Vận dụng cao - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Mũ - Logarit ôn thi THPQG năm 2021

CHUYÊN ĐỀ:

CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN MŨ-LOGARIT

Tác giả: Hoàng Xuân Bính

Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 Trong các đề thi thử và đề thi minh họa của BGD&ĐT, các em học sinh gặp nhiều bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức mà liên quan đến khái niệm hàm số mũ và logarit.

Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ cách làm về dạng bài tập này và có hướng giải quyết khi gặp trong các đề thi.

1. Dạng 1 : Đặt ẩn phụ để biến đổi loga

- Hướng 1 : Với các bài toán mà biểu thức có dạng ^f



^{log ,logba ab}



thì ta có thể đặt ẩn phụ

log_a ^t

t b  b a để biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức hàm một biến theo t. - Hướng 2 : Với bài toán dạng :^{au  bv}

 

^{ab p} thì có thể đặt t log_ab

 

^{1 , 1 1}

u p t v p t

 

 

       từ đó biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức hàm một biến theo t. - Hướng 3 :

Với bài toán có dạng: ^{au   bv cp}

 

^{abc q} thì ta đặt ^{au   bv cp}

 

^{abc q t  u logat}

, v log_bt, p log_ct,q log_abct và rút ra được : 1 1 1 log_tabc 1 a b c   q Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b1 và a b a  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức log_a 2log _b .

b

P a a

 b

      

A. 6^{. B.} 7. C. 5. D. 4^.

Đề khảo sát chất lượng – L2 – Chuyên Vĩnh Phúc – 2018-2019 Lời giải

Chọn C

Đặt t log_ab b a^{t. Khi đó:} log 1t 4.log t 1 t

a a

P   a a ^{1 4 1}

 

1

t

t t

    Vì b1 và a b a  nên 1 1

2 t ^.

Khi đó: 11 ^{4 1}

 

1 1 ^{4 1}

 

t t t

P t t t t

 

       _{1 2 .}^{4 1}

 

1 t t

t t

    5 Vậy P_min 5 khi 2

t  3

Ví dụ 2: Xét các số thực a b x y, , , ^{thỏa mãn} a1,b1 và a^{x y2} b^{x y2}  ³ab. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x  4y 1 ^bằng

A. 5

3 ^{. B.} 5

3^{. C.} 3

4^{. D.} 6

5 ^.

Đề khảo sát chất lượng-L2-Sở giáo dục Phú Thọ-2019-2020 Lời giải

Chọn A

Giả thiế: a^{x y2} b^{x y2}  ³ab

 

 

3

3

2 log 1 1 log

31

2 log 1 log

3

a a

b b

x y ab b

x y ab a

    

      Đặt log_ab t thì 1 1 1

x 3 6 t t

 

 

     và 1 1 y 12 t t

 

 

   

Suy ra: 1 1 1 1 1 1

2 3

P t t

t t

   

   

        1 5 1.2 .5 5

6 t 6 t 3

t t

 

 

     .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ^là 5 3 ^.

Ví dụ 3: Cho x y z, , 0;a b c, , 1 và a^x   b^y c^{z 3}abc. Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 2

P    x y z z thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

 

^{0;2 . B.}



^3;



^{. C.}

 

^{1;3 . D.}

 

^{2;4 .}

Đề thi thử TN THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi-2019-2020 Lời giải

Chọn C

Đặt a^x   b^y c^{z 3}abc t ( Đk:t1). Suy ra x log ,_at y log ,_bt z log_ct và log^abct  13

1 1 1 log_ta log_tb log_tc log_tabc 3 x y z

        nên 1 1 3 1 x y  z. Khi đó: P   3 1z z² z^.

Xét hàm số f z( ) 3   1z z² z^{, với} z 0^. Ta có: f z( ) 2z³ ₂z² 1

z

  

 

( ) 0 1

f z z

    . Bảng biến thiên

Từ bảng BBT, ta có

^0; 

max ( )f z f(1) 2

   .

2. Dạng 2 : Sử dụng bất đẳng thức cổ điển - Bất đẳng thức Cauchy: 0, 0 :

2

a b a b  ab trong đó tích a b. không đổi.

-Bất đẳng thức đẳng thức Cauchy Schwarz:



^{a2 b2 c x2}



^{2 y2 z2}



^



^{ax by cz }



²

trong đó ax by cz  có giá trị không đổi.

- Trong dạng này, từ giả thiết của bài toán ta thường thấy xuất hiện dạng biểu thức dạng hàm đặc trưng :

+ log_a u v u u log_au v log_av u v

 v

         

  

 

(hoặc ^{logau u v  logav  u v u v}



^



⁾

+ a^u     u a^v v u v Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Cho 2 số thực dương x y, ^{thỏa mãn log3}_

  

^{x1 y1}_^{y1   9}

  

^{x 1 y 1 .}

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 4y ^là

A. P_min 2. B. P_min 1. C. P_min 19. D. P_min 7. Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết: ^log3_



^{x 1}

 

^y1_^{y1   9}

  

^{x 1 y1}



^{y 1 log}

 

^{ 3 x 1}



^log3



^{y 1}

  

^{ x 1 y 1}



⁹

          .



^{y 1 log}

 

^{ 3 x 1}



^log3

 

^{y 1 x 1 9}

        

   

3 9 3

log x 1 x 1 y 1 log y 1

       

   

3 9 3 9

log 1 1 log *

1 1

x x

y y

     

 

Xét hàm số đặc trưng ^{f t}

 

^{log3t t với t0}

Khi đó: ^{f t }

 

_{tln 3}^{1  1 0 với mọi t0}

Suy ra: hàm số ^{f t}

 

luôn đồng biến và liên tục trên



^0;



^.

Từ (*) suy ra

 

^{1  f x}

 

^{  1 f} _y ⁹ ₁^  x 1 y 9 1  x y9 1 1 y8y1 Vì x 0 ^{nên y }

 

^{0;8 .}

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi đó:

   

8 9 9 9

4 4 4 1 4 1 5 2 4 1 . 5 7.

1 1 1 1

P x y y y y y y

y y y y

              

   

Vậy P_min 7 khi ⁴

 

^{y 1} _{y }⁹ ₁^{ y 1}₂^.

Cách 2: Sử dụng khảo sát hàm số

Xét hàm số ^{g y}

 

^{4y 1} _y⁹ ₁ ^{với y }

 

^{0;8 . Có}

 

 

^{9 2}

4 0

g y 1

   y 



 

1 2 5

2 y

y l

 

   

.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy P_min 7 khi 1 y  2^. Nhận xét:

+ Với các bài toán mà hàm số được thiết lập như trên, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để xác định min của biểu thức P bằng cách biến đổi để xuất hiện tích không đổi của hai biểu thức chứa biến đều dương là: ⁴



^y1



^và _{y }⁹ ₁^.

+ Đối với các em học sinh mà việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy chưa thành thạo thì các em có thể sử dụng phương pháp quen thuộc là khảo sát hàm số thì cũng nhanh chóng thiết lập được đáp số của bài toán.

+ Ngoài ra, các em có thể sử dụng chức năng bảng giá trị: TABLE. Nhập hàm

 

^{4 1 9} ₁

g x x

  x

 start x 0 end x 1 ^step x 0,1. Khi đó từ bảng giá trị của hàm số thu được ta cũng có được P_min 7.

Ví dụ 5: Cho các số thực a b, ^{thỏa mãn ea22b2 e aab}



^{2   ab b2 1}



^{e1 ab b2 0. Gọi m M, lần lượt}

là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 P 1 2

 ab

 . Khi đó m M bằng A. 19

5 ^{. B.} 2

5^{. C.} 7

3^{. D.} 10

3 ^. Lời giải

Chọn D

Ta có: ^{ea22b2 e aab}



^{2   ab b2 1}



^{e1 ab b2 0}

2 22 2 2 1 1 2 0

a b ab b

e ^{ } a ab b e^

      

 

2 22 2 2 2 1 2 1 2 1

a b ab b

e ^{ } a ab b e^ b

       .

Xét hàm số đặc trưng: ^{f t}

 

^{ et t với t .Có f t}

 

^{    et 1 0, t .}

Do đó hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên ^{. Pt :}

 

^{1  f a}



^22b2ab

 

^{ f 1b2}



^.

2 2 2 1 2

a b ab b

        a² ab b² 1

Khi đó: ^{1 }

 

^{a b 2  ab ab và 1 }

 

^{a b 23ab 3ab   1 ab 1}₃

Suy ra: 1 3 1 1 1

1 2 1 2.1 3

1 2. 1 3

P ab

    

   

 

  

nên 3, 1

M  m  3^.

Vậy 10 .

m M  3

Ví dụ 6: Cho các số thực dương x y, thỏa mãn ^{2 2 log2}^{2 22 1}

2 2 2

log 2 log 8

3

x y xy

x y xy x

 

  

 . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: 2 ² ₂2 ² 2

x xy y

P xy y

  

 A. 1

2^{. B.} 5

2^{. C.} 3

2^{. D.} 1 5

2

 _.

Đề kiểm tra chuyên đề lần 4, trường THPT Liễn Sơn-VP-2019-2020 Lời giải

Chọn B

Theo bài ra, ta có: ^log2



^x2y2



^{log 32}



^{xy x 2}



^{ x2 2y2 1 3xy}



^{2 2}

 

^{2 2}

 

²



²

2 2 2

log x y 2 x y log 3xy x x log 2 3xy

        



^{2 2}

 

^{2 2}



^{2 2}

2 2 3

log 2 log 3

2

x y x y xy x x xy

      



^{2 2}

 

^{2 2}



^{2 2}

 

2 2 3

log 2 log 3 1

2

x y x y xy x x xy

      

Xét hàm số đặc trưng: ^{f t}

 

^{log2t2t, có f t }

 

_t.ln2^{1    2 0, t 0.}

 

^{1  f x}



^{2 y2}



^{ f}^{3xy x}₂^{ 2}

2 2 3 2

2 x y xy x

  

2 2

3 1

1 2 2

x x x

y y y

     

     

        Đặt t x

 y    t² 3t 2 0  1 t 2.

Ta có: 2 ² ₂2 ²

2

x xy y P   xy y



2 2 2

2 1 t t

t

  

 2

t 2 1

  t

 ^1₂



^{2 1t }



_{2 1 2t}²_ ^1

 

1 2 1 5

2 2 1 .

2 t 2 1 2 2

  t  

 . Suy ra: _min 5

P  2 ^khi 3 t 2

Ví dụ 7: Cho các số thực a3,b1,c1 thỏa mãn: _{ }

 

 

 

2 3

log^{a b c} 23 log^{bc a} 2 1

bc aab ca ab ac

 

   

 .

Giá trị nhỏ nhất của T a b c   thuộc khoảng nào dưới đây?

A.



^16;17



^{. B.}



^17;18



^{. C.}



^18;19



^{. D.}



^19;20



^.

Thi thử liên trường Thanh Hóa 2019-2020 Lời giải

Chọn B

Theo bài ra, ta có:log _{( 2 )} ( 3) log _{( 3)}( 2 ) 1 2

a b c bc a bc a ab ac

ab ca

     

 



 

( 2 ) ( 3)

log_{a b c} bc a( 3) 1 log_{bc a} (ab 2 ) 1 1ac

     

Đặt ^{t loga b c( 2 )}



^{bc a( 3)}



^thì

 

¹ trở thành: ^{t 1 2 2}_t

 

Nhận xét: ^{t  0 VT}

   

^{2 0 l}

+ t0 ^{thì VT}

 

^{2 2 .t 1}_t ^{2. Do đó}

 

^{2  t 1.}

Do đó: a b( 2 )c bc a( 3) b 2c a 3 1 2 3 1.

bc a c b a

 

        

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có:

 

^{3 2 1 3 2 1 2}

.1 . . .

T a b c a b c

a b c a b c

 

   

   

           ^



^{3 2 1}



^2.

Dấu “=” xảy ra khi

 

²

3 3 6

3 2 2 2 6

3 2 1 1 2 3

a b c a

b

a b c c

 

    

   

 

    

 

 

      

    

 

 

.

Vậy ^{minT  }



^{1 2 3}



^{2 17,19.}

- Nhận xét: Ta có thể giải

 

^{2     t2 1 2t}

 

^{t 12 0 t 1}

* Lỗi thường gặp:



^{a b c }



^_{a b c}^{3 2 1  } ^33abc.33_abc^{6 9 63} tuy nhiên khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ở đây thì dấu bằng không thể xảy ra được.

3. Dạng 3 : Cực trị hình học

- Hướng 1 : d ax by c:   0 ^và

  

^{C : x x 0}

 

^{2  y y0}



^{2 R2} . Khi đó ^{d C;}

 

^{có điểm}

chung ^{d I d}

 

^{; R.}

+ Mở rộng trong không gian :

 

P ax by cz d^:    ⁰ và

  

^{S : x x 0}

 

^{2 y y0}

 

^{2  z z0}



^{2 R2 . Khi đó}

   

^{P S; có}

điểm chung (

 

^{S có tâm I bán kínhR) d I P}

 

^;

 

^R.

- Hướng 2 : d ax by c:   0 ^và

  

^{C : x x 0}

 

^{2 y y0}



^{2 R2 sao cho d I d}

 

^{; R vớiI}

là tâm đường tròn

 

^C khi đó với ^{M }

 

^{C N d,  thì MN d I d}

 

^{; R} . Dấu bằng xảy ra khi M E N A ,  ^.

- Hướng 3 : ^{A a b}

 

^{; và}

  

^{C : x x 0}

 

^{2  y y0}



^{2 R2 sao choIA R vớiI} là tâm đường tròn

 

^C khi đó với ^{M }

 

^{C thì} IA R AM IA R    . Dấu bẳng xảy khi M D _hoặc M E ^.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 8: Với các số thực dương x y, thay đổi sao cho ^{log2}^x_x^{  22}^y_y^{22 } ^{x x}



^{ 2}

 

^{y y 4}



⁵. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức 2 1

x y 4 P  x y   .

A. 15 473

31 _{. B.} 15 349

31 _{. C.} 15 39

31 _{. D.} 15 6 14

31 _. Lời giải

Chọn D

Theo bài ra, ta có: ^{log2}^x_x^{  22}^y_y^{22 } ^{x x}



^{ 2}

 

^{y y 4}



⁵

  

^{2 2}



^{2 2}

2 2

log x 2y 2 1 2x 4y 4 log x y x y

          

    

^{2 2}



^{2 2}

 

2 2

log 2 x 2y 2  2 x 2y 2 log x y x y 1

          

Xét hàm số đặc trưng: ^{f t}

 

^{log2t t với t0. Có f t }

 

_t.ln2^{1    1 0, t 0.}

Do đó hàm số ^{f t}

 

là hàm số đồng biến. Nên

 

^{1  f x}



^{2 4y 4}



^{f x}



^{2 y2}



2 2

2x 4y 4 x y

     ^{ }

  

^{x 1 2 y 2}



^{2 9 2}

 

^.

Ta có: 2 1

4 x y P  x y 

  ^



^P1

 

^{x P2}



^{y4P 1 0 3}

 

Coi

 

² là phương trình của đường tròn

 

^{C với tâm I}

 

^{1;2 ,R3 và}

 

³ là phương trình đường thẳng d

Để tồn tại x y, thỏa mãn bài toán^{d C,}

 

có điểm chung^{d I d}

 

^{; R}

   

  

²



²

1 2 2 4 1

1 2 3

P P P

P P

    

 

   ^



^7P6



^{2 9 2}



^{P2 6P 5}



31P2 30P 9 0

    15 6 14 15 6 14

31 P 31

 

   ^.

Ví dụ 9: Với các số thực dương x y z, , ^{thay đổi sao cho}

     

2 2 22 22

log x y z x x 4 y y 8 z z 8 2

x y z

   

        

 

 

  

  , gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức ^{2 2 2} 4 7 11 8

6 5 86

x y z x y z

T      x y 

  thứ tự là M ^và m. Khi đó M m bằng:

A. 3

2^{. B.} 1^{. C.} 5

2^{. D.} 1

2^.

Đề thi thử TN trường THPT Hải Hậu A- Nạm Định – 2019-2020 Lời giải

Chọn D

+) Ta có ² 2 2 2

     

2 2

log x y z x x 4 y y 8 z z 8 2

x y z

   

        

 

 

  

 

  

^{2 2 2}



^{2 2 2}

2 2

log 4 x 2y 2z log x y z x y z 4(x 2y 2 )z

           

  

^{2 2 2}



^{2 2 2}

2 2

log 4 x 2y 2z 4(x 2y 2 ) logz x y z x y z

            (1).

+) Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{log2t t t  , 0 có f t }

 

_tln2^{1    t 0, t 0.}

+) Ta có ^{(1) f}



⁴



^{x  2y 2z}

 

^{ f x}



^{2  y2 z2}



^{x2  y2 z2 4x8y8z}



^{x 2}

 

^{2 y 4}

  

^{2 z 4 2 36}

       ^.

Khi đó, ta được



^{4 8 8}



^{4 7 11 8} 3 8

6 5 86 6 5 86

x y z x y z y z

T x y x y

       

 

   

Ta có: ^{T x}



^{6  5y 86}



^{   y 3z 8 6Tx }



^{5T 1}



^{y3z  8 86T}

   

6Tx 5T 1 y 3z 8 86T 0 1

       ^.

Khi đó ta coi

 

¹ là phương trình mặt phẳng

 

^{P : 6Tx}



^5T1



^{y  3z 8 86T 0.}

Do đó, tồn tại x y z, , để phương trình mặt phẳng

 

^P tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu

 

^S với tâm



^{2;4;4 ,}



⁶

I R ^{d I P}

 

^;

 

^R

 

  

²



^{2 2}

6 .2 5 1 4 3.4 8 86

6 5 1 3 6

T T T

T T

    

 

  

2 1

720T 360T 360 0 1 T 2

        ^.

Ví dụ 10: Cho các số thực a b c d, , , ^{thỏa mãn} log_{a b}²_{ }² 2



4a  6b 7



1 ^và 27 81^{c d}  6c 8d1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  (a c)² (b d)².

A. 8

5^{. B.} 49

25^{. C.} 64

25^{. D.} 7

5^.

Đề thi KSCL Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An-L2-2019-2020 Lời giải

Chọn B

Ta có: log_{a b}²_{ }² 2



4a   6b 7



1 a²  b² 2 4a   6b 7



a 2

  

² b 3 ² 4 (C).

Khi đó: 27 81^{c d}  6c 8d 1 3^{3 4c d}  6c 8d 1 3^{3 4c d} 2(3c4 ) 1 0d   . Đặt t 3c4d, ta có phương trình: 3 2 1 0^t   t ^.

Xét hàm số f t( ) 3  ^t 2t 1 có f t ( ) 3 ln 3 2^t  . Khi đó: ( ) 0 log₃ 2 ₀ f t   t ln 3 t Bảng biến thiên:

Quan sát bbt, ta có ^{f t}

 

^0 có nhiều nhất hai nghiệm mà ^f

   

^{0  f 1  0}

Do đó:

 

¹ _{  }^{ t}_{t 1}⁰



3 4 0

3 4 1

c d c d

  

    .

Khi đó: ta coi cặp

 

^{a b;} là tập hợp các điểm ^{A a b}

   

^{;  C có tâm I}

 

^{2;3 ,R2}; và các cặp

 

^{c d;} là tập hợp các điểm ^{B c d}

 

^{; d1: 3x4y 0 hoặc}

2 : 3 4 1 0

d x   y .

+ Nếu B d ₁ thì ^{AB d I d}

 

^{; 1  R 18}₅ ^{ 2 8}₅^.

+ Nếu B d ₂ thì ^{AB d I d}

 

^{; 2  R 17}₅ ^{ 2 7}₅^.

So sánh hai trường hợp thì _min 7

AB  5 ^{do đó} _min 49 P  25^.

Ví dụ 11: Cho x y, ^{là hai số thực không âm thoả mãn đẳng thức}

2 2

2 2

log 7 6 8 5 0

6x y8 2 x y x y x        y

  . Giá trị lớn nhất của biểu thức T  x²y^{2 là}

A. 4 5. B. 5 2 5 . C. 10^{. D.} 10 2 5 . Đề KSNL Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai-Sóc Trăng-2019-2020

Lời giải Chọn B

Ta có log6xx²        y8²y 72 x² y² 6x 8y 5 0



²  ²



^{2 2}

 

log x y 7 x y 7 log 6x 8y 2 6x 8y 2

            (1).

Xét hàm số đặc trưng: ^{y f t}

 

^{ t logt với t0}

Khi đó: ^{f t  }

 

¹ _t.ln10^{1   0, t 0 y f t}

 

đồng biến trên khoảng



^0;



^.

 

^{1  f x}



^{2  y2 7}



^{f x}



^{6 8y  2}



^{x2  y2 7 6x 8y2}



^{x 3}

 

^{2 y 4}



^{2 20}

     ^(2).

Ta coi các cặp

 

^{x y; thỏa mãn}

 

² là các điểm ^{A x y}

 

^; thuộc hình tròn

   

^{C I: 3;4 ,R 2 5}

( kể cả phần nằm bên trong đường tròn đó) mà x 0,y 0 nên tập hợp các điểm ^{A x y}

 

^{; là phần}

tô màu như hình vẽ dưới.

Gt: T  x² y²  T OA ^{với O}

 

^{0;0 .}

Nhận xét:OI   5 R 2 5.

Do đó: T OA OI R    5 2 5. T_max  5 2 5 ^khi A E ^.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho các số thực x y, ^{thỏa mãn} 0x y, 1 ^{và log3} ₁^{x y }_xy^{  }



^{x 1}

 

^{y   1 2 0}. Tìm giá trị nhỏ nhất của P ^{với P 8}₉



^{x   1}



^{y 2020.}

A. 2021^{. B.} 2020^{. C.} 6055

 3 _{. D.} 6052

 3 _.

Câu 2: Cho các số thực x y, ^{thỏa mãn đồng thời} x0,y 1^và



^{xy2   x 2y 1 log}



^{y log2y x }_x ³_. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

2 4 3

4

y x x

P y y

   .

A. 4^{. B.} 5. C. 3 ^D. 6^.

Câu 3: Cho các số thực x y, thỏa mãn đồng thời x y, 1 ^và 10^{5 2 4 log} 4 2 5

x^y x  y

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  40x²8yy³ 5^.

A. 21

2 ^{. B.} 11^{. C.} 19

2 ^D. 8^.

Câu 4: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b1 và a b a  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức log_a 2log _b .

b

P a a

 b

 

     

A. 6^{. B.} 7. C. 5. D. 4^.

Câu 5: Cho các số thực a b, ^{thỏa mãn} a b 1. Biết rằng biểu thức P  log1_aba  log^aab đạt giá trị lớn nhất khi b a ^k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0;1

k      2 . B. 1 ;1

k    2 . C. 1;3

k       2 . D. 3 ;2 k  2 .

Câu 6: Cho các số thực a b x y, , , ^{thỏa mãn} a1,b1 ^và a^x  b^{y 4}ab. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 6

P x  y thuộc tập nào dưới đây?

A.

 

^{9;10 . B.}

 

^{6;7 . C.}

 

^{7;8 . D.}

 

^{8;9 .}

Câu 7: Cho các số thực a b c, , 1 và các số thực dương x y z, , ^{thỏa mãn} a^x   b^y c^{z 6}abc. Giá trị lớn nhất của biểu thức P 32 4z² 1

 x y  

 thuộc tập nào dưới đây?

A.



^34;36



^{. B.}



^36;38



^{. C.}



^38;40



^{. D.}



^40;42



^.

Câu 8: Cho a b c, , là các số thực dương khác 1 thỏa mãn: 3^a2a1 5^b2b1 15^1cc2. Giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ^{P   }



^{a b c}



^{28}_{a b c}^{1 1 1  } ²⁵ thuộc khoảng nào sau đây?

A.

 

^{0;20 . B.}



^20;0



^{. C.}



^{ 30; 20}



^{. D.}



^{ 50; 30}



^.

Câu 9: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log₂ x 4y 2x 4y 1 x y

  

    

 

 

   . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

4 2 2 2

3

3 4 11

2 4

x x y x x

P x y y

 

 

 bằng bao nhiêu?

A. 23

4 ^{. B.} 3^{. C.} 6^{. D.} 13

2 ^. Câu 10: Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn _{4 .2}^{ab a b 8 1}



^ab



a b

 

  . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

P ab  ab bằng

A. 3^{. B.} 1^{. C.} 5 1

2 _{. D.} 3 17^. Câu 11: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn log₅ 4aa b2b 5 a 3b 4

   

    

 

 

 

  . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P a    ² b² 3a b 5

A. 15^{. B.} 5. C. 5. D. 35^.

Câu 12: Cho các số dương a b, thỏa mãn 3 log a ab2b 3   ab a 2b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a ² 4b²26ab2020.

A. 1120^{. B.} 1885^{. C.} 2021^{. D.} 1705.

Câu 13: Cho hai số thực dương x y, ^{thỏa mãn log2x x x y}



^{ }



^{log 62}



^{ y}



^6x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x  2y 6 8x y.

A. 8 6 2 . B. 59

3 ^{. C.} 19^{. D.} 53

3 ^.

Câu 14: Cho số thực x, y thỏa mãn log _{3 2 2} ( 3) ( 3) 2

x y x x y y xy

x y xy

     

   . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức 2 3

x y 6 P  x y   .

A. 69 249

94 _{. B.} 69 249

94 _{. C.} 37 249

94 _{. D.} 43 2 249

94 _. Câu 15: Với các số thực dương x y, thay đổi thỏa mãn: ^{log2}  ⁶_x^{x2  2}_y^y2 ₁^{5 } ^{x x}



^12

 

^{y y 4 10}



.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 2 6 2x y 1

P  x y   thuộc khoảng nào sau đây?

A.



^0,5;0,7



^{. B.}



^0,7;0,9



^{. C.}



^0,9;1,1



^{. D.}



^0,3;0,5



^.

Câu 16: Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn: ^log2



^{x 2y}

 

^{x x   3y 1}

 

^{y y2  1}



^{0. Khi}

biểu thức P log₂₀₂₀x2.log₂₀₂₀y đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị 4x² 5y². A. 2

3^{. B.} 3^{. C.} 1^{. D.} 8

9^.

Câu 17: Cho x y, ^{là các số thực dương và} y1 ^{thỏa mãn:}



^{2 1}



^{3 5 .ln}



¹



^{ln x 5}₃ ^ln

x y y x y

xy

  

        

  

     . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

¹ ₂₅^{32 2}

P x y   y ^.

A. 103

25 ^{. B.} 217

25 ^{. C.} 23

25^{. D.} 48

25^.

Câu 18: Cho x y, ^{là hai số thực không âm thoả mãn đẳng thức}

   

2 2

2 2

2 15

log 4 6 8

2 3 3

x y x x y y

x y     

  ^{. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức}

2 2 2 4 5

P x  y x  y là

A. 26 8 34 . B. 28 4 34 . C. 26 4 34 . D. 28 8 34 .

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện

Câu 1: Cho các số thực x y, ^{thỏa mãn} 0x y, 1 ^{và log3} ₁^{x y }_xy^{  }



^{x 1}

 

^{y   1 2 0}. Tìm giá trị nhỏ nhất của P ^{với P 8}₉



^{x   1}



^{y 2020.}

A. 2021^{. B.} 2020^{. C.} 6055

 3 _{. D.} 6052

 3 _. Lời giải

Chọn C

Điều kiện:0x y, 1 Khi đó

  

log3 1x yxy x 1 y 1 2 0

  

      

 

 

  

   

3 3

log x y log 1 xy x y xy 1 0

        

         

3 3

log x y x y log 1 xy 1 xy 1

       

Xét hàm số đặc trưng f t( ) log ₃t t với t0

Khi đó: '( ) 1 1 0, 0

f t ln 3 t

t     nên hàm số f t( ) đồng biến trên khoảng



^0;



^{. Suy ra}

 

^{1  f x y}



^{ }

 

^{f 1xy}



^{   x y 1 xy  y} ₁^1_^x_x

Suy ra ^{P  8}₉



^{x  1}



^{y 2020 8}₉



^{x 1}



₁^1_^x_x ^{2020 8}₉



^{x 1}



_1²_x ^{ 1 2020}

8

 

2

2 1 . 2021

9 x 1

  x 

 2.432021 6055

 3

 ^.

Đẳng thức xảy ra khi 1

x  2^, 1

y  3 (thỏa các điều kiện của đề bài).

Vậy 6055

3 PMin   ^.

Câu 2: Cho các số thực x y, ^{thỏa mãn đồng thời} x0,y 1^và



^{xy2   x 2y 1 log}



^{y log2y x }_x ³_. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

2 4 3

4

y x x

P y y

   .

A. 4^{. B.} 5. C. 3 ^D. 6^.

Lời giải Chọn B

Điều kiện: 0, 1 0, 1

2 3 0 2 3 0

x y x y

y x y x

x

   

   

 

 

   

     

 



. Ta có :



^{xy2   x 2y 1 log}



^{y log2y x }_x ³



^{xy2 x 2y 3 log}



^{y 2 logy log 2}



^{y x 3}



^logx

        



^{xy2 x 2y 3 log}



^{y log 2}



^{y x 3}



^log

 

^xy2

       

 

¹

+ Nếu xy² 2y x 3 thì

 

 

^{11 00}

VT VP

 

 

 (do logy 0^).

+ Nếu xy²   2y x 3 thì

 

 

^{11 00}

VT VP

 

 

 (do logy 0^).

Do đó, từ

 

^{1 suy ra: xy2 2y x 3x y}



^{2  1}



^{2y 3.}

Ta có: 3

4 x

P xy  yy ³



^{2 1}



³ ₂ ³

4 4

y x yy y y

      3 3 2 2 3 3. 2 5

4y 4y

y y

     

Vậy P_min 5 khi 2 7 y   x 5^.

Câu 3: Cho các số thực x y, thỏa mãn đồng thời x y, 1 ^và 10^{5 2 4 log} 4 2 5

x^y x  y

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  40x²8yy³ 5^.

A. 21

2 ^{. B.} 11^{. C.} 19

2 ^D. 8^.

Lời giải Chọn A

Gt : 10^{5 2 4 log} 4 5 2

x^y x  y ^



^{5x24 logy}



^{x log}^4y₅^{ 2}



^{5x2 4y 2 log}



^{x 2 logx log 4}



^{y 2}



^{log 5 0}

       

       

2 2

5x 4y 2 logx log 5x log 4y 2 0 1

 

          Vì x  1 logx 0^.

+ Nếu ^{5x2 }



^{4y  2}



^{0 5x2 4y2VT}

 

^{1 0 (loại).}

+ Nếu ^{5x2 }



^{4y  2}



^{0 5x2 4y2VT}

 

^{1 0 (loại).}

+ Nếu ^5x2



^{4y   2}



^{0 VT}

   

^{1 0 /t m}

Vậy

 

^{1 5x2 4y2.}

Khi đó: 40 ^{2 3} 5

x8 y

P  y  ^{8 4}



²



³ ₅

8

y y

y

    2 ² 9 y8

 y  1 1 ² 9 y8

  y y 

2

3 1 1 21

3 . . 9

8 2

y

 y y   . Dấu bằng xảy ra khi x 2,y  2^.

Câu 4: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b1 và a b a  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức log_a 2log _b .

b

P a a

 b

 

     

A. 6^{. B.} 7. C. 5. D. 4^.

Đề khảo sát chất lượng – L2 – Chuyên Vĩnh Phúc – 2018-2019 Lời giải

Chọn C

Đặt t log_ab b a^{t. Khi đó:} log 1t 4.log t 1 t

a a

P   a a 1 ^{4 1}

 

1

t

t t

  

 Vì b1 và a b a  nên 12 t 1^.

Khi đó: 1 ^{4 1}

 

1 ^{4 1}

 

1 1

t t t

P t t t t

 

    

  _{1 2 .}^{4 1}

 

1 t t

t t

    5 Vậy P_min 5 khi 2

t  3

Câu 5: Cho các số thực a b, ^{thỏa mãn} a b 1. Biết rằng biểu thức P  log1_aba  log^aab đạt giá trị lớn nhất khi b a ^k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. k      0;21 . B. 1 ;1

k    2 . C. k       1;32 . D. 3 ;2 k  2 . Lời giải

Chọn B

Đặt t log_ab b a^t (đk: 0 t 1).

Khi đó: P  log1_aba  log^aab log_aab 1 log _ab   1 t 1t

Xét hàm số: ^{f t}

 

^{  1 t 1tvới 0 t 1,}

Có ^{f t}

 

^{ 1} _{2 1}¹_t ^{  0 t 3}₄

Bảng biến thiên:

Vậy _max 9

P  4 ^{khi 3 34}

t   4 b a do đó: 3 k  4

Câu 6: Cho các số thực a b x y, , , ^{thỏa mãn} a1,b1 ^và a^x  b^{y 4}ab. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 6

P x  y thuộc tập nào dưới đây?

A.

 

^{9;10 . B.}

 

^{6;7 . C.}

 

^{7;8 . D.}

 

^{8;9 .}

Lời giải Chọn D

Giả thiết: a^x  b^{y 4}ab log ₄⁴ log

a b

x ab

y ab

 

  

 

 

1 1 log 1 1 log4 4

a b

x b

y a

  

   

Đặt t log_ab (đk: t0^{) thì x  1 1}₄

 

^{t và y  1}₄^^11_t^.

Ta có: ^{P  1}₄

 

^{1   t 1 1}_t ^{6 29 1}₄ ^₄^{t 1 29}_{t 4} ^{2 1 1}₄^t._t ^{ 33}₄ ^.

Dấu bằng xảy ra khi t   2 x 34,y  38^.

Câu 7: Cho các số thực a b c, , 1 và các số thực dương x y z, , ^{thỏa mãn} a^x   b^y c^{z 6}abc. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x y32 4z² 1 thuộc tập nào dưới đây?

A.



^34;36



^{. B.}



^36;38



^{. C.}



^38;40



^{. D.}



^40;42



^.

Lời giải Chọn B

Đặt: a^x   b^y c^{z 6}abc t (đk: t1).

Ta có: log , log , log ,log 1

6

a b c abc

x  t y  t z  t t

Suy ra: 1 1 1 log_ta log_tb log_tc log_tabc 6

x y z      

Nhận xét: với x y, 0, ta có:



^{x y}



^{2 4xy   1 1}_{x y x y}⁴ . Dấu bằng xảy ra khi: x y Do đo: P  x y32 4z²1 8. 1 1 4z² 1

x y

 

 

    

1 2

8 6 4z 1

z

 

 

    

2 1 1

49 4 z

z z

 

 

     

Mà z²  1 1z z 3. . .³z² 1 1z z 3 nên P  49 4.3 37 .

Dấu bằng xảy ra khi z 1^, 2 x y  5^.

Câu 8: Cho a b c, , là các số thực dương khác 1 thỏa mãn: 3^a2a1 5^b2b1 15^1cc2. Giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ^{P   }



^{a b c}



^{28}_{a b c}^{1 1 1  } ²⁵ thuộc khoảng nào sau đây?

A.

 

^{0;20 . B.}



^20;0



^{. C.}



^{ 30; 20}



^{. D.}



^{ 50; 30}



^.

Lời giải Chọn D

Đặt 3^a2a1 5^b2b1 15^1cc2 t^{. Khi đó:} t0^. + Nếu ^{t     1 a b c 0}

 

^{l .}

+ Nếu t 1^{, ta có:}

Khi đó: ₂ log₃ 1

a t

a 

 , ₂ log₅ 1

b t

b 

 , ₂ log₁₅ 1

c t

c 

 .

Suy ra: a² 1 b² 1 c² 1 log 3 log 5 log 15 0_{t t t}

a  b  c    

1 1 1 a b c

a b c