Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm tuyệt đối có chứa tham số

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn



^{a b;}



- Tìm nghiệm x i_i( 1, 2,...) của y 0 thuộc



^{a b;}



- Tính các giá trị f x

 

i ^;f a

 

^;f b

 

so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

BÀI TẬP MẪU:

Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{ x33xm}

trên đoạn



^0;3



^{bằng 16}. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 16. B.16. C. 12. D. 2.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán max, min của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số.

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn



^{a b;}



- Tìm nghiệm (x i_i 1, 2,...) của y 0 thuộc



^{a b;}



- Tính các giá trị f x

 

i ^;f a

 

^;f b

 

so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

3. HƯỚNG GIẢI: Tìm giá trị lớn nhất hàm số ^{y f x}

 

, ta xét hàm số ^{y f x}

 

^.

B1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ^{y f x}

 

^.

B2: Giá trị lớn nhất của hàm số ^{y f x}

 

^{tại max f x}

 

^{hoặc min f x}

 

^.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Đặt ^{g x}

 

^{x33x m .}

 

^{3 2 3}

g x  x  ;

   

 

1 0;3 0

1 0;3 g x x

x

   

   

  

.

 

^{0 ;}

 

^{1 2 ;}

 

^{3 18}

g m g   m g  m. Suy ra

 

 

0;3

maxg x 18m;

 

 

min0;3 g x   2 m.

GTLN - GTNN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAM SỐ

Để giá trị lớn nhất hàm số ^{y f x}

 

^{là 16}

18 16 2

2 16 14

2 16 14

18 16 2

m m

m m

m m

m m

     

 

 

     

 

 

 

      

 

   

 

 

.

Vậy ^{S  }



^{2; 14}



nên tổng là 2 14   16.

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 42.1: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

3 3

y x  xm trên đoạn



^{0; 2}



bằng 3. Số phần tử của S là

A.1. B. 2. C. 0. D. 6.

Lời giải Chọn B

Xét ux³3xm. Ta có: u'3x²3 ; ^{u    0 x 1}



^{0; 2}



^{. Khi đó:}

 

         

0;2

max max 0 , 1 , 2 max , 2, 2 2

A u u u u  m m m m .

 

         

0;2

min min 0 , 1 , 2 min , 2, 2 2

a u u u u  m m m m .

Ta có:

_0;2

   

2 3

2 2 1

max max , max 2 , 2 3

2 3 1

2 2

m

m m m

y A a m m

m m

m m

  

     

           

   



.

Vậy ^{S }

 

^{1 .}

Câu 42.2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x² x m thỏa mãn

 ^{2; 2}

miny 2

  . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 31

 4 . B. 8. C. 23

 4 . D. 9

4. Lời giải

Chọn C

Xét hàm số ux²xm trên đoạn



^{2; 2}



^{, có: 0 2 1 0 1}

u   x  x 2.

 

   

2;2

max max 2 , 1 , 2 6

u u u 2 u m



   

      

 

 

;

 

   

3;2

1 1

min min 2 , , 2

2 4

u u u u m



   

      

 

 

.

Nếu 1

4 0

m  hay 1 m4 thì

 2; 2

1 9

min 2

4 4

y m m

      (thỏa mãn).

Nếu m 6 0 hay m 6 thì

min2; 2y m 6 2 m 8

        (thỏa mãn).

Nếu 1

6 m 4

   thì

 ^{2; 2}

miny 0

  (không thỏa mãn).

Ta có: 9 8;8

S  

  

 . Vậy tổng các phần tử của S bằng 23

 4 .

Câu 42.3: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{ 3x44x312x2m trên đoạn}



^1;3



^{. Có bao}

nhiêu số thực m để 59 M  2 ?

A. 2. B. 6. C.1. D. 4.

Lời giải Chọn C

Xét hàm số: u3x⁴4x³12x²m.

Có u 12x³12x²24x

0

0 1

2 x

u x

x

 

 

    

  .

Khi đó: ^{ }

       

   

 

           

1;3

1;3

min min 1 , 0 , 2 , 3 2 32

max max 1 , 0 , 2 , 3 3 27

u u u u u u m

u u u u u u m





     



    



.

Do đó: ^max



^{32 , 27}



⁵⁹

M  m m  2

32 59 2

32 27 5

59 2 27 2

27 32

m

m m

m m

m m

  



   

  

  

   



.

Vậy có 1 số thực m để 59 M  2 .

Câu 42.4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2

2 x m m

y x

 

  thỏa

 ^1;2

maxy1. Tích các phần tử của S bằng

A. 16. B. 4. C.16. D. 4.

Lời giải Chọn B

Xét

2

2 x m m

u x

 

  , ta có:

   

2 2

2 0 , 1; 2 ,

2

m m

u x m

x

 

      

 .

Do đó

 

 

2

1;2

max 2 2

4

m m

A u u  

    ;

 

 

2 1;2

min 1 1

3

m m

a u u  

    .

 

2 2

1;2

2 1

max max , 1

4 3

m m m m

y      

  

 

 

1 17 m  2

  .

Ta có: 1 17 S  2 

  

 

 

. Vậy tích các phần tử của S bằng 4 .

Câu 42.5: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

2

1 x mx m

y x

 

  ^trên

 

^{1; 2} bằng 2 . Số phần tử của S là

A.1. B. 2. C. 4. D. 3.

Lời giải Chọn A

Xét hàm số:

2

1 x mx m

u x

 

  ^.

 

2 2

2 1

x x

u x

  

 ; u 0

 

2 2

2 0

1

x x

x

  



2 2 0

x x

  

 

 

0 1; 2 2 1; 2 x

x

  

     .

Ta có: ^{u   0 x}

 

^{1; 2 nên}

1;2

4 1

max ,

3 2

y m m 

  

 

.

^1;2

maxy2

2 3

10 3 m m

 



 

  



. Vậy 2 10

3; 3

S  

  

 ^.

Câu 42.6: Xét hàm số ^{f x}

 

^{ x2axb , với a, b}là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên



^1;3



^{. Khi M}nhận giá trị nhỏ nhất tính T  a 2b.

A. T3. B. T 4. C. T  4. D. T2.

Lời giải Chọn C

Ta có: ^max



^,

  

¹

2 A B A B

 . Dấu  xảy ra khi AB.

Ta có: ^max



^,

  

²

2 A B A B

 . Dấu  xảy ra khi A B. Xét hàm số ^{g x}

 

^{x2ax b , có}

 

⁰

2 g x   x a.

Trường hợp 1:



^1;3



2

a  ^{  a}



^{6; 2}



^{. Khi đó Mmax 1}



^{ a b, 9 3 ab}



^.

Áp dụng bất đẳng thức

 

^{1 ta có M 4 2 a 8.}

Trường hợp 2:



^1;3



2

a  ^{  a}



^{6; 2}



^{. Khi đó}

2

M max 1 , 9 3 ,

4 a b a b b a

 

 

       

 

 

.

Áp dụng bất đẳng thức

 

^{1 và}

 

^{2 ta có}

2

M max 5 ,

4 a b b a

 

 

     

 

 

1 2

M 20 4

8 a a

   

 

²

M 116 2

8 a

    .

Suy ra M2.

Ta có: M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M 2 khi

2

2

5 2

1 9 3

a

a b a b

a b a b

  

 

    





    



2 1 a b

  

    .

Vậy a2b 4.

Câu 42.7: Cho hàm số y x³3x²m (với m là tham số thực). Hỏi

1;2

maxy có giá trị nhỏ nhất bằng

A. 2. B. 4. C.1. D. 3.

Lời giải Chọn C

Xét hàm số : tx³3x² với ^x

 

^{1; 2 .}

Ta có

 

 

2 0 1; 2

3 6 0

2 1; 2 t x x x

x

 

     

  

; ^t

 

^{1  2, t}

 

^{2  4. Nên}

 1;2

maxt 2 và

 1;2

mint 4. Do đó

 _1;2  _1;2

 

maxymax m t max m4 ;m2

 

^{4 2}



⁴

 

²



max 4 ; 2 1

2 2

m m

m m

m m      

      .

Dấu bằng đạt tại m  4 2 mm3.

Câu 42.8: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ 8x4ax2b} , trong đó a, b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a và b để giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

trên đoạn



^1;1



^{bằng 1.}

A. b8a0. B. b4a0. C. b4a0. D. b8a0. Lời giải

Chọn D

Đặt tx², vì ^{x }



^1;1



^{nên t}

 

^{0;1 .}

Ta có: ^{g t}

 

^{8t2at b} , đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là

2

6; 32 a a

I b

  

 

 

Trường hợp 1:



^0;1



6

a . Theo yêu cầu bài toán ta có:

 

 

2

1 0 1

1 1 1

1 1

32 g g

a b



  



  





    



2

1 1

1 8 1

32 32 32

b a b

b a

  

     

   



 

 

 

2

1 1 1

1 8 1 2

32 32 32 3

b a b

a b

  

     

   



Lấy

 

^{1 32 3}

 

^{ta có : 64a264 do đó  8 a8.}

Lấy

 

^{3 32 2}

 

^{ta có :} 64a²32a25664 Suy ra : a²32a1920  24a 8. Khi đó ta có : a 8 và b1.

Thử lại: ^{g t}

 

^{8t28t12 2}



^t1



^21

Vì 0 t 1 nên  1 2t 1 1^0



^2t1



^{21  1 g t}

 

^{2 2}



^t1



^{2 1 1.}

Ta có: ^{max g t}

 

^{1 khi t 1 x 1. Nên a 8 và b1} (thỏa mãn).

Trường hợp 2 :



^0;1



6

a . Theo yêu cầu bài toán ta có:

 

 

1 0 1

1 1 1

g g

  



  



1 1

1 8 1

b a b

  

 

    



1 1

1 8 1

b a b

  

 

    



2 a 8 2 10 a 6

          (loại).

Vậy a 8 và b1.

Câu 42.9: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ x44x34x2a . Gọi M, m} lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn



^{0; 2}



. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn



^3;3



^{sao cho}

2 M  m?

A. 5. B. 7. C. 6. D. 3.

Lời giải Chọn A

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x44x34x2a.}

 

^{4 3 12 2 8}

g x  x  x  x; ^{g x}

 

^{04x312x28x0}

0 1 2 x x x

 

 

  .

Bảng biến thiên

`

TH1: ^{a  1 m }



^{a1 ;}



^{M  a  2}



^a1



        ^{a a 2 a}



^{3; 2}



. TH2: 1 a0 m0;M 0 M 2m (loại ).

TH3: a0  ma M; a1 ^2a     ^{a 1 a 1 a}



^{1; 2;3}



. Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Câu 42.10: Cho hàm số

4

1 x ax a

y x

 

  . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 

^{1; 2} . Có bao nhiêu số nguyên a sao cho M 2m?

A.15. B.14. C.16. D.13.

Lời giải Chọn C

Xét

4

1 x ax a

u x

 

  trên đoạn

 

1; 2 , ta có

 

4 3

2

3 4

0 1

x x

u x

   

 ,  x

 

1; 2 . Do đó,

 

 

1;2

max 2 16

uu a 3 ,

 

 

1;2

min 1 1

uu a2.

TH1: 1 2 0 a 

16 3 1 2 M a m a

  



 

  



1 0 2

16 1

3 2 2

a

a a

  



      

1 13

2 a 3

    .

TH2: 16 3 0 a 

1 2 16 3

M a

m a

  

   

  

     

16 0 3

1 16

2 2 3

a

a a

  



       

    



61 16

6 a 3

     .

TH3: 1 16

. 0

2 3

a a

   

  

   

    m0, 1 16

max ,

2 3

M a a 

    

 

2

M m

  ( thỏa mãn).

Ta có: 61 13

6 a 3

   ^{a }



^{10;....; 4}



. Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn.

Câu 42.11: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ 8 cos4xacos2x b} , trong đó a, b là tham số thực. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng a b khi M nhận giá trị nhỏ nhất.

A. a b  8. B. a b  9. C. a b 0. D. a b  7. Lời giải

Chọn D

Đặt tcos²x, ^t

 

^0;1 , ta có hàm số ^{g t}

 

^{ 8t2atb . Khi đó}

 

 

0;1

max M  g t . Do đó:

 

⁰

M g  b;

 

^{1 8}

M g   a b;

1 1

2 2 4 2

2 2

M g  a b M a b

        

  ^;

Từ đó ta có

   

4M  b 8ab    4 a 2b  b 8ab    4 a 2b 4 Hay M 1.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 2

8 1

2 a b

b a b   

     và b,



^{8 a b}



^,



^{  4 a 2b}



^{cùng dấu 8}

1 a b

  

   . Vậy a b  7.

Câu 42.12: Cho hàm số ^{y 2xx2}



^{x1 3}



^x



^m. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để maxy3?

A.1. B. 2. C. 0. D. 4.

Lời giải Chọn B

Hàm số xác định khi:



^{x1 3}



^x



^{0  1 x3.}

Đặt ^t



^{x1 3}



^x



^{ 3 2 xx2}



^t



^{0; 2}

 

^{và 2xx2 t23.}

Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số y t²  t 3 m trên đoạn



^{0; 2}



^.

Với ut²  t 3 m ta có:

0;2 0;2

max 1; min 13

um um 4 .

Do đó 13 1

max max 1 ; 3 4;

4 4

y m m  m m

       

 

.

Câu 42.13: Cho hàm số ^{y 2xx2}



^{x1 3}



^x



^m. Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 17

8 . B. 9

8. C. 7

8. D. 15

8 . Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định khi:



^{x1 3}



^x



^{0  1 x3.}

Đặt ^t



^{x1 3}



^x



^{ 3 2 xx2}



^t



^{0; 2}

 

^{và 2xx2 t23.}

Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số y t²  t 3 m trên đoạn



^{0; 2}



^.

Với ut²  t 3 m ta có:

0;2 0;2

max 1; min 13

um um 4 .

Do đó

13 13

1 1

13 4 4 9

max max 1 ;

4 2 2 8

m m m m

y m m

     

 

      

 

.

Dấu bằng xảy ra 13 9 17

1 4 8 8

m  m  m .

Câu 42.14: Gọi Slà tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số 1 ⁴ 19 ² 4 2 30

y x  x  x m có giá trị lớn nhất trên đoạn



^{0; 2}



không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng

A. 195. B. 210. C.195. D. 210.

Lời giải Chọn A

Xét 1 ⁴ 19 ² 4 2 30

u x  x  xm trên đoạn



^{0; 2}



^{có 3}

5

19 30; 0 3

2 x

u x x u x

x

  

     



  .

Do đó:

 



^0;2

max0;2 umax u(0); (2)}u max{ ;m m6}m6 ; minum. Do đó:

^0;2

6 20 13 6

max max{ ; 6 } 20 20 6

20 13

6 20

m m m

y m m m

m m m

       

               

.

Mà m nên m { 20; 19;..., 6}  . Vậy

20

6

195 S 



k  ^. Câu 42.15: Cho hàm số y 2x³3x²m. Có bao nhiêu số nguyên m để

 

 

1;3

min f x 3

  ?

A.4. B.8. C.31. D.39.

Lời giải Chọn D

Xét u2x³3x²m, ta có: u'6x²6x; 0

0 1

u x

x

 

     .

Do đó: ^{ }

       

   

 

           

1;3

1;3

min min 1 , 3 , 0 , 1 min 5, 27, , 1 5

max max 1 , 3 , 0 , 1 max 5, 27, , 1 27

u u u u u m m m m m

u u u u u m m m m m





        



       



.

TH1:

 

   

1;3

5 0 5 min 5 3 8 5; 6; 7;8

m m f x m m m



            .

TH2:

 _1;3

   

27 0 27 min ( 27) 3 30 30; 29; 28; 27

m m f x m m m

                    .

TH3: (m5)



m27



0 27m 5 min_1;3_ f x

 

0(thỏa mãn).

Vậy m 



30; 29; 28;...; 7;8 



.

Câu 42.16: Cho hàm số f x( )ax²bx c , f x( )   1, x [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của f(0).

A. 8. B. 0. C. 6. D. 4.

Lời giải.

Chọn A

( ) 2 (0)

f x  ax b f b.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của b với điều kiện f x( )   1, x [0;1].

Ta có.

 

(1) (0) (0)

1 1

1 2 4 4 (0) 4 (1) 3 (0).

2 2

1 (0)

2 4 2

a b f f

f c

f a b c a b f f b f f f

a b

c f

f c

    

  

     

          

     

   

 

       

  



     

1 (0) 1

( ) 1, [0;1] 1 1 1 4 1 (1) 3 (0) 4 1 3 8.

2

1 1 1

2 f

f x x f b f f f

f



  

  

                 

  

    

  



Đẳng thức xảy ra ²

1 1

1, 8

2

(1) 1 1, 8 ( ) 8 8 1.

(0) 1 1

4 2 1

f c a

f a b c b f x x x

f a b c

c

    

        

 

 

              

      

    

 



Vậy giá trị lớn nhất của f(0) bằng 8.

Câu 42.17: Cho hàm số y x⁴2x³x²a. Có bao nhiêu số thực a để

 ^{1; 2}  1; 2

miny maxy 10

    ?

A. 2. B. 5. C. 3. D. 1.

Lời giải Chọn A

Xét ux⁴2x³x²a trên đoạn



^{1; 2}



^{, ta có : u'4x36x22x;}

0

' 0 1

1 2 x

u x

x



 

  

 

 .

Suy ra: ^{ }

         

 

         

1; 2

1; 2

max max 1 , 0 , 1 , 1 1 2 4

2

min min 1 , 0 , 1 , 1 0 1

2

M u u u u u u u a

m u u u u u u u a





    

        

  

    

    

         

    



.

TH1: m0a0. Khi đó:

 ^{1; 2}  ^{1; 2}

miny m; maxy M

   

Ta có điều kiện : 0

4 10 3

a a

a a

 

 

   



. TH2: M   0 a 4. Khi đó :

 1; 2  1; 2

miny M; maxy m

      .

Ta có điều kiện :

 

4 7

4 10

a a

a a

  

  

   



. TH3: m 0 M   4 a0.

Khi đó:

   

   

1; 2 1; 2

miny 0; maxy max a 4 , a max a 4, a 10

         .

Suy ra

 1; 2  1; 2

miny maxy 0 10 10

      (loại).

Vậy ^a



^{3; 7}



^.

Câu 42.18: Cho hai số thực x; y thỏa mãn x²y²4x6y 4 y²6y10 64xx². Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x²y² a . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn



^10;10



của tham số a để M 2m?

A.17. B.16. C.15. D. 18.

Lời giải Chọn B

Biến đổi giả thiết có: x²y²4x6y 4 y²6y10  64xx²

2 6 10 2 6 10 6 4 2 6 4 2

y y y y x x x x

            (*).

Đặt ^{f t}

 

^{ t t t, }



^0;



^{. Ta có f t}

 

đồng biến trên



^0;



^.

Do đó ta có: (*) ^{ f}



^y26y10

 

^{ f 6 4 xx2}



^{ y26y10 6 4xx2}

  

2 2 2 2 2 2 2 2

4 6 4 0 4 4 6 4 6

x y x y x y x y x y

             

2 2 2 2

13 3 x y 3 13 x y a  13 3 a;3 13 a

              .

TH1: 13 3  a 0

 

13 3 0

13 3 13 9 9 13

3 13 2 13 3

3 13

m a a

ycbt a

a a

M a

   

   

 

       

    

  

 

 

.

TH2: 13 3  a 0

 

     

13 3 3 13 0

3 13 9 13

13 3 2 13 3

3 13

m a a

ycbt a

a a

M a

        

 

       

      

    

 

 .

TH3:



^{13 3 a}



^{3 13a}



^{0 13 3 a 13  3 m}_M^_⁰₀



(M2m).

Vậy a 13 9;9  13. Đối chiếu với ^{a }



^10;10



^{  a}



^5;...;10



^.

Câu 42.19: Cho hàm số f x( ) 2x³9x²12xm . Có bao nhiêu số nguyên m ( 20; 20) để với mọi bộ ba số thực ^{a b c, , }

 

^1;3 thì ( ), ( ), ( )f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác?

A.10. B. 8. C. 25. D. 23.

Lời giải Chọn D

Xét u2x³9x²12xm trên

 

^{1;3 , ta có: u 6x218x12; 0 0}

2 u x

x

 

     .

 

[1;3]

minumin u(0), (1), (2), (3)u u u m4.

 

[1;3]

maxumax u(0), (1), (2), (3)u u u m9.

Để ( ), ( ), ( )f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác thì ta phải có ( )f a  f b( ) f c( ). Chọn

[ 2;1] [ 2;1]

( ) ( ) min ( ), ( ) max ( ) f a f b f x f c f x

 

   ta có điều kiện

[ 2;1] [ 2;1]

2 min ( )f x max ( )f x

   .

Ngược lại: với

[ 2;1] [ 2;1]

2 min ( )f x max ( )f x

   , ta có :

[ 2;1] [ 2;1]

( ) ( ) ( ) 2 min ( ) max ( ) 0

f a f b f c f x f x

 

     .

Vậy điều kiện cần và đủ để f a( ), ( ), ( )f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác là

[ 2;1] [ 2;1]

2 min ( )f x max ( )f x

  

TH1:

[1;3] [1;3]

4 0

4 0 min ( ) 4; m ( ) 9 1

2( 4) 9

m f x m ax f x m m m

m m

  

         

  



TH2:

[1;3] [1;3]

9 0

9 0 min ( ) 9; m ( ) 4 14

2( 9) 4

m f x m ax f x m m m

m m

  

            

    

 TH3:

[1;3] [1;3]

(m4)(m9) 0 min ( )f x  0 2.0max f x( )m9 (loại) Vậy m 



19; 15; 2...;18;19



. Có 23 số nguyên thỏa mãn.

Câu 42.20: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ x33xm} . Có bao nhiêu số nguyên ^{m }



^{20; 20}



để với mọi bộ ba số thực ^{a b c, ,  }



^2;1



^{thì f a}

 

^{,f b}

 

^{,f c}

 

là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.

A.18. B.16. C.14. D. 12.

Lời giải Chọn B

Xét ux³3xm trên đoạn , ta có: u 03x² 3 0 x 1.

Khi đó: ^{ }

     

   

 

         

2;1

2;1

max u max 2 , 1 , 1 max m 2, m 2, m 2 2 min u min 2 , 1 , 1 min m 2, m 2, m 2 2

u u u m

u u u m





         



        



.

Để ^{f a}

 

^{, f b}

 

^{, f c}

 

là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn ta phải có

     

2 2 2

f a  f b  f c . Chọn

   

 

   

 

 

2;1 2;1

min ; max

f a f b f x f c f x

 

   ta có điều kiện

 

 

 

 

2 2

2;1 2;1

2 min f x max f x

 

 

  

   

    ^.

Ngược lại với

 

 

 

 

2 2

2;1 2;1

2 min f x max f x

 

 

  

   

    ^{, ta có}

     

 

 

 

 

2 2

2 2 2

2;1 2;1

2 min max 0

f a f b f c f x f x

 

 

 

       

    ^.

Vậy điều kiện cần và đủ để ^{f a}

 

^{, f b}

 

^{,f c}

 

là độ dài ba cạnh của một tam giác là

 

 

 

 

2 2

2;1 2;1

2 min f x max f x

 

 

  

   

    ^.

TH1:

  

 

 

 

 

2 2

2;1 2;1

2 2 0 2 min 0 2.0 m ax

m m f x f x

 

 

        

  ^(loại).

TH2: m 2 0.

 

 

 

 

 

²

 

²

2;1 2;1

2 0

min 2; m ax 2 6 4 2

2 2 2

m

f x m f x m m

m m

 

  

        

  



. TH3: m 2 0.

 

   

 

   

 

²

 

²

2;1 2;1

2 0

min 2 ; m ax 2 6 4 2

2 2 2

m

f x m f x m m

m m

 

  

           

  



.

Suy ra m 



19, 18,..., 12,12,13,...,19 



. Vậy có 16 số nguyên m thỏa mãn.

Câu 42.21: Gọi tập S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

3 3

y x  x m trên đoạn



^{0; 2}



bằng 3. Số phần tử của S là

A.1. B. 2 . C. 0 . D. 6 .

Lời giải Chọn B

Xét ux³3x m có:^{u'3x23 ; 'u 0 x 1}



^{0; 2}



^{. Khi đó:}

 

         

max0;2 max 0 , 1 , 2 max , 2, 2 2

A u u u u  m m m m .

 

         

0;2

min min 0 , 1 , 2 min , 2, 2 2

a u u u u  m m m m .

Vậy _0;2

   

2 3

2 2 1

max max , max 2 , 2 3

2 3 1

2 2

m

m m m

y A a m m

m m

m m

  

     

           

   



.

Câu 42.22: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

 

⁴ 8 ²

f x  x  x m trên đoạn



^1;1



bằng 5. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 7. B.7. C. 5 . D. 5.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x48x2m x,  }



^1;1



^{, ta có}

 

^{4 3 16 ;}

 

^{0 0}

2 g x x x g x x

x

 

      

   .

 

¹

 

^{1 7}

g  g   m, ^g

 

^{0 m.}

Do đó:

 _1;1

   

7 5

7 2

max max 7 , 5

5 5 7 m

m m m

f x m m

m m

m m



   

  

  

       

   

 Vậy ^S



^2;5



. Vậy tổng các giá trị của S bằng 7.

Câu 42.23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

 

⁴

3 f x x m

x

 

  trên đoạn



^{2; 2}



bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 16. B.16. C.2. D. 14.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số

 

^{4 ,}



^{2; 2}



3 x m

g x x

x

 

  

 , ta có

 

 

²

12 3 g x m

x

  

 .



²



^{8 ,}

 

^{2 8}

5

g m g m

     .

Do đó :

 

 

2;2

8 6

5

8 8 2

8 5

max max , 8 6

14

5 8 6

8 8

5 m

m m m

f x m m

m m m m



 

 



    

  

   

        

 

  





.

Vậy ^S



^2;14



. Vậy tổng các giá trị của S bằng 16.

Câu 42.24: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x²2xm4 trên đoạn



^2;1



^{bằng 4?}

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

 

^{2 2 4}

f x x  x m  có ^f

 

^{x 2x2, f}

 

^{x 0x 1. Do đó}

 _2;1 ²

 

max x 2x m 4 max m 1 ;m 4 ;m 5

        .

Ta thấy m 5 m 4 m1 với mọi m, suy ra

 2;1

maxy



chỉ có thể là m5 hoặc m1.

Nếu max 2;1 y m 5

   thì 5 4

5 1

m

m m

  



  



1 m

  .

Nếu max 2;1 y m 1

   thì 1 4

1 5

m

m m

  



  



5 m

  .

Vậy ^m



^{1; 5}



^.

Câu 42.25: Cho hàm số 2 2 x m y x

 

 với mlà tham số, m 4. Biết

 

 

 

 

0;2 0;2

min max 8

x f x x f x

     . Giá trị

của tham số mbằng

A.10 . B. 8 . C. 9 . D. 12.

Lời giải Chọn D

Xét hàm số xác định trên tập ^D



^{0; 2}



Ta có

 

²

4 2 y m

x

  



. Nhận xét m 4 hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên



^{0; 2}



^nên

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên



^{0; 2}



luôn đạt được tại x0 , x2.

Theo bài ra ta có

 

⁰

 

^{2 8 4 8 12}

2 4

m m

f f   m

         .

Câu 42.26: Cho hàm số f x( ) 2x³3x²m . Có bao nhiêu số nguyên m để

 

 

min1;3 f x 3

  ?

A.4. B.8. C. 31. D. 39 .

Lời giải Chọn D

Xét u2x³3x²m có ² 0

6 6 ; 0

1 u x x u x

x

 

      .

Do đó ^{ }

       

   

 

           

1;3

1;3

min min 1 , 3 , 0 , 1 min 5, 27, , 1 5

max max 1 , 3 , 0 , 1 max 5, 27, , 1 27

u u u u u m m m m m

u u u u u m m m m m





        



       



.

+ Nếu m 5 0m5thì

 

   

min1;3 f x m 5 3 m 8 m 5;6; 7;8

        .

+ Nếu m27 0 m 27thì

 

 

1;3

min f x (m 27) 3 m 30

        .



30; 29; 28; 27



m

      .

Nếu^(m5)



^m27



^{  0 27m5thì} _{ }

 

min1;3 f x 0

  (thỏa mãn).

Vậy ^{m }



^30;...;8



có tất cả 39 số nguyên thỏa mãn.

Câu 42.27: Cho hàm số y x³3x²m. Có bao nhiêu số nguyên m để

 

 

min1;3 f x 3?

A.4. B.10. C.6. D.11.

Lời giải Chọn D

Với ux³3x²m có ² 0

3 6 ; 0

2 u x x u x

x

 

      .

Do đó ^{ }

       

   

 

           

1;3

1;3

min min 1 , 3 , 0 , 2 min 2, , 4 4

max max 1 , 3 , 0 , 2 max 2, , 4

u u u u u m m m m

u u u u u m m m m

      



    



.

+ Nếu m  4 0 m4 thì

 

   

min1;3 f x m  4 3 m 7 m 4;5; 6;7 . + Nếu m0 thì

 

   

min1;3 f x  m 3 m  3 m  3; 2;1; 0 . + Nếu 0m4thì

     

 

1;3 1;3 1;3

minu0; maxu 0 min f x 0 (thỏa mãn).

Vậy ^{m }



^{3;...; 7}



có tất cả 11 số nguyên thỏa mãn.

Câu 42.28: Cho hàm số y x² x m . Tổng tất cả giá trị thực của tham số m để

min^{2; 2}y 2

  bằng A. 31

 4 . B. 8. C. 23

 4 . D. 9

4. Lời giải

Chọn C

Xét hàm số ux² x m trên đoạn



^{2; 2}



^{, có: 0 2 1 0 1}

u   x  x 2.

Khi đó: ^{ }

   

 

   

2; 2

2; 2

max 2 , 1 , 2 6

2

1 1

min min 2 , , 2

2 4

u max u u u m

u u u u m





    

     

  

 

  

    

       

    



.

+ Nếu 1 4 0

m  hay 1 m4 thì

 2; 2

1 9

min 2

4 4

y m m

      (thỏa mãn).

+ Nếu m 6