50 bài tập về Đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – Toán 11

(1)

Đạo hàm của hàm số lượng giác 1. Lý thuyết

a) Giới hạn:

x 0

sin x

lim 1

 x 

b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x b) y = sin(x² – 3x + 2) c) y 1 2 tan x d) y = tan 3x – cot 3x

e) 1

y tan 2x cot 4x sin x

 3 

Lời giải

Đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x)) (sin x)’ = cos x

(cos x)’ = – sin x



^{tan x}



¹₂ ^{1 tan x}²

cos x

   

x k , k

2

     

 

 

 

2



²



cot x 1 1 cot x

sin x

     



^x^{  }^{k ,k}



(sin u)’ = u'.cos u (cos u)’ = – u'.sin u

 

2



²



tan u u u . 1 tan u cos u

     

u k , k

2

     

 

 

 

2



²



cot u u u . 1 cot u

sin u

      



^u^{  }^{k ,k}



(2)

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x² – 3x + 2)’.cos(x² – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x² – 3x + 2).

c) Ta có:



^{1 2 tan x}



y 2 1 2 tan x

 

  

2

2 cos x 2 1 2 tan x

  ²

1

cos x 1 2 tan x

  .

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

2 2

3 3

y  cos 3x sin 3x ₂ 3 ₂ sin 3x.cos 3x



2

3 1sin 6x 4

 12₂

sin 6x

 .

Cách 2: Ta biến đổi:

sin 3x cos3x

ycos3x  sin 3x ^{sin 3x}² ^{cos 3x}² cos3x.sin 3x

  2cos 6x

sin 6x

   2cot 6x

 12₂ y 'sin 6x .

e) ^y^{ }^{(tan 2x)}^{ }¹₃^{(cot 4x)}^{ }



^{sin x}



^{ }_{cos 2x}²² ^_{3sin 4x}⁴² ^ _{2 sin x}^{cos x}

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) ² 1₂

y sin 3x

cos x

 

b) 1 sin x y 1 cos x

 



c) ^y^^{tan x}



² ^^{2 x} ^¹



d) y (sin x cos x) 3cos x ¹sin x 3

 

    

Lời giải

a)

  

²



4

cos x ' y' 2sin 3x. sin 3x '

cos x

 

 

4

2cos x. cos x ' 2sin 3x.3cos3x

cos x

 

4

2cos x.sin x 6sin 3x cos3x

cos x

  2sin x₃

3sin 6x

cos x

 

(3)

b) (1 sin x) (1 cos x) (1 cos x) (1 sin x)₂

y (1 cos x)

      

  

2 2

cos x(1 cos x) sin x(1 sin x) cos x sin x 1

(1 cos x) (1 cos x)

    

 

 

c)

 

²

  ^

2

_

² 2

^ _

x 2 x 1 '

y tan x 2 x 1

cos x 2 x 1

 

     

 

 

2 2

2x 1 x

cos x 2 x 1



   ^ ^{x cos x}^{2x x}²



² ^^^{2 x}¹ ^¹



d) y (sin x cos x) 3cos x ¹sin x (sin x cos x) 3cos x ¹sin x

3 3

   

         

1 1

(cos x sin x) 3cos x sin x (sin x cos x) 3sin x cos x

3 3

   

        

2 10 1 2 2 10 1 2

3cos x sin x cos x sin x 3sin x sin x cos x cos x

3 3 3 3

     

2 2

8 8 20

cos x sin x sin x cos x

3 3 3

  

8 10

cos 2x sin 2x

3 3

 

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y² – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y² + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: 1₂ y  cos x. Khi đó, ta có:

(4)

y  y2 1 1₂ ²x cos x tan 1

 1₂ 1₂

cos x cos x 0

   (đpcm)

b) Trước tiên, ta có:

2

y 2

sin 2x

   . Khi đó, ta có:

y 2y2  2 2₂ 2cot 2x² 2 sin 2x

   2₂ 2₂

sin 2x sin 2x 0

    (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) y = sin 2x – 2cos x.

b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

2cos 2x2sin x0 cos 2x sin x cos x 2

 

      



2x x 2k

2

2x x 2k

2

    



     



x 2k

2 x 2k

6 3

   

 

 

   



,k . b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

6cos 2x 8sin 2x 10  04sin 2x3cos 2x5

4 3

sin 2x cos 2x 1

5 5

  

Đặt 4

cos a 5  và 3

5sin a, do đó ta được:

sin 2x cosacos 2x.sin a 1 sin 2x(  a) 1

2x a 2k

2

     a

x k , k

2 4

      .

(5)

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là:

A. y’ = - tan x B. 1₂

y ' cos x C. 1₂

y ' sin x D. y’ = 1 + cot²x

Câu 2. Hàm số 3

y sin 7x

 2 có đạo hàm là:

A. 21 cos x

 2 B. 21

cos 7x

 2 C. 21

cos 7x

2 D. 21

cos x 2 Câu 3. Hàm số y sin 3x

6

 

    có đạo hàm là:

A. 3cos 3x 6

 

 

  B. 3cos 3x 6

 

    C. cos 3x 6

 

 

  D.

3sin 3x

6

 

   .

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x B. y’ = 3cos 2x + sin 3x C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A. 2x₂

tan 2x

cos x



B. 2x₂ cos 2x

C. 2x₂

tan 2x

cos 2x



D. x₂

tan 2x

cos 2x

 .

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x

(6)

B. – 8cos8x + 2cos2x C. 8cos8x – 2cos2x D. – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7. Hàm số sin x

y x có đạo hàm là:

A. x sin x ₂ cos x

y' x

  B.

2

x cos x sin x

y' x

 

C. x cos x₂ sin x

y' x

  D.

2

x sin x cos x

y' x

 

Câu 8. Hàm số 1 ² y cot x

 2 có đạo hàm là:

A. x ₂ 2sin x

  B. x₂ ₂

sin x  C. x₂

sin x

  D. ₂x ₂ sin x

 

Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

A. 1₂

y sin 2x B. 4₂

y  cos 2x C. 4₂

y  sin 2x D. 1₂ y  cos 2x Câu 10. Đạo hàm của hàm số sin x cos x

y sin x cos x

 

 có biểu thức dạng

2

a

(sin xcos x) . Vậy giá trị a là:

A. a = 1 B. a = – 2 C. a = 3 D. a = 2 Câu 11. Cho hàm số ysin 2x² . Đạo hàm y' của hàm số là

A. ²

2

2x 2

cos 2 x 2 x

 



B. ²

2

x cos 2 x

2 x

 



(7)

C. ²

2

x cos 2 x

2 x 



D. ²

2

(x 1)

cos 2 x 2 x

 



Câu 12. Đạo hàm của hàm số y sin 2x.cos x² ²

  x là

A. y 2sin 2x.cos xsin x.sin 2x² 2 x.

B. y 2sin 2x.cos xsin x.sin 2x² 2 x.

C. y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x² ¹

   x x 

D. y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x² ¹

    x x 

Câu 13. Cho hàm số ^y ^{f x}

 

^{sin 5x.cos}³ ² ^x

  3. Giá trị đúng của f 2

 

   bằng

A. ³

 6  B. 3

 4  C. ³

 3  D. 3

 2 

Câu 14. Cho hàm số y = cos²x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; )

A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0 trong khoảng ( ; )

A. 6

 và 6

 B.

3

 và 3

 C.

6

 và 7 12

 D.

3

 và 6



BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C B B C C B B D C B C D A C B

50 bài tập về Đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – Toán 11





 









 





 





















  



 

 

  



 

 





 

  ^

_

^ _