102 bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chọn lọc - THCS.TOANMATH.com

(1)

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

95

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Với x y z, , là các số thực dương sao cho . . ¹ x y z 6.

Chứng minh: ₃ ¹ ₃ ₃ ¹ ₃ ₃¹ ₃ 1.

8 1 8 27 1 27 1

x y  y z  z x 

     

Lời giải Có: . . ¹ 6 . . 1

x y z 6 x y z

Ta có: ^x³^

 

²^y ³^^{x y x}^.2



^²^y



   

3 3

1 1

2 1 2 2 3

2 2 3

2 1

x y xy x y z

xy x y z

x y

       

 

Chứng minh tương tự:

   

2y ³ ¹3z ³ 1⁶yz x



¹²y ³z



 

 

3z ³¹x³ 1³xz x



¹²y ³z



 

 

³

   

³ ³

 

³

 

3 3

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 6 3

2 1 2 3 1 3 1 x y z xy yz zx

x y y z z x

 

               

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1.

8 1 8 27 1 27 1

x y y z z x

   

     

Bài 2. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ² ³

3 1

A xy y

 Lời giải

 

2 3 2 3

3 1 3 3 1

A xy y  xy y

 

 

2 2

3

2 6 2 6 4 1 2

3 3 1 3 6 4 6 6 3

xy y

xy y xy y xy y

 

         

    

 

3 1

2 1 . 1

6 y

A y x

  

   

    

²

 ^ ^

²

1 1 1 2 4 1

2 . 3 1 2 . 4 2 4 4 2

6 y y 6 y y 6 y y 3 3 6 y

              

4 A 3

  với mọi x y, .

Vậy ⁴

Min 3

A  khi x1;y2.

(2)

96

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 3. Cho các số dương a b, thoả mãn ¹₃



^a³^^b³^{  }^{a b}



^{ab a}^ ²^^b²^¹^.

Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: M ^a² ⁸ ^b² ²

a b

 

  .

Lời giải Ta có



³ ³



² ²

1 1

3 a b   a b ab a b  ^¹₃



^{a b a}^

 

²^^b²^^ab^{ }¹



^a²^^b²^^ab^¹

Vì a²b²ab 1 0 a,b R 

 

1 1 3

3 a b a b

     

Khi đó ta có

2 8 2 2 8 2 4 1 4 1

a b

M a b a b

a b a b a b a b

 

           

4 1 4 1

M a b

a b a b

     

           

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các cặp số dương ta có:

 

²

4 4

2 . 2 4 4

1 2 .1 2 1 2

4 1 2 1 9

3 3

a a

b b

a b a b

    



    



 

    

 

GTNN của M là 4 2 3 9   .

Dấu “” xảy ra khi 4 1 2

1 2

a a b a

b b a b

 

  

  

  

 



Vậy Mđạt giá trị nhỏ nhất là 9khi a2;b1. Bài 4. Cho x, ylà các số thực dương thỏa mãn x²y² 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x ¹ y ¹

x y

    . Lời giải

 x, y0:



^{x y}^



² ^{ }⁰ ^x²^²^{xy y}^ ²^{ }⁰ ²



^x²^^y²



^^x²^²^{xy y}^ ²^²



^x²^^y²



^

^

^{x y}^

^

²



² ²



2

x y x y

    .

(3)

97

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

 

² 0 ² 2 ² 0 ² 2 ² 4

 

² 4 x y ⁴

x y x xy y x xy y xy x y xy

xy x y

               



1 1 4

x y x y

  

 .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4

2 . 2 . .

2 2 2 2 2 2

P x y x y x y

x y x y x y x y x y

 

               = 2 2 ²

x y





²² ²



2 2 2

P  x y



2 2 2 3 2

  2.1 . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ²

x y 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 khi ²

x y 2 . Bài 5. Chứng minh rằng:

Với mọi x1,ta luôn có ² 1₂ 2 ³ ¹₃

3 x x

x x

 

  

 

     Lời giải Ta có 3 x² 1₂ 2 x³ ¹₃

x x

 

  

 

    

 

3

2 2

3 1 3 1

2 x 0

x x

x

 

   



   

 

  

2 2

1 2

3 3 2 0

2

x x x

  

       



2

1 2

2 1 4 0

2 2 4 2

x x x x

   

            



1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 0

x x x x x

 

       

               



1 1 2 2 2 1 0

x x x

   

        





¹



²

1 2

2 1 0

x x x

  

   

      



Vì x1 nên

 

²

0 0 1 1

2 2 1 0

x x x

 



 



   







.

(4)

98

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 6. Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn: ab bc ac  3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c

K  c c a a a b b b c

   .

Lời giải 1 1 1

3 3

ab bc ac abc

a b c

       (1)

Ta có

       

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

2

Cauchy

a a c c ac

c c a

c c a c c a c c a a c a

      

    .

Tương tự,

 

2

2 2

1 1 2 b

a b a a b  

 ,

 

2

2 2

1 1 2 c

b c b b c  

 .

Khi đó ^{1 1 1 1} ^{ }¹ ³

2 2

K a b c

 

     . Vậy

, , 0

3 1

2

a b c

Min K a b c

      .

Bài 7. điểm) Cho a, b là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện:



^{a b ab}^



^



^{a b}^



²^^ab^{. Tìm giá}

trị lớn nhất của biểu thức P ¹₃ ¹₃ 2 a b

   .

Lời giải Theo giả thiết:



^{a b ab}^



^



^{a b}^



²^^ab

2 2 2 2

a b ab a ab b

    

Do a0; b0 nên chia cả hai vế cho a b^{2 2} ta được: ^{1 1} ¹₂ ¹ ¹₂ a b  a ab b . Đặt x ¹

 a; y ¹

b ta được :

2 2

x y x  xy y (1)

 

² ³

x y x y xy

    

 

²

3 3

x y x y

xy  

  

Mà



^{x y}^



²^⁴^xy^hay

 

²

4 xy x y



Suy ra

 

²

 

²

3 3 4

x y x y  x y



^{x y}



² ⁴



^{x y}



⁰

    

0 x y 4

   

(5)

99

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ta có: P ¹₃ ¹₃ 2

a b

   x³y³2 ^



^{x y x}^

 

²^^{xy y}^ ²



^² ^



^{x y}^



²^²^{(do 1)}

Mà 0  x y 4 nên ²^



^{x y}^



²^{ }^{2 18}^.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 18khi x y 2 và ¹ a b  2. Bài 8. Cho các số thực thỏa mãn x²y²–xy4.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P x ²y². Lời giải

+) Tìm GTLN của P: Ta có x²y²–xy4

2 2

2x 2y – 2xy 8

   ^



^x²^^y²



^

^

^{x y}^

^

² ^⁸^{  }^P

^

^{x y}

^

² ^⁸^{   }^P ⁸

^

^{x y}

^

²

Ta có



^{x y}^



² ^⁰^{với mọi}^{x y}^,

Suy ra P8

MaxP 8 ₂ ₂⁰ 2

4

x y x y

x y xy

  

   

   

 .

Vậy MaxP8 khi x  y 2. +) Tìm GTNN của P:

Ta có x²y²–xy4

2 2

2x 2y – 2xy 8

  



² ²

 ^ ^

²

3 x y x y 8

     ^³^P^{  }⁸



^{x y}



²

Ta có



^{x y}^



²^⁰^{với mọi}^{x y}^,

Suy ra 3 8 ⁸

P  P 3

Min 8

P 3 ₂ ₂ ₂

0 2

4 3 4 3

2 3 y x

x y y x x

x y xy x

x

  



    

   

      

    

2 3

2 3 2

3 2

3 x y x y

 

  



  

 

Vậy Min ⁸

P3 khi ² ; ²

3 3

x y  hoặc ² ; ²

3 3

x  y .

(6)

100

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 9. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A ^a² ^b² ^c² a b b c c a

  

  

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức: a² b² c²



^{a b c}



²

x y z x y z

    

  , ta được

 



²

  

2 2 2 2

2 4

a b c a b c

a b c

A a b b c c a a b c

   

    

    

     

²

 

1

4 4 2

ab bc ca a b    b c c a  

  

Dấu " " xảy ra khi a b c  1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A ^a² ^b² ^c² a b b c c a

  

   là ¹

2 khi a b c  1. Bài 10. Cho ² ² ² ³

x   y z 7. Chứng minh: 8 14 x 8 14y 8 14z 3 3 7. Lời giải

ĐKXĐ: , , ⁴

x y z7 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm



^{8 2 7}^



^và^^{8 14x}^ ^^{, ta có:}



^{8 2 7 8 14}^



^ ^ ^x^^^{8 2 7}^ ₂^{ }^{8 14}^x



^{7 1 8 14}



²^ ^x^ ⁸ ⁷ ⁷^x

     

8 7 7

8 14 7 1

x   x

  

 . (1) Chứng minh tương tự, ta có:

8 7 7

8 14 7 1

y   y

 

 . (2)

8 7 7

8 14 7 1

z   z

  

 (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

 

24 3 7 7

8 14 8 14 8 14

7 1

x y z

x y z    

     

 .

Ta có:

(7)

101

^x^{ }^y ^z²^{   }^x² ^y² ^z² ²^xy^²^yz^²^zx^. Mà: ²^xy^²^yx^²^zx^²



^x²^{ }^y² ^z²



^.

Suy ra: ^x^{ }^y ^z²^³



^x²^{ }^y² ^z²



^^3.³₇^⁹₇^.

Do đó: ³

x  y z 7 . Suy ra:

 

24 3 7 7. 37 24 6 7 3 8 2 7

8 14 8 14 8 14 3 3 7

7 1 7 1 7 1

x y z

   

         

   .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ¹ x  y z 7 .

Bài 11. Tìm cặp số (x ; y) với y là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện x² + 5y² + 2y – 4xy – 3 = 0

Lời giải Phương trình có nghiệm ẩn xkhi và chỉ khi

 

2 2

4y 5y 2y 3 0

     

2 2 3 0

y y

    



^y ¹



² ⁴ ² ^y ^{1 2} ³ ^y ¹

           

Giá trị nhỏ nhất của y là 3 khi đó phương trình  x²12x36 0   x 6 Bài 12. Cho 3 x 5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ² ² ¹

3 5 ( 3)(5 )

A x  x x x

   

Lời giải Ta có 3 x 5 nên x 3 0;5 x 0 Áp dụng BĐT Cauchy:

     

2 2 4 4

3 5 2. 3 5 3 5

x  x x x  x x

     

  

3 A 3 5

x x

  

Áp dụng BĐT Cauchy:



^{3 5}

 

^{3 5} ¹

2

x x

x x     

Suy ra

  

1 1

3 5

x x 

 

Suy ra A3.

Vậy GTNN A3 khi và chỉ khi x    3 5 x x 4.

(8)

102

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 13. Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y ^{6 24}

x y

    .

Lời giải

Ta có: P x y ^{6 24} x ⁴ y ^{16 2 8}

x y x y x y

         



^{1 2}



² 9

2 4 2 16 2 4 8 2. 15

6 x y

       



Vậy giá trị nhỏ nhất của P15. Dấu bằng xảy ra khi x2;y4 Bài 14. Cho a b c, , 0. Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c

a ab b b bc c c ca a b  c  a          .

Lời giải Đặt ^a² ^b² ^c² a² ab b² b² bc c² c² ca a²

b  c  a          (*).

Vì a b c, , 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm a b c, , ,a b c², ², ²

b c a ta được

2 2

2 . 2

a a

b b a

b   b  , b² 2 b². 2

c c b

c   c  , c² 2 c². 2

a a c

a   a 

Suy ra a² b² c² 2 a² b² c² a² b² c²

a b c a b c

b c a b c a b c a

 

              

  (1)

Ta có ^a² ^b² ^c² a b c ^a² ^{ab b}² ^b² ^{bc c}² ^c² ^{ca a}² a b c

b c a b c a

     

           . (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âma² ab b², ,b² bc c², ,c² ca a²,

b c a

     

ta được

2 2 2 2 2 2

2 , 2 , 2

a ab b b bc c c ca a

b a ab b c b bc c a c ca a

b c a

     

           

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 a² b² c² 2 ² ² 2 ² ² 2 ² ²

a ab b b bc c c ca a

b c a

 

          

 

  hay

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c

a ab b b bc c c ca a b  c  a         

Do đó (*) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi dấu bằng tại (1) và (4) xảy ra. Tức là

(9)

103

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, , , ,

, ,

a b c

b c a a b b c c a

b c a

a ab b b b bc c c c ca a a a ab b b b bc c c c ca a a

b c a

   

    

 

 

               

   



2 2, 2 2, 2 2

( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 a b b c c a

a a b b b c c c a

   

        .

Vì a b c, , 0 nên suy ra dấu bằng xảy ra khi a b c  .

Bài 15. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c

P b c a  a c b  a b c

     

Vì a b c, , là 3 cạnh của tam giác nên 2a²2c²b², 2a²2b²c², 2b²2c²a² đểu là các số dương.

Áp dụng công thức Cauchy ta có:

 

² ² ² ²

2 2 2 2 3 2 2 2 2 2

3 2 2

2

a b c a

a b  c a     a b c

Ta có:

 

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

3 3

2 2 3 2 2

a a a

a b c

b c a  a b c a 

 

   



² ² ²



2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3

2 2 2 2 2 2

a b c

P b c a a c b a b c a b c

 

     

 

     

Vậy GTNN P 3 khi và chỉ khi a b c  hay là tam giác đều.

2) Ta coi như hình vẽ thành bài toán đường tròn tâm

 

^O nội tiếp tam giác đều ABC vậy tâm

 

^O của đường tròn sẽ trùng với trọng tâm tam giác ABC vậy nên đường cao của tam giác đều là 3R (với R là bán kinh đường tròn

 

^O ⁾

Suy ra ^2.3 2 3 . 3

BC R  R

Thể tích hình nón là: ^V ^¹₃^^{R h}²^. ^¹₃^

 

³^R ²^.3^R^³^^R³

Thể tích hình cầu là: ⁴ ³ V  3R

Vậy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngoài quả cầu kem là

3 4 3 5 3

3 .

3 3

V  R  R  R

Bài 16. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn ab bc ca1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ^a² ^b² ^c²

a b b c c a

  

   .

(10)

104

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lời giải

Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

   

² ² ² ²

2 a b c A a b b c c a a b c (a b c) a b b c c a

 

                

Suy ra

2 a b c A  

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 2

a b  ab 2 b c  bc

2 c a  ca

Suy ra a b b c c a     ²



ab bc ca



^{2.1 2} Suy ra ²



^{a b c}^{ }



^²^{, hay}^{a b c}^{ }₂ ^¹₂

Vậy nên ¹

2 2

a b c A   

Khi ¹

a b c  3 thì ¹ A2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là ¹ 2.

Bài 17. Cho a b, 0 thỏa mãn 2a ab  4 0. Tính giá trị nhỏ nhất của a² ²b².

T ab

 

Lời giải Ta có ²^{a ab}^ ^{  }^{4 0} ^a



²^{ }^b



⁴^.

Kết hơp với a0 ta suy ra b2 ⁴ a 2

  b

 .

Ta có ² ⁷ ² ⁷ 1

8 8 8

a b a a b a

T  b a  b b a  b

 

²

7. 4 1 7. 1 1 9

8 2 2 2 2

2

T b b b b

     

    

 

 

.

(11)

105

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ^^_₂^a_{ }^_{b b}²^⁴^b ^



^a^b^^¹⁴^.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là ⁹

2, đạt được khi a4 và b1. Bài 18. ) Cho các số thực x y z; ; thỏa mãn 2 x 3;4 y 6;4 z 6và x y z  12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz .

Lời giải

Ta có

 

² ¹



¹²



¹²



2 4

P x yz xy z   x x x .

¹

 

³ ¹²



¹²



¹ ²⁴ ³ ^{1 3 24} ³ ²⁴³

12 12 3 12 3 4

x x x x    

           . Vậy ²⁴³

MaxP 4 khi 3; ⁹ x y z 2. Bài 19. Cho x, ylà các số thực thỏa mãn x² xy y² 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x ²y². Lời giải

Ta có ^x²^^{xy y}^ ² ^{ }³ ²



^x²^^{xy y}^ ²



^⁶



^x²^^y²



^{ }

^

^{x y}

^

² ^{    }⁶ ^P ⁶

^

^{x y}

^

² ^⁶

Dấu “ ” xảy ra ₂ ₂ ₂ ³

3 3 3

x y x y x y

x xy y x x y

    

 

           GTLN của Plà 6 khi và chỉ khi ³

3 x y x y

  

   



+) Có



² ²

 

² ²

 ^ ^

²

6 2 x xy y 3 x y  x y

 

²

 

² ¹

 

²

3 6 3 6 2 2

P x y P x y P 3 x y

            

Dấu “ ” xảy ra ₂ ₂ ₂

1 1

3 3 3 1

1 x

x y x y y

x xy y x x

y

 

  

   

  

        

Vậy GTNN của Plà 2 khi và chỉ khi ¹ 1 x y

 

  

 hoặc ¹

1 x

y

  

 