50 bài tập về Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – Toán 11

(1)

Cách tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

1. Lý thuyết

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D .

- Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu

 

0 0

f x M, x D

x D,f x M

  



  



- Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu

 

0

 

0

f x m, x D

x D,f x m

  



  



b) Tính bị chặn của hàm số lượng giác:

1 sin x 1 x

     1 cos x 1 x

    

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác Phương pháp giải:

 

1 sin u(x) 1

  

; ⁰^^{sin u(x)}²

 

^¹^;

0  sin u(x)    1

 

1 cos u(x) 1

  

; ⁰^^{cos u(x)}²

 

^¹^;

0  cos u(x)    1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = sin2x + 3

b) y = 4sin2xcos2x +1 c) y = 5 – 3cos²3x

Lời giải a) Ta có:

  1 sin 2x 1 x   

2 sin 2x 3 4 x

     

.

Vậy hàm số y = sin2x + 3 có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 2.

b) y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + 1 Ta có:

  1 sin 4x 1 x   

2 2sin 4x 2 x

      1 2sin 4x 1 3 x

      

.

(2)

Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

c) Ta có:

0  cos 3x 1 x

²

   0 3cos 3x

2

3 x

    

3 3cos 3x

2

0 x

       2 5 3cos 3x

2

5 x

     

Vậy hàm số y = 5 – 3cos²3x có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y 2 sin 2x b) y = cos2x + 4sinx - 5 c) y = 4|cos(3x-1)| + 1

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

2 sin 2x   0  sin 2x  2

(Luôn đúng với mọi x) Tập xác định D = R.

Ta có:

  1 sin 2x 1 x    1 sin 2x 1 x

       1 2 sin 2x 3 x

      1 2 sin 2x 3 x

     

.

Vậy hàm số y 2 sin 2x có giá trị lớn nhất là

3

và giá trị nhỏ nhất là 1.

b) y = cos2x + 4sinx – 5

= 1 – 2sin²x + 4sinx – 5

= -2sin²x + 4sinx – 4

= -2(sin²x – 2sinx + 1) – 2

= -2(sinx – 1)² – 2

Ta có:

  1 sin x 1 x    2 sin x 1 0 x

      

 

²

0 sin x 1 4 x

     

 

²

8 2 sin x 1 0 x

       

 

²

10 2 sin x 1 2 2 x

         

Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – 5 có giá trị lớn nhất là -2 và giá trị nhỏ nhất là -10.

(3)

c) Ta có:

0  cos 3x 1       1 x

 

0 4 cos 3x 1 4 x

     

 

1 4 cos 3x 1 1 5 x

      

Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + 1 có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Dạng 2. Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0) Phương pháp giải:

Bước 1: Ta đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c ² ²

2 2 2 2

a b

a b sin x cos x c

a b a b

 

     

 

 

 

2 2

y a  b .sin x c

    

với  thỏa mãn

2 2 ;

a o a

b c s 

 ² ²

s b

b n

a i  



Bước 2: Đánh giá

  1 sin x        1 x

 

2 2 2 2 2 2

a b a b sin x a b x

          

 

2 2 2 2 2 2

a b c a b sin x c a b c x

             

. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) ysin 2x 3 cos 2x 1 b) y = 3sinx + 4cosx + 6

Lời giải a)

ysin 2x 3 cos 2x 1

1 3

2 sin 2x cos 2x 1

2 2

 

    

 

2 sin 2x cos cos 2x sin 1

3 3

 

 

    2sin 2x 1

3

 

   

Ta có: 1 sin 2x 1 x

3

 

      

(4)

2 2sin 2x 2 x 3

 

       

1 2sin 2x 1 3 x 3

 

        

Vậy hàm số ysin 2x 3 cos 2x 1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

b) y = 3sinx + 4cosx + 6 3 4

5 sin x cos x 6

5 5

 

   

Đặt

3

cos   5

và

4 sin   5

(vì

2 2

3 4

5 5 1

     

   

   

⁾

Ta được:

y  5 sin x cos    cos x sin     6 5sin x      6

. Ta có:

  1 sin x        1 x

 

5 5sin x 5 x

       

 

1 5sin x 6 11 x

       

Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + 6 có giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2

y 3 sin 2xsin xcos x 1

Lời giải

2 2

y 3 sin 2xsin xcos x 1



² ²



3 sin 2x cos x sin x 1

   

3 sin 2x cos 2x 1

  

3 1

2 sin 2x cos 2x 1

2 2

 

    

 

2 sin 2x cos cos 2x sin 1

6 6

 

 

   

2sin 2x 1

6

 

   

(5)

Ta có: 1 sin 2x 1 x 6

 

      

2 2sin 2x 2 x 6

 

       

1 2sin 2x 1 3 x 6

 

        

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

Dạng 3: Hàm số có dạng ¹ ¹ ¹

2 2 2

a sin x b cos x c y a sin x b cos x c

 

  

Lý thuyết: Phương trình

a sin x  bcos x  c

có nghiệm khi

a

²

 b

²

 c

² (Lý thuyết có trong phần 7)

Phương pháp giải:

Bước 1: Điều kiện xác định: a sin x₂ b cos x₂ c₂ 0.

Bước 2: ¹ ¹ ¹

2 2 2

a sin x b cos x c y a sin x b cos x c

 

  

2 2 2 1 1 1

ya sin x yb cos x yc a sin x b cos x c

     

 ya

2

a sin x

1

  yb

2

b cos x

1

 yc

2

c

1

      

(*)

Bước 3: Để phương trình (*) có nghiệm x thì



ya2 a1

 

²  yb2 b1

 

²  yc2c1



²

Tìm đoạn chứa y, sau đó đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

sin x 2cos x 1 y sin x cos x 2

 

  

Lời giải Điều kiện xác định:

sin x  cos x   2 0

Ta có: sinx + cosx + 2

1 1

2 sin x cos x 2

2 2

 

    2 sin x cos cos x sin 2

4 4

 

 

   

 

2 sin x 2 4

 

   

  2   2 0

. Do đó

sin x  cos x     2 0 x

.

(6)

Tập xác định: D = R.

Ta có

sin x 2cos x 1 y sin x cos x 2

 

  

ysin x ycos x 2y sin x 2cos x 1

     

 y 1 sin x   y 2 cos x 1 2y 

     

(*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì



^{y 1}^

 

² ^ ^y^²

 

² ^{ }^{1 2y}



²

2 2

2

2y 1 y 4y 4 1 4y 4

y    y

     

2y

2

 2y   4 0



  

2 y 1 y   2  0



y 1 0 y 2 0 y 1 0 y 2 0

   

    

     

  

 

y 1 (Loai)

y 2

y 1

y 2

  

    

    

  

 

2 y 1

   

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2sin x 2cos x y sin x cos x 3

 

 

Lời giải Điều kiện xác định:

sin x  cos x   3 0

Ta có: sinx – cosx + 3

1 1

2 sin x cos x 3

2 2

 

    2 sin x cos cos x sin 3

4 4

 

 

   

2 sin x 3 4

 

   

 

  2   3 0

. Do đó

sin x  cos x     3 0 x

. Tập xác định: D = R.

Ta có:

2sin x 2cos x y sin x cos x 3

 

 

ysin x ycos x 3y 2sin x 2cos x

    

 y 2 sin x   y 2 cos x  3y

     

(*)

(7)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì



^y^²

 

² ^ ^y^²

 

² ^{ }^3y



²

2 2 2

y 4y 4 y 4y 4 9y

       7y

2

8

 

²

8

y 7

  8

y 7

 

⁵⁶ y ⁵⁶

7 7

   

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 56

7 và giá trị nhỏ nhất là 56

 7 . 3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin5x – 1 A. min y = -3, max y = 3 B. min y = -1, max y = 1 C. min y = -1, max y=3 D. min y = -3, max y = 1

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 3cos 3x 4

 

    

A. min y = -2, max y = 4 B. min y = 2, max y = 4 C. min y = -2, max y = 3 D. min y = -1, max y = 4

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy cos 2x² 1 3

 

    

A. max y = 1, min y = 0 B. max y = 2, min y = 0 C. max y = 1, min y = -1 D. max y = 2, min y = 1

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2cos x 3 3

 

   

A. min y = 2, max y = 5 B. min y = 1, max y = 4 C. min y = 1,max y = 5 D. min y = 1, max y = 3

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x3

A. max y 5, min y = 1 B. max y 5, min y2 5 C. max y 5, min y = 2 D. max y 5, min y = 3 Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 2 2 sin 2x ² A. min y 3 2 2,max y 3 2 3 B.

min y 2 2 2,max y 3 2 3

(8)

C. min y 3 2 2,max y 3 2 3 D.

min y 3 2 2,max y 3 3 3

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos²3x A. min y = 1, max y = 2 B. min y = 1, max y = 3

C. min y = 2, max y = 3 D. min y = -1, max y = 3

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²x – 4sinx + 5 A. max y = 9, min y = 2 B. max y = 10, min y = 2 C. max y = 6, min y = 1 D. max y = 5, min y = 1

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2 A. max y = 3, min y = -7 B. max y = -1, min y = -5 C. max y = 4, min y = -1 D. max y = 3, min y = -5 Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1 A. max y = 6, min y = -2 B. max y = 4, min y = -4 C. max y = 6, min y = -4 D. max y = 6, min y = -1

Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy 3 cos xsin x4 A. min y = 2, max y = 4 B. min y = 2, max y = 6

C. min y = 4, max y = 6 D. min y = 2, max y = 8

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x A. min y = -5, max y = 5 B. min y = -4, max y = 4 C. min y = -3, max y = 5 D. min y = -6, max y = 6

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin²x + 3sin2x – 4cos²x A. min y 3 2 1,max y 3 2 1 B.

min y 3 2 1,max y 3 2 1

C. min y 3 2,max y3 2 1 D.

min y 3 2 2,max y3 2 1

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số

sin x cos x y sin x cos x 2

 

 

^là

A. 1 B.

2

C.

1

2

^{D. 2}

(9)

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số

cos x 2sin x 3 y 2cos x sin x 4

 

  

^{. Giá}

trị của M+m là:

A.

20

11

^B.

24

11

^C.

4

11

^D.

15 2

Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D A D C A A B B D C B A B A B