sin .cos

2 2

+ −

+ =

a b a b

sin a sin b 2cos .sin

2 2

+ −

− =

sin(a b) tan a tan b

cos a.cos b + = +

sin(a b) tan a tan b

cos a.cos b

− = −

sin(a b) cot a cot b

sin a.sin b + = +

sin(b a) cot a cot b

sin a.sin b

− = −

2. Các dạng bài

Dạng 3.1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt a. Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

b. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính:

a. 37 cos 12

;

(3)

b. 7

tan tan

24 24

 + .

Hướng dẫn:

a. 37 cos 12

 cos 2

12

  

=   +  + 

cos 12

  

=  + 

cos 12

  

= −  

cos 3 4

 

= −  − 

cos .cos sin .sin

3 4 3 4

   

 

= − + 

6 2

4

= − + .

b.

7 sin3

tan tan

24 24 cos .cos7

24 24

  

+ =  

( )

3 2 6 3

cos cos

3 4

= +  = −

Ví dụ 2: Tính:

a. tan x 4

 + 

 

  biết sin x ³

= 5 với x 2

  ;

b. ^cos

(

 − 

)

biết sin ⁵

 =13, 2

   

 

  và cos ³

 = 5, 0

2

    

 

 .

Hướng dẫn:

(4)

a. Ta có:

2 2 2 9 4

sin x cos x 1 cos x 1 sin x 1

25 5

+ =  =  − =  − =  .

Vì x

2

   nên cos x ⁴

= −5 Do đó tan x ^{sin x} ³

cos x 4

= = − .

Ta có:

tan x tan4 34 1 1 tan x

4 1 tan x.tan 1 3 7

4 4

+  − +

 += = =

  

  − +

.

b. Ta có:

sin 5

 =13, 2

   

 

  nên

5 2 12

cos 1

13 13

 

 = − −  = −

  .

cos 3

 = 5, 0

2

    

 

  nên

3 2 4

sin 1

5 5

 = −    = .

( )

cos  −  =cos cos  +sin sin  ^{12 3}. ^{5 4}. ¹⁶ 13 5 13 5 65

= − + = − .

Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

(5)

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a. ⁴ ⁴ 1 3

sin x cos x cos4x

4 4

+ = +

b. ³ ³ 3

cos3x.sin x sin3x.cos x sin4x

+ = 4

Hướng dẫn:

a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

4 4

VT=sin x+cos x

2 2 2 2 2

(sin x cos x) 2sin x cos x

= + −

1 2 1 1 cos 4x

1 sin 2x 1 .

2 2 2

= − = − −

3 1

cos 4x VP

4 4

= + =

Suy ra đpcm.

b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

( ) ( )

1 1

VT cos3x 3sinx sin3x sin 3x 3cosx cos3x

4 4

= − + +

( )

3 3

sinx.cos3x cosx.sin3x sin4x VP

4 4

= + = =

Suy ra đpcm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

3B 3B

sin 2 cos 2 cos(A C).tan B 2

A C A C sin B

cos sin

2 2

+ − + =

+ +

   

   

   

.

Hướng dẫn:

(6)

Do tam giác ABC có A+ + =B C 180⁰, suy ra A+ =C 180⁰ −B Do đó, ta có:

( )

3 3 0

0 0

B B

sin 2 cos 2 cos 180 B

VT .tan B

sin B

180 B 180 B

cos sin

2 2

= + −

   

   

  

−



−

3 B 3 B

sin 2 cos 2 cos B.tan B

B B sin B

sin cos

2 2

= + −−

2 B 2 B

sin cos 1 2 VP

2 2

= + + = =

Suy ra đpcm.

Dạng 3.3: Thu gọn biểu thức lượng giác a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

a. A=cos10x+2cos 4x² +6cos3x.cos x−cos x−8cos x.cos 3x³ . b. ^B ^{sin 3x} ^{cos 2x} ^{sin x}

(

^{sin 2x} 0;2sin x 1 0

)

cos x sin 2x cos3x

+ −

=  + 

+ −

Hướng dẫn:

a. Ta có:

A=cos10x+ +(1 cos8x)−cos x−2 4cos 3x( 3 −3cos3x cosx) (cos10x cos8x) 1 cos x 2cos9x.cos x

= + + − −

(7)

2cos9x.cos x 1 cos x 2cos9x.cos x 1 cos x

= + − − = −

b. Ta có:

sin 3x cos 2x sin x B cos x sin 2x cos3x

+ −

= + −

2cos 2x sin x cos 2x 2sin 2x sin( x) sin 2x

= +

− − +

2cos 2x sin x cos 2x 2sin 2x sin x sin 2x

= +

+ cos 2x(1 2sin x)

cot 2x sin 2x(1 2sin x)

= + =

+ .

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: C sin x 2sin a – x .sin x.cosa sin a – x= ² +

( )

+ ²

( )

. Hướng dẫn:

( ) ( )

2 2

C sin x 2sin a – x .sin x.cosa sin a – x= + +

( ) ( ( ) )

sin x2 sin a x 2sin x cos a sin a x

= + − + −

( )( )

sin x2 sin a x 2sin x cosa sin a cos x cosa sin x

= + − + −

( )( )

sin x2 sin a x sin x cosa sin a cos x

= + − +

( ) ( ) ( )

2 2 1

sin x sin a x sin a x sin x cos 2x cos 2a

= + − + = + 2 −

(

² ²

)

2 1

sin x 1 2sin x (1 2 a)

2 sin

= + − − −

2 2 2 2

sin x sin a sin x sin a

= + − = .

Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến a. Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức

(8)

lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

2 2 2

A cos x cos x cos 3 x

3

 

   

+  + +  −

= .

Hướng dẫn:

Ta có:

2 2 2

A cos x cos x cos 3 x

3

 

   

+  + +  −

= 

2 2

2 1 3 1 3

cos x cos x sin x cos x sin x

2 2 2 2

   

= + −  + + 

   

2 1 2 3 2 1 2 2

3 x

cos cos cos x sin x sin cos cos x sin x sin

4 2 4 4 2

3 3

x x x x

= + − + + + + 4

2 2

x x

3 3

cos sin

2 + 2

=

(

²^x ²^x

)

3 cos sin

2 +

= 3

= 2.

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

(

⁴ ⁴ ² ²

) (

² ⁸ ⁸

)

C 2 sin x cos x sin x cos x – sin x cos x= + + + . Hướng dẫn:

Ta có:

(9)

(

⁴ ⁴ ² ²

) (

² ⁸ ⁸

)

C 2 sin x cos x sin x cos x – sin x cos x= + + +

(

² ²

)

² ² ² ²

(

⁴ ⁴

)

² ⁴ ⁴

2 s in x cos x sin x cos x – sin x cos x 2sin x cos x

=  + −   + − 

( )

²

2 2 2 2 2 2

2 2 4 4

sin x cos x 2sin x cos x 2 1 sin x cos x  – sin x cos x 2 

=  −   + − 

 +

2

2 2 2 2 4 4

2 1 sin x cos x 2sin x cos x

2 1 sin x cos x  – 2 

=  −   −  +

(

⁴ ⁴

) (

² ² ⁴ ⁴

)

4 4

2 2

2 sin x cos x 1 sin x cos x 4sin x cos x

2sin x cos x

2 1 sin x cos x – 4

= − +

+

− +

= 2 – 4sin²x cos²x + 2sin⁴x cos⁴x – 1 + 4sin²x cos²x – 4sin⁴x cos⁴x + 2sin⁴x cos⁴x

= 1.

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Dạng 3.5: Tính giá trị biểu thức a. Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức cơ bản, các công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A=cos10 .cos30 .cos50 .cos70   . Hướng dẫn:

Ta có:

A=cos10 .cos30 .cos50 .cos70   

(

^o ^o

)

cos10 .cos30 .1 cos120 cos 20

=   2 +

o 1 1 o

cos 2

. 3

10 . cos 20

2 2

 

= − + 

o

o o

cos10

cos10 c

4 o

2

3 s20 

= − + 

 

(10)

3 cos10 cos30 cos10

4 2 2

 

= − + 

  

 +

3 cos30 4 . 2

= 

3 3 3

4 . 4 16

= = .

Ví dụ 2: Cho cos 2 ²

 = 3. Tính giá trị của biểu thức P=cos .cos3 . Hướng dẫn:

Ta có:

( )

P cos .cos3 1 cos 2 cos 4

=   = 2  + 

(

²

)

1 cos 2 2cos 2 1

= 2  +  −

(

²

)

1 2cos 2 cos 2 1

= 2  +  −

1 2 2 2 5

2. 1

2 3 3 18

   

=    + − =

   

  .

3. Bài tập tự luyện a. Tự luận

Câu 1: Cho x+ + = y z , chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz.

Hướng dẫn:

Từ giả thiết, ta có:

x+ + =   + =  −y z x y z

( ) ( )

tan x y tan z

 + =  −

(11)

tan x tan y

tan z 1 tan x.tan y

 + = −

−

tan x tan y tan z tan x.tan y.tan z

 + = − +

tan x tan y tan z tan x.tan y.tan z

 + + =

Suy ra đpcm.

Câu 2: Cho^{sin x}⁺^{sin y}⁼^{2sin x}

(

⁺^y

)

^{, với}^x^{+  }^y ^{k , k}^ . Chứng minh rằng:

x y 1

tan .tan 2 2=3. Hướng dẫn:

Từ giả thiết, ta có:

( )

sin x sin y 2sin x y

x y x y x y x y

2sin .cos 4sin .cos

2 2 2 2

+ = +

+ − + +

 =

x y x y

cos 2cos (do x y k , k )

2 2

− +

 = +   

x y x y x y x y

cos .cos sin .sin 2 cos .cos sin .sin

2 2 2 2 2 2 2 2

 

 + =  − 

x y x y x y 1

3sin .sin cos .cos tan .tan

2 2 2 2 2 2 3

 =  =

Suy ra đpcm.

Câu 3: Cho sin 1

 = 3 với 0

 2

  . Tính giá trị của

cos + 3. Hướng dẫn:

Ta có: ² cos² 1 cos² ² cos ⁶

3 3

sin  +  =   =   = (vì 0

 2

  nên cos 0).

Ta có:

2 c 1

2

3s

os s in

3 co

 +   − 

  =

 

 

(12)

1 6 3 1 1 1 2 6

2 3 2 3 6 2 2 6

=  −  = − = − .

Câu 4: Tính giá trị biểu thức M cos –53 .sin –337=

(



) (

 +

)

sin 307 .sin113 . Hướng dẫn:

( ) ( )

M cos –53 .sin –337=   +sin 307 .sin113 

( ) ( ) ( ) ( )

cos –53 .sin 23 – 360 sin 53 360 .sin 90 23

=    + −  +   + 

( ) ( )

cos –53 .sin 23 sin 53 .cos 23

=   + −  

( )

sin 23 53

=  −  1

sin 30

= −  = −2.

Câu 5: Cho số thực  thỏa mãn 1

sin = 4. Tính

(

^{sin 4}^{ +}^{2sin 2}^

)

^cos^^.

Hướng dẫn:

Ta có:

(

^{sin 4}^{ +}^{2sin 2}^

)

^cos^

(

2sin 2 cos2 2sin 2

)

cos

=   +  

( )

2sin 2 cos 2 1 cos

=   + 

(

²

)

4sin cos 1 2sin 1 cos

=   −  + 

2 2

cos (2 2sin )

4sin  − 

=

(

²

)(

²

)

4sin 1 sin 2 2sin

=  −  − 

(

²

)

²

8 1 sin sin

= −  

1 2 1

8 1 .

16 4

 

=  − 

225

= 128.

Câu 6: Rút gọn biểu thức P ^{cos a} ^2cos3a ^cos5a sin a 2sin 3a sin 5a

+ +

= + + .

Hướng dẫn:

(13)

cos a 2cos3a cos5a P sin a 2sin 3a sin 5a

+ +

= + +

2cos3a cos 2a 2cos3a 2sin 3a cos 2a 2sin 3a

= +

+

( )

2cos3a cos 2a 1 2sin 3a cos 2a 1

= +

+ cos3a

cot 3a sin 3a

= = .

Câu 7: Chứng minh biểu thức

(

²

)

²

2 2 2

1 tan x 1

4 tan x 4sin x cos x

A −

−

= không phụ thuộc

vào x.

Hướng dẫn:

Ta có:

(

²

)

²

2 2 2

1 tan x 1

4 tan x 4sin x cos x

A −

−

=

(

²

)

² ²

2 2 2

1 tan x 1 1

4 tan x 4 tan x cos x

= − −  

(

²

) (

² ²

)

²

2 2

1 tan x 1 tan x 4 tan x 4 tan x

− +

−

=

(

²

) (

² ²

)

²

2

1 tan x 1 tan x 4 tan x

− − +

=

2 2

4 tan x 4 tan x 1

= − = − .

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Câu 8: Rút gọn biểu thức

2 2

2cos 2 3 sin 4 1 2sin 2 3 sin 4 1

A  +  −

= +

  − .

Hướng dẫn:

(14)

Ta có:

2 2

2cos 2 3 sin 4 1 2sin 2 3 sin 4 1

A  +  −

= +

  −

cos 4 3 sin 4 3 sin 4 cos 4

 + 

=  − 

1cos 4 sin 4

2 2

sin 4 1cos 4 2

3

2 3

 + 

=

 − 

( )

sin 4 30 sin 4 30

 + 

=  −  .

Câu 9: Biến đổi biểu thức sin −1 thành tích các biểu thức.

Hướng dẫn:

Ta có:

sin 1 sin sin 2

 − =  − 

2 2

2cos sin

2 2

 

 +  −

=

2cos sin .

2 4 2 4

   

   

=  +   − 

Câu 10: Biết sin 4

 = 5, 0

   2

và   k . Chứng minh biểu thức:

( )

^c

( )

A

3 sin 4 os

3 sin

 + 



=

+  −

 không phụ thuộc vào . Hướng dẫn:

(15)

Ta có

0 3

cos 5

2 s ni 54

  

   =





  =



( )

^c

( )

A

3 sin 4 os

3 sin

 + 



=

+  −



cos cos sin ) 4(cos cos sin sin ) 3 sin

3(sin  +   −   −  

= 

4cos 5

3 si

3 3 4s

3 sin 4 cos in

5 n

5  +  5  − 



 −  

   

   

=

5sin 5

3 sin 3

=  =

 .

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến α.

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả nào sau đây sai?

A. sin x cos x 2 sin x 4

  + =  + .

B. sin x cos x 2 cos x 4

 

− = −  + .

C. sin 2x cos 2x 2 sin 2x 4

  + =  − .

D. sin 2x cos 2x 2 cos 2x 4

  + =  − .

Câu 2: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A.

cot x 12

cot 2x

2cot x

= − .

(16)

B. tan 2x ^{2 tan x}₂ 1 tan x

= + .

C. cos3x=4cos x³ −3cos x. D. sin 3x=3sin x−4sin x³

Câu 3: Nếu 1

sinx cos x

+ = 2 thì sin2x bằng A. 3

4 . B. ³

8. C. 2

2 . D. 3

4

− .

Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b. Biết cos a 1

= 3, cos b 1

=4. Giá trị

( ) ( )

cos a +b .cos a−b bằng:

A. 113 144.

−

B. 115 144.

−

C. 117 144.

−

D. 119 144.

−

Câu 5: Cho cos x =0. Tính A sin² x sin² x

6 6

 

   

=  − +  + .

(17)

A. 3 2 . B. 2.

C. 1.

D. 1 4 . Đáp án:

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5

C B D D A