Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

(1)

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Trong đề tham khảo của Bộ GD lần 1 và lần 2, cũng như đề thi thử của các sở giáo dục, các trường phổ thông năm 2020 thường có bài toán liên quan đến GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối. Để giải quyết được các dạng toán này các em cần ghi nhớ bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát: Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

. Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn

[ ]

^{a b}^;

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

; ;

max ; min .

a b f x = p a b f x =q

Bước 2: Xét các khả năng

• Nếu ^{[ ]}

( )

[ ]

( ) { }

;

min 0

. 0 .

max max ;

a b

f x p q

 =

≤ ⇒ 

 =

• Nếu q>0 ^{[ ]}

( )

[ ]

( )

;

min max

a b

f x q f x p

 =

⇒ 

 = .

• Nếu ^p<⁰ ^{[ ]}

( )

[ ]

( )

;

min

. max

a b

f x p p

f x q q

 = = −

⇒ 

= = −



Chú ý công thức tính nhanh:

[ ];

max ( )

2

a b

p q p q f x + + −

= ; _{[ ]}

 ≤

=  + − −

 >

;

0,nÕu . 0 min ( )

,nÕu . 0 2

a b

p q

f x p q p q

p q .

Tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng cho hợp lý nhất. Sau đây chúng ta sẽ áp dụng cho 3 dạng thường gặp nhất.

Dạng 1: Tìm tham số để ^{[ ]}

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

;

min max

a b

f x k k f x k k

 ≤ ≥

 ≤ ≥



.

CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

(2)

Ví dụ mẫu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y=|x⁴−2x²−m| trên đoạn ^{[ 1; 2]}− bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. −². B. ⁷. C. ¹⁴. D. ³.

Lời giải Chọn B

Xét ^{f x}

( )

⁼^x⁴⁻²^x²⁻^m trên đoạn ^{[ 1; 2]}− có

( ) [ ]

[ ]

3

1 1; 2

4 4 0 0 1; 2

1 1; 2 x

f x x x x

x

 = ∈ −

′ = − = ⇔ = ∈ −

 = − ∈ −



.

Khi đó ^f

( )

⁰ ^{= −}^{m f}^;

( )

^{± = − −}¹ ^m ^1; ^f

( )

² ^{= − +}^m ^8.

Suy ra: _[ _]

( )

1;2

max f x m 8

− = − + và _[ _]

( )

1;2

min f x m 1.

− = − −

• Nếu

(

^{− −}¹ ^m

)(

⁸⁻^m

)

^{≤ ⇔ − ≤ ≤}⁰ ¹ ^m ⁸^thì_[ _]

( )

1;2

min f x 0

− = , không thỏa mãn đề bài.

• Nếu − − > ⇔ < −m 1 0 m 1 thì

[ ^1;2]

miny m 1 m 1

− = − − = − − Khi đó − − = ⇔ = −^m ¹ ² ^m ³

(

^{t m}^/

)

^.

Nếu− + < ⇔m 8 0 m>8 thì

[ ^1;2]

miny m 8 m 8

− = − + = − ; khi đó ^m^{− = ⇔ =}⁸ ² ^m ¹⁰

(

^{t m}^/

)

^.

Vậy tổng tất cả các phần tử của bằng ⁷.

Ví dụ mẫu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

2 2

2 x mx m

y x

− +

= − trên đoạn

[

⁻^1;1

]

^bằng³. Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. ⁸

−3. B. ⁵. C. ⁵

3. D. −¹.

Lời giải Chọn D

Xét hàm số

( )

² ²

2 x mx m

f x x

− +

= − trên

[

⁻^1;1

]

^có

( )

²

1 4

2 f x

x

′ = −

− ;

(3)

( ) [ ]

0 0

4 1;1 f x x

x

 =

′ = ⇔  = ∉ − ;

( )

¹ ¹^;

( )

⁰ ^;

( )

¹ ¹

f − = − −m 3 f = −m f = − −m . Suy ra: _[ _]

( )

1;1

max f x m

− = − và _[ _]

( )

1;1

min f x m 1.

− = − −

• Nếu ⁻^m

(

− − ≤ ⇔ − ≤ ≤^m ¹

)

⁰ ¹ ^m ⁰; ^max_[₋_1;1_] ^y^{= − −}

{

^m ^{1 ;}⁻^m

}

⁼

{

^m^{+ −}^1; ^m

}

^.

Có hai khả năng 3 3

3 1 2

m m

= − = −

 

 = + ⇒ =

  , không thỏa mãn.

• Nếu ^f

( )

⁰ = − < ⇔ >^m ⁰ ^m ⁰. Khi đó _[ _]

1;1

max y m 1 m 1

− = − − = +

( )

1 3 2 /

m m t m

⇒ + = ⇔ =

• Nếu − − >m 1 0 ⇔ < −m 1. Khi đó

[ ]

( ) ( )

1;1

3 max f x f 0

= − = ⇔m= −3.

Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m₁ = −3,m₂ =2. Do đó tổng tất cả các phần tử của S là −1. Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số y= x³−x²− +x m với ^m∈. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để min[1;3] y<3 ?

A. ²¹. B. ²². C. ⁴. D. ²⁰.

Lời giải Chọn A

Xét hàm số ^{f x}

( )

⁼^x³⁻^x²^{− +}^x ^{m x}^; ^∈

[ ]

^1;3 ^.

Ta có ^f^′

( )

^x ⁼³^x²⁻²^x^{− =}¹ ⁰

[ ] [ ]

1 1;3 1 1;3 3 x x

 = ∈

⇔  = − ∉



Ta có ^f

( )

¹ ^{= −}^m ^1,^f

( )

³ ^{= +}^m ¹⁵^.

Suy ra

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

1;3 1;3

min f x = −m 1; max f x = +m 15.

• Nếu

(

^m⁻¹

)(

^m⁺¹⁵

)

^{≤ ⇔ − ≤ ≤}⁰ ¹⁵ ^m ¹^; _{[ ]}

min1;3 y= <0 3. Trường hợp này có 17 số nguyên thỏa mãn.

• Nếu m− > ⇔ >1 0 m 1; _{[ ]}

min1;3 y= − < ⇒ < <m 1 3 1 m 4. Trường hợp này có 2 số nguyên thỏa mãn.

(4)

• Nếu m+15< ⇔ < −0 m 15; _{[ ]}

1;3

miny= m+15 < ⇒ − −3 m 15< ⇒ − < < −3 18 m 15. Trường hợp này có 2 số nguyên thỏa mãn.

Vậy có tất cả 21 số nguyên thỏa mãn.

Bài tập tự luyện:

Câu 1. ( Chuyên BN lần 2) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

( )

= ^x⁴+⁴^x³−^m trên đoạn

[

^{− −}^{4; 2}

]

^bằng²⁰²⁰^?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

2 3

3 x mx m

y x

+ +

= + trên đoạn

[

⁻^{2; 2}

]

^bằng⁵^{. Gọi}^T là tổng tất cả các phần tử của S. Tính T.

A. T =4. B. T = −5. C. T =1. D. T = −4.

Xét hàm số

( )

² ³

3 x mx m

f x x

+ +

= + , hàm số luôn xác định trên tập đang xét.

( ) ( )

2 2

6 0

3 x x f x

x

′ = + =

+

2 0

6 0

6 x x x

x

 =

⇒ + = ⇔  = −

Ta có: ^f

( )

^{− = +}² ^m ⁴ ; ^f

( )

⁰ ⁼^m ;

( )

² ⁴^.

f = +m 5

Với

( ) ( )

² ³

3 x mx m g x f x

x + +

= =

+ . Ta có

[ _2;2]

( ) { ( ) ( ) }

maxg x max f 2 ; f 0 .

− = −

Xét ^{m m}

(

⁺⁴

)

^{≤ ⇔ − ≤ ≤}⁰ ⁴ ^m ⁰^thì ⁵ ⁵

4 5 1

m m

− = = −

 

 + = ⇔ =

  (loại) .

Xét với m>0. Ta có

[ ]

( ) ( )

2;2

maxg x f 2 m 4 m 4 5 m 1.

− = − = + = + = ⇒ =

Xét với m< −4, ta có

[ ]

( ) ( )

2;2

maxg x f 0 m m 5 m 5

− = = = − = ⇒ = − .

Vậy ^S^{= −}

{

^5;1

}

nên tổng ^T ^{= − + = −}

( )

⁵ ¹ ^4.

(5)

Câu 3. Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

( )

^{= − +}^x⁴ ²^x²⁺^m ⁺¹ trên đoạn

[ ]

^{0; 2} bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 7. B. 17. C. −3. D. −7.

Xét hàm số ^{g x}

( )

^{= − +}^x⁴ ²^x²⁺^m trên

[ ]

^{0; 2} .

Ta có

( ) ( ) [ ]

[ ] [ ]

3

0 0; 2

' 4 4 ' 0 1 0; 2

1 0; 2 x

g x x x g x x

x

 = ∈

= − + ⇒ = ⇔ = ∈

 = − ∉



Ta có

( ) ( ) ( )

^{[ ]}

( )

[ ]

( )

0;2

max 1 1

0 1; 1 1 1; 2 8 1

max 8 1

f x m

f m f m f m

f x m

 = + +

= + = + + = − + ⇒  = − +



+) Nếu

[ ]_0;2

( )

^{1 1} ⁶

max 1 1 4

1 8

f x m m m

m m

 + + =

= + + ⇒ ⇔ =

+ ≥ −



+) Nếu

[ ]

( )

0;2

8 1 6

max 8 1 3

8 1

f x m m m

m m

 − + =

= − + ⇒ ⇔ =

− ≥ +



Vậy tổng các giá trị của m bằng 7.

Câu 4. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= x²−3x+ +2 m thỏa mãn [min^{2; 2}]y 5

− = . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. ⁴⁷

− 4 . B. −10. C. 31

4

− . D. ⁹

4. Lời giải

Chọn A

Xét hàm số ^{g x}

( )

⁼^x²⁻³^x^{+ +}² ^m trên đoạn

[

⁻^{2; 2}

]

^{, có:}

( )

⁰ ² ³ ⁰ ³

g x′ = ⇔ x− = ⇔ =x 2.

(6)

[ ]

( ) ( ) ( )

2;2

max max 2 , 3 , 2 12

g x g g 2 g m

−

   

=  −   = +

    ;

[

( )

]

( ) ( )

2;2

3 1

min min 2 , , 2

2 4

g x g g g m

−

   

=  −   = −

    .

Nếu ¹ 0

m− ≥4 hay ¹

m≥4 thì _[ _]

2; 2

1 21

min 5

4 4

y m m

− = − = ⇔ = (thỏa mãn).

Nếu m+12≤0 hay m≤ −12 thì

[min^{2; 2}]y m 12 5 m 17

− = − − = ⇔ = − (thỏa mãn).

Nếu 12 ¹

m 4

− < < thì

[min^{2; 2}]y 0

− = (không thỏa mãn).

Ta có: 17;²¹ S = − 4 

 . Vậy tổng các phần tử của S bằng ⁴⁷

− 4 .

Câu 5. Có tất cả bao nhiêu số thực m để hàm số y= 3x⁴ −4x³−12x²+m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[

⁻^{3; 2}

]

^bằng¹⁰^.

A. ⁴. B. ¹. C. ². D. 3.

Hướng dẫn giải Chọn C

Suy ra

( )

[ ]

{ }

32;243

min f t min 32 m; 243 m

−

= − + +

Nếu

(

²⁴³⁺^m

)(

^{− +}³² ^m

)

^≤⁰^{suy ra a}

[ ]

( )

[ ]

32;243 32;243

miny min f t 0

− −

= = , không thỏa mãn

Yêu cầu bài toán

[min^32;243y] 10

− = suy ra điều kiện cần là

(

²⁴³⁺^m

)(

^{− +}³² ^m

)

^>⁰ TH1:

[ ^32;243]

32 min 32 10 32 10 42.

m y m m m

−

> ⇒ = − + = ⇔ − = ⇔ = TH2:

[ ^32;243]

243 10 min 243 243 253

m y m m m

−

< − ⇒ = = + = − − ⇔ = − Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu.

Câu 6. Cho hàm số ² 2

( ) 2

x mx m

f x x

− +

= − . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để max ( )[ ^1;1] f x 5

− ≤ . Tổng tất cả các phần tử của S là

A. −11. B. 9. C. −5. D. −1.

Lời giải Chọn C

(7)

Xét hàm số

( )

² ²

2 x mx m

g x x

− +

= −

( )

2 2

4 0

0 4

2 x x x

g x x x

 =

′ −

⇒ = − = ⇒  = . Khi ^x^{= ⇒}⁰ ^g

( )

⁰ ^{= −}^m^.

Ta có

( )

¹ ¹

(

³ ¹

)

¹

3 3

g − = − m− = − −m ;

( )

¹ ¹ ¹

1

g = +m= − −m

− .

Mà 1 ¹

m 3 m m

− − < − − < − . Suy ra

[ ]

( ) { }

1;1

, 1 , 1 , 1

max f x max m m m 3 max m m

−

 

=  + + = +

 

Trường hợp 1: ¹ ¹2

{

0;1; 2;3; 4

}

1 5

6 4

m m m

m m

m

 + ≥  ≥ −

 ⇔ ⇒ ∈

 

 + ≤ 

 − ≤ ≤

.

Trường hợp 2: ¹ ¹2

{

5; 4; 3; 2; 1

}

5 5 5

m m m

m m

m

 + <  < −

 ⇔ ⇒ ∈ − − − − −

 

 ≤ 

 − ≤ ≤

. Suy ra tổng các phần tử của S bằng −5..

Dạng 2: Tìm tham số để

[ ]

( )

[ ]

( ) ( )

; ;

.min .max , .

a b a b

f x f x k k

α ±β ≤ ≥ .

Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y=x³−3x m+ . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

ma .

min y + x y =6 Số phần tử của S là

A. 0. B. 6. C. 1. D. 2.

Xét hàm số ^y⁼^x³⁻³^x⁺^{m x}^, ^∈

[ ]

^{0; 2}

' 2 1

3 3 0

1( ) y x x

x l

 =

= − = ⇔  = −

Ta có: ^y

( )

⁰ ⁼^{m y}^;

( )

¹ ^{= −}^m ^2;^y

( )

² ^{= +}^m ²^.

Suy ra: _{[ ]} _{[ ]}

0;2 0;2

miny= −m 2; maxy= +m 2. TH 1:

(

^m⁺²

)(

^m⁻²

)

^{≤ ⇒ − ≤ ≤}⁰ ² ^m ²_.

[ 0;2 ]

min y 0

⇒ = ,

{ }

[ 0;2 ]

2 max y = m−2;m+ .

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

0 2 6

min 6 4 ,

2 6

max m

y y m

m

+ − =

⇒ + = ⇔ + = ⇔ = ± không thỏa mãn.

(8)

TH 2: ^m− > ⇔ >² ⁰ ^m ²

[ 0;2 ]

min y m 2 m 2

⇒ = − = − ,

[ 0;2 ]

2 max y = +2 m = +m

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

min y max y 6 m 2 m 2 6 m 3( /t m)

⇒ + = ⇔ − + + = ⇔ =

TH 3: ²+ < ⇔ < −^m ⁰ ^m ²

[ 0;2 ]

min y 2 m 2 m;

⇒ = + = − −

( )

[ 0;2 ]

2 2

m xa y = − +m = − − +m = −2 m

[ 0;2 ] [ 0;2 ]

min y max y 6 2 m 2 m 6 m 3( /t m)

⇒ + = ⇔ − − + − = ⇔ = − .

Vậy có 2 số nguyên thỏa mãn.

Ví dụ mẫu 2: (Sở Phú Thọ 2020) Cho hàm số ^{f x}

( )

⁼^x⁴ ⁻²^x²⁺^m⁽^m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn

[

⁻^{20; 20}

]

^{sao cho}

[ ]

( )

_{[ ]}_0;2

( )

0;2

max f x <3 min f x . Tổng các phần tử của S bằng

A. 63. B. 51. C. 195. D. 23.

( )

⁼^x⁴⁻²^x²⁺^m trên đoạn

[ ]

^{0; 2}

Ta có: ^f^′

( )

^x ⁼⁴^x³⁻⁴^x^;

( )

⁰ ⁴ ³ ⁴ ⁰ ⁰

1

f x x x x

x

 =

′ = ⇔ − = ⇔  = .

( )

¹ ^1;

( )

² ^8;

( )

⁰

f = −m f = +m f =m.

[ ]

( )

[ ]

( )

0;2 0;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1. +) Nếu m− ≥ ⇔ ≥1 0 m 1 thì

[ ]

( )

0;2

max f x = +m 8,

[ ]

( )

0;2

min f x = −m 1. Khi đó:

[ ]

( )

_{[ ]}

( ) ( )

0;2 0;2

max 3 min 8 3 1 11

f x < f x ⇔ + <m m− ⇔ >m 2 . +) Nếu m+ ≤ ⇔ ≤ −8 0 m 8 thì

[ ]

( )

0;2

max f x = −1 m,

[ ]

( )

0;2

min f x = − −m 8. Khi đó: ^max_{[ ]}_0;2

( )

^{3 min}_{[ ]}_0;2

( )

¹ ³

(

⁸

)

²⁵

f x < f x ⇔ − < − − ⇔ < −m m m 2 . +) Nếu

(

^m⁻¹

)(

^m+ < ⇔ − < <⁸

)

⁰ ⁸ ^m ¹ thì

[ ]_0;2

( ) { } { }

_{[ ]}_0;2

( )

max f x =max m+8 ,m−1 =max m+8,1−m >0; min f x =0. Khi đó, không thỏa điều kiện

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

0;2 0;2

max f x <3 min f x .

Do đó:

25 2 11

2 m m

 < −



 >



kết hợp với ^m^{∈ −}

[

^{20; 20}

]

^{ta có} ^20; ²⁵ ¹¹^{; 20}

2 2

m∈ − −    ∪ 

(9)

Mà m∈ ⇒ = −z S

{

20; 19; 18;....; 13; 6; 7;...., 20− − −

}

.

Tổng các phần tử của S bằng 6 7 8 9 10 11 12+ + + + + + =63. Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số

( )

²

1

= = +

− x m y f x

x . Tính tổng các giá trị của tham số mđể

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

2;3

max2;3 f x −min f x =2.

A. −4. B. −2. C. −1. D. −3.

Hàm số

( )

²

1

= = +

− x m y f x

x xác định và liên tục trên đoạn

[ ]

^2;3 ^.

Với m= −2, hàm số trở thành _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

2;3 2;3

2 max min 2

= ⇒ = =

y f x f x (không thỏa).

Với m≠ −2, ta có

( )

²

2 .

1 y m

x

′ = − −

−

Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên

[ ]

^{2;3 .}

Suy ra ^{[ ]}

( ) ( )

_{[ ]}

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

_{[ ]}

( ) ( )

2;3 2;3

max 2 ; min 3

max 3 ; min 2 .

f x f f x f

= =



 = =



Do đó: _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( ) ( ) ( ) ( )

2;3 2;3

6 2

max min 3 2 4 .

2 2

m m

f x f x f f + m +

− = − = − + =

Theo giả thiết _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

2;3 2;3

2 2

max min 2 2 .

2 6 m m

f x f x

m

 =

− = ⇔ + = ⇔  = −

Vậy tổng các giá trị của tham số mthỏa mãn yêu cầu bài toán là: −4_.

Bài tập tự luyện

Câu 1.Cho hàm số ^{f x}

 

^x⁴²^x²^m^, (m là tham số thực). Gọi ^S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên ^m^{∈ −}

[

^10;10

]

^{sao cho} _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

1;2 1;2

max f x +min f x ≥10. Số phần S là

A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.

(10)

Lời giải

 

^^x⁴^²^x²^^m, hàm số liên tục trên đoạn

 

^{1; 2} ^.

Ta có: ^f^

 

^x ^⁴^x³^⁴^x^{  }^0, ^x

 

^{1; 2} ^ hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên đoạn

 

^{1; 2} , do đó _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

1;2 1;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1.

TH 1: m− ≥ ⇒ ≤ ≤1 0 1 m 10 thì _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

1;2 1;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1.

Khi đó:

[ ]

( )

_{[ ]}

( ) { }

1;2 1;2

max min 10 8 1 10 3 2;3; 4;...10

f x + f x ≥ ⇔ + + − ≥m m ⇒ ≥ ⇒ ∈m 2 m ,

⇒ trường hợp này có 9 số nguyên.

TH 2: m+ ≤ ⇒ − ≤ ≤ −8 0 10 m 8 thì _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

1;2 1;2

max f x = − +m 1; min f x = − −m 8.

Khi đó:

[ ]_1;2

( )

_{[ ]}_1;2

( )

¹⁷

{ }

max min 10 1 8 10 10 10; 9

f x + f x ≥ ⇔ − + − − ≥m m ⇒ − ≤ ≤m −2 ⇒ ∈ −m −

TH 3: − < <8 m 1, thì _{[ ]}_1;2

( )

_{[ ]}_1;2

( )

1 8 7

min 0; max 2 ;

8 7 1

2

m khi m

f x f x

m khi m

− + − < ≤ −

= =  + − < <



Do m là số nguyên nên:

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

1;2 1;2

1 10, 8 4

max min 10

8 10, 4 1

m khi m

f x f x

m khi m

− + ≥ − < ≤ − + ≥ ⇔  + ≥ − < < ;

⇒ không tồn tại m thỏa mãn.

Vậy số phần tử của tập S là 11.

Câu 2. Cho hàm số ^{f x}

 

^^x⁴^²^x²^^m^, (m là tham số thực). Biết

[ ]

( )

_{[ ]}_1;2

( )

1;2

max f x = p; min f x =q và S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên ^m^{∈ −}

[

^10;10

]

^{sao cho}

bộ ba sốp q, ,19 là độ dài ba cạnh của một tam giác. Số phần tử của tập S bằng

A. ^5. B. ^10. C. ^4. D. ^21.

Lời giải

 

^^x⁴^²^x²^^m, hàm số liên tục trên đoạn

 

^{1; 2} ^.

(11)

Ta có: ^f^

 

^x ^⁴^x³^⁴^x^{  }^0, ^x

 

^{1; 2} ^ hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên đoạn

 

^{1; 2} ^,

do đó _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

1;2 1;2

max f x = +m 8; min f x = −m 1, suy ra ^q^{< <}^p ^19;^{∀ ∈ −}^m

[

^10;10

]

^.

Hay YCBT 19

, 0 . p q p q

+ >

⇔  >

TH 1: m− > ⇒ < ≤1 0 1 m 10, thì ^p= +^m ^8; ^q= −^m ^1.

Yêu cầu của bài toán ^{⇔ + >}^p ^q ¹⁹⇔ + + − >^m ⁸ ^m ^{1 19}⇒ > ⇒ ∈^m ⁶ ^m

{

^7;8;9;10

}

,

TH 2: m+ < ⇒ − ≤ < −8 0 10 m 8 thì p= − +m 1;q= − −m 8.

Yêu cầu của bài toán ⇔ + >p q 19⇔ − + − − >m 1 m 8 19⇒m< −13

⇒ trường hợp này không tồn tại ^m^{∈ −}

[

^10;10

]

thỏa mãn.

TH 3: − < <8 m 1, thì ^q=^0; ⇒ không thỏa mãn YCBT.

Vậy số phần tử của tập ^S là ⁴.

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

( )

⁼^x³⁻^x²^{+ − −}^{x m} ²⁽^m là tham số thực). Gọi 𝑆𝑆 là tập hợp tất cả các giá trị của 𝑚𝑚 sao cho

[ ]

( )

_{[ ]}_0;3

( )

0;3

max f x +min f x =16. Tổng các phần tử của 𝑆𝑆 là

A. 3. B. 17. C. 34. D. 31.

( )

⁼^x³⁻^x²^{+ − −}^x ^m ², trên đoạn

[ ]

^0;3

ta có ^f^′

( )

^x ⁼³^x²⁻²^x^{+ >}¹ ^0,^{∀ ∈}^x . Ta có ^f

( )

⁰ ^{= − −}^m ^2;^f

( )

³ ^{= − +}^m ¹⁹

Trường hợp 1:

( )( )

^{[ ]}

[ ]

{ }

0;3

min ( ) 0

2 19 0 2 19

max ( ) max 2 , 19

f x

m m m

f x m m

 =

+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ 

= + −



(12)

[ ] [ ]

0;3

max ( ) 2, khi 17 19 2

max ( ) 19 , khi -2 m<17 2

f x m m

f x m

 = + ≤ ≤

⇒ 

 = − ≤



Vậy [ ]

( )

_{[ ]}

( )

0;3 0;3

max f x +min f x =16

2 16, khi 17 19 2

19 16, khi 0 m<17 2

m m

m

 + = ≤ ≤

⇒ 

 − = ≤



14 3 m m

 =

⇒  =

Trường hợp 2:

(

^m⁺²

)(

^m⁻¹⁹

)

^>⁰ ¹⁹

2 m m

 >

⇔  < −

Suy ra _{[ ]} _{[ ]}

0;3 0;3

1( )

min ( ) max ( ) 2 19 2 17 16 2

33( ) 2

m KTM

f x f x m m m

m KTM

 =

+ = + + − = − = ⇔ 

 =

Vậy ^S⁼

{

^{3; 14}

}

^.

Câu 4. Cho hàm số y= x⁴−2x³+x² +m . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để

[ ^{1; 2}] [ ^{1; 2}]

miny maxy 20

− + − = là

A. −10. B. −4. C. 20. D. −21.

Xét f x( )=x⁴−2x³+x²+m trênđoạn

[

⁻^{1; 2}

]

3 2 1

'( ) 4 6 2 ; '( ) 0 0; 1;

f x x x x f x x x x 2

⇒ = − + = ⇔ = = = .

Ta có : ⁽⁰⁾ ^{; (1)} ^; ¹ ¹ ^;

( )

¹

( )

² ⁴

2 16

f =m f =m f    = +m f − = f = +m .

Suy ra ^[ ^]

( )

[ ]

( ) ( )

1; 2

max ( ) 2 4

min ( ) 0 1

f x f m

f x f f m

−

 = = +



= = =



TH1 : Nếu m≥ ⇒0 0

4 20 8

m m

m m

 ≥

 + + = ⇔ =

 .

TH2 : Nếu ^m≤ − ⇒⁴ ^^{− + − =}_

(

^m^m^{≤ −}⁴⁴

)

^m ²⁰^{⇔ = −}^m ¹²^.

(13)

TH3 : Nếu

[ _{1; 2}] [ _{1; 2}]

{ } { }

4 m 0 miny 0; maxy max m 4 , m max m 4, m

− −

− < < ⇒ = = + = + − .

Suy ra

[ ^{1; 2}] [ 1; 2]

miny maxy 4 0 20 20

− + − < < + = không thỏa mãn.

Vậy tổng các giá trị của m là −4. Câu 5. Cho hàm số

( )

²

2 x m f x x

= −

+ ( m là tham số thực ). Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

0;2 0;2

max f x +2 min f x ≥4. Hỏi trong đoạn

[

⁻^30;30

]

tập ^S có bao nhiêu số nguyên?

A. 53. B. 52. C. 55. D. 54.

Ta có:

( )

²

' 4

2 f x m

x

= + +

+ Nếu m= −4 thì ^{f x}

( )

⁼²^{thỏa mãn} _{[ ]}

( )

_{[ ]}

( )

0;2 0;2

max f x +2 min f x ≥4. + Xét m≠ −4. Ta có

( )

⁰ ^;

( )

² ⁴

2 4

m m

f = − f = − .

* TH1: ⁴ 0 0 4

2 4

m m

−  −  ≤ ⇔ ≤ ≤ m . Khi đó

[ ]

( )

0;2

min f x =0 và

[ ]

( )

0;2

max 4

4

f x = −m hoặc

[ ]

( )

0;2

max 2

f x = m.

Theo giả thiết ta phải có

4 4

4 12 4 8 2

m

m m

 − ≥

  ≤ −

 ⇔ ≥

 ≥



( loại).

• TH2:

+ Xét − < <⁴ ^m ⁰: hàm số ^{f x}

( )

đồng biến, hơn nữa

( )

⁰ ^0;

( )

² ⁴ ⁰

2 4

m m

f = − > f = − >

nên

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

0;2 0;2

4 12

max 2 min 4 2 4

4 2 5

m m

f x + f x ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ −m .

(14)

Vậy 4 ¹² 3.

m 5 m

− < ≤ − ⇒ = − .

+ Xét m< −4: hàm số ^{f x}

( )

nghịch biến, hơn nữa

( )

⁰ ^0;

( )

² ⁴ ⁰

2 4

m m

f f −

= − > = >

nên

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

0;2 0;2

max 2 min 4 2 4 4 2

2 4

m m

f x + f x ≥ ⇔ − +  − ≥ ⇔ ≤ −m . Vậy m< −4. + Xét m>4: hàm số ^{f x}

( )

đồng biến, hơn nữa

( )

⁰

( )

² ⁴ ⁰

2 4

m m

f = − < f = − < nên

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

0;2 0;2

max 2 min 4 2 4 4 6

2 4

m m

f x + f x ≥ ⇔ +  − ≥ ⇔ ≥m

  . Vậy m≥6.

Tóm lại: ^; ¹²

[

^6;

)

m∈ −∞ −5 ∪ +∞ . Nên trong

[

⁻^30;30

]

^{, tập}^Scó 53 số nguyên.

Dạng 3: Tìm tham số để GTLN của hàm số ^y= ^{f x}

( )

+^{g m}

( )

trên đoạn

[ ]

^{a b}^; đạt giá trị nhỏ nhất.

Ghi nhớ:

• ^max

{

^;

}

2

α β ≥α β⁺ , dấu bằng xảy ra ⇔ =α β .

• α + β ≥ +α β , dấu bằng xảy ra ⇔α β^. ≥⁰. Cụ thể

- Bước 1: Tìm

[ ]

( )

_{[ ]}

( )

;

max ; min .

a b

a b f x f x

α = β =

- Bước 2: Gọi ^M là giá trị lớn nhất của ^y⁼ ^{f x}

( )

⁺^{g m}

( )

thì +)

( ) ( )

{ } ( ) ( ) ( ) ( )

max ; ,

2 2

M g m g m g m g m

g m g m α β α β

α β ⁺ ^{+ +} ⁺ ^{+ − −}

= + + ≥ =

dấu bằng xảy ra ⇔α +^{g m}

( )

= β +^{g m}

( )

^.

+) Áp dụng bất đẳng thức

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

g m g m g m g m

α ⁺ ^{+ − −}β α⁺ ^{− −}β α β−

≥ = ,

dấu bằng xảy ra ^⇔^_^α ⁺^{g m}

( )

^{ }_{ }^{− −}^β ^{g m}

( )

^_^≥⁰^.

(15)

- Bước 3: Kết luận min

M α β2

= −

khi

( )

^.

g m = − −α β2

Ví dụ mẫu 1: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y= x²+2x+ −m 4 trên đoạn

[

⁻^2;1

]

^đạt

giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

A. 1. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải

Chọn B

Đặt ^{f x}

( )

⁼^x²⁺²^x.

Ta có: ^f^′

( )

^x ⁼²^x⁺²^; ^f^′

( )

^x = ⇔ = − ∈ −⁰ ^x ¹

(

^2;1

)

.

( )

² ^0;

( )

¹ ^3;

( )

¹ ¹

f − = f = f − = − . Do đó

[ ]

( )

_[ _]

( )

2;1 2;1

max f x 3; min f x 1

− = − = − .

Suy ra:

[ _2;1]

{ }

⁵ ¹ ⁵ ¹

max max 5 ; 1 2

2 2

m m m m

y m m

−

− + − − + −

= − − ≥ ≥ = .

Dấu bằng xảy ra

( )( )

5 1

5 1 0 3

m m

m m m

 − = −

⇔ ⇒ =

− − ≥

 ( thỏa mãn).

Ví dụ mẫu 2: Để giá trị lớn nhất của hàm số y= 2x−x² −3m+4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

A. ³

m= 2. B. ⁵

m=3. C. ⁴

m=3. D. ¹ m=2. Lời giải

Chọn A

Tập xác định: ^D⁼

[ ]

^{0; 2} ^.

Đặt f x( )= 2x−x²,x∈D, ta có

2

'( ) 1 ; '( ) 0 1

2

f x x f x x

x x

= − = ⇔ =

− .

( )

⁰ ^0;

( )

² ^0;

( )

¹ ¹

f = f = f = .

(16)

Suy ra: ^max ^{max 3}

{

^{4 ; 3} ⁵

}

³ ⁴ ³ ⁵

2

D

m m

P y m m − + −

= = − − ≥

5 3 3 4 1

2 2.

m m

− + −

≥ =

Dấu bằng xảy ra

( )( )

3 4 3 5

5 3 3 4 0

m m

 − = −

⇔ ⇒

− − ≥



3

m=2( thỏa mãn).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi ³ m=2. Bài tập tương tự

Câu 1. Để giá trị lớn nhất của hàm số y= x³−3x+2m−1 trên đoạn

[ ]

^{0; 2} là nhỏ nhất. Giá trị của m_thuộc khoảng?

A.

[

⁻^{1; 0}

]

^. ^B.

( )

^0;1 ^. ^C. ²^{; 2}

3

 

 

 . D. 3 2 ; 1

− − 

 

 . Lời giải

Chọn B

Đặt ^{f x}

( )

⁼^x³⁻³^x^{− +}^{1 2}^m trên đoạn

[ ]

^{0; 2} ^.

( ) [ ]

2 1

[ ]

0; 2

3 3 0

1 0; 2 f x x x

x

 = − ∉

′ = − = ⇔ 

 = ∈ .

( )

⁰ ^{1 2 ,}

( )

¹ ^{3 2 ,}

( )

² ^{1 2}

f = − + m f = − + m f = + m nên ta có ^max_{[ ]}_0;2 ^y⁼^{max 2}

{

^m⁻^{3 ; 2}^m⁺¹

}

^.

Ta có:

[ ^3;1]

2 1 2 3 2 1 3 2

max 2.

2 2

m m m m

− y

+ + − + + −

≥ ≥ =

Dấu bằng khi m=2.

Câu 2. Để giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

( )

⁼ ^x³⁻¹²^x^{+ +}^m ¹ trên đoạn

[ ]

^1;3 đạt nhỏ nhất.

Giá trị của m bằng A. ²³

2 . B. ⁷

2. C. ²³

− 2 . D. ⁷

−2. Lời giải

Chọn A

(17)

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

( )

^trên

[ ]

^1;3

+) Xét ^{g x}

( )

⁼^x³⁻¹²^x^{+ +}^m ¹ trên

[ ]

^1;3

( )

³ ² ¹²

g x′ = x − ;

( )

⁰ ³ ² ¹² ⁰ ² ^{( )}

2 ( )

x n

g x x

x l

 =

′ = ⇔ − = ⇔  = − +) Ta có:

( )

¹ ¹⁰

f = m− ; ^f

( )

² ⁼ ^m⁻¹⁵; ^f

( )

³ ⁼ ^m⁻⁸

[ ]_1;3

( ) { }

max max 8 ; 15

x f x M m m

⇒ ∈ = = − −

8 15

M m

 ≥ −

⇒ 

≥ −



2M m 8 m 15 m 8 15 m m 8 15 m 7

⇒ ≥ − + − = − + − ≥ − + − ≥

7 M 2

⇒ ≥

Dấu “=” xảy ra

( )( )

8 15 23

8 15 0 2

m m

m m m

 − = −

⇔ ⇔ =

− − ≥

 .

Vậy ²³

m= 2 .