Bài 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A. Lý thuyết
1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối
Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau:
a khi a 0;
| a |
a khi a 0.
= −
Ví dụ 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức sau:
a) A = | x – 5 | + x + 2 khi x ≥ 5.
b) B = 2x – 3 + | −3x | khi x > 0.
Lời giải:
a) Khi x ≥ 5 ta có x – 5 ≥ 0 nên | x – 5 | = x – 5.
Do đó A = | x – 5 | + x + 2 = x – 5 + x + 2 = 2x – 3.
b) Khi x > 0 ta có −3x < 0 nên | −3x | = −(− 3x) = 3x.
Do đó B = 2x – 3 + | − 3x | = 2x – 3 + 3x = 5x – 3.
2. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Phương pháp chung
Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 2: Rút gọn hai vế của phương trình, giải phương trình.
Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét.
Bước 4: Kết luận nghiệm.
b) Một số dạng cơ bản
Dạng | A | = B
Cách 1: | A | B A 0
A B
= = hoặc A 0
A B
− = Cách 2: | A | B B 0
A B
= = hoặc B 0
A B
= −
Dạng | A | = | B | A = B hoặc A = − B.
Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
- Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.
- Xét từng khoảng, khử các dấu giá trị tuyệt đối, rồi giải phương trình tương ứng trong trường hợp đó.
- Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Giải phương trình | 2x | = 3x + 8.
Lời giải:
Ta có | 2x | = 3x + 8.
+ Với x ≥ 0 ta có | 2x | = 2x
Khi đó, phương trình trở thành 2x = 3x + 8
2x − 3x = 8
− x = 8
x = −8 (không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0).
Do đó x = −8 không phải là một nghiệm của phương trình đã cho.
+ Với x < 0 ta có | 2x | = −2x
Khi đó, phương trình trở thành −2x = 3x + 8
−2x − 3x = 8
−5x = 8 x 8
= −5 (thỏa mãn điều kiện x < 0).
Do đó x 8
= −5 là một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = 8 5
−
. B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 3x + 2 + | 4x | với x > 0.
b) B = | x – 3 | – 2x + 8 với x > 3.
c) C = | x – 5 | – x + 2 với x < 5.
Lời giải:
a) Khi x > 0 ta có 4x > 0 nên | 4x | = 4x.
Do đó A = 3x + 2 + | 4x | = 3x + 2 + 4x = 7x + 2.
b) Khi x > 3 ta có x – 3 > 0 nên | x – 3 | = x – 3.
Do đó B = | x – 3 | – 2x + 8 = x – 3 – 2x + 8 = 5 – x.
c) Khi x < 5 ta có x – 5 < 0 nên | x – 5 | = – (x – 5) = 5 – x.
Do đó C = | x – 5 | – x + 2 = 5 – x – x + 2 = 7 – 2x.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) | 5x | = 4x – 8;
b) | 2x | + 12 = 3x;
c) | x + 2 | = 3x – 14.
Lời giải:
a) Ta có | 5x | = 4x − 8.
+ Với x ≥ 0 ta có | 5x | = 5x
Khi đó, phương trình trở thành 5x = 4x − 8
5x − 4x = −8
x = −8 (không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0).
Do đó x = −8 không phải là một nghiệm của phương trình đã cho.
+ Với x < 0 ta có | 5x | = −5x
Khi đó, phương trình trở thành −5x = 4x − 8
−5x − 4x = −8
−9x = −8 x 8
=9 (không thỏa mãn điều kiện x < 0).
Do đó x 8
= 9 không phải là một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có vô nghiệm.
b) Ta có | 2x | + 12 = 3x.
+ Với x ≥ 0 ta có | 2x | = 2x
Khi đó, phương trình trở thành 2x + 12 = 3x
2x − 3x = −12
−x = −12
x = 12 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0).
Do đó x = 12 là một nghiệm của phương trình đã cho.
+ Với x < 0 ta có | 2x | = −2x
Khi đó, phương trình trở thành −2x + 12 = 3x
−2x − 3x = −12
−5x = −12 x 12
= 5 (không thỏa mãn điều kiện x < 0).
Do đó x 12
= 5 không phải là một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {12}.
c) Ta có | x + 2 | = 3x – 14.
+ Với x + 2 ≥ 0 hay x ≥ –2 ta có | x + 2 | = x + 2.
Khi đó, phương trình trở thành x + 2 = 3x – 14
x − 3x = −14 – 2
−2x = −16
x = 8 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0).
Do đó x = 8 là một nghiệm của phương trình đã cho.
+ Với x < 0 ta có | x + 2 | = − (x + 2) = – x – 2.
Khi đó, phương trình trở thành – x – 2 = 3x – 14
−x − 3x = 2 −14
−4x = −12
x = 3 (không thỏa mãn điều kiện x < 0).
Do đó x = 3 không phải là một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {8}.
