Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. Lý thuyết I. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f (x) M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M.
Kí hiệu:
Mmax f xD .
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f (x)m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m.
Kí hiệu:
mmin f xD .
- Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.
II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 1. Định lí.
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
- Nhận xét:
Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+ 1) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (xi; xi+1). Rõ ràng,
giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm xi nói trên.
- Quy tắc:
1. Tìm các điểm x1; x2; …; xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
2. Tính f(a); f(x1); f(x2); ….; f(xn); f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
[a; b]
[a;b]
M max f (x); mmin f (x).
- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số f (x) 1
x không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).
Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:
Ví dụ 2. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số y 2xx2 trên khoảng 0; 3
2
. Lời giải:
Điều kiện: 2x – x2 0 0 x 2. Ta có:
2
2 2
(2x x )' 1 x y '
2 2x x 2x x
y ' 0 1 x 0 x 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng 0; 3 2
hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất
0;3 2
Max f (x) f (1) 1
.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) Hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + 2 trên đoạn [–1; 2].
b) Hàm số
x2 3x
y x 1
trên đoạn [– 4; – 2].
c) Hàm số y x2 4x trên đoạn [4; 6].
Lời giải:
a) Ta có: y’ = 6x2 + 6x – 12
x 1 1;2
y' 0
x 2 1;2
Và f (– 1) = 15; f(1) = – 5; f(2) = 6
Vậy max f (x) f ( 1) 15;min f (x) f (1) 1;2 1;2 5
.
b) Ta có:
2 2
(2x 3).(x 1) 1.(x 3x)
y' (x 1)
2 2 2
2 2
2x 2x 3x 3 x 3x x 2x 3
(x 1) (x 1)
x 1 4; 2
y' 0
x 3 4; 2
Ta có: 28
y( 4) 3
; y(– 2) = – 10; y(– 3) = – 9.
Vậy max f (x) y( 3)4; 2 9; min f (x) y( 2) 4; 2 10
.
c) Điều kiện: x2 4x 0 x 0 x 4
.
2 2
2x 4 x 2
y'
2 x 4x x 4x
y' 0 x 2 (không thỏa mãn điều kiện).
Ta có: y(4) = 0; y(6) 2 3
Vậy max f (x) y(6) 2 3;min f (x) y(4) 0 4;6 4;6 .
Bài 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 1 x . 2 Giá trị của M – 2m bằng bao nhiêu?
Lời giải Điều kiện xác định: 1 x 2 0 1 x 1 Xét hàm số f (x)x 1 x 2 trên [–1; 1], có
2 2
2
2 2
x 1 2x
f '(x) 1 x
1 x 1 x
Phương trình 1 x 12 2 2
f '(x) 0 x ;
2 2
1 2x 0
Tính 2 1 2 1
f ( 1) f (1) 0;f ;f
2 2 2 2
Vậy [ 1;1]
[ 1;1]
m min f (x) 1
1 1 3
2 M 2m 2.
1 2 2 2
M max f (x) 2
.
Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau. Tìm a để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 20] là 8.
Lời giải:
Theo bảng biến thiên ta có:
2 0; 20
max f (x) 1a
8 Theo giả thiết ta có: 1 2 2
a 8 a 64 a 8
8 Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn là a = 8 hoặc a = – 8.
